第4章 第1讲 曲线运动 运动的合成与分解(学生版)
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解(学生版)
第1讲曲线运动运动的合成与分解1．曲线运动(1)速度的方向质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的__切线方向__.(2)运动的性质做曲线运动的物体，速度的__方向__时刻在改变，所以曲线运动是__变速__运动．(3)曲线运动的条件物体所受合外力的方向跟它的速度方向__不在同一条直线上__或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．(4)合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向__指向曲线的“凹”侧__.(5)运动类型的判断①判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．②判断物体是否做曲线运动，要分析合外力是否与速度成一定夹角．≠0，为恒力且与速度不共线．③匀变速曲线运动的条件：F合④非匀变速曲线运动的条件：F≠0，为变力且与速度不共线．合2．运动的合成与分解(1)基本概念合运动．分运动运动的合成运动的分解(2)分解原则根据运动的__实际效果__分解，也可采用正交分解．(3)遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循__平行四边形定则__.①如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为__代数运算__.②两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示．③两个分运动垂直时的合成，(其大小)满足：a合＝a2x＋a2y s合＝x2＋y2v合＝v2x＋v2y1．请判断下列表述是否正确，对不正确的表述，请说明原因．(1)曲线运动的物体速度大小一定发生变化．()解析曲线运动速度的方向一定发生改变，但速度的大小不一定发生变化，比如匀速圆周运动．(2)曲线运动的物体加速度一定是变化的．()解析曲线运动的条件是加速度与速度不共线，加速度大小可以不变，比如平抛运动．(3)曲线运动一定是变速运动．()(4)合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大．()解析由运动的合成与分解可知，合运动的速度可以比分运动的速度大，也可以比分运动的速度小或与分运动的速度相等．(5)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．()(6)只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动．()解析两个直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，主要看合加速度与合初速度的方向是否共线．(7)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动．()解析同(6)．2．质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是()3．下列说法正确的是()A．各分运动互相影响，不能独立进行B．合运动的时间一定比分运动的时间长C．合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束D．合运动的位移大小等于两个分运动位移大小之和一曲线运动的条件及特点[例1](多选)质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做()A ．加速度大小为F3m 的匀变速直线运动B ．加速度大小为2F 3m的匀变速直线运动C ．加速度大小为2F 3m的匀变速曲线运动D ．匀速直线运动(1)判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a 和v 的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，否则做曲线运动．(2)曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线轨迹必定夹在a 、v 方向之间．(3)合力方向与速率变化的关系二运动的合成与分解1．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则．2．两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动[例2]如图所示，在一次抗洪救灾工作中，一架离水面高为h，沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝h －2t2.在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是图中的()[思维导引]①确定伤员B在水平方向和竖直方向的运动性质．②判断伤员的运动轨迹是直线还是曲线及轨迹弯曲方向．合运动和分运动的关系(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响．(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动．小船渡河模型1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．2．三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v .3．三种情况情况图示说明渡河时间最短当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t min＝d v 船渡河位移最短当v 水<v 船时，如果满足v 水＝v 船cos θ，渡河位移最短，x min ＝d ，此时渡河时间t ＝d v 合＝d v 船sin θ当v 水>v 船时，如果船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为x min ＝d v 水v 船[例3]如图所示，一艘轮船正在以4m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v 1＝3m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：(1)发动机未熄灭时，轮船相对于静水行驶的速度大小；(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．关联速度问题1．模型特点绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．2．模型分析(1)合速度→物体的实际运动速度v；(2)分速度其一：沿绳或杆的速度v1；其二：与绳或杆垂直的分速度v2.3．解题方法把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．4．常见模型示例绳(杆)端速度分解的技巧(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．[例5]如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为()A．v sinθB．v cosθC．v tanθD．v cotθ[思维导引]光盘向右的速度是合速度．1．(多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的是()A ．笔尖留下的痕迹是一条抛物线B ．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线C ．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变D ．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变2．如图所示，物体A 、B 经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A 物体受水平向右的力F 的作用，此时B 匀速下降，A 水平向左运动，可知()A ．物体A 做匀速运动B ．物体A 做加速运动C ．物体A 所受摩擦力逐渐增大D ．物体A 所受摩擦力不变3．如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为()A ．v sin αL B ．v L sin αC ．v cos αLD ．v L cos α4．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变．已知第一次实际航程为A 至B ，位移为x 1，实际航速为v 1，所用时间为t 1.由于水速增大，第二次实际航程为A 至C ，位移为x 2，实际航速为v 2，所用时间为t 2.则()A ．t 2>t 1v 2＝x 2v 1x 1B ．t 2>t 1v 2＝x 1v 1x 2C ．t 2＝t 1v 2＝x 2v 1x 1D ．t 2＝t 1v 2＝x 1v 1x 2[例1]如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度()A ．大小和方向均不变B ．大小不变，方向改变C ．大小改变，方向不变D ．大小和方向均改变1．如图所示，小球a 、b 用一轻杆相连，a 求置于水平地面上，b 球靠在竖直墙面上．释放后b 球沿竖直墙面下滑，当滑至轻杆与水平面成θ角时，两小球的速度大小之比为()A ．v av b ＝sin θB ．v av b ＝cos θC ．v av b＝tan θD ．v a v b ＝1tan θ2．一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，其他条件不变，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？。
第4章 第1课时曲线运动 运动的合成与分解
第1课时 曲线运动 运动的合成与分解考纲解读 1.掌握曲线运动的概念、特点及条件.2.掌握运动的合成与分解法则．1．[对曲线运动性质和特点的理解]下列关于对曲线运动的认识，正确的是( )A ．曲线运动一定是变速运动B ．曲线运动的速度不断改变，加速度也一定不断改变C ．曲线运动的速度方向一定不断变化，但加速度的大小和方向可以不变D．曲线运动一定是变加速运动答案AC2．[曲线运动的轨迹与速度及合外力的关系]质点仅在恒力F的作用下，在xOy平面内由坐标原点运动到A点的轨迹如图1所示，经过A点时速度的方向与x轴平行，则恒力F 的方向可能沿()图1A．x轴正方向B．x轴负方向C．y轴正方向D．y轴负方向答案 D解析质点做曲线运动时所受合力一定指向曲线的内侧(凹侧)，选项B、C错误；由于初速度与合力初状态时不共线，所以质点末速度不可能与合力共线，选项A错误，选项D正确．3．[对合运动与分运动关系的理解]关于运动的合成，下列说法中正确的是() A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等C．只要两个分运动是直线运动，合运动就一定是直线运动D．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动答案 B4．[合运动与分运动关系的应用]在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图2甲、乙所示，下列说法中正确的是()图2A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D ．4 s 末物体坐标为(6 m,2 m) 答案 AD解析 前2 s 内物体在y 轴方向速度为0，由题图甲知只沿x 轴方向做匀加速直线运动，A 正确；后2 s 内物体在x 轴方向做匀速运动，在y 轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y 轴方向，合运动是曲线运动，B 错误；4 s 内物体在x 轴方向上的位移是x ＝(12×2×2＋2×2) m ＝6 m ，在y 轴方向上的位移为y ＝12×2×2 m ＝2 m ，所以4 s 末物体坐标为(6 m,2 m)，C 错误，D 正确．1．曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上． 2．运动的合成与分解遵循的原则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 3．合运动与分运动的关系(1)等时性合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止． (2)独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响． (3)等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹分析 1．条件物体受到的合外力与初速度不共线． 2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧． 3．速率变化情况判断(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．例1 质量为m 的物体，在F 1、F 2、F 3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F 1、F 2不变，仅将F 3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做( )A ．加速度大小为F 3m 的匀变速直线运动B ．加速度大小为2F 3m的匀变速直线运动 C ．加速度大小为2F 3m的匀变速曲线运动 D ．匀速直线运动解析 物体在F 1、F 2、F 3三个共点力作用下做匀速直线运动，必有F 3与F 1、F 2的合力等大反向，当F 3大小不变，方向改变90°时，F 1、F 2的合力大小仍为F 3，方向与改变方向后的F 3夹角为90°，故F 合＝2F 3，加速度a ＝F 合m ＝2F 3m .若初速度方向与F 合方向共线，则物体做匀变速直线运动；若初速度方向与F 合方向不共线，则物体做匀变速曲线运动，综上所述本题选B 、C. 答案 BC例2 如图3所示，光滑水平桌面上，一个小球以速度v 向右做匀速运动，它经过靠近桌边的竖直木板ad 边时，木板开始做自由落体运动．若木板开始运动时，cd 边与桌面相齐，则小球在木板上的投影轨迹是( )图3解析 木板做自由落体运动，若以木板作参考系，则小球沿竖直方向的运动可视为竖直向上的初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动，所以小球在木板上的投影轨迹是B. 答案 B1．合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧．2．曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切．突破训练1 如图4所示为一个做匀变速曲线运动质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，且质点的运动方向是从A 到E ，则下列说法中正确的是 ()图4A ．D 点的速率比C 点的速率大B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90°C ．A 点的加速度比D 点的加速度大D ．从A 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小 答案 A解析 质点做匀变速曲线运动，合力的大小与方向均不变，加速度不变，故C 错误；由B 点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B 点切线垂直且向下，故质点由C 到D 过程，合力做正功，速率增大，A 正确；A 点的加速度方向与过A 的切线方向即速度方向的夹角大于90°，B 错误；从A 到D 加速度与速度的夹角一直变小，D 错误． 考点二 运动的合成及运动性质分析1．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则． 2．合运动的性质判断⎩⎨⎧加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动3．两个直线运动的合运动性质的判断 标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.例3 12个力的方向不变，但F 1突然增大ΔF ，则质点此后( )A ．一定做匀变速曲线运动B ．在相等时间内速度变化一定相等C ．可能做变加速曲线运动D ．一定做匀变速直线运动解析 质点受到两个恒力F 1、F 2的作用，由静止开始沿两个 恒力的合力方向做匀加速直线运动，如图所示，此时运动方 向与F 合方向相同；当力F 1发生变化后，力F 1与F 2的合力 F 合′与原合力F 合相比，大小和方向都发生了变化，此时合力F 合′方向不再与速度方向相同，但是F 合′仍为恒力，故此后质点将做匀变速曲线 运动，故A 正确，C 、D 错误；由于合力恒定不变，则质点的加速度也恒定不变，由a ＝ΔvΔt可得Δv ＝a Δt ，即在相等时间内速度变化也必然相等，则B 正确． 答案 AB突破训练2 如图5所示，吊车以v 1的速度沿水平直线向右匀速行驶，同时以v 2的速度匀速收拢绳索提升物体，下列表述正确的是( )图5A ．物体的实际运动速度为v 1＋v 2B．物体的实际运动速度为v 21＋v 22C ．物体相对地面做曲线运动D ．绳索保持竖直状态 答案 BD解析 物体在两个方向均做匀速运动，因此合外力F ＝0，绳索应在竖直方向，实际速度为v 21＋v 22，因此选项B 、D 正确．15．运动的合成与分解实例——小船渡河模型小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝dv 1(d 为河宽)．②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1.③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图6所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s短＝dcos α＝v 2v 1d .图6例4 一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m /s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如图所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s. t ＝d v 2＝1805s ＝36 sv ＝v 21＋v 22＝525 m/s x ＝v t ＝90 5 m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示．有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m.t ′＝d v 2cos 30°＝180523 s ＝24 3 s答案 见解析求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，在船的航行方向也就是船头指向方向的运动，是分运动．船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法则求极限的方法处理．突破训练3 已知河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，且v 2>v 1，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景如图7所示，依次是( )图7A ．①②B ．①⑤C ．④⑤D ．②③答案 C解析 船的实际速度是v 1和v 2的合速度，v 1与河岸平行，对渡河时间没有影响，所以v 2与河岸垂直即船头指向对岸时，渡河时间最短为t min ＝dv 2，式中d 为河宽，此时合速度与河岸成一定夹角，船的实际路线应为④所示；最短位移即为d ，应使合速度垂直河岸，则v 2应指向河岸上游，实际路线为⑤所示，综合可得选项C 正确．16．“关联”速度问题——绳(杆)端速度分解模型1．模型特点沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等． 2．思路与方法合运动→绳拉物体的实际运动速度v分运动→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳(或杆)的速度v 1其二：与绳(或杆)垂直的分速度v 2方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则． 3．解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．图8例5 如图9所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v ，绳AO 段与水平面的夹角为θ，OB 段与水平面的夹角为α.不计摩擦和轮的质量，则此时小船的速度多大？图9解析 小船的运动引起了绳子的收缩以及绳子绕定滑轮转动的效果，所 以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向，分解如图 所示，则由图可知 v A ＝v cos θ. 答案v cos θ解决此类问题时应把握以下两点： (1)确定合速度，它应是小船的实际速度；(2)小船的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转动．应根据实际效果进行运动的分解．高考题组1．(2011·四川·22(1))某研究性学习小组进行如下实验：如图10所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R .将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y 轴重合，在R 从坐标原点以速度v 0＝3 cm /s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R 的坐标为(4,6)，此时R 的速度大小为________ cm/s.R 在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R 视为质点)图10答案 5 D解析 红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D 图所示．因为竖直方向匀速，由y ＝6 cm ＝v 0t 知t ＝2 s ，水平方向x ＝v x 2·t ＝4 cm ，所以v x ＝4 cm/s ，因此此时R 的速度大小v ＝v 2x ＋v 20＝5 cm/s.2．(2013·全国新课标Ⅰ·24)水平桌面上有两个玩具车A 和B ，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R .在初始时橡皮筋处于拉直状态，A 、B 和R 分别位于直角坐标系中(0,2l )、(0，－l )和(0,0)点．已知A 从静止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀加速运动；B 平行于x 轴朝x 轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R 在某时刻通过点(l ，l )．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B 运动速度的大小． 答案146al 解析 设B 车的速度大小为v .如图，标记R 在时刻t 通过点K (l ，l )，此时A 、B 的位置分别为H 、G .由运动学公式，H 的纵坐标y A 、G 的横坐标x B 分别为yA ＝2l ＋12at 2①x B ＝v t②在开始运动时，R 到A 和B 的距离之比为2∶1，即OE ∶OF ＝2∶1 由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R 到A 和B 的距离之 比都为2∶1.因此，在时刻t 有HK ∶KG ＝2∶1 ③ 由于△FGH ∽△IGK ，有HG ∶KG ＝x B ∶(x B －l ) ④ HG ∶KG ＝(y A ＋l )∶(2l ) ⑤ 由③④⑤式得x B ＝32l⑥ y A ＝5l⑦联立①②⑥⑦式得v ＝146al模拟题组3．一只小船在静水中的速度为3 m /s ，它要渡过一条宽为30 m 的河，河水流速为4 m/s ，则这只船( )A ．不可能渡过这条河B ．可以渡过这条河，而且最小位移为50 mC ．过河时间不可能小于10 sD ．不能沿垂直于河岸方向过河 答案 CD4．有一个质量为2 kg 的质点在x －y 平面上运动，在x 方向的速度图象和y 方向的位移图象分别如图11甲、乙所示，下列说法正确的是( )图11A ．质点所受的合外力为3 NB ．质点的初速度为3 m/sC ．质点做匀变速直线运动D ．质点初速度的方向与合外力的方向垂直 答案 A解析 由题图乙可知，质点在y 方向上做匀速运动，v y ＝xt ＝4 m/s ，在x方向上做匀加速直线运动，a ＝ΔvΔt＝1.5 m/s 2，故质点所受合外力F ＝ma＝3 N ，A 正确．质点的初速度v ＝v 2x 0＋v 2y ＝5 m/s ，B 错误．质点做匀变速曲线运动，C 错误．质点初速度的方向与合外力的方向不垂直，如图，θ＝53°，D 错误．(限时：30分钟)►题组1 物体做曲线运动的条件及轨迹分析1．在美国拉斯维加斯当地时间2011年10月16日进行的印地车世界锦标赛的比赛中，发生15辆赛车连环撞车事故，两届印第安纳波利斯500赛冠军、英国车手丹·威尔顿因伤势过重去世．在比赛进行到第11圈时，77号赛车在弯道处强行顺时针加速超越是酿成这起事故的根本原因，下面四幅俯视图中画出了77号赛车转弯时所受合力的可能情况，你认为正确的是( )答案 B解析做曲线运动的物体，所受的合外力指向轨迹凹的一侧，A、D选项错误；因为顺时针加速，F与v夹角为锐角，故B正确，C错误．2．光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图1)，与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力F x和沿y轴正方向的恒力F y，则()图1A．因为有F x，质点一定做曲线运动B．如果F y>F x，质点向y轴一侧做曲线运动C．质点不可能做直线运动D．如果F x>F y cot α，质点向x轴一侧做曲线运动答案 D解析若F y＝F x tan α，则F x和F y的合力F与v在同一直线上，此时质点做直线运动．若F x>F y cot α，则F x、F y的合力F与x轴正方向的夹角β<α，则质点向x轴一侧做曲线运动，故正确选项为D.3．一小船在河中xOy平面内运动的轨迹如图2所示，下列判断正确的是()图2A．若小船在x方向始终匀速，则在y方向先加速后减速B．若小船在x方向始终匀速，则在y方向先减速后加速C．若小船在y方向始终匀速，则在x方向先减速后加速D．若小船在y方向始终匀速，则在x方向先加速后减速答案BD解析若小船在x方向始终匀速运动，根据轨迹弯曲方向可知，在相同的x方向位移内，对应y方向的位移先减小后增大故B正确，同理可知D正确．4．质量为m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿＋x轴方向的力F 1＝8 N 作用了2 s ，然后撤去F 1；再用沿＋y 轴方向的力F 2＝24 N 作用了1 s ，则质点在这3 s 内的轨迹为( )答案 D解析 在t 1＝2 s 内，质点沿x 轴方向的加速度a 1＝F 1m ＝2 m /s 2，2 s 末的速度v 1＝a 1t 1＝4 m/s ，位移x 1＝12a 1t 21＝4 m ；撤去F 1后的t 2＝1 s 内沿x 轴方向做匀速直线运动，位移x 2＝v 1t 2＝4 m ．沿y 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a 2＝F 2m ＝6 m/s 2，位移y ＝12a 2t 22＝3 m ，故3 s 末质点的坐标为(8,3)，故A 、B 错误；由于曲线运动中合力指向轨迹的“凹”侧，故C 错误，D 正确． ►题组2 小船渡河模型问题的分析5．甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距233H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图3所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )图3A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD解析 渡河时间均为Hv sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船在该段时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝233H ，刚好到达A 点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．6．如图4所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变．已知第一次实际航程为A至B ，位移为x 1，实际航速为v 1，所用时间为t 1.由于水速增大，第二次实际航程为A 至C ，位移为x 2，实际航速为v 2，所用时间为t 2.则( )图4A ．t 2>t 1，v 2＝x 2v 1x 1B ．t 2>t 1，v 2＝x 1v 1x 2C ．t 2＝t 1，v 2＝x 2v 1x 1D ．t 2＝t 1，v 2＝x 1v 1x 2答案 C解析 设河宽为d ，船自身的速度为v ，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t ＝d v sin θ，则t 1＝t 2；对合运动，过河时间t ＝x 1v 1＝x 2v 2，故C 正确． 7．一艘小船在静水中的速度大小为4 m /s ，要横渡水流速度为5 m/s 的河，河宽为80 m ．设船加速启动和减速停止的阶段时间很短，可忽略不计．下列说法正确的是 ( )A ．船无法渡过此河B ．小船渡河的最小位移(相对岸)为80 mC ．船渡河的最短时间为20 sD ．船渡过河的位移越短(相对岸)，船渡过河的时间也越短 答案 C解析 只要在垂直于河岸的方向上有速度就一定能渡过此河，A 错．由于水流速度大于静水中船的速度，故无法合成垂直河岸的合速度，B 错．当船头垂直河岸航行时，垂直河岸的分运动速度最大，时间最短，t min ＝804s ＝20 s ，C 对，D 显然错误． ►题组3 “关联”速度模型8．人用绳子通过定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图5所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度是( )图5A ．v 0sin θ B.v 0sin θ C ．v 0cos θD.v 0cos θ答案 D解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与 它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A 的 实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的 合运动，它们之间的关系如图所示．由几何关系可得v ＝v 0cos θ，所以D 项正确．9．如图6所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与重物B 相连，由于B 的质量较大，在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 运动至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度为v A ≠0，B 未落地，这时B 的速度v B ＝________.图6答案 0解析 环A 沿细杆上升的过程中，任取一位置，此时绳与竖直方向的夹 角为α.将A 的速度v A 沿绳方向和垂直于绳的方向进行分解，如图所示， 则v 1＝v A cos α，B 下落的速度v B ＝v 1＝v A cos α.当环A 上升至与定滑轮 的连线处于水平位置时α＝90°，所以此时B 的速度v B ＝0. ►题组4 运动的合成与分解的应用10．某人骑自行车以4 m /s 的速度向正东方向行驶，气象站报告当时是正北风，风速也是4m/s ，则骑车人感觉的风速方向和大小分别是( )A ．西北风，风速4 m/sB ．西北风，风速4 2 m/sC ．东北风，风速4 m/sD ．东北风，风速4 2 m/s答案 D解析 若无风，人以4 m /s 的速度向东行驶，则相当于人不动，风以4 m/s 的速度从东向西刮，而实际风从正北方以4 m/s 的速度刮来，所以人感觉到的风速应是这两个速度的合速度(如图所示)．所以v 合＝v 21＋v 22＝42＋42 m/s ＝4 2 m/s ，风向为东北风，D 项正确．11．如图7所示，在光滑水平面上有坐标系xOy ，质量为1 kg 的质点开始静止在xOy 平面上的原点O 处，某一时刻起受到沿x 轴正方向的恒力F 1的作用，F 1的大小为2 N ，若力F 1作用一段时间t 0后撤去，撤去力F 1后5 s 末质点恰好通过该平面上的A 点，A 点的坐标为x ＝11 m ，y ＝15 m.图7(1)为使质点按题设条件通过A 点，在撤去力F 1的同时对质点施加一个沿y 轴正方向的恒力F 2，力F 2应为多大？ (2)力F 1作用时间t 0为多长？(3)在图中画出质点运动轨迹示意图，在坐标系中标出必要的坐标． 答案 (1)1.2 N (2)1 s (3)见解析图解析 (1)撤去F 1，在F 2的作用下，沿x 轴正方向质点做匀速直线运动，沿y 轴正方向质点做匀加速直线运动．由y ＝12a 2t 2和a 2＝F 2m 可得F 2＝2my t 2代入数据得F 2＝1.2 N.(2)在F 1作用下，质点运动的加速度a 1＝F 1m ＝2 m/s 2由x 1＝12a 1t 20，x －x 1＝v t ＝a 1t 0t .解得t 0＝1 s(3)质点运动轨迹示意图如图所示．。
第4章 1 曲线运动 运动的合成与分解
C 正确，D 错误。
4
练 达标习题
1. 一 质点做匀速直线运动。现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则( )
A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同 D.质点单位时间内速率的变化量总是不变
【答案】BC
其一：沿绳（或杆）的分速度 v1 (2)分运动→
其二：与绳（或杆）垂直的分速度 v2
3
3.解题原则：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速 度大小相等求解。常见实例如下：
【例 4】(多选)如图所示，一段绳子跨过距地面高度为 H 的两个定滑轮，一端连接小车 P，另一端连接物 块 Q，小车最初在左边滑轮的下方 A 点，以速度 v 从 A 点匀速向左运动，运动了距离 H 到达 B 点(绳子足够 长)，下列说法正确的有( ) A．物块匀加速上升 B．物块在上升过程中处于超重状态 C．车过 B 点时，物块的速度为 2v D．车过 B 点时，左边绳子绕定滑轮转动的角速度为 v
【解析】前 2 s 内物体在 y 轴方向速度为 0，由题图甲知物体沿 x 轴方向做匀加速直线运动，A 正确；后 2
s 内物体在 x 轴方向做匀速运动，在 y 轴方向做初速度为 0 的匀加速运动，加速度沿 y 轴方向，合运动是
1×2×2＋2×2
曲线运动，B 错误；4s 内物体在 x 轴方向上的位移是 x＝ 2
vsin 45°＝ 2v，所以左边绳子绕定滑轮转动的角速度为：ω＝ v⊥ ＝ v ，故 D 正
2
2H 2H
确；由几何知识得，当小车运动到绳子与水平方向夹角为α时物块的速度为 v″，则 v″＝vcos α，随α的减小，
第四章第1单元曲线运动运动的合成及分解
1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． 2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速)、v(船的实
际速度)． 3．三种情景 (1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝
(d为河宽)． (2)过河路径最短(v2＜v1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，
x短＝示．关于物体的运动，下列
说法正确的是
()
A．物体做曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小是50 m/s D．物体运动的初速度大小是10 m/s
解析：由v－t图象可以看出，物体在x方向做匀速直线运 动，在y方向做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，A 正确，B错误；物体的初速度为v0＝
一、曲线运动 1．速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点
的 切线方向 ． 2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的 方向 时刻在
改变，所以曲线运动是 变速 运动．
3．曲线运动的条件：物体所受合外力 的方向跟它的速度 方向不在同一条直线上或它的 加速度方向与速度方向 不在一条直线上．
注意区分物体做曲线运动的条件和物体 做匀变速运动的条件，如果物体所受合力为恒力，且合 力与速度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动．
解析：Ff与行驶方向相反，F的分力提供向心力，故选C. 答案：C
3．关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是 ( ) A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和 B．物体的两个分运动若是直线运动，它的合运动可 能是曲线运动 C．合运动和分运动具有等时性 D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个 是曲线运动
1.如图4－1－3所示，沿竖直杆以
速度v匀速下滑的物体A通过轻质
细绳拉光滑水平面上的物体B，细
第1讲曲线运动运动的合成与分解
第1讲曲线运动运动的合成与分解一、运动的合成和分解1.曲线运动(1)速度的方向：质点在某一位置的速度方向，就是曲线在这一点的切线方向．(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．2．运动的合成与分解(1)基本概念①运动的合成：已知分运动求合运动．②运动的分解：已知合运动求分运动．(2)分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解．(3)遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．(4)合运动与分运动的关系①等时性合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．②独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．③等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．(1)合运动的方向就是物体实际运动的方向．(2)考点一对物体做曲线运动条件的理解及应用物体运动的形式，按速度分类有匀速运动和变速运动，按轨迹分类有直线运动和曲线运动．运动的形式取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下：(1)F＝0：静止或匀速运动．(2)F ≠0：变速运动． ①F 为恒量时：匀变速运动． ②F 为变量时：非匀变速运动．(3)F 和v 0的方向在同一直线上时：直线运动． (4)F 和v 0的方向不在同一直线上时：曲线运动．【典例1】 物体受到几个力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )．A ．匀速直线运动或静止B ．匀变速直线运动C ．曲线运动D ．匀变速曲线运动【变式1】 两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v 1和v 2，加速度分别为a 1和a 2，它们的合运动的轨迹( )．A ．如果v 1＝v 2≠0，那么轨迹一定是直线B ．如果v 1＝v 2≠0，那么轨迹一定是曲线C ．如果a 1＝a 2，那么轨迹一定是直线D ．如果a 1a 2＝v 1v 2，那么轨迹一定是直线 考点二 合运动的性质和轨迹 1．合力方向与速度方向的关系物体做曲线运动时，合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据．2．合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧． 3．速率变化情况判断(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．【典例2】 (2012·安徽六校联考)如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D 点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A 点运动到E 点的过程中，下列说法中正确的是( )．A ．质点经过C 点的速率比D 点的大B ．质点经过A 点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C ．质点经过D 点时的加速度比B 点的大D ．质点从B 到E 的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小【变式2】 一质点在恒力F 的作用下，由O 点运动到A 点的轨迹如图所示，在A 点时的速度方向与x 轴平行，则恒力F 的方向可能沿图示中的( )． A ．F 1的方向 B ．F 2的方向 C ．F 3的方向 D ．F 4的方向3.小船渡河模型 (1)模型特点①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．②三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水的流速)、v (船的实际速度)． ③三种情景a ．过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1(d 为河宽)． b ．过河路径最短(v 2＜v 1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x 短＝d .c.过河路径最短(v 2＞v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：sin θ＝v 1v 2，最短航程：x 短＝d sin θ＝v 2v 1d .【典例】 如图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，从这里向下游100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为4 m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )．A.433 m/s B.833m/s C ．2 m/s D ．4 m/s1.(2009·广东)船在静水中的航速为v 1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v 1相对v 2的方向应为( )．2．(2009·江苏)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，下列图中描绘下落速度的水平分量大小v x 、竖直分量大小v y 与时间t 的关系图像，可能正确的是( )．3．(2010·上海单科)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )．A．下落的时间越短 B．下落的时间越长C．落地时速度越小D．落地时速度越大4．(2011·四川卷，22(1))某研究性学习小组进行如下实验：如图4－1－6所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R 的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R视为质点)图4－1－65.(2011·江苏卷)如图4－1－7所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )．A．t甲<t乙 B．t甲＝t乙C．t甲>t乙 D．无法确定1．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内( )．A．速度一定不断改变，加速度也一定不断改变B．速度一定不断改变，加速度可以不变C．速度可以不变，加速度一定不断改变D．速度可以不变，加速度也可以不变2．一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后的运动情况是( )．A．物体做匀变速曲线运动B．物体做变加速曲线运动C．物体沿F1的方向做匀加速直线运动D．物体做直线运动3．(2012·唐山模拟)关于运动的合成，下列说法中正确的是( )．A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等C．只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动D．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动4．质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力．图中可能正确的是( )．5.如图4－1－1所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔笔尖的运动及其所留下的痕迹的判断中正确的有( )．A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终不变。
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解(学生版)
第1讲曲线运动运动的合成与分解1．曲线运动(1)速度的方向质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的__切线方向__.(2)运动的性质做曲线运动的物体，速度的__方向__时刻在改变，所以曲线运动是__变速__运动．(3)曲线运动的条件物体所受合外力的方向跟它的速度方向__不在同一条直线上__或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．(4)合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向__指向曲线的“凹”侧__.(5)运动类型的判断①判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．②判断物体是否做曲线运动，要分析合外力是否与速度成一定夹角．③匀变速曲线运动的条件：F合≠0，为恒力且与速度不共线．④非匀变速曲线运动的条件：F合≠0，为变力且与速度不共线．2．运动的合成与分解(1)基本概念分运动运动的合成合运动．运动的分解(2)分解原则根据运动的__实际效果__分解，也可采用正交分解．(3)遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循__平行四边形定则__.①如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为__代数运算__.②两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示．③两个分运动垂直时的合成，(其大小)满足：a合＝a2x＋a2y s合＝x2＋y2v合＝v2x＋v2y1．请判断下列表述是否正确，对不正确的表述，请说明原因．(1)曲线运动的物体速度大小一定发生变化．()解析曲线运动速度的方向一定发生改变，但速度的大小不一定发生变化，比如匀速圆周运动．(2)曲线运动的物体加速度一定是变化的．()解析曲线运动的条件是加速度与速度不共线，加速度大小可以不变，比如平抛运动．(3)曲线运动一定是变速运动．()(4)合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大．()解析由运动的合成与分解可知，合运动的速度可以比分运动的速度大，也可以比分运动的速度小或与分运动的速度相等．(5)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．()(6)只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动．()解析两个直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，主要看合加速度与合初速度的方向是否共线．(7)两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动．()解析同(6)．2．质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是()3．下列说法正确的是()A．各分运动互相影响，不能独立进行B．合运动的时间一定比分运动的时间长C．合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束D．合运动的位移大小等于两个分运动位移大小之和一曲线运动的条件及特点[例1](多选)质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做()A ．加速度大小为F 3m 的匀变速直线运动B ．加速度大小为2F 3m的匀变速直线运动 C ．加速度大小为2F 3m的匀变速曲线运动 D ．匀速直线运动(1)判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a 和v 的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，否则做曲线运动．(2)曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线轨迹必定夹在a 、v 方向之间．(3)合力方向与速率变化的关系二 运动的合成与分解1．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则．2．两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动 匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动[例2]如图所示，在一次抗洪救灾工作中，一架离水面高为h，沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝h －2t2.在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是图中的()[思维导引]①确定伤员B在水平方向和竖直方向的运动性质．②判断伤员的运动轨迹是直线还是曲线及轨迹弯曲方向．合运动和分运动的关系(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响．(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动．小船渡河模型1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． 2．三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v . 3．三种情况 情况 图示说明渡河时 间最短当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t min＝d v 船 渡河位 移最短当v 水<v 船时，如果满足v 水＝v 船cos θ，渡河位移最短，x min ＝d ，此时渡河时间t ＝d v 合＝dv 船sin θ当v 水>v 船时，如果船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为x min ＝d v 水v 船[例3]如图所示，一艘轮船正在以4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v 1＝3 m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：(1)发动机未熄灭时，轮船相对于静水行驶的速度大小； (2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．关联速度问题1．模型特点绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．2．模型分析(1)合速度→物体的实际运动速度v；(2)分速度其一：沿绳或杆的速度v1；其二：与绳或杆垂直的分速度v2.3．解题方法把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．4．常见模型示例绳(杆)端速度分解的技巧(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．[例5]如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为()A．v sin θB．v cos θC．v tan θD．v cot θ[思维导引]光盘向右的速度是合速度．1．(多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的是( )A ．笔尖留下的痕迹是一条抛物线B ．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线C ．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变D ．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变2．如图所示，物体A 、B 经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A 物体受水平向右的力F 的作用，此时B 匀速下降，A 水平向左运动，可知( )A ．物体A 做匀速运动B ．物体A 做加速运动C ．物体A 所受摩擦力逐渐增大D ．物体A 所受摩擦力不变3．如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )A ．v sin αLB ．v L sin αC ．v cos αLD ．vL cos α4．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变．已知第一次实际航程为A 至B ，位移为x 1，实际航速为v 1，所用时间为t 1.由于水速增大，第二次实际航程为A 至C ，位移为x 2，实际航速为v 2，所用时间为t 2.则( )A ．t 2>t 1 v 2＝x 2v 1x 1B ．t 2>t 1 v 2＝x 1v 1x 2C ．t 2＝t 1 v 2＝x 2v 1x 1D ．t 2＝t 1 v 2＝x 1v 1x 2[例1]如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )A ．大小和方向均不变B ．大小不变，方向改变C ．大小改变，方向不变D ．大小和方向均改变1．如图所示，小球a 、b 用一轻杆相连，a 求置于水平地面上，b 球靠在竖直墙面上．释放后b 球沿竖直墙面下滑，当滑至轻杆与水平面成θ角时，两小球的速度大小之比为( )A ．v av b ＝sin θB ．v av b ＝cos θC ．v av b ＝tan θD ．v a v b ＝1tan θ2．一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，其他条件不变，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？。
曲线运动 运动的合成与分解(学生班)
第四章曲线运动运动的合成与分解一、知识梳理：1．运动特点:曲线运动的速度：曲线运动中速度的方向是在曲线上某点的方向，是时刻的，具有加速度，因此曲线运动一定是运动，但变速运动不一定是曲线运动．2．物体做曲线运动的条件:(1)从动力学角度看，如果物体所受合外力方向跟物体的方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动．(2)从运动学角度看，就是加速度方向与方向不在同一条直线上．经常研究的曲线运动有平抛运动和匀速圆周运动．3．运动的合成与分解:已知分运动求合运动称为运动的；已知合运动求分运动称为运动的．两者互为逆运算．在对物体的实际运动进行分析时，可以根据分解，也可以采用正交分解．二、重点知识：2. 合力方向与轨迹的关系（）物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．3．速率变化情况判断4、船渡河的问题：用v1表示水速，v2表示船速 （1）、①时间最短：当v 2⊥岸时，最短时间为t=d/v 2与v 1无关。
②路程最短：当v 1＜v 2时，最短路程为d ； 当v 1＞v 2时，最短路程程为v 1d/v 2（如右图所示）。
例题、某人以一定的速度垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，关于它过河所需时间、发生的位移与水速的关系正确的是：A 、水速小时，位移小，时间短；B 、水速大时，位移大，时间短；C 、水速大时，位移大，时间不变；D 、位移、时间与水速无关。
练习、如图所示，一条小船位于200m 宽的河的正中点A 处，从这里向下游1003m 处有一危险区，当时水流速度为4.0m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（ ）A 、334m/sB 、338m/s C 、2.0m/s D 、4.0m/s（2）关联体问题：确认合速度和分速度，注意与受力分析的分解图区分开来例题、如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的前提条件下，当小车向右匀速运动时，下列说法正确的是A 、物体A 也在做匀速直线运动B 、绳子的拉力始终大于物体A 所受的重力C 、绳子对物体A 的拉力逐渐增大D 、绳子对物体A 的拉力逐渐减小三、课内练习：1．一个质点由西向东运动，现施加一个正北方向的力的作用．则原点的运动方向将向（ ）A ．正北方向偏折B ．正南方向偏折C ．东北方向偏折D ．东南方向偏折2．一个原点受两个恒力作用，在水平面上做匀速直线运动，现撤去其中一个力，则物体 （ ）A ．一定做直线运动B ．可能做直线运动C ．一定做曲线运动D ．可能做曲线运动3．关于曲线运动下列说法正确的是 （ ）A ．曲线运动一定是变速运动B ．曲线运动一定是变加速运动C ．做曲线运动的物体所受到的外力一定是变力D ．变速运动一定是曲线运动4．如图5－1所示：物体在恒力F作用下，沿曲线从A点运动到B点，这时突然使它所受力大小不变，但方向改变180°，即由F变成－F，则在此力的作用下，物体以后的运动情况是（）A．物体将沿曲线a运动B．物体将沿曲线b运动C．物体将沿曲线c运动D．物体将沿原曲线由B点返回A点5．物体运动的速度方向，加速度方向与作用在物体上合外力的方向的关系是（）A．物体的速度方向、加速度方向、合外力方向三者总是相同的B．物体速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总与合外力的方向一致C．物体速度方向总与合外力的方向一致，加速度的方向与合外力的方向可能一致也可能不同D．速度方向可以与加速度方向或合外力方向成任意夹角6.关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )A.两个直线运动的合运动一定是直线运动B.两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动C.两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动D.两个初速度为0的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动课外基础练习：1．关于质点做曲线运动的条件，下列说法中正确的是：（）A．初速度不为零的质点受到与初速度的方向不在同一直线上的外力作用B．质点受到外力的作用C．质点在恒力作用下，不可能做曲线运动D．质点受到的外力与加速度有一夹角2．关于物体做曲线运动，下列说法中正确的是：（）A．物体做曲线运动时，所受的合外力一定不为零B．物体所受的合外力不为零时，一定做曲线运动C．物体做曲线运动时，受到的力一定不是恒力D．物体在变力作用下，可以做曲线运动3．下列说法中符合实际的是：（）A．足球沿直线从球门的右上角射入球门B．足球在空中划有一条美丽的弧线挂右上角而入球门C．台球桌上红色球沿直线落入中袋D．台球桌上红色球沿弧线落入中袋4．下列说法中正确的是：（）A．做曲线运动的物体所受合外力一定不等于零B．物体所受合外力不为零，则物体必做曲线运动C．静止的物体受到恒定的合外力后，可能做曲线运动D．静止的物体受到恒定的合外力后，不可能做曲线运动5．物体做曲线运动，则：（）A．它的速度的方向改变，所以无法确定其速度方向B．只要确定其运动轨迹，就可以确定任意位置的速度方向C．只要确定其运动轨迹，就可以确定任意时刻的速度D．它的加速度一定是随时改变的6．曲线运动是________（填“匀速”或“变速”）运动，做曲线运动的质点，在曲线上某点的速度方向是________．7、在运动的合成和分解的实验中，红蜡块在长1 m的竖直放置的玻璃管中在竖直方向能做匀速直线运动．现在某同学拿着玻璃管在水平方向上做匀加速直线运动，并每隔1 s画出蜡块运动所到达的位置，如图4－1－19所示，若取轨迹上C点(x1，y1)作该曲线的切线(图中虚线)交y轴于A点，则A的坐标()A．(0,0.6y1) B．(0,0.5y1)C．(0,0.4y1) D．无法确定8、河宽300m，水流速度为3m/s，小船在静水中的速度为5m/s，问：(1)以最短时间渡河，时间为多少?可达对岸的什么位置?(2)以最短航程渡河，船头应向何处?渡河时间又为多少?。
课件5：4.1 曲线运动 运动的合成与分解
v cos θ=u
1
cos θ= 3
渡河时间为t= vsiln θ
= 300
3 sin θ
s≈106.1 s。
(3)设船头与上游河岸夹角为α,则有(v cos α-u)t=x vt sin α=l
两式联立得:α=53°,t=125 s。
【答案】 见解析
2-1 如图所示,一条小船位于200 m宽的河正中A点处,从这里向 下游100 m处有一危险区,当时水流速度为4 m/s,为了使小船避开 危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是 ( )
A.仍匀速滑下 C.可能静止
B.匀加速滑下 D.一定静止
【答案】 B 【解析】对水泥圆筒受力分析,共受到重力(竖直向下),两个弹力FN(垂 直于木棍指向圆筒中心轴线),两个滑动摩擦力Ff(沿木棍向上)。把重力 分解成沿木棍向下的分力G1和垂直于木棍向下的分力G2,G1=G sin α。 圆筒匀速下滑,则在沿木棍方向上有G sin α=2Ff,在垂直木棍平面内画 出受力如图所示,后来两木棍间距离减小,相当于图中β角减小,弹力变小 ,根据Ff'=μFN'可知滑动摩擦力减小,而G sin α不变,即G sin α>2Ff',圆筒 将匀加速滑下。
重难二 小船渡河类问题 【重难点拨】
1.模型概述 在运动的合成与分解问题中,两个匀速直线运动的合运动仍是匀 速直线运动,其中一个速度大小和方向都不变,另一个速度大小不 变,方向在180°范围内(不变的速度所在直线的一侧)变化。我们 对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样 的运动系统可看做“小船渡河模型”。
典例2 河宽l=300 m,水速u=1 m/s,船在静水中的速度v=3 m/s,欲 分别按下列要求过河时,船头应与河岸成多大角度?过河时间是多 少? (1)以最短时间过河;
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第四章第1讲曲线运动运动的合成与分解一、曲线运动1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的_______.2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是_______运动.3.运动的条件：物体所受_______的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的_______方向与速度方向不在同一条直线上.4.合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在_______方向与_______方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.自测1(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是()A.质点速度方向时刻在改变B.质点加速度方向时刻在改变C.质点速度方向一定与加速度方向相同D.质点速度方向一定沿曲线的切线方向自测2已知物体运动的初速度v0的方向及恒力F的方向如下列各图所示，则图中运动轨迹可能正确的是()自测3(多选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是()A.它所受的合外力一定不为零B.它所受的合外力一定是变力C.其速度可以保持不变D.其速度的大小可以保持不变二、运动的合成与分解1.遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循_______.2.合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动_______，不受其他运动的影响. (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的_______. 3.运动性质的判断⎩⎨⎧加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧ 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动4.两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.自测4 (多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )图1A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力无关D.运动员着地速度与风力无关 错误!命题点一曲线运动的条件和特征1.条件物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线.2.特征(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动.(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件).合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲.(4)能量特征：如果物体所受的合外力始终和物体的速度垂直，则合外力对物体不做功，物体的动能不变；若合外力不与物体的速度方向垂直，则合外力对物体做功，物体的动能发生变化.例1下列说法正确的是()A.做曲线运动的物体的速度一定变化B.速度变化的运动一定是曲线运动C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动D.加速度变化的运动一定是曲线运动例2一个物体在光滑水平面上沿曲线MN运动，如图2所示，其中A点是曲线上的一点，虚线1、2分别是过A点的切线和法线，已知该过程中物体所受的合外力是恒力，则当物体运动到A点时，合外力的方向可能是()图2A.沿F1或F5的方向B.沿F2或F4的方向C.沿F2的方向D.不在MN曲线所确定的水平面内变式1如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的()命题点二运动的合成与分解1.分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解.2.要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解.3.两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点.例3由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图3所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为()图3A.西偏北方向，1.9×103 m/sB.东偏南方向，1.9×103 m/sC.西偏北方向，2.7×103 m/sD.东偏南方向，2.7×103 m/s变式2如图4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物()图4A.帆船朝正东方向航行，速度大小为vB.帆船朝正西方向航行，速度大小为vC.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2vD.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v变式3 (多选)如图5甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v －t 图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x －t 图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是()图5A.猴子的运动轨迹为直线B.猴子在2 s 内做匀变速曲线运动C.t ＝0时猴子的速度大小为8 m/sD.猴子在2 s 内的加速度大小为4 m/s 2命题点三 小船渡河模型1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.2.三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v .3.两类问题、三种情景例4 小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度为2 m /s ，船在静水中的航速是4 m/s ，求： (1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时间为多长？(4)若水流速度是5 m/s ，船在静水中的速度是3 m/s ，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？变式4 如图6所示，一艘轮船正在以4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v 1＝3 m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化.求：图6(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小. (2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值.命题点四 绳(杆)端速度分解模型1.模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等. 2.思路与方法合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v分速度→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳(杆)的速度v 1其二：与绳(杆)垂直的分速度v 2方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则. 3.解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图7所示.图7模型1 绳端速度分解模型例5 如图8所示，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )图8A.v sin αB.vsin α C.v cos α D.v cos α变式5 A 、B 两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B 的运动速度v B 为(绳始终有拉力)( )图9A.v 1sin αsin βB.v 1cos αsin βC.v 1sin αcos βD.v 1cos αcos β模型2 杆端速度分解模型例6 如图10所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在光滑水平杆OC 上的质量为M 的小环运动，运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的速度将( )图10A.逐渐增大B.先减小后增大C.先增大后减小D.逐渐减小变式6 一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图11所示，当轻杆到达位置2时，球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )图11A.v 2＝12v 1 B.v 2＝2v 1 C.v 2＝v 1 D.v 2＝3v 1变式7两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球a和b，小球a、b 间用一细直棒相连，如图12所示.当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a、b实际速度大小之比.图12综合练习1.下列关于运动和力的叙述中，正确的是()A.做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B.做圆周运动的物体，所受的合力一定指向圆心C.物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D.物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同2.一质点做曲线运动，速率逐渐减小.关于它在运动过程中P点的速度v和加速度a的方向，下列描述准确的图是()3.小船过河时，船头偏向上游与河岸成α角，船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是()A.减小α角，增大船速vB.增大α角，增大船速vC.减小α角，保持船速v不变D.增大α角，保持船速v不变4.如图1所示，蜡块在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v.若在蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a，则蜡块的实际运动轨迹可能是图中的()图1A.直线PB.曲线QC.曲线RD.无法确定5.帆船船头指向正东以速度v(静水中速度)航行，海面正刮着南风，风速为3v，以海岸为参考系，不计阻力.关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法中正确的是()A.帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2vB.帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为2vC.帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2vD.帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为2v6.(多选)质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图2甲、乙所示，由图可知()图2A.最初4 s内物体的位移为8 2 mB.从开始至6 s末物体都做曲线运动C.最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体做直线运动D.最初4 s内物体做直线运动，接下来的2 s内物体做曲线运动7.(多选)河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图3甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则()图3A.船渡河的最短时间是100 sB.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C.船在河水中航行的轨迹是一条直线D.船在河水中的最大速度是4 m/s8.如图4为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是()图4A.质点经过C点的速率比D点的大B.质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C.质点经过D点时的加速度比B点的大D.质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小9.如图5所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为()图5A.水平向左，大小为vB.竖直向上，大小为v tan θC.沿A杆斜向上，大小为vcos θ D.沿A杆斜向上，大小为v cos θ10.如图6所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝3400x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是()图6A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中的最大速度是5 m/sC.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度D.小船渡河的时间是160 s11.(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河.河水流速为v0.两船在静水中的速率均为v.甲、乙两船船头与河岸夹角均为θ，如图7所示，已知甲船恰好能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为l.则下列判断正确的是()图7A.甲、乙两船同时到达对岸B.若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变C.不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ，甲船总能到达正对岸的A点D.若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为l12.在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x 方向和y方向的x－t图象和v y－t图象分别如图8甲、乙所示，求：图8(1)运动后4 s内质点的最大速度；(2)4 s末质点离坐标原点的距离.13.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？。