高考一轮练习附答案2----基本函数和导数

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全国百所名校高考数学一轮复习试卷：函数与导数(详解答案)

全国百所名校高考数学一轮复习试卷专题四：函数与导数满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin f x x =的导数为（）A ．()'sin cos f x x x =B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =2．已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'C ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'D ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<3．设函数()f x 可导，则()()11lim3x f f x x∆→-+∆∆等于（）A ．()1f -'B ．()31f 'C ．()113f -' D ．()113f ' 4．函数3()31f x x x =-+，[3,0]x ∈-的最大值.最小值分别是（） A ．3,－17 B ．1,－1 C ．1,－17 D ．9,－195．函数()21xxf x x =++的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．6．函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足2()()0f x f x x '+<，则不等式(2020)(2020)5(5)52020x f x f x ++<+的解集为（） A ．{}20202015x x -<<- B ．{}2015x x <- C ．{}20200x x -<<D ．{}2015x x >-7．若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（） A．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B．13ln ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C．3ln 4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦8．设函数()1xxe f x e=-，下列说法中正确的是（） A ．()f x 的单调递增区间为(,0)(0,)-∞+∞B ．()f x 图象的对称中心为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()f x 图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 的值域为(1,0)-9．若对任意()0,x ∈+∞，不等式22ln ln 0x e a a a x --≥恒成立，则实数a 的最大值为（） AB ．eC ．2eD ．2e10．已知函数()21(1)2xxf x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） B ．（﹣∞，0]∪[13，+∞）。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可；对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得．【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<．令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内；当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根，由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>，所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>，所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误；对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln x a x +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=，则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m e x -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x y e -=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x m e -=-的两个根，即y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x x y e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x x y e-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x ∈时，11122x x x x x e ---<-<-，由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--，从而()11112,1x x --∈--，解得11,12x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭，所以选项AD 正确，选项C 错误，又121310x x x x -=<<.故选：ABD .本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

2019版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练【含答案】

第二章函数与导数第1课时函数及其表示一、填空题1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x ＋1；⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．答案：0解析：根据题设条件，∵ π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.3. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________．答案：－14解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.4. 如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________．答案：1x －1解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，∴ f(x)＝1x －1.5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：答案：6E6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x 2x 2(x≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________．答案：15解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝14.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________．答案：－2解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），－x ＋1（0<x≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为______________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－12.② 当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时，f(x)＝－x ＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<32，则0<x≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1]． 9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前 3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式为____________________．答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t∈[1，2)解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时间t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、解答题10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．解：设AB ＝2x ，CD ︵＝πx ，于是AD ＝1－2x －πx2，则y ＝2x·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，1－2x －πx 2＞0，得0＜x ＜1π＋2，∴ 函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0， (1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.12. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1) 当t ＝4时，求s 的值；(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2) 当0≤t≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t－20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].13. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，x －3，x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞），若f(f(x))＝1成立，求x 的取值范围．解：因为f(f(x))＝1，所以0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.① 由0≤f(x)≤1，可得0≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x－3≤1，x<0或x>1，所以0≤x≤1或3≤x≤4；② 由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，所以x －3＝4，∴ x ＝7. 综合①②知，x 的取值范围是[0，1]∪[3，4]∪{7}．点评：由于f(x)是分段函数，所以在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要根据分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．第2课时函数的定义域和值域一、填空题1. 函数f(x)＝－x 2＋x ＋6x －1的定义域是______________．答案：[－2，1)∪(1，3]解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x ≠1，所以定义域为[－2，1)∪(1，3]．2. 已知f(x)＝1x ＋1，则函数f(f(x))的定义域是________．答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)解析：f(f(x))＝1f （x ）＋1＝11x ＋1＋1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x ≠－2.所以定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析：令t ＝f(x)，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1t 知，F (x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103，所以函数F(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.4. 函数y ＝4－3＋2x －x 2的值域是__________________．答案：[2，4]解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2＋4≤4，∴ 0≤－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－－（x －1）2＋4≤4， ∴ 所给函数的值域为[2，4]．5. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.因为x ≥1，所以y≤0. 6. 函数y ＝|x|x＋x 的值域是____________________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，x －1，x<0可得值域．7. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2)＝2，所以f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2.8. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，x ，|x|<1，g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是________．答案：[0，＋∞)解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，所以g(x)的值域只能为[0，＋∞)．二、解答题9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1； (2) y ＝x ＋1－x －1.解：(1) 令x －1＝t ，则t≥0，且x ＝t 2＋1≥1，所以y ＝2x －x －1＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t≥0，所以y≥158，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. (2) y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减函数，所以其值域为(0，2]．点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值范围．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，14]．令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，则f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13，613]，即函数f(x)的值域为[13，613]．11. 函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a∈R )．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴ y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1x ≥22x·1x ＝22，当且仅当x ＝22时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[22，＋∞)．(2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝2x 2－5x ，∵ g(x)＝2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴ 当x∈(0，1]时，g (x)∈[－3，0)．而g(x)＝2x 2－5x>a ，∴ 只要a<－3即可，∴ a的取值范围是(－∞，－3)．12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b 是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有等根． (1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，ax 2＋（b －1）x ＝0有等根.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，（b －1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，∴ f(x)＝－12x 2＋x. (2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ，由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，∴ 2n ≤12，即n≤14.而函数f(x)＝－12x 2＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，∴ 函数f(x)＝－12x 2＋x 在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]． 13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a2.当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤a 2；当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·MN＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2；当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2＝－12x 2＋2ax －5a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a≤x≤2a .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2，12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2，－12x 2＋2ax －54a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2≤x ≤2a .其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34a 2.第3课时函数的单调性一、填空题1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号)① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2－3x ；③ f(x)＝－1x ＋1；④ f (x)＝－|x|.答案：③解析：分别画出四个函数的图象易知y ＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上递增．2. 若函数f(x)＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围为____________．答案：(1，2)解析：由题意得k 2－3k ＋2<0，∴ 1<k<2.3. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为________．答案：[3，＋∞)解析：∵ t＝x 2－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值范围是____________．答案：0＜m ＜32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，解得0＜m ＜32.5. 已知y ＝x 2＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．答案：a≥－2解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a≤4，a ≥－2.6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，x ＋3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，3x －1，x ∈[2，＋∞）.画出函数的图象容易得出其在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上为单调减函数．7. 已知函数f(x)＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a≥2，解得0<a≤14.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.8. 已知f(x)＝xx －a(x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，1]解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝－a （x 1－x 2）（x 1－a ）（x 2－a ），因为x 1<x 2，且a>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立．又x∈(1，＋∞)，所以a≤1.综上，实数a 的取值范围是0<a≤1.9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－2，1)解析：由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2－4，x ≥0，－（x －2）2＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.二、解答题10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0，y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1），∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0，∴ x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2. ∴ y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．11. 讨论函数f(x)＝axx 2－1(a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．解：设－1<x 1<x 2<1，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. ∵ －1<x 1<x 2<1，∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴ 函数f(x)在(－1，1)上为减函数．12. 已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f(2)＝2，解得a ＝25.13. 已知函数f(x)对任意的m ，n∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1) 求证：f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2＋a －5)<2.(1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵ 当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．(2) 解：∵ m，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴ f(1)＝2，∴ f(a 2＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，∴ a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时函数的奇偶性及周期性一、填空题1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________．答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＞0，－2a ＜0.得a ＝3.2. 若函数f(x)＝x ＋ax 2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．答案：f(x)＝xx 2＋1解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0， ∴ a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x 2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b ，∴ b ＝0.∴ f(x)＝x x 2＋1. 3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：x(|x|－2)解析：设x≤0，则－x≥0，∵ 当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)＝－(x 2＋2x)，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥0），－x 2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x∈R )． 4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________．答案：27解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．答案：1解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上都是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴ －f(1－a)＝f(a －1)，∴ 原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜12①.又f(x)的定义域为(－1，1)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，解得0＜a ＜23 ②.由①和②得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 7. 已知f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．答案：1解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1.8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：① f(x)是周期函数；② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤解析：∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确． ∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：{x|x ＞4}解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0，即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1.所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．答案：g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点，∴ y ＝x 3＋2x 2①，P 关于点(2，1)的对称点为Q(x′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x′2＝2，y ＋y′2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－x′，y ＝2－y′，代入①得2－y′＝(4－x′)3＋2(4－x′)2，化简得y′＝(x′)3－14(x′)2＋64x′－94，即g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94. 二、解答题11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴ 函数y ＝f(x)是R 上的减函数．(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x∈[3，6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴ 当x∈[3，6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴ 当x∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴ 当x∈[0，3]时，f(x)＝－13x ，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x ，x ∈[0，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2－3，x ∈[－6，－3），－13x ，x ∈[－3，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3) 如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1) ∵ 对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴ 令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.(2) f(x)为偶函数．令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴ f(－1)＝12f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f (16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴ x 的取值范围是{x ⎪⎪⎪－73≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时指数、对数运算一、填空题1. 设a≥0，计算(36a 9)2·(63a 9)2的结果是________．答案：a 2解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数可以直接约分．2. 化简32－6227＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232－3－（102）2－42的结果是________．答案：9解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝3－827＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1132－3－216＝－23＋113＋6＝9. 点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ：若a>0，则3a>0；若a<0，则3a<0.但对根指数为偶数的根式，如a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．3. log 29×log 34＝__________．答案：4解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4. 方程1＋3－x1＋3x ＝3的解是________．答案：x ＝－1解析：3－x ·3x ＋3－x 1＋3x＝3－x＝3，x ＝－1.5. 若f(10x)＝x ，则f(5)＝________．答案：lg 5解析：由题意得10x＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.6. 设f(x)＝4x 4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________．答案：5解析：∵ f(x)＝4x 4x ＋2＝1－24x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－24x ＋2＋1－241－x ＋2＝2－24x ＋2－241－x ＋2＝2－24x＋2－4x 2＋4x ＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值范围是____________．答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5，∴ 2<a<5且a≠3.8. 已知a 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232(a ＞0)，则log 23a ＝________．答案：3解析：由a 23＝49得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝[(23)2]32＝(23)3，所以log 23a ＝3.9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.答案：c<a<b解析：a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则55＝1052，2＝1025，∴ 55< 2.又2＝68，33＝69，∴ 33> 2.故c ＜a ＜b.二、解答题10. 已知a ＝27，b ＝52，求a 32b2－9b 43a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43·b3a 34＋3b 53的值．解：由于a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1<3b 23，∴ 原式＝a 32－9b 103（3b 23－a 34b －1）2·ba 34＋3b 53＝（a 34＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1）（a 34＋3b 53）＝（a 34－3b 53）b 3b 23－a 34b－1＝－b 2＝－50.11. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3) （a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）a 4－a －4. 解：(1) (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3) （a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）a 4－a－4＝（a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）5×3×7＝535. 12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以原式可化为2t －2t ＋3＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值，最小值为－4.13. 设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ×log b C ＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1log C a ＋1log C b ＝3，1log C a ×1log C b＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ×log C b ＝1.所以(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32－4＝5，所以 log C a －log C b ＝± 5.又log a b C ＝1log Ca b＝1log C a －log C b ＝±55，所以log a bC 的值为±55.点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系是解决本题的关键．第6课时指数函数一、填空题1. 函数f(x)＝2x－4的定义域为__________．答案：[2，＋∞)解析：由2x－4≥0，得x≥2.2. 函数y ＝3－|x －2|的单调递增区间是__________．答案：(－∞，2]解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]就是所给函数的单调增区间．3. 函数y ＝e x－1e ＋1的值域是________．答案：(－1，1)解析：y ＝e x－1e x ＋1，则e x＝1＋y 1－y>0，则－1<y<1.4. 若指数函数y ＝a x在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________．答案：5±12解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)；若a ＞1，则a－a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上，a ＝5±12. 5. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围是_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x的图象关于__________对称．答案：原点解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x，(x ，y )→(－x ，－y)，即关于原点对称．7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，所以应有3a ＋25－a >1，解得34<a<5.8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a ＞0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．答案：3或13解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.当0＜a ＜1时，∵ －1≤x≤1，∴ a ≤t≤1a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a 2＋2a－1＝14，即1a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－15(舍去)；当a ＞1时，∵ －1≤x≤1，∴ 1a≤t ≤a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a 2＋2a －1＝14，即a2＋2a －15＝0，∴ a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)时a 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：由f(f(a))＝2f(a)可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1，解得a≥23.二、解答题10. 求函数y ＝4x －2·2x＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．解：令t ＝2x ，则t∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t∈[1，4]．∵ y＝t 2－2t ＋5在区间t∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.11. 已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)．(1) 判断f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1， f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x＋12x －1＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(2) 证明：f(x)＝x 2·2x＋12x －1，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x－1<0，即f(x)>0，∴ f(x)>0.12. 已知9x －10·3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12时，y min ＝1，此时，x ＝1；当t ＝1时，y max ＝2，此时，x ＝0.13. 已知函数f(x)＝2x(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数． (1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x，得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x，－g （x ）＋h （x ）＝2－x，解得g(x)＝12(2x －2－x )，h(x)＝12(2x ＋2－x)．(2) 由2a·g(x)＋h (2x)≥0，得a(2x －2－x )＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为单调减函数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a≥－1712.第7课时对数函数一、填空题1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)答案：①解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)首先改为y ＝log 1ax(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域首先排除②，当a>1时，0<1a <1，函数y ＝a x单调递增，y ＝log 1ax 单调递减，①中图象正确，③中图象错误，当0<a<1时，1a>1，函数y ＝a x单调递减，y ＝log 1a x 单调递增，④中图象错误．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1.3. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 解析：由－x 2＋22≤22，得f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.4. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为__________．答案：(0，6]解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤12，即0＜x≤6，故所求的定义域为(0，6]．5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)答案：③解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.6. 已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值范围是____________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要想满足题意，则t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k≥0，解得k ≥1或k≤0.7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．答案：{x|x ＞－1}解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1.可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，2x ＋3＞0，1＋x ＜2x ＋3，解得x ＞－1.则不等式的解集为{x|x ＞－1}．8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值范围是________．答案：(－1，0)解析：∵ f (x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x1－x<1，∴ x ∈(－1，0)．9. 若函数y ＝log 2(x 2－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：[2－23，2]解析：令u ＝g(x)＝x 2－ax －a ，∵ 函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函数，∴ u ＝g(x)＝x2－ax －a 在区间(－∞，1－3)上是单调减函数，且满足u>0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1－3，g （1－3）≥0，解得2－23≤a ≤2.二、解答题10. 已知函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.(2) 因为f(x)的定义域为R ，所以y ＝x 2－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3＜a ＜3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，即1≤a<2. 所以实数a 的取值范围是[1，2)．11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1)．如果对于任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．解：因为f(x)＝log a x ，所以y ＝|f(x)|的图象如图．由图知，要使x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f(x)|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，即0<a≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，∴ y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵ 函数f(x)的定义域为[1，9]，∴ 要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9， ∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1，∴ 6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴ 当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)取最大值13.13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0，即x ＋11－x>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时二次函数与幂函数一、填空题1. 函数y ＝x 2＋bx ＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范围是____________．答案：[0，＋∞)解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b2≤0，故b ≥0.2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案：13解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.3. 已知n∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n 的值为________．答案：－1或2解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1，解得0＜a≤1，所以0≤a≤1.5. 已知a ＝x α，b ＝x α2，c ＝x 1α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．答案：c<a<b解析：∵ α∈(0，1)，∴ 1α>α>α2.又∵ x∈(0，1)，∴ x 1α<x α<x α2，即c<a<b.6. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：因为函数y ＝x 2－3x －4即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32，其最小值为－254，并且当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则32≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －2(m∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．答案：1解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2－2m －2<0，又m∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3为奇函数，故m ＝1.8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC⊥BC，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC⊥BC，利用斜率关系得2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12. 二、解答题10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域．解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数， ∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 令1－2x ＝t ，则t∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋12，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点．(1) 求m 的取值范围；(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，即m≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m≤－59，即当m ≤－59且m≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点．综上可知，当m≤－59时，此函数的图象与x 轴总有交点．(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵ 1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴ －2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x)≥18，求实数a 的值．解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤16，得－1≤a≤1，函数f(x)的对称轴是直线x ＝a 3.当－1≤a<34时，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上单调递减，而f(x)≥18，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a≥1，与－1≤a<34矛盾，即不存在；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a≥1，又34≤a ≤1，故a ＝1.综上，a ＝1.13. 设f(x)＝－14x 2＋x ＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫k∈R ，k ≤32，是否存在实数m ，n(m<n)，使得当x∈[m，n]时，f(x)的值域恰好为[2m ，2n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由．解：f(x)＝－14(x －2)2＋2k ＋1，当x∈R 时，f(x)max ＝2k ＋1，从而2n≤2k＋1≤4，故n≤2.f(x)在[m ，n]上单调递增，从而⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －8k ＝0，n 2＋4n －8k ＝0.显然m ，n 是关于t 的方程t 2＋4t －8k ＝0的两个根．Δ＝16＋32k ，(1) 当Δ<0，即k<－12时，方程无实根；(2) 当Δ＝0，即k ＝－12时，方程有两个相等实根，即m ＝n 与m<n 矛盾；(3) 当Δ>0，即32≥k>－12时，方程有两个不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.第9课时函数的图象一、填空题1. 已知f(x)的图象恒过(1，1)点，则f(x －4)的图象恒过____________．答案：(5，1)解析：(解法1)由f(x)的图象恒过(1，1)点知f(1)＝1，即f(5－4)＝1，故函数f(x －4)的图象恒过点(5，1)．(解法2)f(x －4)的图象可由f(x)的图象向右平移4个单位而得到，(1，1)向右平移4个单位后变为(5，1)．。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题练习题及答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题练习题及答案一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误；对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．下列不等式正确的有（）A 2ln 3、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确；故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.3．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知()2sin x f x x x π=--.（）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.7．下列命题正确的有（） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

高三一轮复习导数全章练习(5套)+易错题+答案

第三章导数第1节导数的概念及其几何意义一、选择题1.已知f(x)=x(2 017+ln x),若f′(x0)=2 018,则x0等于( B )(A)e2 (B)1 (C)ln 2 (D)e解析:因为f′(x)=2 018+ln x,由f′(x0)=2 018知,ln x0=0,所以x0=1.2.曲线y=1-在点(-1,-1)处的切线方程为( A )(A)y=2x+1 (B)y=2x-1(C)y=-2x-3 (D)y=-2x-2解析:因为y′=,所以曲线在点(-1,-1)处的切线的斜率为k=2, 所以所求的切线方程为y=2x+1.3.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则P点处的切线的倾斜角α的取值范围为( C )(A)[ 0,)∪[,π)(B)[,π)(C)[0,)∪[,π)(D)（,］解析:因为y′=3x2-≥-,即tan α≥-,所以α∈[0,)∪[,π).4.直线y=x+b与曲线y=-x+ln x相切,则b的值为( B )(A)2 (B)-1 (C)- (D)1解析:设直线y=x+b与曲线y=-x+ln x相切于点P（x0,-x0+ln x0）,因为函数y=-x+ln x的导数为y′=-+,所以根据条件有-+=,解得x0=1,即P（1,-）,代入直线y=x+b,得b=-1.5.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m的值为( D ) (A)-1 (B)-3 (C)-4 (D)-2解析:由题知直线l与函数f(x)的图象相切于点(1,0),因为f′(x)=,所以直线l的斜率为1,直线l的方程为y=x-1.因为直线l与函数g(x)的图象相切,知方程x-1=x2+mx+,即x2+2(m-1)x+9=0有两相等实根,所以Δ=4(m-1)2-36=0,解得m=-2或m=4,因为m<0,所以m=-2.6.设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln (2x)上,则|PQ|的最小值为( B )(A)1-ln 2 (B)(1-ln 2)(C)1+ln 2 (D)(1+ln 2)解析:因为函数y=e x与y=ln (2x)互为反函数,图象关于直线y=x对称,所以|PQ|的最小值等价于点P到直线y=x的距离最小值的两倍.当过点P的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最小.设P(x0,y0),根据y′=e x可知=1,即x0=ln 2,所以点P(ln 2,1)到直线y=x的距离d==(1-ln 2),故|PQ|的最小值为(1-ln 2).二、填空题7.已知函数f(x)=f′（）cos x+sin x,则f（）的值为. 解析:易知函数f(x)=f′（）cos x+sin x的导数为f′(x)=-f′（）sin x+cos x,令x=,得f′（）=-f′（）+,解得f′（）=-1,所以f(x)=(-1)cos x+sin x,从而f（）=(-1)×+=1.答案:18.设a∈R,函数f(x)=e x-a·e-x的导函数y=f′(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线斜率为,则切点的横坐标为.解析:易知函数f(x)=e x-a·e-x的导函数为f′(x)=e x+a·e-x,因为y=f′(x)是奇函数,所以f′(-x)+f′(x)=0,即e x+a·e-x+e-x+a·e x=0,得(a+1)(e x+e-x)=0,所以a=-1,从而f(x)=e x+e-x,f′(x)=e x-e-x,令e x-e-x=,得x=ln 2,即切点的横坐标为ln 2.答案:ln 29.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.解析:易知f′(x)=,所以切线的斜率k=f′(-1)=-4,所以切线方程为y=-4x-2,且其与x轴,y轴的交点坐标分别为（-,0）,(0,-2),所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S=××2=.答案:10.设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.解析:因为函数y=e x的导数为y′=e x,所以它在点(0,1)处的切线斜率为1,设点P的坐标为(x0,y0)(x0>0),由y=的导数为y′=-知-=-1,所以x0=1,从而点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)11.已知函数f(x)=sin x+e x+x2 017,令f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,f n+1(x)=f n′(x),则f2 018(x)= .解析:因为f′(x)=cos x+e x+2 017x2 016,即f1(x)=cos x+e x+2 017x2 016,所以f2(x)=-sin x+e x+2 017×2 016x2 015,…每隔4个数前面的两个结果循环,后面的x2 017到f2017(x)时成为常数,则f2018(x)时为0,所以f2 018(x)=-sin x+e x.答案:-sin x+e x12.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线 y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b等于.解析:求得(ln x+2)′=,[ln(x+1)]′=.设曲线y=ln x+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2),则k==,所以x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k==2,所以x1==,y1=ln +2=2-ln 2,所以b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.答案:1-ln 2三、解答题13.求下列函数的导数.(1)y=x·tan x;(2)y=.解:(1)y′=tan x+x（）′=tan x+x·=tan x+.(2)y′==.14.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条互相垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.解:(1)因为f′(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,所以切线斜率的取值范围为[-1,+∞).(2)设两切点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),由条件,得f′(x1)f′(x2)=-1.所以(-4x1+3)·(-4x2+3)=-1,即-4x1+3=-=-.因为(x2-2)2-1∈[-1,0)∪(0,+∞),所以-∈(-∞,0)∪[1,+∞).由-4x1+3<0或-4x1+3≥1,得x1∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).15.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称直线l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?并求出该公切线的方程;(2)若C1和C2有两条公切线,证明:相应地两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x2+2x的导数为y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,+2x1)的切线方程是y-(+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即y=(2x1+2)x-.①函数y=-x2+a的导数为y′=-2x,曲线C2在点Q(x2,-+a)的切线方程是y-(-+a)=(-2x2)(x-x2),即y=(-2x2)x++a.②如果直线l是过点P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程,所以消去x2,得方程2+2x1+1+a=0.由于C1和C2有且仅有一条公切线,所以Δ=0时,解得x1=-,此时点P与Q重合,即当a=-时,C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-.(2)证明:由(1)可知,当a<-时C1和C2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中点P在C1上,点Q在C2上,则有所以线段PQ的中点为（-,）.同理,另一条公切线段P′Q′的中点坐标也是（-,）.所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.第2节函数的单调性与导数一、选择题1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是( D )(A)(-∞,2) (B)(0,3) (C)(1,4) (D)(2,+∞) 解析:f′(x)=e x+(x-3)e x=e x(x-2),由f′(x)>0得x>2,即单调递增区间为(2,+∞).2.已知函数f(x)=ln x++ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( B )(A)（ -∞,-］(B) ( -∞,-］∪[0,+∞)(C) (-∞,0)∪[,+∞）(D) (-∞,0)∪（,+∞）解析:f′(x)=-+a=.若f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数,则f′(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即ax2+x-1≥0在[2,+∞)上恒成立,只需a≥（-）max,所以a≥0;若f(x)在[2,+∞)上是单调递减函数,则f′(x)≤0在[2,+∞)上恒成立,即ax2+x-1≤0在[2,+∞)上恒成立,只需a≤（-）min,所以a≤-.综上,a≤-或a≥0.3.若0<x1<x2<1,则( C )(A)->ln x2-ln x1(B)-<ln x2-ln x1(C)x2>x1(D)x2<x1解析:设f(x)=e x-ln x,x∈(0,1),则f′(x)=e x-,由函数y=e x及y=的图象知,存在x0∈(0,1),使f′(x0)=0,且f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不确定,即选项A和B都不对;设g(x)=,x∈(0,1),则g′(x)=>0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x1)<g(x2),即x2>x1,所以选项C正确,故选C.4.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )(A)[-5,-3] (B) [-6,- ](C)[-6,-2] (D)[-4,-3]解析:由ax3-x2+4x+3≥0得ax3≥x2-4x-3.当x=0时,符合;当0<x≤1时,a≥--+,设t=∈[1,+∞),构造函数g(t)=-3t3-4t2+t,有g′(t)=-9t2-8t+1<0,此时g(t)max=g(1)=-6,所以a≥-6;当-2≤x<0时,a≤--+,设t=∈（-∞,- ],由g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),所以g(t)在(-∞,-1]上单调递减,在（-1,- ]上单调递增,所以此时g(t)min=g(-1)=-2,所以a≤-2.综上实数a的取值范围是[-6,-2].5.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R,都有f′(x)>f(x)成立,则( C )(A)3f(ln 2)>2f(ln 3)(B)3f(ln 2)=2f(ln 3)(C)3f(ln 2)<2f(ln 3)(D)3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定解析:由已知,设F(x)=,则F′(x)=,由条件f′(x)>f(x)知,F′(x)>0,所以F(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以F(ln 3)>F(ln 2),即>,即3f(ln 2)<2f(ln 3),所以选项C正确,故选C.6.已知函数f(x)=x3-tx2+3x,若对于任意的a∈[1,2],b∈(2,3],函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则实数t的取值范围是( D ) (A)(-∞,3] (B)(-∞,5] (C)[3,+∞) (D)[5,+∞)解析:因为f′(x)=3x2-2tx+3,为使对于任意的a∈[1,2],b∈(2,3],函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,只需函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,所以3x2-2tx+3≤0在[1,3]上恒成立,即t≥(x+),因为函数y=x+在[1,3]上单调递增,故y=x+的最大值为,所以实数t的取值范围是[5,+∞).二、填空题7.若函数f(x)=ln (ax+1)+(x≥0,a>0)的递增区间是[1,+∞),则实数a的值是.解析:因为f′(x)=-=,且f′(x)≥0的解集为[1,+∞),即不等式ax2+a-2≥0的解集为[1,+∞),因为a>0,解得x≥(0<a≤2),所以=1,解得a=1.答案:18.函数f(x)=ln +ln 的递减区间是.解析:由>0且>0得函数的定义域为(0,2),因为f(x)=ln 2-ln x-ln (2-x),所以f′(x)=-+=,由f′(x)≤0得,0<x≤1,即f(x)的递减区间为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)<,则不等式f(x2)<+的解集为.解析:构造函数F(x)=f(x)-x-,则F′(x)=f′(x)-<0,所以F(x)在R上单调递减,又f(1)=1,所以F(1)=f(1)--=0,所以当x<1时,F(x)>0;当x>1时,F(x)<0.而不等式f(x2)<+等价于F(x2)<0=F(1),所以x2>1,得x<-1或x>1,所以不等式f(x2)<+的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)10.设f(x)=-x3+x2+2ax.若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是.解析:因为f′(x)=-x2+x+2a,则f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,等价于f′(x)>0在(,+∞)上有解,即2a>x2-x在(,+∞)上有解,因为函数g(x)=x2-x在(,+∞)上单调递增,所以g(x)>g()=-,从而实数a的取值范围是(-,+∞).答案:(-,+∞)11.已知函数f(x)=e x ln x-ae x(a∈R)在(0,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是.解析:因为f′(x)=e x（ln x+-a）(x>0).若f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,则f′(x)≥0恒成立,即ln x+-a≥0,只需a≤(ln x+)min.若f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,则f′(x)≤0恒成立,即ln x+-a≤0,只需a≥(ln x+)max.设g(x)=ln x+,则g′(x)=-=,可得g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=1,无最大值,所以a≤1.答案:(-∞,1]12.(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;④f(x)=x2+2.解析:设g(x)=e x f(x),对于①,g(x)=e x·2-x(x∈R),g′(x)=e x·2-x-e x·2-x·ln 2=(1-ln 2)·e x·2-x>0,所以函数g(x)在R上单调递增,故①中f(x)具有M性质.对于②,g(x)=e x·3-x(x∈R),g′(x)=e x·3-x-e x·3-x·ln 3=(1-ln 3)·e x·3-x<0,所以函数g(x)在R上单调递减,故②中f(x)不具有M性质.对于③,g(x)=e x·x3(x∈R),g′(x)=e x·x3+e x·3x2=(x+3)·e x·x2,当x<-3时,g′(x)<0,g(x)单调递减,故③中f(x)不具有M性质.对于④,g(x)=e x·(x2+2)(x∈R),g′(x)=e x·(x2+2)+e x·2x=(x2+2x+2)·e x=[(x+1)2+1]·e x>0,所以函数g(x)在R上单调递增,故④中f(x)具有M性质.综上,具有M性质的函数的序号为①④.答案:①④三、解答题13.(2016·全国Ⅱ卷节选)讨论函数f(x)=e x的单调性.解:函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),f′(x)=≥0,当且仅当x=0时,f′(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增.14.已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·[f′(x)+]在区间(t,3)上总不是单调函数,求实数m的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=(1-x).①当a=0时,函数f(x)=-3是常数函数,没有单调区间;②当a>0时,由f′(x)>0得0<x<1;由f′(x)<0得x>1.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间是(1,+∞).③当a<0时,由f′(x)>0得x>1;由f′(x)<0得0<x<1.所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间是(0,1).(2)由f′(2)=1得a=-2,所以f′(x)=-(1-x),所以g(x)=x3+(+2)x2-2x,所以g′(x)=3x2+(m+4)x-2,因为g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,所以g′(x)=0在(t,3)有实根,且不为重根.因为t∈[1,2]且g′(0)=-2<0,所以由g′(3)>0得,m>-,由g′(t)<0对t∈[1,2]恒成立得3t2+(m+4)t-2<0, 即m+4<-3t+,又函数y=-3t+在t∈[1,2]上单调递减,所以y min=-5,所以m<-9.综上实数m的取值范围是(-,-9).第3节函数的极值与最值一、选择题1.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于( D )(A)-4 (B)-2 (C)4 (D)2解析:f′(x)=3x2-12,所以x<-2时,f′(x)>0,-2<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0,所以x=2是f(x)的极小值点.2.下列哪个函数x=0不是极值点( B )(A)f(x)=x2 (B)f(x)=x3(C)f(x)=e x-x (D)f(x)=cos x解析:仅有f(x)=x3的导数f′(x)=3x2,虽然f′(0)=0,但无论x>0还是x<0,恒有f′(x)>0,故选B.3. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f ′(x),且函数y=(1-x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:①当x<-2时,1-x>0.因为(1-x)f′(x)>0,所以f′(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上是增函数.②当-2<x<1时,1-x>0.因为(1-x)f′(x)<0,所以f′(x)<0,即f(x)在(-2,1)上是减函数.③当1<x<2时,1-x<0.因为(1-x)f′(x)>0,所以f ′(x)<0,即f (x)在(1,2)上是减函数.④当x>2时,1-x<0.因为(1-x)f′(x)<0,所以f′(x)>0,即f(x)在(2,+∞)上是增函数.综上可知,f (-2)为极大值,f (2)为极小值.4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导函数为f′(x),f′(x)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为( B )(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2解析:因为f′(x)=2ax+b,得f′(0)=b>0.由f(x)≥0知所以ac≥,所以c>0,所以=≥≥=2,当且仅当a=c时“=”成立.5.(2017·全国Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为( A )(A)-1 (B)-2e-3 (C)5e-3 (D)1解析:f′(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·e x-1则f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·e x-1,f′(x)=(x2+x-2)·e x-1,令f′(x)=0,得x=-2或x=1,当x<-2或x>1时,f′(x)>0,当-2<x<1时,f′(x)<0,则f(x)极小值为f(1)=-1.故选A.6.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( B )(A)(-∞,0) (B)（0,）(C)(0,1) (D)(0,+∞)解析:函数f(x)=x(ln x-ax)(x>0),则f′(x)=ln x-ax+x(-a)=ln x-2ax+1.令f′(x)=ln x-2ax+1=0,得ln x=2ax-1.函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,等价于f′(x)=ln x-2ax+1有两个零点,等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点.在同一个坐标系中作出它们的图象(如图).当a=时,直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切,由图可知,当0<a<时,y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点,则实数a的取值范围是（0,）.二、填空题7.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a= .解析:f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知,-3是方程f′(x)=0的根,所以3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5,经检验,a=5时,f(x)在x=-3处取得极值.答案:58.已知f(x)=m+12x-x3有三个零点,则实数m的范围是.解析:f′(x)=-3x2+12,当f′(x)=0时,x=-2或x=2;当f′(x)<0时,x<-2或x>2;当f′(x)>0时,-2<x<2.即f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上是减函数,在(-2,2)上是增函数.则f(x)极小值=f(-2)=m-16,f(x)极大值=f(2)=m+16.由f(x)有三个零点,得即所以-16<m<16.答案:(-16,16)9.设a∈R,若函数f(x)=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围为.解析:f′(x)=ae ax+3,令f′(x)=0,即ae ax+3=0,得x=ln（-）,则ln（-）>0,由此可得->0,即a<0,所解不等式化为ln（-）<0=ln 1,所以0<-<1,得a<-3.答案:(-∞,-3)10.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是.解析:由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示.令x3+x2-=-得,x=0或x=-3,则结合图象可知,解得a∈[-3,0).答案:[-3,0)11.已知f(x)=x3-3x+m在区间[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m的取值范围是.解析:由于a,b,c任取,f(a),f(b),f(c)也可取值域中的任意值.要保证能构成三角形,满足两个条件:①f(a),f(b),f(c)均大于零,即f(x)min>0,②极端情形短边均取最小值,两边之和大于第三边即可.因为f′(x)=3x2-3,令f′(x)>0,结合定义域解得1<x≤2,故f(x)在[0,1)单调减,在(1,2]单调增.f(x)min=f(1)=m-2,f(x)max=f(2)=m+2,因此得m>6.答案:(6,+∞)12.已知f(x)是可导的函数,且f′(x)<f(x),对于x∈R恒成立,有如下四个命题,其中正确的是.(填上所有正确的序号)①f(1)<ef(0),f(2 017)>e2 017f(0)②f(1)>ef(0),f(2 017)>e2 017f(0)③f(1)>ef(0),f(2 017)<e2 017f(0)④f(1)<ef(0),f(2 017)<e2 017f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=（）′==<0,所以函数g(x)=是单调减函数,所以g(1)<g(0),g(2 017)<g(0),即<,<,故f(1)<ef(0),f(2 017)<e2 017f(0),故①②③错,④正确.答案:④三、解答题13.求函数f(x)=|2x3-9x2+12x|(x∈[-1,3])的最值.解:令g(x)=2x3-9x2+12x,得g′(x)=6(x-1)(x-2),x∈[-1,3] 令g′(x)>0,解得-1<x<1或2<x<3.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如表,得g(-1)=-23,g(1)=5,g(2)=4,g(3)=9,所以g(x)的值域为[-23,9],由f(x)=|g(x)|,得f(x)的值域为[0,23],所以f(x)max=23,f(x)min=0.14.设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又f′(a)>0,当b满足0<b<且b<时,f′(b)<0,故当a>0时,f′(x)存在唯一零点.(2)证明:由(1),可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln ≥2a+aln .故当a>0时,f(x)≥2a+aln .15.设函数f(x)=ln(x+a)+x2.(1)若x=-1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln. 解:(1)f′(x)=+2x,依题意,有f′(-1)=0,故a=.从而f′(x)=,且f(x)的定义域为（-,+∞）,当-<x<-1时,f′(x)>0;当-1<x<-时,f′(x)<0;当x>-时,f′(x)>0.所以f(x)在区间（-,-1）,（-,+∞）上单调递增,在（-1,-）上单调递减.(2)f(x)的定义域为(-a,+∞),f′(x)=.方程2x2+2ax+1=0的判别式Δ=4a2-8,①若Δ≤0,即-≤a≤时,f′(x)≥0,故f(x)无极值.②若Δ>0,即a<-或a>,则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根,x1=,x2=.当a<-时,x 1<-a,x2<-a,故f′(x)>0在定义域上恒成立,故f(x)无极值.当a>时,-a<x 1<x2,故f(x)在(-a,x1)上递增,(x1,x2)上递减,(x2,+∞)上递增.故f(x)在x=x1,x=x2取得极值.综上,f(x)存在极值时,a的取值范围为(,+∞).由上可知,x1+x2=-a,x1x2=.所以,f(x)的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)++ln(x2+a)+=ln(-x2)+ln(-x1)+(+)=ln(x1x2)+(x1+x2)2-2x1x2=ln+a2-1>ln+()2-1=ln.第4节导数的综合运用一、选择题1.已知函数f(x)=x2e x,当x∈[-1,1]时,不等式f(x)<m恒成立,则实数m 的取值范围是( D )(A)[,+∞) (B)(,+∞)(C)[e,+∞) (D)(e,+∞)解析:若m>f(x)恒成立,则m>f(x)max,f′(x)=2xe x+x2e x=x(x+2)e x,所以f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增.f(-1)=,f(1)=e,所以m>e.2.已知函数f(x)=(b∈R),若存在x∈[,2]使得f(x)+xf′(x)>0,则实数b的取值范围是( B )(A)(-∞,) (B)(-∞,)(C)(-∞,3) (D)(-∞,)解析:因为f′(x)==,所以f(x)+xf′(x)=+=>0,所以问题转化为存在x∈[,2],使得2x2-2bx+1>0,即b<()max.因为()max=(x+)max=2+=,所以b<.3.已知函数f(x)=aln (x+1)-x2.在区间(0,1)内任取两个不相等的实数p,q,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围是( A )(A)[15,+∞) (B)[6,+∞) (C)(-∞,15] (D)(-∞,6]解析:不妨设0<q<p<1,则不等式等价于f(p+1)-f(q+1)>p-q,即f(p+1)-(p+1)>f(q+1)-(q+1),设g(x)=f(x+1)-(x+1),则g(x)在(0,1)单调递增,因为g(x)=aln (x+2)-(x+1)2-x-1=aln (x+2)-x2-3x-2,所以g′(x)=-2x-3,所以g′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立,即a≥(2x+3)(x+2)=2x2+7x+6,设h(x)=2x2+7x+6,可知h(x)在(0,1)单调递增,所以h(x)<h(1)=15,即a≥15.4.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( D )(A)[-,1) (B)[-,)(C)[,) (D)[,1)解析:设g(x)=e x(2x-1),y=ax-a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g′(x)=e x(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,当x>-时,g′(x)>0,所以当x=-时,[g(x)]min=-2,当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e>0,直线y=ax-a恒过(1,0)且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1,故选D.5.已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln (x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( B )(A)(-∞,) (B)(-∞,)(C)(-,) (D)(-,)解析:因为函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln (x+a)的图象上存在关于y轴对称的点.所以存在x>0,使得f(-x)=g(x),即存在x>0,使得ln (x+a)=e-x-.所以函数h(x)=ln (x+a)-e-x+在(0,+∞)上有零点.因为h′(x)=+e-x>0,所以h(x)在定义域内单调递增.所以h(x)=ln (x+a)-e-x+在(0,+∞)上有零点等价于存在t>0,使得h(t)=ln (t+a)-e-t+≤0.从而ln (t+a)≤e-t-<,于是t+a<,即a<-t,所以a<.6.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1]且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( B )(A)(B)(C) (D)解析:不妨设0≤y<x≤1,当x-y≤时,有|f(x)-f(y)|<|x-y|=(x-y)≤;当x-y>时,有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)-[f(y)-f(0)]|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<|x-1|+|y-0|=-(x-y)+<,故k的最小值为.二、填空题7.已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2+x+2,若对任意的x∈(0,+∞),不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由2xln x≤3x2+2ax+1得a≥(2ln x-3x-)max.设g(x)=2ln x-3x-,则g′(x)=-3+=-=-,令g′(x)>0,因为定义域x∈(0,+∞),所以3x+1>0,解得x<1.所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=-4,从而a≥-2.答案:[-2,+∞)8.已知函数f(x)=e x,g(x)=ln +的图象分别与直线y=m交于A,B两点,则|AB|的最小值为.解析:根据题意,A(ln m,m),B(2,m),其中2>ln m且m>0.所以|AB|=2-ln m,设h(x)=2-ln x(x>0),则h′(x)=2-,因为h″(x)=2+>0,所以h′(x)在(0,+∞)上单调递增,由h′(x)=0得x=,所以0<x<时,h′(x)<0;x>时,h′(x)>0.即h(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.所以h(x)min=h()=2+ln 2.所以|AB|的最小值为2+ln 2.答案:2+ln 29.已知a>0,f(x)=a2ln x-x2+ax,若不等式e≤f(x)≤3e+2对任意x∈[1,e]恒成立,则实数a的值为.解析:令x=1可得f(1)≥e⇒a≥e+1.因为f′(x)=-2x+a=-,a>0.由a≥e+1可知f(x)在[1,e]上单调递增,所以即解得所以a=e+1.答案:e+110.若函数f(x)=x3-a2x满足:对于任意的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)- f(x2)|≤1恒成立,则实数a的取值范围是.解析:因为f′(x)=x2-a2.当|a|≥1时,在x∈[0,1]时,f′(x)≤0,即函数f(x)在x∈[0,1]上是单调减函数,所以f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(1)=-a2,所以a2-≤1,得-≤a≤,又|a|≥1,所以-≤a≤-1或1≤a≤.当|a|<1时,由导函数知,函数f(x)在[0,|a|]上是单调减函数,在[|a|,1]上是单调增函数.所以f(x)min=f(|a|)=-|a|3<0,f(0)=0,f(1)=-a2若f(x)max=f(0)=0,符合;若f(x)max=f(1)=-a2也符合,所以|a|<1时,对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立.综上所述:实数a的取值范围是[-,].答案:[-,]11.已知函数f(x)=e2x,g(x)=ln x+,对任意a∈R,存在b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),则b-a的最小值为.解析:令f(a)=g(b)=t,则e2a=t,ln b+=t(显然t>0).所以a=,b=,所以b-a=-,令h(t)=-,则h′(t)=-,h″(t)=+>0,故h′(t)在(0,+∞)上单调递增,又因为h′()=0,所以当t>时,h′(t)>0;当0<t<时,h′(t)<0.所以函数h(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.所以h(t)min=h()=1+,即b-a的最小值为1+.答案:1+12.已知函数f(x)=ln x-x,g(x)=bx3-bx,b≠0,若对任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),使得f(x1)=g(x2),则实数b的取值范围是.解析:由f(x)=ln x-x得f′(x)=<0,对任意x∈(1,2)都成立,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以f(x)∈(ln 2-2,-1).因为g′(x)=bx2-b=b(x-1)(x+1),当b<0时,g(x)在(1,2)上单调递减,所以g(x)∈(b,-b),根据题意,得(ln 2-2,-1)⊆(b,-b),即所以b≤ln 2-3.当b>0时,g(x)在(1,2)上单调递增,所以g(x)∈(-b,b)根据题意,得(ln 2-2,-1)⊆(-b,b),即所以b≥3-ln 2.综上,实数b的取值范围是b≤ln 2-3或b≥3-ln 2.答案:(-∞,ln 2-3]∪[3-ln 2,+∞)三、解答题13.已知f(x)=xln x-mx2-x,m∈R.(1)当m=-2时,求函数f(x)的所有零点;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证:x1x2>e2(e为自然对数的底数).(1)解:当m=-2时,f(x)=xln x+x2-x=x(ln x+x-1),因为x>0,令g(x)=ln x+x-1,则g′(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上递增,又g(1)=0,所以g(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点1,即函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点1.(2)证明:f′(x)=ln x+1-mx-1=ln x-mx=0在(0,+∞)上有两个不等实根x1,x2,且x1<x2,即m==h(x),h′(x)=,所以由h′(x)>0,得0<x<e,由h′(x)<0得x>e.即h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以0<m<.由得m=,又m=,所以=,即ln (x1x2)=,令t=∈(0,1),则ln (x1x2)=(0<t<1).要证x1x2>e2等价于证明ln (x1x2)>2,即只需要证ln t<,令F(t)=ln t-(0<t<1),则F′(t)=-=>0,所以F(t)在(0,1)上递增,所以F(t)<F(1)=0,即x1x2>e2.14.设函数f(x)=e mx+x2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.(1)证明:f′(x)=m(e mx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0,f′(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0,f′(x)>0.所以,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)解:由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1].|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是即(*)设函数g(t)=e t-t-e+1,则g′(t)=e t-1.当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即(*)式成立.当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].15.已知函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=f(x)-x.(1)记函数f(x)在区间[1,2]内的最大值为M,最小值为m,求M-m的最小值与此时对应的b的值;(2)若g(0)>0,g(1)>0,g()<0,且函数f(x)有两个不同零点,求证:f(x)的零点都在区间(-1,0)内.(1)解:①当-≥2,即b≤-4时,M-m=f(1)-f(2)=-3-b≥1.②当-≤1,即b≥-2时,M-m=f(2)-f(1)=b+3≥1.③当1<-<2,即-4<b<-2时,M-m=max{f(1)-f(-),f(2)-f(-)}=max{+b+1,+2b+4}=max{,}.当b=-3时,M-m有最小值.(2)证明:由g(0)>0,g(1)>0,g{}<0得F(-)=-+c>+c+c->0,f(0)=c>0,->c->-,由②和③得>-,-<.设g(x)的两个零点为α,β,0<α<<β<1.则f(x)=x2+(1-α-β)x+αβ.由Δ>0得2(α+β)<1+(α-β)2<2,α+β<1.所以-<0,f(x)的零点在区间(-,0)内.所以f(x)的零点都在区间(-1,0)内.知识拓展:无法求值的极值点用“设而不求”1.设函数f(x)=(x-1)e x-kx2,k∈R.(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k∈(,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.解:(1)当k=1时, f(x)=(x-1)e x-x2,f′(x)=e x+(x-1)e x-2x=xe x-2x=x(e x-2),令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln 2,所以函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).(2)f′(x)=e x+(x-1)e x-2kx=xe x-2kx=x(e x-2k),令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln(2k),令g(k)=ln(2k)-k,则g′(k)=-1=>0,所以g(k)在(,1]上递增,所以g(k)≤ln 2-1=ln 2-ln e<0,从而ln(2k)<k,所以ln(2k)∈(0,k),所以当x∈(0,ln(2k))时,f′(x)<0;当x∈(ln(2k),+∞)时,f′(x)>0;所以M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)e k-k3}.令h(k)=(k-1)e k-k3+1,则h′(k)=k(e k-3k),令ϕ(k)=e k-3k,则ϕ′(k)=e k-3<e-3<0,所以ϕ(k)在(,1]上递减,而ϕ()·ϕ(1)=(-)(e-3)<0,所以存在x0∈(,1]使得ϕ(x0)=0,且当k∈(,x0)时,ϕ(k)>0,当k∈(x0,1)时,ϕ(k)<0,所以h(k)在(,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为h()=-+>0,h(1)=0,所以h(k)≥0在(,1]上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)e k-k3.2.已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.解:(1)f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2⇒f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得f(0)=1,f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,所以f(0)=f′(1)e-1=1,即f′(1)=e.从而得f(x)=e x-x+x2,令g(x)=f′(x)=e x-1+x而g′(x)=e x+1>0,所以y=g(x)在x∈R上单调递增,由f′(x)>0=f′(0)得x>0,由f′(x)<0=f′(0)得x<0.综上:f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2,且单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).(2)因为f(x)≥x2+ax+b等价于h(x)=e x-(a+1)x-b≥0得h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时,h′(x)>0得y=h(x)在x∈R上单调递增,x→-∞时, h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾;②当a+1>0时,h′(x)>0,所以x>ln(a+1),h′(x)<0,即x<ln(a+1).得当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0,(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+1>0),令F(x)=x2-x2lnx(x>0),则F′(x)=x(1-2ln x), F′(x)>0⇔0<x<,F′(x)<0⇔x>,当x=时,F(x)max=;当a=-1,b=时,(a+1)b的最大值为.3.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围. 解:法一(1)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),定义域为(-1,+∞),f′(x)=+a(2x-1)==,设g(x)=2ax2+ax+1-a.当a=0时,g(x)=1,f′(x)=>0,函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数,无极值点.当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=9a2-8a,若0<a≤时Δ≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数,无极值点.若a>时Δ>0,设g(x)=0的两个不相等的实数根为x1,x2,x1<x2,x1+x2=-,而g(-1)=1>0,则-1<x1<-<x2,所以当x∈(-1,x1),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x1,x2),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增.因此此时函数f(x)有两个极值点;当a<0时Δ>0,但g(-1)=1>0,x1<-1<x2,所以当x∈(-1,x2),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递増;当x∈(x2,+∞),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以函数只有一个极值点.综上可知,当0≤a≤时f(x)无极值点;当a<0时f(x)有一个极值点;当a>时,f(x)有两个极值点.(2)由(1)可知当0≤a≤时f(x)在(0,+∞)上单调递增, 而f(0)=0,则当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意;当<a≤1时,g(0)≥0,x2≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 而f(0)=0,则当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意;当a>1时,g(0)<0,x2>0,所以函数f(x)在(0,x2)单调递减,而f(0)=0,则当x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意;当a<0时,设h(x)=x-ln(x+1),当x∈(0,+∞)时h′(x)=1-=>0,h(x)在(0,+∞)单调递增,因此当x∈(0,+∞)时h(x)>h(0)=0,ln(x+1)<x,于是f(x)<x+a(x2-x)=ax2+(1-a)x,当x>1-时ax2+(1-a)x<0,此时f(x)<0,不符合题意.综上所述,a的取值范围是[0,1].法二(1)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),定义域为(-1,+∞).f′(x)=+a(2x-1)==,当a=0时,f′(x)=>0,函数f(x)在(-1,+∞)为增函数,无极值点. 设g(x)=2ax2+ax+1-a,g(-1)=1,Δ=a2-8a(1-a)=9a2-8a,当a≠0时,根据二次函数的图象和性质可知g(x)=0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数.若Δ=a(9a-8)≤0,即0<a≤时,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(-1,+∞)为增函数,无极值点.若Δ=a(9a-8)>0,即a>或a<0,而当a<0时g(-1)=1>0,此时方程g(x)=0在(-1,+∞)只有一个实数根,此时函数f(x)只有一个极值点;当a>时方程g(x)=0在(-1,+∞)有两个不相等的实数根,此时函数f(x)有两个极值点;综上可知,当0≤a≤时f(x)的极值点个数为0;当a<0时f(x)的极值点个数为1;当a>时,f(x)的极值点个数为2.(2)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),∀x>0,都有f(x)≥0成立.即ln(x+1)+a(x2-x)≥0,当x=1时,ln 2≥0恒成立;当x>1时,x2-x>0,+a≥0;当0<x<1时,x2-x<0,+a≤0;由∀x>0均有ln(x+1)<x成立.故当x>1时,<∈(0,+∞),则只需a≥0;当0<x<1时,>∈(-∞,-1),则需-1+a≤0,即a≤1.综上可知,对于∀x>0,都有f(x)≥0成立,只需0≤a≤1即可,故所求a的取值范围是[0,1].4.设函数f(x)=ln x,g(x)=(m>0).(1)当m=1时,函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线互相垂直,求n的值;(2)若函数y=f(x)-g(x)在定义域内不单调,求m-n的取值范围;(3)是否存在实数a,使得f()·f(e ax)+f()≤0对任意正实数x恒成立?若存在,求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由.解:(1)当m=1时,g′(x)=,所以y=g(x)在x=1处的切线斜率k1=, 由f′(x)=,所以y=f(x)在x=1处的切线斜率k2=1,所以·1=-1,所以n=5.(2)函数y=f(x)-g(x)的定义域为(0,+∞), 而y′=f′(x)-g′(x)=, 由题意,得x+2-m(1-n)+的最小值为负数, 所以m(1-n)>4,所以≥m(1-n)>4,所以m+(1-n)>4,所以m-n>3.即m-n的取值范围为(3,+∞).(3)令F(x)=f()·f(e ax)+f()=axln (2a)-axln x+ln x-ln (2a),其中x>0,a>0.则F′(x)=aln (2a)-aln x-a+,设h(x)=aln (2a)-aln x-a+,则h′(x)=-<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)=0在(0,+∞)上必存在实根,不妨设h(x0)=0,即h(x0)=aln (2a)-aln x0-a+=0,可得ln x0=+ln (2a)-1,所以F(x)在(0,x0)上递增,在(x0,+∞)上递减,所以F(x)max=F(x0)=(ax0-1)ln (2a)-(ax0-1)ln x0=ax0+-2≤0恒成立.因为ax0+≥2,当且仅当ax0=时等号成立.所以ax0+=2,ax0=1,所以x0=.代入ln x0=+ln (2a)-1得ln=ln (2a),即=2a,解得a=.5.已知函数f(x)=1-(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x∈[1,+∞)时,tf(x)≤2x-2恒成立,求实数t的取值范围. 解:(1)因为f(x)是奇函数,定义域为R,所以f(0)=0,所以1-=0.所以a=2.(2)因为f(x)=1-=1-,又因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<<2,-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).(3)由题意得,当x≥1时,t(1-)≤2x-2, 即t·≤2x-2恒成立,因为x≥1,所以2x-1>0,2x+1>0,所以t≤(x≥1)恒成立,设u(x)==2x-(x≥1),下证u(x)在当x≥1时是增函数.任取x2>x1≥1,则u(x2)-u(x1)=--+=(-)·[1+]>0.所以当x≥1时,u(x)是增函数,所以u(x)min=u(1)=0,所以t≤u(x)min=u(1)=0,所以实数t的取值范围为(-∞,0].。

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数.若(2)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <+>；命题:q 在ABC 中，若3B π∠>，则3sin 2B ∠>.则下列复合命题正确的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝3．直线1y =，y x =，1x =及幂函数1y x -=将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数13y x -=的图像在第一象限中经过（）A ．③⑦B ．③⑧C ．④⑦D ．①⑤4．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]6,8C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]6,105．若函数()()ln 1xf x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2-6．甲、乙两人解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得到根为14x =，18x；乙写错了常数c ，得到根为12x =，64x =．那么原方程的根正确的是（）A ．4x =B ．3x =C ．4x =或8x =D ．2x =或3x =7．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-8．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（） A ．1115104r s t <恒成立，则实数t 的取值范围是（） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()22x a xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,4C ．()4,6D ．(]4,611．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x ==-，则M N ⋃为（）A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，则()()22log 48log 3f f -=______. 14．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2yx 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________. 15．若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-，则函数()f x 的最大值是______.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知4log 6a =，36b =，则12a b+=_______．三、解答题17．经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a %，求a 的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年）18．已知函数()sin xf x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．19．已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax =+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立；（Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.20．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．21．已知，()(2)x f x x e =-.（1）当0a 时，求21()2()(1)2g x f x a x =+-的单调区间；（2）若当0a 时，不等式()21()242f x a x x +-+在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()ln f x x x a =+，()ln g x x ax =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()g x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值．23．已知函数321()3f x x x mx m =+++.（1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.24．已知幂函数()223mm f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，x ⎡∈⎣（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值参考答案1．C2．D3．D4．C5．B6．C7．A8．A9．D10．C11．D12．D 13．0 14．①③④ 15．12##0.516．2 17．(1) 1.9a = (2)9年18．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min f x -=19．（Ⅱ）(]0,120．（1）4k ≤；（2）k 2≤.21．（1）增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞（2）12a ≥ 22．（1）极小值11f a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（2）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）2．23．（1）1223x x +=-（2） 24．（1）1m =；（2）116-.。

函数导数、三角函数、不等式(二)：高考数学一轮复习基础必刷题

函数导数、三角函数、不等式（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．函数41y x =-的定义域为（）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞ 2．设a >0，b >0，化简2115113366221()()()3a ab a ⋅-÷的结果是（）A ．2313a -B ．233a -C ．13a-D ．-3a 3．已知不等式240x ax ++ 的解集为,R 则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+D ．()(),44,-∞-+∞ 4．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（）A ．33y x =+B ．31y x =+C ．31y x =--D ．33y x =--5．下列命题中正确的是（）A ．若0ab >，a b >，则11a b，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d>6．下列判断正确的是（）A ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．命题“若1x <，则21x >”的否命题是“21x <，则1x <”C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件7．已知集合{lg(2)}A xy x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B = （）A ．()2,4B ．()3,4-C ．()2,3D ．()4,3-8．已知函数21()23ln 2f x x x x =+-，则()f x 的单调递减区间是（）A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）的图象的相邻两条对称轴相距2π个单位，则ω＝（）A ．1B ．12C ．13D ．210．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数12，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（）A ．12B ．2CD ．411．已知不等式5132-≤-x x 的解集为A ，关于x 的不等式2220-+>ax x 的解集为B ，且⊆ A B B ，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______.14．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．15．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.18．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．19．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln 2f x x x ax =-+(a 为实数)（1）若2a =，求()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c B +=，b .（1）求B ；（2）若2a c -=，求ABC 的面积.22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.参考答案：1．D 【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D 2．D 【解析】【分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【详解】因为0a >，0b >，所以2115211115113366326326221()()()333a b a b b a ba +-+-⋅-÷=-⋅=-.故选：D.3．A 【解析】【分析】利用判别式小于等于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式240x ax ++ 的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯ ，解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-，故选：A.4．A 【解析】【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程.【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+故选：A 5．A 【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项，利用特殊值法可判断BCD 选项.【详解】因为0ab >，a b >，所以a b ab ab >，即11a b<，所以A 正确；若a b <，0c =，则22ac bc =，所以B 错误；取2a c ==，1b d ==，则a c b d -=-，所以C 错误；取2a =，1b =，2c =-，1d =-，则a bc d=，所以D 错误.故选：A.6．D 【解析】【分析】逐项进行判断，根据逆命题、否命题、充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】对A ，命题“对顶角相等”的逆命题为：“相等的两个角为对顶角”，假命题，故错；对B ，命题“若1x >，则21x >”的否命题是“1x ≤，则21x ≤”，故错；对C ，()22cos sin sin 2f x ax ax ax =-=，最小正周期为π，所以212a aππ=⇒=±所以“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的充分不必要条件，故错；对D ，函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则函数不含有奇次项，所以0b =故“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.7．A 【解析】【分析】求出集合,A B 可得A B .【详解】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，故(2,4)A B ⋂=，故选：A.8．B 【解析】【分析】利用导数研究()f x 的单调递减区间.【详解】由题设，2323()2x x f x x x x+-'=-+=，又定义域为(0,)+∞，令()0f x '<，则223(3)(1)0x x x x +-=+-<，解得31x -<<，故01x <<，∴()f x 在(0,1)上递减.故选：B.9．D 【解析】【分析】分析角度的关系将sin(2)x ωϕ+展开,再合一变形求得()f x 的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距2π个单位求得周期再求ω即可.【详解】()sin(2)2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos ()f x x x x x x ωϕϕωϕωϕϕωϕϕϕωϕ=+-+=+++-+()sin()cos sin cos()sin sin x x x x ωϕϕϕωϕωϕϕω=+-+=+-=⎡⎤⎣⎦.即()f x =sin xω又图象的相邻两条对称轴相距2π个单位,故()f x 的周期为π.故22ππωω=⇒=.故选：D本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.10．B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b = ，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果.【详解】2sin18a = ，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos 72112sin 362sin 36a b ===--∴+.故选：B.11．B 【解析】【分析】解出不等式5132-≤-x x 可得集合A ，由⊆ A B B 可得A B ⊆，然后可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，然后分离参数求解即可.【详解】由5132-≤-x x 得51032x x --≤-，()7023x x -≤-，解得37x <≤，因为⊆ A B B ，所以A B⊆所以可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，即222->x a x 在(3,7]x ∈上恒成立，故只需2max 22-⎛⎫> ⎪⎝⎭x a x ，222211111111,,2241673-⎛⎫⎡⎫=-+=--+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭x x x x x x ，当114x =时，2max 21216-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，故116a >．故选：B 12．C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．13．35-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解.【详解】将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35-【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.14．2【解析】【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：215．12-【解析】【分析】tan tan 6124πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后算出即可.【详解】tan tan1124tan tan 612421tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭.故答案为：12-【点睛】本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.16．(1,0)(1,)-È+¥【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..17．（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【解析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365【解析】【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α=-.又由12cos 13b =-，β是第三象限角，得5sin 13β===-.（2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)答案见解析(2)12a ≤-【解析】【分析】（1）求导数，然后对a 进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在1x =处取得最小值，即可求实数的取值范围.(1)解：求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x >∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增；③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a>∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增；(2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可∴12a ≤-.综上，12a ≤-.20．（1）最小值为 2e -，最大值为2；（2）(],1ln 2-∞+.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到2ln x a x +≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当2a =时，() ln 22=-+f x x x x ，()ln 1f x x '=-由()0f x '<得0 x e <<，由()0f x '>得x e >，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增，且() ln 2 2 2=-+=-f e e e e e ，() 1 1ln12 2 0f =-+=，()2222 ln 2 2 2-+==f e e e e 则函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为 2e -，最大值为2.（2）由题得函数的定义域为()0,∞+，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x x ax -+≥，即2ln x a x+≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，则()22122 x g x x x x -'=-=，当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则()min 21ln 2()==+g x g ，所以1ln 2a ≤+，故a 的取值范围为(],1ln 2-∞+.21．（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得sin()2sin cos A B C B +=，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出3ac =，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=，sin()2sin cos A B C B +=，因为,(0,)A B C C ππ+=-∈，所以sin 2sin cos C C B =，由sin 0C ≠，故1cos 2B =.因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理及2a c -=知2222cos b a c ac B =+-.227a c ac ∴+-=，2()7a c ac ∴-+=，47ac ∴+=，3ac ∴=.11sin 32224ABC S ac B ∴==⨯⨯= .22．（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。

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第二章第六节指数函数一、选择题1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的值域是正实数集，∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．答案：B2．(2012·杭州月考)函数y ＝a |x |(a>1)的图象是( )解析：y ＝a |x |＝⎩⎨⎧a x(x ≥0)，a －x (x ＜0).当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图象相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确．答案：B3．设y 1＝40.9，y 2＝80.44，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析：利用幂的运算性质可得y 1＝21.8，y 2＝21.32，y 3＝21.5，再由y ＝2x 是增函数可知选D.答案：D 4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．答案：C 5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数 D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数解析：令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，∵当x >2时，f (x )>1，∴当t <0时，a t >1.∴0<a <1. ∴f (x )在R 上是增函数．答案：A 二、填空题6．814×42＋(32×3)6＝________.解析：原式＝234×214＋⎝⎛⎭⎫213×3126＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.答案：1107．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n .答案：m >n 三、解答题8．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32.9．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x－162＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.第二章第七节对数函数一、选择题1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12-等于( )A.13B.36C.24D.33 解析：由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x12-＝24.答案：C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12-x D ．2x －2解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：A 3．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c 1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c 2 解析：由0<x <y <1得0<xy <1，故m ＝log 2x ＋log 2y ＝log 2xy <log 21＝0.答案：A5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知0<a <1，且00，即0<2x －3≤1，∴32<x ≤2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32<x ≤27．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.答案：(－∞，－3]三、解答题8．求值15⎝⎛⎭⎫lg 32＋log 416＋6lg 12＋15lg 15.解：原式＝15⎣⎡⎦⎤lg32＋2＋lg ⎝⎛⎭⎫126＋lg 15＝15⎣⎡⎦⎤2＋lg ⎝⎛⎭⎫32·164·15＝15⎝⎛⎭⎫2＋lg 110＝15[2＋(－1)]＝15. 9．求函数f (x )＝log a (2x 2－5x ＋3)的单调区间．解：设y ＝log a u ，u ＝2x 2－5x ＋3.由2x 2－5x ＋3>0，解得x <1或x >32.且u ＝2x 2－5x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是增函数．当a >1时，y ＝log a u 是增函数，则函数f (x )的单调减区间是(－∞，1)，单调增区间是⎝⎛⎭⎫32，＋∞.当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，1)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫32，＋∞.10．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )＜f (1)．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2＞2log 2(x 2－x ＋2)＜2⇒⎩⎨⎧x ＞2或0＜x ＜1－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1.第二章第八节幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( )A.14 B ．4 C.22 D. 2解析：设f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝212-＝22.答案：C2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1解析：当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，对称轴为x ＝1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a <0时，⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即2－a <23.∴a >－3.∴－3<a <0.当a ≥0时，a <1，∴0≤a <1.故－3<a <1.C4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0.答案：D 5．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关解析：法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0. 法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0.答案：B 二、填空题6．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案：①②⑤⑥ 7．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∴t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23.在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：34三、解答题8．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1－⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1.∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0.∴f (x 1)>f (x 2)．即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减． 9．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)．(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，∴a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6.(2)f (x )＝2(x －1)2－8 ,当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知. f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．第二章第九节函数与方程一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12 C ．0，－12 D ．2，－12 解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，所以零点为0和－12.答案：C2．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定解析：因f (x )在(－2,2)有一个零点，不能说明f (－2)f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．D 3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4) 解析：∵f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，∴零点在(1,2)内．答案：B4．(2012·大庆实验中学模拟)根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间是：A ．(－1,0)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(2,3)解析：f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，故f (1)f (2)<0.∴由零点定理知一个零点所在区间是(1,2)．答案：B 5．(2011·陕西高考)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案：C二、填空题6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且只有一个零点，则实数m 的值为________．解析：由题知：方程4x ＋m ·2x ＋1＝0只有一个零点．令2x ＝t (t >0)，∴方程t 2＋m ·t ＋1＝0只有一个正根，∴由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，Δ＝0，∴m ＝－2.答案：－27．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．解析：当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0.当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．答案：{－3,0,1} 三、解答题8．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在[0，12]上连续，∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.9．若g (x )＝x ＋e 2x(x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围．解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．法二：作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根且e 2>0，故根据根与系数的关系得m >0，故⎩⎨⎧ m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎨⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e. 10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32. ②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0∴⎩⎨⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．第二章第十一节文化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2) 解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案：C2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为 ( )A.194B.174C.154D.134 解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：D3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2.答案：B 4．函数f (x )＝ln xx 在点(x 0，f (x 0))处的切线平行于x 轴，则f (x 0)等于( ) A ．－1e B.1e C.1e2 D ．e 2解析：与x 轴平行的切线，其斜率为0，所以f ′(x 0)＝1x 0·x 0－ln x 0x 20＝1－ln x 0x 20＝0，故x 0＝e ，∴f (x 0)＝1e .：B 5．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )＝g (x )＝0 C ．f (x )－g (x )为常数函数 D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．C 二、填空题6．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是________．解析：设切点的坐标为(x 0，x 30＋3x 20－1)，则由切线与直线2x －6y ＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f ′(x )＝3x 2＋6x ，故3x 20＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x ＋y ＋2＝0.答案：3x ＋y ＋2＝07．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2012⎝⎛⎭⎫π2＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0.答案：0三、解答题8．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)[理]y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)法一：y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.法二：∵y ＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1，∴y ′＝1′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x －1′，即y ′＝－2e x (e x －1)2.(3)[理]法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·ln 2(4x ＋3)＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 2. 法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′＝1(2x 2＋3x ＋1)ln 2·(2x 2＋3x ＋1)′＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 2.9．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94，∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.第二章第十二节导数的应用（一）一、选择题1．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数解析：由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．答案：C 2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12解析：由y ＝4x 2＋1x 得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12， ∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增．答案：B3．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．由a 确定解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＋4＝3(x ＋1)2＋1>0，则f (x )在R 上是增函数，故不存在极值点．答案：C 4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3.答案：D 5．若f (x )＝ln xx ，e<a f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )．答案：A 二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x ＋1)＋12x 2，所以f ′(x )＝e x ＋1＋x e x ＋x ＝(e x ＋1)·(x ＋1)．令f ′(x )>0，即(e x ＋1)(x ＋1)>0，解得x >－1.所以函数f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.∴m >6或m <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞) 三、解答题8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx (a ，b ∈R)．若y ＝f (x )图象上的点⎝⎛⎭⎫1，－113处的切线斜率为－4，求y ＝f (x )的极大值．解：(1)∵f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，∴由题意可知：f ′(1)＝－4且f (1)＝－113.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a －b ＝－4，13＋a －b ＝－113，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.∴f (x )＝13x 3－x 2－3x ，f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.由此可知，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘∴当x ＝－1时，f (x )取极大值53. 9．已知f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )>0，得e x >a ，当a ≤0时，有f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0.即a 的取值范围为(－∞，0]． 10．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋b 在x ＝－1处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值和函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象与抛物线y ＝32x 2－15x ＋3恰有三个不同交点，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，由f ′(－1)＝0，解得a ＝－9.则f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－1,3)．(2)令g (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫32x 2－15x ＋3＝x 3－92x 2＋6x ＋b －3，则原题意等价于g (x )＝0有三个不同的根．∵g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)，∴g (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．则g (x )的极小值为g (2)＝b －1<0，且g (x )的极大值为g (1)＝b －12>0，解得12<b <1.∴b 的取值范围⎝⎛⎭⎫12，1.第二章第十三节导数的应用（二）一、选择题1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e2解析：f ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值．答案：B2．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x ．当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．答案：D3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.答案：B4．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a解析：如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y ′＝4πaR －2bV R 2.令y ′＝0，得2R h ＝b a . C 5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.答案：A二、填空题6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0，或x ＝2.又f (－2)＝－37，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (x )max ＝3，又f (x )≤a ，∴a ≥3.答案：[3，＋∞)7．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．解析：设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，由于a >3，则在(0,2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数，而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答案：1 三、解答题8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4，∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5.∴a ＝2，b ＝－4，c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23. 当x∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27. 9．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x .∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2.(2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x∵x ＞1，∴F ′(x )＜0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0.即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方．10．(2012·宝鸡质检)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx .(1)当a ＝b ＝12时，求f (x )的最大值；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋a x (0＜x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝b ＝12时，f (x )＝ln x －14x 2－12x ，f ′(x )＝1x －12x －12＝－(x ＋2)(x －1)2x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )的极大值为f (1)＝－34，即f (x )的最大值是－34.(2)F (x )＝ln x ＋ax ，x ∈(0,3]，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12.所以a ≥12.。