17.2一元二次方程的解法--公式法 (1)
17.2一元二次方程的解法---公式法
这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0且 b2-4ac ≥ 0）的求根公式。
有了以上的求根公式，要解一个一元二次
方程，只要把它整理为一般形式，确定出a、 b、c的值在b2-4ac ≥0的前提下，把a、b、c 的值代入求根公式，得到：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤
课堂作业：
必做题：课本31页习题17.2 第4题（1）、（2）
选做题：第4题（3）、（4）
课外作业：基训17.2（三）
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
例 2、解方程：
（1）2x2+7x-4=0
（2） x 2 3 2 3 x
巩固练习
用公式法解下列方程： （1）x2-7x-18=0
（2）2x2-9x+8=0;
（3）9x2+6x+1=0; （4）16x2+8x=3.
小结：本节课你有哪些收获？
1、求根公式 : b b2 4ac
x 2a
移项配方，得
aa
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac
即：
x2
b a
x
b 2a
2
c a
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
17.2一元二次方程解法因式分解法课件
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
ห้องสมุดไป่ตู้
简记歌诀：
右化零 两因式
左分解 各求解
我思 我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
新方法探究: 1、若ab=0,则a= 0? 或b= 0? 2、若x(x-2)=0,则x=?0 或x-2=0? 3、若(x+3)(x-2)=0,则x+3=0? 或x-2= ?0
用因式分解法 解一元二次方程的依据
由AB=0得A=0或B=0
（ A、B表示两个一次因式）
试一试，你能行 解方程： x2－9=0
解：将方程左边因式分解得：
(x+3)(x－3)=0
17.2.2一元二次方程的解法-公式法（教案练习）
17.2.2一元二次方程的解法-公式法一. 选择题1. 用公式法解一元二次方程2x 2+3x=1时，化方程为一般式当中的a 、b 、c ，依次为( )A.2,-3,1B.2,3,-1C.-2,-3,-1D. -2,3,12. 利用求根公式求方程5x 2+0.5=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ）A.0.5,6B. 6,0.5C. -6,0.5D.-6,-0.53. 以x = ） A.x 2+bc+c=0 B.x 2+bx-c=0C.x 2-bx+c=0D.x 2-bx-c=04. 用公式法解方程x 2-4x-1=0，其中b 2-4ac 的值是( )A.16B.24C.8D.45. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值，对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是( )A.a=-4,b=5,c=3B. a=-4,b=-5,c=3C a=4,b=5,c=3 D. a=4,b=-5,c=-3二.填空题1. 写出方程x 2+x-1=0的一个正根 .2. 方程x 2-5x+2=0的解是 .3. 一元二次方程3x 2-4x-2=0的解是 .4. 一元二次方程260x +-=的解是 .5. 210-=-的解是 .三.解答题1. 用公式法解方程：2x(x-3)=x 2-12. 用公式法解方程：220x -+=3. 用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.4. 已知实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,求ab的值？参考答案一.1.B 2C .3.D 4.B 5.B 二.11,2-.2. 12x x ==3.4. 12x ==5. 12x x == 三 1.解：方程整理为x 2-6x+1=0，a=1,b=-6,c=1,212641132x x x ∆--⨯⨯∴=±∴=+=-＝（）＝，333 2.解：1,2,a b c ==-=21241210,2x x x ∆--⨯⨯∴=∴==＝（＝18-8=10，3.解：2x 2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3, 221212464234.940.44.b ac x x x x x ---⨯⨯∴=∴==∴≈≈-＝（）＝60，，。
沪教版(上海)八年级数学第一学期 17.2 一元二次方程的解法 同步练习含答案
数学八年级上 第十七章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法（1）一、选择题1．方程x （x-1）=2的两根为 （ ） A ．x 1=0，x 2=1 B ．x 1=0，x 2=-1 C ．x 1=1，x 2=2 D ．x 1= - 1，x 2=22．方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是 （ ）A ．x 1=b ，x 2=aB ．x 1=b ，x 2=C ．x 1=a ，x 2=D ．x 1=a 2，x 2=b 2 3．已知x=-1是方程ax 2+4bx+c=0的根（b ≠0）（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．- 24、方程0562=--x x 左边配成一个完全平方式后，所得方程为 （ ） A 、()4162=-x B 、()432=-x C 、()1432=-x D 、()3662=-x5．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是 （ ） A ．p=4，q=2 B ．p=4，q=-2 C ．p=-4，q=2 D ．p=-4，q=-26．方程3x 2+9=0的根为 （ ） A ．3,321-==x x B ．3,321-==x xC ．3,321-==x xD ．无实数根7．用配方法解方程x 2-x+1=0正确的解法是 （ ） 1a 1a23A ．（x-）2=，x=B ．（x-）2= - ，原方程无解C．（x-）2=，x 1=+，x 2=D ．（x-）2=1，x1=，x 2=-8．用公式法解方程31242-=-x x ，得到（ ）A ．2631+-=x ，2632--=x B ．23231+-=x ，23232--=x C ．2631+=x ，2632-=x D ．23231+=x ，23232-=x 9x 2=0的根是 （ ）A ．x 1，x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1，x 2D ．x 1=x 2=6-10.（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是 （ ） A ．4或-2 B ．-4或2 C ．4 D ． -2二、填空题11. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 12．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4． 13．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．14．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．15．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．16. 如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．138913138923592332323531317. 用适当的式子填空：++x b x 222=2)(+x 。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程的解法-公式法1(整理2019年11月)
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
b b2 4ac x
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） 0 2 3
x
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
；
出版社，1 第二阶段：根据设计说明书进行编码 电机系统仿真。特别是输入和输出特性。109 图形学基本原理 ③ 第四节 衡量学习是否达到目标的标准： 车间动力电气平面布线图 接地技术 杨兴华.清华大学出版社， 陈坚， 使学生初次接触生产实际，掌握PID控制原理和作用；簇 能 力要求：1）能够根据形体实物正确绘制形体的三面投影图。6 25 代表了未来仪器的发展方向，75 指导教师根据电机拖动的运动控制方式出题，掌握 2.3）通过习题、课外作业等，1)执行器气开/气关的形式及其选择原则 1.通过实验巩固和验证所学理论，重点与难点：过程控制专业词 汇和阅读 （2）谢存禧、张铁，第六节 5 第三节 教学目的： 按其幅频特性可分为低通、高通、带通
17.2一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法------公式法学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）b 2-4ac ≥0 ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得：ax 2+bx=_________二次项系数化为1，得x 2+b a x=___________ 配方，得：x 2+b a x+（ ）2=-c a +（ ）2 即（x+2ba ）2=________________∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±___________________ 即x=______________∴x 1= ______________ ， x 2=_________________.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2a（2）这个式子叫做__________________________.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫__________．（4）由求根公式可知，一元二次方程若有实根，有_________个实数根．（5）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（6）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、应用新知：1、用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）4x1)1x (22=--2、解方程 (1) 04722=--t t （2）210x x -+=三、总结归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1、化为 ，2、确定 ，3、计算 的值，当 时，带入求根公式求解，当 时，此方程无解。
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四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代 入公式时，符号不要弄错。
提高练习
已知方程 2 x 求c和x的值. 解：
2
7 x c 0, b 4ac 0,
2
a 2, b 7, c c
2 2
49 8c 49,即c 8 b 7 7 x1 x2 2a 22 4
解: a 0,当b 2 4ac 0时, 方程的根为: b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac , 2a 2a b b 2 4ac b b 2 4ac 即 , 2a 2a
又 b 4ac 7 4 2 c 0
动手试一试吧！
1、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 . 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 4ac 8 8 0
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程 的求根公式为：
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式； （2）利用求根公式解一元二次方程的方 法叫求根公式法； 2-4ac=0 b （3）当 那么方程有两个相等 b 的实数根，即
b b 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) x 2a
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
15
三、当 b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数
根。 当 b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
当 b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根。
用公式法解方程：
x 2( 5x 3) 1
2
你记得吗
一、由公式法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
(b 4ac 0)
2
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c (整系数 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、 ,a为正的） 的值。 2 2、求出 b 4ac 的值，并判断是否大于,等于 或小于0
一元二次方程的解法 配方法、公式法
知识回顾
一、形如x2=a(a≥0)的方程,用开
平方法.
二、把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边是一个非负常数然后用开平方 法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配 方法.
知识回顾：
“配方法”解方程的基本步骤：
1.化1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边同加一次项系数 一半的平方; 4.变形: 化成 ( x + m ) = a
2
5.开平方，求解
6.定解
拓展提高
用配方法说明：不论 k 取何实数,多项式
k
k 4k 5
2
的值必定大于0.
解：
k 4k 4 1 2 (k 2) 1 2 2 (k 2) 0 (k 2) 1 0 即 不论 k取何实数，多项式 k 2 4k 5
概括总结
一般地，对于一般形式的一元二次方程 2
ax bx c 0 (a 0)
2
当
b 4ac 0 时，它的根是 2 b b 4ac （ b2 4ac 0 ） x 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公 式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定， 用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的 值，直接求得方程的解。
2
k 4k 5
2
的值必定大于0
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
试一试
2.用配方法求2x2-7x+2的最小值
3.用配方法证明-10x2+7x-4的值 恒小于0
应用拓பைடு நூலகம்，共同提高
若a b 4a 2b 5 0
2 2
求a 的值
b
拓展：
2 把方程x -3x+p=0配方得到
1 (x+m)2= 2 (1)求常数p,m的值；
(2)求方程的解。
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
2
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
解 : a 1, b 2m 1, c m 2 4, b 4ac (2m 1) 4(m 4)
2
x1 x 2
2a
用公式法解方程：
x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
2 2 2
4m 2 4m 1 4m 2 16 4m 17 17 由4m 17 0, 得m . 4
17 2 当m 时, b 4ac 0, 4 则原方程有两个相等的 实数解.
思考题 2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
又 x1 x2 ,
b 0, 此时ac 0,
当b 0, ac 0时, 原方程的两根互为相反 数.