一类三次系统的奇点量和可积性条件
数学专业术语
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出
【doc】关于奇点类型的讨论
关于奇点类型的讨论第29卷第3期2005年6月南昌大学(理科版)JournalofNanchangUniversity(NaturalScience)V o1.29No.3Jun.2005文章编号:1006—0464(2005)03—0254—04关于奇点类型的讨论郑军,谈振兴(南昌大学理学院,江西南昌330047)摘要:剖析了数学奇点和物理奇点这两个概念及其它们在本质上的差异:数学上的本性奇点只不过是无穷级极点.而物理奇点如Schwarzchild黑洞中的Schwarzchild坐标的原点r=0的奇异性却出现在黎曼曲率张量里,它才真正反映了事物本质上的奇异性.关键词:数学物理;孤立奇点;坐标奇点;物理奇点;广义相对论中图分类号:0154文献标识码:A对于实函数f()=h()/g(),数学上称g()的零点=为奇点.函数.厂()在=处的性质还依赖于h()在该点的性质.由于该奇点的存在,函数)在这点的性质(如连续性,有界性,可导/可微性以及可积性等)也发生了变化,并且给研究带来一定的不便.将视为复变量z,对奇点的看法也是类似的.复变函数f(z)的孤立奇点分为可去奇点,极点和本性奇点三类¨.2J.围线内若存在孤立奇点,则导致复变函数.厂(z)在积分区域内不是处处解析,从而直接运用Cauchy定理会有一定困难.尽管如此,借助留数定理却给求解一些较复杂的复数积分和实数积分带来便捷,而运用留数定理就需要判断奇点的类型.强调指出上面的”本性奇点”并不富有其名称含义,即”本身所固有的,内在的和本质性的几何奇点”.这是因为变量替换会改变这种奇点类型,而对于一种内在本质属性不应该随变量替换即坐标的选择发生变化.这种与坐标选择有关的属性是非物理的.反之,”本性”应当理解为”物理的本质属性”.在牛顿力学内,时间和空间坐标具有明确的物理含义,但牛顿力学建立的物理量体系一般定义成坐标量从而没有协变性(covariance),亦即物理量的表示形式随坐标系的选择而改变.例如,牛顿第二定律所描述的运动方程只有在惯性坐标系内才具有形式不变性,而在非惯性坐标系内应当附加非惯性力的影响.物理量的协变性是广义相对论的基本要求.物理量应当定义成固有量(properquantity)或张量(tensor),而不应该表示成坐标量(coordinate quantity)[3,43.非线性科学中识别混沌的重要指标收稿日期:2004—12—09基金项目:国家自然科学基金资助项目(10447112)作者简介:郑军(1964一),女,副教授.Lyapunov指数由于在牛顿力学框架内被定义成坐标量(即采用Euclid距离和坐标时间),结果在广义相对论中不是坐标变换的不变量.WuXin和Huang Tian—yi利用原时(propertime)与固有距离(proper distance)把Lyapunov指数定义成标量(scalar),解决了这个非协变问题J.对于物理奇点的判断,也应当依据这一标准.就Schwarzchild黑洞来说,根据数学的观点该时空存在r=0和r=2GM两个奇点.但凭借与坐标选择无关的黎曼曲率张量来看,只有r=0才是本性奇点,而r=2GM只是坐标奇点.这种坐标奇点也以一种奇异的物理现象”蒙骗”人们,即无穷远处的静止观测者永远不能看到r >2GM处的粒子或光子能够穿越视界面落到引力中心,以致人们不得不借用”black”这个词来描绘该处,.本文的主要目的是解释复变函数中本性奇点之本性含义并且从本质上比较坐标奇点和物理奇点两个概念.介绍复变函数孤立奇点类型并着重对本性奇点进行诠释.为了说明这种”本性”不同于”物理的本质属性”,引入Schwarzchild黑洞中的坐标奇点和物理奇点并说明识别方法.1孤立奇点的类型所谓孤立奇点,就是指当复变函数z)在z.不可导,而在的任意小邻域内除去z.外处处可导,这样的z.是孤立奇点,否则z.就是非孤立奇点¨.在挖去孤立奇点z.而形成的环域上的解析函数(z)可展为罗朗级数:第3期郑军等:关于奇点类型的讨论?255?z)=∑a(z—z0)上式中正幂部分是解析部分,负幂部分称为主要部分或无限部分.在复变函数计算时,需要对奇点进行分类,以便针对不同情况,采取相应的处理方法.孤立奇点分为有限孤立奇点和无穷远奇点两个大类.1.1有限孤立奇点的分类有限孤立奇点包括可去奇点,极点和本性奇点三类¨.].下面介绍这三类奇点的划分依据. 1)可去奇点:孤立奇点满足下列条件之一的就是可去奇点.①Z)在Z.的主要部分为零②Z)在Z.的极限存在,而且是有限数,即:liraf(z)=b≠..(2)③Z)在Z.的去心邻域内有界.2)m级极点:孤立奇点Z.满足下列条件之一的为m级极点.①Z)在Z.的主要部分为有限项,即主要部分为:若+一.+尚,其中(—0)m.(—0)m一(—0)’,’a一≠O,m是正整数,(3)当只有这一项时,称z.为单极点.Z—ZnJ②Z)在Z.的去心邻域可以表示成:z)=,其中A(z)在Z0邻域解析且z—Z0,A(z.)≠O.(4)③Z)的极限为limf(z)=..,(注意:此时仍认为极限存在.)3)本性奇点Z)的孤立奇点是本性奇点的充要条件是:z)在z.的极限不存在,即下面两式同时成立:liraf(z)≠b,(5)limf(z)≠ (6)1.2无穷远孤立奇点与有限孤立奇点分类类似,无穷远孤立奇点也分为上述三类.判定f(z)在..处孤立奇点类型充要条件是:①若limf(z)=b,(7)b是有限数,..点是可去奇点;②若limf(z)=..,(8)Z—+∞满足上式的..点为极点;③limf(z)不存在,则..点是本性奇点.无穷远孤立奇点可以转化为有限孤立奇点来考虑,这只要做变量代换Z=1/w,然后考察W=0是否为孤立奇点及其类型.值得注意的是上面的复变函数极限与单元函数的极限有所不同.单元函数的极限总是在轴上从某点.的两边逼近.,并且在左右极限都存在且相等的情况下才存在;而复变函数极限是指在点Z.邻域内任意方向逼近Z.且各方向的极限都相等的前提下才存在,复变函数极限本质上属于实二元函数的二重极限.除了用极限区分这三类孤立奇点外,还可以根据在这点Z.的罗朗级数展开式来判断.罗朗级数中含因子Z—Z.的负幂项部分称为主要部分.罗朗级数中若无主要部分,则点Z.就是可去奇点;罗朗级数中主要部分为有限项,则点Z.就是极点;罗朗级数中主要部分为无限项,则点Z.就是本性奇点.也就是说,若对罗朗级数乘以一个因子(Z—Z.)(其中m为有限非负整数)后,不再含有主要部分,则Z.为极点或可去奇点;若无论m有多大当罗朗级数乘以因子(Z—Z.)后总有主要部分,则Z.为本性奇点.例如,el/z在z=0是本性奇点,但当我们采用变量变换Z=1/w后,e在W=0处连续根本不是奇点.可见,这种”本性”是从这个复变函数乘以一个因子的有限幂次项无法消除罗朗级数的主要部分这一角度来说的,但决不具有”本身所固有的, 内在的和本质性的几何奇点”的含义.对于一种内在本质属性不应该随变量替换即坐标的选择发生变化.这种与坐标选择有关的属性是非物理的.反之,”本性”应当理解为”物理的本质属性”.把”固有的,内在的和本质的几何奇点”称为物理奇点.下面分析物理奇点与坐标奇点的本质区别.2物理奇点和坐标奇点借助数学奇点的概念,物理上许多分支也涉及到奇点,并且在奇点附近发生一些奇特的物理现象. 奇点即时空中的一点,在该点引力使物质的密度无穷大,体积无穷小,空间和时间被极度的扭曲.在广义相对论中,奇点也是作为一个重要的研究对象,而且将星系的演化,黑洞的形成和宇宙的诞生联系起来.特别是现代宇宙论认为我们现在的宇宙起源于一个奇点..正如上面所提到的,奇点分为物理南昌大学(理科版)2005氲奇点和坐标奇点.物理奇点是系统本身固有的,客观存在的,不会因坐标系的选择而消去的奇点,实质上是本性奇点或称为内禀奇点.而坐标奇点是假奇点,是由于坐标系的选择造成的,它可以通过恰当的坐标变换消去.考察一个物理奇点是否确实存在, 必须采用一个不变量(不会因坐标变换而变化的量,即标量或张量)来衡量,在数学上可以借助黎曼几何的曲率张量来判断.下面以Schwarzchild黑洞为例说明.在广义相对论中,设有一个质量为M而等效半径r的致密恒星,Schwarzchild外部解(亦称为4维度规)为’:ds2:一(1—2GM)dt+(1—2GM)一dr+rdrr+F2sin如(9)上式中没有出现真空中的光速c,实质上取c=1.明显看到该时空中有两个奇点:r=0和r=2GM.现在我们来看这两个奇点是否出现在黎曼曲率张量中.如果黎曼曲率张量里出现了奇点,那么该奇点就是本质的物理奇点,否则属于非本质的坐标奇点. 这是因为黎曼曲率张量是不会因坐标变换而变化的量.通过计算曲率张量R,可得到一些非零分量为R..:一2—GM,(1O)r尺啾:‰:,(11)R2323:2—GM,(12)尺::尺,:一,(13)立刻可以注意到仅只有r=0的奇异性出现在黎曼曲率张量里.更进一步,可计算该度规的曲率标量R:4—8G2M2(14)r由此可见,当r时,曲率标量尺一∞l8J.因此,r=0是本质的物理奇点,而r=2GM是在黎曼曲率张量或曲率标量中并没有奇异性,可以认为它在Schwarzchild坐标里是非本质的坐标奇点.尽管r=2GM不是物理奇点,但在该坐标奇点引起的物理现象曾引起人们错觉.由于度规在这点的奇异性,特规定r=2GM的球面称为Schwarzchild 半径或引力半径.考虑物体在引力作用下从r> 2GM处向中心的径向自由下落的动力学方程::墨,15)dT.2GM,其中t是坐标时间,r是原时.所以当r一(2GM) 时,半一∞,于是得到速度=(16)式中t是远处观察者的时间,上式表明物体不会穿过引力半径.结果是远处观察者永远无法看到自由下落的物体穿过引力半径r=2GMl6].对于光子也是这样.由于光子不能穿过引力半径,故远处观察者看到r<2GM的区域内是黑的.于是,r= 2GM又称为视界面.但是实际上我们研究的观察者不是作为旁观者从远处观察,而是作为探险者随物体下落,r才代表下落的时间,下落速度是_(1,1-.这样通过计算,引力半径是可以穿过的,并且可以在有限的时间内一直落到引力中12,,而没有遇到不可逾越的时空奇点.所以r=2GM处的度规发散而造成黑洞假象,其实是坐标选择不当而带来的,而不是真的遇到了时空奇异点.现在物理学家已经找到坐标变换如Kruskal坐标消去了r=2GM这个奇点].对于坐标奇点,应该尽可能采用”好”的坐标系,以便消去坐标奇点.因为坐标奇点会造成物理假象.并且坐标奇点的存在还将引起数值计算方面的困难,只有消去奇点或小分母问题l9J,才能保证数值计算方法稳定.3结束语复变函数三类孤立奇点中的”本性奇点”并不意味着”本身所固有的,内在的和本质性的几何奇点”,只不过是从这个复变函数乘以一个因子的有限幂次项无法消去这一奇点的角度来说而已.反映物理本质属性的奇点才能认为是物理奇点.利用固有量可以从本质上严格区分坐标奇点与物理奇点. 数学中的许多概念都蕴含一定的物理思想,如微分方程的存在唯一性定理在物理上就是Laplace 决定论的反映.未来的研究将不断挖掘这些物理内核.参考文献:[1]梁昆淼.数学物理方法[M](第三版).北京:高等教育出版社,1995.60—64.[2]钟玉泉.复变函数论[M](第二版),北京:高等教育第3期郑军等:关于奇点类型的讨论?257?出版社,1988.48—52.[3]HuangTY,HanCH,YiZH,eta1.WhatistheAstro—nomicalUnitofLength[J].AstronandAstrop,1995, 298:629—633.[4]TaoJH,HuangTY.TheEclipticinGenerMRelativity[J].AstronandAstrop,1998,333:374—377.[5]WuXinandHuangTian—putationofLyapunov ExponentsinGeneralRelativity[J].PhysLettA,2003,313:77—81.[6]WeinbergS,WeinberyS.GravitationandCosmology[M].NewY orkJohnWiley,Gravitation,Cosmology,JohnWi—ley,1972.168—169.[7]俞允强.广义相对论引论[M],北京:北京大学出版社,1997.105—106.[8]HawkingSW,EllisGFR.TheLargeScaleStructureofSpace—time[M].Cambridge:CambridgeUnivPress,1979.[9]BaumgarteJ,StiefelE.ExamplesofTransformationsIm—provingNumericalAccuracyoftheIntegrationofDifferen? tialEguationsinProceedingsoftheConferenceontheNu—mericalSolutionofOrdinaryDifferentialEquations[M]. Springer—Verlag,1974. ADISCUSSIONOFTYPESoFSINGULARIT皿SZHENGJun,TANZhen?xing(CollegeofScience,NanchangUniversity,Nanchang330047,China) Abstract:Amainmotivationinmathematicalphysicsistostudytherelationbet weenamathematicconceptandphysicalthought.Forthesakeofthispurpose,thispaperdealswithnotonlytherel ationofmathematicalsingulari—tiesandphysicalones,butalsotheirdifferenceinnature.Thetypeofessentialsin gularitybelongingtooneofthree classesofisolatedsingularities,isonlyregardedasatypeofinfinite—orderpola rpoints.Itisclearthatthetype doesnotstandsforphysicalsingularities,However,thesingularityfortheSchw arzchildcoordinateoriginr=0印一pearsintheRiemaniancurvaturetensors.Thisshowsthattheoriginshouldbeattr ibutedtophysicalsingularity.Keywords:mathematicalphysics;isolatedsingularity;coordinatesingularity; physicalsingularity;generalrelativity(上接第253页)STRUCTURALCHARACTERIZA TIoNoFNANo—oXII)E LAYEIINPtMnBASEDSPECULARSPINV AL VESCHENLi—fan (TheCenterforNanoscaleScienceandTechnology,RiceUniversity,Houston, TX77005,USA)Abstract:Asystematicstructurecharacterizationandmechanismofnano—oxi delayers(NOLs)andspecularspin valvesusingX—raydiffractionandhigh—resolutiontransmissionelectronmi croscopy(HRTEM)hasbeenstudied.ThespecularreflectioneffectfromtheNOLswasfoundtoenhanceAR/Rfrom1 2%inthespinvalvewithnoNOLtomorethan15%and17%inthecaseofnaturalandplasmaoxidationoftheNOL, anincreaseinMRratiobymorethan30%.TheplasmaNOLcanprovidemorestrongerelectronspecularef fectthanthenatureNOLonenhan?cingtheMRratio.Meanwhile,theoxygenexposureplaysanimportantroleinN rgeMRratiocallbe obtainedinNOLspecularspinvalvesbyplasmaoxidationprocess.Fabricating NOLswithoutanycrystalstructure degradationiscriticaltoobtatinhighMRratio.HRTEMrevealsthatoxidecluste rsmixingwithinsufficientlyoxi? dizedCoFelayersprevailedinnaturalNOL,andthenaturaloxidationwasinhom ogeneous.Incontrast,plasmaNOLhasathinner,morehomogeneouslyoxidizedCoFelayerswithsharpinterfaces.I nplasmaNOLs,thestructuresstill maintainCoFecrystalstructure.Thestructuresandmagneticcorrelationofthe NOLspecularspinvalvesaredis—cussed.Keywords:nano—oxidelayer;naturaloxidation;plasmaoxidation;CoFecryst al。
积分路径上有奇点的三类广义积分的柯西主值
积分路径上有奇点的三类广义积分的柯西
主值
积分是数学中一种十分重要的概念，它表示一个函数的累积量。
柯西主值定理是一种有关积分的定理，它指出，在积分路径上有奇点的三类广义积分，其主值均等于零。
首先，让我们来看一下柯西主值定理，它指出在积分路径上有奇点的三类广义积分，其主值均等于零。
这三类广义积分分别是：弦积分、曲线积分和曲面积分。
弦积分是指被积分函数在积分路径上有奇点的一类积分，曲线积分是指被积分函数在积分路径上有奇点的二类积分，曲面积分是指被积分函数在积分路径上有奇点的三类积分。
弦积分是指在积分路径上，只有一个奇点的积分。
这种积分的主值等于零。
由于只有一个奇点，因此它的定义域只有一个，即积分路径的起始点。
曲线积分是指在积分路径上，有两个奇点的积分。
曲线积分的主值也等于零，它的定义域包括两个点，即积分路径的起始点和终止点。
曲面积分是指在积分路径上，有三个奇点的积分。
曲面积分的主值也等于零，它的定义域包括三个点，即积分路径的起始点、中点和终止点。
柯西主值定理是一种有关积分的定理，它指出，在积分路径上有奇点的三类广义积分，其主值均等于零。
该定理的重要性体现在了它有助于解决一些积分问题，使其能够得到更加准确、有效的解答。
总之，柯西主值定理是一种有关积分的定理，它指出，在积分路径上有奇点的三类广义积分，其主值均等于零，该定理具有重要的意义，对解决积分问题有着重要的作用。
(大学数学)群论讲义：第三章 点群
x
1
3
4个一维不可约不等价表示, 一个二维表示.
D4有三个三阶不变子群:
{E,C4,C42,C43}, {E,C42,C2(1) ,C2(3)}, {E,C42,C2(2) ,C2(4)}
D4有到二阶循环群的三个同态, 可得到D4的三个 一维非恒等不可约不等价表示
E
,
C4
,
C42
,
C43
,
C (1) 2
4. 第二类点群
■ 第二类点群可由第一类群构造。分为9类：
1) Cn∪I Cn= Cn{E,I}，2n阶阿贝尔群，共有2n个 共轭类。
2）Dn∪I Dn = Dn{E,I} ，2n阶群。 3）T∪I T = T{E,I} ，24阶群,称为Th群。共有8个共
轭类。 4）O∪I O = O{E,I} ，48阶群,称为Oh群。共有10个
■ 由第一类点群可构造出第二类点群: 1) G=K∪IK=K{E,I} 2) G=K∪IK+
3. 第一类点群
■ 点群是群, 满足群的封闭性; 点群是有限群, 具有有限的元 素;第一类点群是SO(3)的子群, 群元具有SO(3)群元特点.
点群G的阶n和转动轴阶ni的关系.
l (1 1 ) 2(1 1),
i 1
ni
n
n ni 2
1) l是极点G轨道的个数, 同一轨道上的极点是具有相同阶数 ni的转动轴与球面的交点。
2）ni是第i条G轨道中极点对应的转动轴的阶。 3）n是点群G的阶数。
4）n/ni是第i条G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个G轨 道点。
■ 第一类点群的分类. 5种可能情况:
1) l 2, n1 n2 n, n 2,3, 2) l 3, n1 n2 2, n3 n / 2, n 4,6, 3) l 3, n1 2, n2 3, n3 3, n 12 4) l 3, n1 2, n2 3, n3 4, n 24
具p：-q共振奇点的Hamiltonian系统的线性化
积性 的新算 法 ， 在此 基础 上 ， 本文 利用 文献 ［ ］ 给 出了计算 复 系统 中心周期 常 数 的一种 新算 法 ， ２又 即解决 了
『 ＝ ％ ＋ａｗ ・ ２１ｚ ｚ ２
【 一 — ， ＋２ ＋ ｚ ２ ａ ２ｗ ３ ｄ ｗ ２ ａｚ ‰ ） ｗ １
１ １ 可 积性条 件 ．
收稿 日期 ：０９— ９—１ ２０ ０ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（０ ７２ ６ ； １ ８ １０ ）广西高校人才资助计划项 目 作者简介 ： 许秋瑾 （９ ３一） 女 ， １８ ， 壮族 ， 广西南宁人 ， 桂林 电子科技大学研究生 ， 主要从事微分方程定性理论 的研究
商 丘 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｈ Ｎ Ｑ Ｕ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｓ Ａ Ｇ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ
Ｖ０ ． ６ １ ２ Ｎｏ ３ ．
Ｍａ ｃ ｒｈ， ２ １ ００
具 Ｐ： 共振奇 点 的 Ｈａ ｌ ｎａ 一 ｍｉｏ ｉｎ系统 的线 性化 ｔ
求复等时中心条件的问题 ， 并利用此算法求得 １ 一 型 Ｈ ｍｈｎ ｎ系统线性化的条件． ：２ ａｉ ｉ ｏａ
１ 具有 １ 一 ： ２型共振鞍点 的 ２次齐次 Ｈ ｍｉｏｉ ａ ｌ ｎａ ｔ ｎ系统 的线性化
对 应 的具 有 １ 一 ： ２型共 振鞍点 的 ２次 齐次 Ｈ ｍｈ ｎ ｎ系统 为 ： ａ ｉｏ ｉ ａ
一பைடு நூலகம்
２ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｇ ｌｒｐ ｉｔａ ｅ ｓ ｄ ｅ ． Ｔ ｅ ｏｌｗｉ ｇ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔｒ ａｇ ｂ ａ ｓ ｓｅ ，ｔｅ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ａ ｅ ｅ ｏ ａ ｔ ｎ ｕａ ｏｎ ｒ ｔ ｉ ｄ ｈ ｎ ｆｌ ｓ ｕ ｏ ｎ ｏ ｕ ｅ ｌｅ ｒ ｙ ｔｍ ｈ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｒ ｈ ｉ ｉ
大学高数全册知识点整理
大学高等数学知识点整理一 . 数列函数 :1. 类型 :(1) 数列 : * ; *(2) 初等函数 :(3) 分段函数 : * ; * ;*(4) 复合 ( 含) 函数 :(5) 隐式 ( 方程 ):(6) 参式 ( 数一 , 二 ):(7) 变限积分函数 :(8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ):2. 特征 ( 几何 ):(1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( 单调定号 )(2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ).3. 反函数与直接函数 :二 . 极限性质 :1. 类型 : * ; * ( 含); * ( 含)2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):3. 未定型 :4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性三 . 常用结论 :, , ,, , , ,,四 . 必备公式 :1. 等价无穷小 : 当时 ,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式 :(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .五 . 常规方法 :前提 : (1) 准确判断( 其它如 : ); (2) 变量代换 ( 如 : )1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( ) ( 注 : )3. 处理 ( 其它如 : )4. 左右极限 ( 包括):(1) ; (2) ; ; (3) 分段函数 : , ,5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 )6. 洛必达法则(1) 先” 处理”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : 与)(2) 幂指型处理 : ( 如 : )(3) 含变限积分 ;(4) 不能用与不便用7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( 分段函数 )六 . 非常手段1. 收敛准则 :(1)(2) 双边夹 : * , *(3) 单边挤 : * * *2. 导数定义 ( 洛必达 ?):3. 积分和 : ,4. 中值定理 :5. 级数和 ( 数一三 ):(1) 收敛, ( 如) (2) ,(3) 与同敛散七 . 常见应用 :1. 无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): *(1)(2)2. 渐近线 ( 含斜 ):(1)(2) ,( )3. 连续性 : (1) 间断点判别 ( 个数 ); (2) 分段函数连续性 ( 附 : 极限函数 , 连续性 )八 . 上连续函数性质1. 连通性 : ( 注 : , “ 平均” 值 :)2. 介值定理 : ( 附 : 达布定理 )(1) 零点存在定理 : ( 根的个数 );(2) .第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 )一 . 基本概念 :1. 差商与导数 : ;(1) ( 注 : 连续 ) )(2) 左右导 : ;(3) 可导与连续 ; ( 在处 , 连续不可导 ; 可导 )2. 微分与导数 :(1) 可微可导 ; (2) 比较与的大小比较 ( 图示 );二 . 求导准备 :1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注 : )2. 法则 : (1) 四则运算 ; (2) 复合法则 ; (3) 反函数三 . 各类求导 ( 方法步骤 ):1. 定义导 : (1) 与; (2) 分段函数左右导 ; (3)( 注 : , 求 : 及的连续性 )2. 初等导 ( 公式加法则 ):(1) , 求 : ( 图形题 );(2) , 求 : ( 注 : )(3) , 求及 ( 待定系数 )3. 隐式 ( ) 导 :(1) 存在定理 ;(2) 微分法 ( 一阶微分的形式不变性 ).(3) 对数求导法 .4. 参式导 ( 数一 , 二 ) : , 求 :5. 高阶导公式 :; ;;注 : 与泰勒展式 :四 . 各类应用 :1. 斜率与切线 ( 法线 ); ( 区别 : 上点和过点的切线 )2. 物理 : ( 相对 ) 变化率速度 ;3. 曲率 ( 数一二 ): ( 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 )4. 边际与弹性 ( 数三 ) : ( 附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五 . 单调性与极值 ( 必求导 )1. 判别 ( 驻点):(1) ; ;(2) 分段函数的单调性(3) 零点唯一 ; 驻点唯一 ( 必为极值 , 最值 ).2. 极值点 :(1) 表格 ( 变号 ); ( 由的特点 )(2) 二阶导 ( )注 (1) 与的匹配 ( 图形中包含的信息 );(2) 实例 : 由确定点“ ” 的特点 .(3) 闭域上最值 ( 应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 )3. 不等式证明 ( )(1) 区别 : * 单变量与双变量 ? * 与?(2) 类型 : * ; ** ; *(3) 注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . ( 如 : )4. 函数的零点个数 : 单调介值六 . 凹凸与拐点 ( 必求导 !):1. 表格 ; ( )2. 应用 : (1) 泰勒估计 ; (2) 单调 ; (3) 凹凸 .七 . 罗尔定理与辅助函数 : ( 注 : 最值点必为驻点 )1. 结论 :2. 辅助函数构造实例 :(1)(2)(3)(4) ;3. 有个零点有个零点4. 特例 : 证明的常规方法 : 令有个零点 ( 待定 )5. 注 : 含时 , 分家 !( 柯西定理 )6. 附 ( 达布定理 ): 在可导 , , , 使 :八 . 拉格朗日中值定理1. 结论 : ; ( )2. 估计 :九 . 泰勒公式 ( 连接之间的桥梁 )1. 结论 : ;2. 应用 : 在已知或值时进行积分估计十 . 积分中值定理 ( 附 : 广义 ): [ 注 : 有定积分 ( 不含变限 ) 条件时使用 ]第三讲 : 一元积分学一 . 基本概念 :1. 原函数:(1) ; (2) ; (3)注 (1) ( 连续不一定可导 );(2) ( 连续 )2. 不定积分性质 :(1) ;(2) ;二 . 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆 ( 线性性 )3. 凑微法 ( 基础 ): 要求巧 , 简 , 活 ( )如 :4. 变量代换 :(1) 常用 ( 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 ):(2) 作用与引伸 ( 化简 ):5. 分部积分 ( 巧用 ):(1) 含需求导的被积函数 ( 如);(2)“ 反对幂三指”:(3) 特别 : (* 已知的原函数为; * 已知)6. 特例 : (1) ; (2) 快速法 ; (3)三 . 定积分 :1. 概念性质 :(1) 积分和式 ( 可积的必要条件 : 有界 , 充分条件 : 连续 )(2) 几何意义 ( 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 )* ; *(3) 附 : , )(4) 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理 ( 重点 )(1) 可积连续 , 连续可导(2) ; ;(3) 由函数参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 ( 方程 ) 问题3. 公式 : ( 在上必须连续 !)注 : (1) 分段积分 , 对称性 ( 奇偶 ), 周期性(2) 有理式 , 三角式 , 根式(3) 含的方程 .4. 变量代换 :(1) ,(2) ( 如 : )(3) ,(4) ; ,(5) ,5. 分部积分(1) 准备时“ 凑常数”(2) 已知或时 , 求6. 附 : 三角函数系的正交性 :四 . 反常积分 :1. 类型 : (1) ( 连续 )(2) : ( 在处为无穷间断 )2. 敛散 ;3. 计算 : 积分法公式极限 ( 可换元与分部 )4. 特例 : (1) ; (2)五 . 应用 : ( 柱体侧面积除外 )1. 面积 ,(1) (2) ;(3) ; (4) 侧面积 :2. 体积 :(1) ; (2)(3) 与3. 弧长 :(1)(2)(3) :4. 物理 ( 数一 , 二 ) 功 , 引力 , 水压力 , 质心 ,5. 平均值 ( 中值定理 ):(1) ;(2) , ( 以为周期 : ) 第四讲 : 微分方程一 . 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 ( 注 : 应用题中的隐含条件 )2. 变换方程 :(1) 令( 如欧拉方程 )(2) 令( 如伯努利方程 )3. 建立方程 ( 应用题 ) 的能力二 . 一阶方程 :1. 形式 : (1) ; (2) ; (3)2. 变量分离型 :(1) 解法 :(2)“ 偏” 微分方程 : ;3. 一阶线性 ( 重点 ):(1) 解法 ( 积分因子法 ):(2) 变化 : ;(3) 推广 : 伯努利 ( 数一 )4. 齐次方程 :(1) 解法 :(2) 特例 :5. 全微分方程 ( 数一 ): 且6. 一阶差分方程 ( 数三 ):三 . 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四 . 高阶线性方程 :1. 通解结构 :(1) 齐次解 :(2) 非齐次特解 :2. 常系数方程 :(1) 特征方程与特征根 :(2) 非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; ( 附 : 的算子法 )(3) 由已知解反求方程 .3. 欧拉方程 ( 数一 ): , 令五 . 应用 ( 注意初始条件 ):1. 几何应用 ( 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 );注 : 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 );可设3. 导数定义立方程 :含双变量条件的方程4. 变化率 ( 速度 )5.6. 路径无关得方程 ( 数一 ):7. 级数与方程 :(1) 幂级数求和 ; (2) 方程的幂级数解法 :8. 弹性问题 ( 数三 )第五讲 : 多元微分与二重积分一 . 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 ),(1)(2)(3) ( 判别可微性 )注 : 点处的偏导数与全微分的极限定义 :2. 特例 :(1) : 点处可导不连续 ;(2) : 点处连续可导不可微 ;二 . 偏导数与全微分的计算 :1. 显函数一 , 二阶偏导 :注 : (1) 型 ; (2) ; (3) 含变限积分2. 复合函数的一 , 二阶偏导 ( 重点 ):熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数 ( 由方程或方程组确定 ):(1) 形式 : * ; * ( 存在定理 )(2) 微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性 ): ( 要求 : 二阶导 )(3) 注 : 与的及时代入(4) 会变换方程 .三 . 二元极值 ( 定义 ?);1. 二元极值 ( 显式或隐式 ):(1) 必要条件 ( 驻点 );(2) 充分条件 ( 判别 )2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) ( 注 : 应用 )(1) 目标函数与约束条件 : , ( 或 : 多条件 )(2) 求解步骤 : , 求驻点即可 .3. 有界闭域上最值 ( 重点 ).(1)(2) 实例 : 距离问题四 . 二重积分计算 :1. 概念与性质(“ 积” 前工作 ):(1) ,(2) 对称性 ( 熟练掌握 ): * 域轴对称 ; * 奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ; * 重心坐标 ;(3)“ 分块” 积分 : * ; * 分片定义 ; * 奇偶2. 计算 ( 化二次积分 ):(1) 直角坐标与极坐标选择 ( 转换 ): 以“ ” 为主 ;(2) 交换积分次序 ( 熟练掌握 ).3. 极坐标使用 ( 转换 ):附 : ; ;双纽线4. 特例 :(1) 单变量 : 或(2) 利用重心求积分 : 要求 : 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分 ( 数三 )五 : 一类积分的应用 ( ):1. “ 尺寸”: (1) ; (2) 曲面面积 ( 除柱体侧面 );2. 质量 , 重心 ( 形心 ), 转动惯量 ;3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 .第六讲 : 无穷级数 ( 数一 , 三 )一 . 级数概念1. 定义 : (1) , (2) ; (3) ( 如)注 : (1) ; (2) ( 或); (3)“ 伸缩” 级数 : 收敛收敛 .2. 性质 : (1) 收敛的必要条件 : ;(2) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ( 交错级数的讨论 );(3) ;二 . 正项级数1. 正项级数 : (1) 定义 : ; (2) 特征 : ; (3) 收敛( 有界 )2. 标准级数 : (1) , (2) , (3)3. 审敛方法 : ( 注 : , )(1) 比较法 ( 原理 ): ( 估计 ), 如;(2) 比值与根值 : * * ( 应用 : 幂级数收敛半径计算 )三 . 交错级数 ( 含一般项 ): ( )1. “ 审” 前考察 : (1) (2) ; (3) 绝对 ( 条件 ) 收敛 ?注 : 若, 则发散2. 标准级数 : (1) ; (2) ; (3)3. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛 ?)(1) 前提 : 发散 ; (2) 条件 : ; (3) 结论 : 条件收敛 .4. 补充方法 :(1) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2) .5. 注意事项 : 对比; ; ; 之间的敛散关系四 . 幂级数 :1. 常见形式 :(1) , (2) , (3)2. 阿贝尔定理 :(1) 结论 : 敛; 散(2) 注 : 当条件收敛时3. 收敛半径 , 区间 , 收敛域 ( 求和前的准备 )注 (1) 与同收敛半径(2) 与之间的转换4. 幂级数展开法 :(1) 前提 : 熟记公式 ( 双向 , 标明敛域 );;(2) 分解 : ( 注 : 中心移动 ) ( 特别 : )(3) 考察导函数 :(4) 考察原函数 :5. 幂级数求和法 ( 注 : * 先求收敛域 , * 变量替换 ):(1)(2) ,( 注意首项变化 )(3) ,(4) 的微分方程(5) 应用 : .6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 ( 数三 ):(1) 复利 : ; (2) 现值 :五 . 傅里叶级数 ( 数一 ): ( )1. 傅氏级数 ( 三角级数 ):2. 充分条件 ( 收敛定理 ):(1) 由( 和函数 )(2)3. 系数公式 :4. 题型 : ( 注 : )(1) 且( 分段表示 )(2) 或(3) 正弦或余弦*(4) ( )*5.6. 附产品 :第七讲 : 向量 , 偏导应用与方向导 ( 数一 )一 . 向量基本运算1. ; ( 平行)2. ; ( 单位向量 ( 方向余弦 ) )3. ; ( 投影 : ; 垂直 : ; 夹角 : )4. ; ( 法向 : ; 面积 : )二 . 平面与直线1. 平面(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点法式 ):(3) 其它 : * 截距式; * 三点式2. 直线(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点向式 ):(3) 一般方程 ( 交面式 ):(4) 其它 : * 二点式 ; * 参数式 ;( 附 : 线段的参数表示 :)3. 实用方法 :(1) 平面束方程 :(2) 距离公式 : 如点到平面的距离(3) 对称问题 ;(4) 投影问题 .三 . 曲面与空间曲线 ( 准备 )1. 曲面(1) 形式: 或; ( 注 : 柱面)(2) 法向( 或) 2. 曲线(1) 形式, 或;(2) 切向 : ( 或)3. 应用(1) 交线 , 投影柱面与投影曲线 ;(2) 旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ;(3) 锥面计算 .四 . 常用二次曲面1. 圆柱面 :2. 球面 :变形 : , ,,3. 锥面 :变形 : ,4. 抛物面 : ,变形 : ,5. 双曲面 :6. 马鞍面 : , 或五 . 偏导几何应用1. 曲面(1) 法向 : , 注 :(2) 切平面与法线 :2. 曲线(1) 切向 :(2) 切线与法平面3. 综合 : ,六 . 方向导与梯度 ( 重点 )1. 方向导 ( 方向斜率 ):(1) 定义 ( 条件 ):(2) 计算 ( 充分条件 : 可微 ):附 :(3) 附 :2. 梯度 ( 取得最大斜率值的方向 ) :(1) 计算 :;(2) 结论;取为最大变化率方向 ;为最大方向导数值 .第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一 )一 . 三重积分 ( )1. 域的特征 ( 不涉及复杂空间域 ):(1) 对称性 ( 重点 ): 含 : 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2) 投影法 :(3) 截面法 :(4) 其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. 的特征 :(1) 单变量, (2) , (3) , (4)3. 选择最适合方法 :(1)“ 积” 前 : * ; * 利用对称性 ( 重点 )(2) 截面法 ( 旋转体 ): ( 细腰或中空 , , )(3) 投影法 ( 直柱体 ):(4) 球坐标 ( 球或锥体 ): ,(5) 重心法 ( ):4. 应用问题 :(1) 同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力(2) 公式二 . 第一类线积分 ( )1. “ 积” 前准备 :(1) ; (2) 对称性 ; (3) 代入“ ” 表达式2. 计算公式 :3. 补充说明 :(1) 重心法 : ;(2) 与第二类互换 :4. 应用范围(1) 第一类积分(2) 柱体侧面积三 . 第一类面积分 ( )1. “ 积” 前工作 ( 重点 ):(1) ; ( 代入)(2) 对称性 ( 如 : 字母轮换 , 重心 )(3) 分片2. 计算公式 :(1)(2) 与第二类互换 :四 : 第二类曲线积分 (1): ( 其中有向 )1. 直接计算 : ,常见 (1) 水平线与垂直线 ; (2)2. Green 公式 :(1) ;(2) : * 换路径 ; * 围路径(3) ( 但内有奇点 ) ( 变形 )3. 推广 ( 路径无关性 ):(1) ( 微分方程 ) ( 道路变形原理 )(2) 与路径无关 ( 待定 ): 微分方程 .4. 应用功 ( 环流量 ): ( 有向, , ) 五 . 第二类曲面积分 :1. 定义 : , 或( 其中含侧 )2. 计算 :(1) 定向投影 ( 单项 ): , 其中( 特别 : 水平面 ); 注 : 垂直侧面 , 双层分隔(2) 合一投影 ( 多项 , 单层 ):(3) 化第一类 ( 不投影 ):3. 公式及其应用 :(1) 散度计算 :(2) 公式 : 封闭外侧 , 内无奇点(3) 注 : * 补充“ 盖” 平面 : ; * 封闭曲面变形( 含奇点 )4. 通量与积分 :( 有向, , )六 : 第二类曲线积分 (2):1. 参数式曲线: 直接计算 ( 代入 )注 (1) 当时 , 可任选路径 ; (2) 功 ( 环流量 ):2. Stokes 公式 : ( 要求 : 为交面式 ( 有向 ), 所张曲面含侧 )(1) 旋度计算 :(2) 交面式 ( 一般含平面 ) 封闭曲线 : 同侧法向或;(3)Stokes 公式 ( 选择 ):( ) 化为; ( ) 化为; ( ) 化为高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( ) ，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c)2、分段函数不是初等函数。
一类系统积分因子的幂级数求法
奇点量较先进 的一套方法 ， 使待定 积分 因子 得到 可积性条件变得更 容易 。并 由文献 Ｉ］ － 可知 ： １
命 题１ 对系 １， 逐项 统（ 可 确定形 数Ｍ—ｌ ） 式级 ＋∑ ｚ ， 得： 使
一
式 中 ， 是系统 （ ） 原点 的第 个 奇点 量 ， 系１ 与ｍ ＝ １ 统 （ ）的伴随 系统 用 Ｐ ｉｃｒ 形式 级数 法求 得 的原点 的 １ ｏｎ ａ６ 第 个 焦 点量 ｚ 有 代数 等 价关 系 ： ～ ｉ ， ： ｌ ２ … 。 。 ，， １９ ９ ７年 ， ｏａ ｅ 将 可积性 问题 推 广 ， 讨 论 了下列 多项 式 向量场 的 Ｐ： 共振 型 初等奇 点 的可积 Ｚ ｌｄ ｋ 并 一ｑ
性 问题 ：
＋箦一ｗＭ （＋ 删 （ 一 Байду номын сангаас ａ （
Ｉ ＋ （ ） 警一 Ｐ Ｉ ～ Ｑ ， 警一 ＋ （ ）
式中， ｑ ， ∈ｚ， Ｐ与 Ｑ 为 多项式 。 假定 ＞ ｏ ｑ ０ （ ｑ ： ｌ 则 对 任意解 析 向量 场 的 ： ｑ ，＞ ， ， ） ， － 型共振 初 等
Ｍ— ＋∑ ｘ ￣ ｙ
使得 ：
（ ４ ）
（ ＋ １ ） （ （） ５
挚 一 ＋箬一 ｙ （ ａＭ＝ Ｙ ］
—
ｍ ｌ ＝
式 中 ， 为 实变 量 ａ 卢 ， ∈Ｎ； 是 系统 （ ） 点 的第 阶鞍 点量 。 然 ， ３原 显 当所 有 的鞍点 量为零 ， 即 一 ０ ｍ （ ｌ２ … ） ， ， ， 时 系统 （ ） 原点邻 域 可积 ， 此 时 Ｍ 为其积 分 因子 。 ３在 且
数理方程初始条件与边界条件
2
解记为 u1 ( x, t )
（可由达朗贝尔公式给出）
utt a 2u xx f ( x, t ), t 0, x , （C） 解记为 u2 ( x, t ) u ( x,0) 0, ut ( x,0) 0.
由叠加原理可知
u( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ).
• 定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定 解问题，即定解问题=泛定方程+定解条件。
1.3
定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) 系统各点的初位移 u ( x) t 系统各点的初速度 t 0
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
2 2 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 拉普拉斯算子 3 2 2 2 2 x y z
作变量代换
x x at
u a 0
解为：u f ( x at)
f
为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
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文 章 编 号 ： ６ ２ ７ １ （ ０ ８）２ ０ １ 一 ２ １７ — ０ ０ ２ ０ ０ — ０ ０ ｌ
一
大
三 次 系 的 奇 点 量 和 可 积 性 条 件 统
孙静 ， 李娟 ， 茗 萱 方
（ 中南 大学 数 学 与计 算技 术 学 院， 南 长 沙 ，１０ ３ 湖 ４０８ ）
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１ ２
邵 阳学院学报（ 自然科学版）
第５ 卷
ｚ “ ｃ ： 一
其中
＿ 主
㈦，
，
。一 ＝ｆ ＝
定理 ２ ． ５若定理 中的条件 Ｉ Ｖ成立 ， 系统 （ 的 则 １ ）
通 积分 即为 下 述 黎 卡 提 方 程 的 解 ． 方 程 是 该
引理 １ 对 系统（ ， ． ２ １ 可逐项确定形 式级数 Ｍ＝ ＋ ） １
∑ｃ ａＢ使得 ｚ ， ｗ
出
收稿 日期 ： ２０ ８ ０ —１ ０７ －４ ２ 作者简介 ： 孙静 （９ ２ ） 女 ， １ ８ 一 ， 山东枣庄人 ， 士研 究生， 硕 主要从事微分方程定性理论和分支理论方面 的研究．
量和可积性条件
要 的判定量 ． 其公式 的推导及化 简需要进 行大量 但 的计算 ， 如用后继 函数法需要进行大量 的积分 ， 用形
式 级 数 法 求 Ｌａｕ ｏ 数 需 要 解 大 量 的 线 性 方 程 ｙｐ ｎｖ常
｛ 劳
； ｄ ｗ一
其 中 埘 Ｔ ， 为复变量 ，
（ １ ）
Ｓ ＵＮ ｉｇ ｌｎ ，ＬＩ ｕ ｎ ＡＮＧ ｎ －ｘ ａ ａ ，Ｆ Ｊ Ｍｉｇ ｕ ｎ
（ｅａｔｅ ｔｆ Ｄ ｐ ｒ ｎ ｏ 朋 ，ｍ ｍ
Ｓｉ ｃ ｎ ｏ ｐ ｎ ｅｈ ｉｕ，ｅｔ ｌ ｏｔ ｎｖｒ ｔ ｃ ｃ ｎ ｅａｄＣ ｍ ｍｉｇＴｃ ｎ ｅＣ ｎｒ ｕｈＵ ｉ ｓ ｙ， ｅ ｑ ａＳ ｅｉ
由文献［］ ３中的定理得 引理 １１ ． 系统（ 恰有 １ 个基 本 Ｌｅ １ ） 】 ｉ 一不变 量
Ｑ ， ２ 啦 ｈＱ １Ｑ ｏｌ ‰ Ｑ ｎ ａＩ ｌ ａ 盘 ， ．
女【 ｃ２ ａ ａ， 知 ２ ， ， ￣ ｍ（ 喁 ６ ｂ ， ‘ 。 ，
得 出了三次系统可扰动 出 １ ２个极限环的结论． 是 这 目前关 于三 次系统 最好 的理论 ． 本文 采 用文 ［ 和 文 ３ ］ ［］ ４中的理论 和方法研究 了一类特 殊三次系统 的奇 点
，１ ０ ３ ４０８
Ａｂｔ ｃ： Ｉ ｉ ｐｐｒ ｙｍｅｎ ｇｂａ ｐ ｒ ｏ ｅｓ ｇｌｒ ｏ ｔ ｕｎｉ ｆ ￣ ｎａｄｔｅｅｎ ｉｏｉ ｏ ｉ ｅｒｂｌ ｓｒ ｔ ｎｔ ｓ ａｅ， ａ ｓ ｆ ｌ ｒ ｃｏｅａ ｎｔ ｎｕａ ｉ ａ ｔｙ ｉ ｏｄｆ ｎ ｆｎ ｇａｉｔ ａ ｈ ｂ ｏａ ｅ ｉ ｉ ｔ ｈ ｉ ｐｎｑ ｔ ｏ ｏｇ ｎ ｈ ｉ ｉ ｎ ｔ ｉ ｙ
ｆｒ ｌ ｓ ｆ ｕ ｉ ｓ ｓ ｍ ｒ ｔ ｄｅ ； ｅｒｓ ｌ ｏ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇｅｅ ｅ ａ ｉ ｉ ｉ ｖ ｒ ｂ ｅ ｌｏｇｖ ｎ ｏ ｃａ ｓｏ ｂ ｃ ｙ ｔ ａ ｅｓ ｉｄｔ ｕ ｔ ｆ ｏ ｒｓ ｏ ｄ ｎ ｌｖ ｎ ｂ ｓｃＬ ａｉ ｌｓｉ ａｓ ｉ ｅ ． ａ ｃ ｅ ｕ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ａ ｓ
ｇ＝ ， ２３为复系数． Ｏ１ ， ， ）
组．焦点 量或常数 的算 法 以及计 算机实 现的 问题 吸
引 了众多学 者 的关 注． １ 用代 数等 价 的方式 得 文［】 利 出了一套线 性递推公式 ，只需 以系统的系数为符 号 进行有 限次 的加减乘 除四则 运算 ，避免 了经典方 法 中复杂 的积分与解 方程运算 ．由单 个奇 点量扰动 出 极 限环 的问题 。 目前 已有很 多较好的结果 ． 有关这方 面 的研 究成 果均 收 录在文 ［ 中． 培和 韩茂安 最早 ２ 喻 ］
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｃ ｂ ｃｓ ｓｅ ｓ ｇ ｌｒ ｏ ｎ ｕ ｎ ｔ ； ｎ ｉ ｏ ｆ ｎ ｅ ｒ ｉ ｔ ｙ ｒｓ ｕ ｉ ｙ ｔ ｍ； ｉ ｕ ａ ｉ ｔ ａ ｔ ｃ ｄｔ ｎｏ ｔｇａ ｌ ｙ ｎ ｐ ｑ ｉ ｙ ｏ ｉ ｉ ｂ ｉ
１问题 的提 出
在定性理论 与分支理论 中 ，焦点量是 一个很重
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第 ５卷
第 ２期
邵 阳 学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＳｈ ｏ ａ ａ Ｕｎｖ ｒｉ （Ｊｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｅｄｔ ｎ ｏ ｒａ ０ ａ ｖ ｎ ｉｅｓｔ 卜ａｕ ａ ｅ ｃ ｉｏ ｖ Ｓｃ ｉ
２０ ０ ８年 ６月
疗 ｔ¨
是 系 统 的第 ｍ个 奇 点 量 ．
利用 上 述 引 理在 计 算 机 上 运 算 化 简得
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定 理 １１ 次 系 统 （ 原 点 的前 ６个奇 点量 是 ．三 １ ）
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Ｔ ｅＳｎ ｕａ ｏｎ ａ ｔ ｙｏ ｉｉ ｎ ｅ ｎ ｉ ｏ ｉ ｆ ｎｅ ｒ ｂｌｙｆｒａＣ ａｓ ｈ ｉｇ ｌｒＰ ｉｔ Ｑｕ ｎｉ ｆ ｇｎａ ｄｔ ｄｔ ｎｎｏ ｔｇ ａ ｉｔ ｌｓ ｔ Ｏｒ ｈ Ｃｏ ｉ Ｉ ｉ ｏ
ｏ ｂ ｃＳ ｓｅ ｆＣｕ ｉ ｙ ｔｍ
摘
要 ：采 用代 数运 算方 法研 究 了一 类 三 次 系统的 原 点 奇点 量和 可 积性 条 件 ，并 给 出 了该 系统 的 １ １个基
本 Ｌ 一不 变量 ． ｅ ｉ
关 键 词 ： 次 系统 ： 点 量； 三 奇 可积性 条 件
中 图 分 类 号 ： １ ５２ ０ ７ ． 文献标识 码 ： Ａ