2021年高一数学上学期高频考点突破专题10指数函数含解析人教A版必修一.docx

专题10 指数函数模块一：指数幂运算1．根式⑴ 如果存在实数x ，使得n x a = (a ∈R ，1n >，n *∈N )，则x 叫做a 的n 次方根．n 叫做根指数．⑶ 根式的性质：① na =，(1n >，且*n ∈N )a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩，当为奇数，当为偶数 2．分数指数⑴ 规定正数的正分数指数幂的意义：)01m na a m n n *=>∈>N ，，，且 ⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：()101mnm naa m n n a-*=>∈>N，，，且3．实数指数幂的运算法则a a a αβαβ+=；()a a αβαβ= ；()ab a b ααα= （其中0a >，0b >，对任意实数α，β）． 考点1：分数指数幂运算例1.（1）11063471.5()86-⨯-+ ．【解答】解：12106233433433722215()82(23)()2231106333-⨯-+⨯+⨯--=++-=，故答案为：110例2.（1）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【解答】解：11111222222111111222222()2()()()x y x y x y xy x yx yx y x y --+-==-++-，①又12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．x y <，∴x y -=-将②、③代入①式得11122211229x yx y-==+．（2）已知11223x x-+=，求22123x xx x--+-+-的值．【解答】解：由11223x x-+=，则112122()29x x x x--+=++=，则17x x-+=，则1222()249x x x x--+=++=，则2247x x-+=，∴2212472453734x xx x--+--==+--模块二：指数函数图像的应用指数函数：一般地，函数且，叫做指数函数.指数函数图象与性质：考点2：指数幂比较大小例3.(1)已知0.80.5a=，0.50.8b=，0.80.8c=，则()A．c b a<<B．c a b<<C．a b c<<D．a c b<<【解答】解：0.80.50.50.5a=<，xy a=(0a>1a≠)x∈R0.50.50.80.5b =>，b a ∴>，又0.80.80.80.5c =>，c a ∴>， 又0.50.80.80.8b c =>=，a cb ∴<<．故选：D ．(2)已知20.3a =； 1.50.3b =；0.32c =，则( ) A ．b c a >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a b c >>【解答】解：0.3x y =为减函数，2 1.50>>，故2 1.500.30.30.31a b =<=<=， 2x y =为增函数，0.30>，故0.30221c =>=， 故c b a >>， 故选：C ．模块三：指数型复合函数重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题 考点3：指数型复合函数例4.（1）求函数2233xx y -++=的定义域、值域和单调区间．【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为(,)-∞+∞． 令22()324(1)4u f x x x x ==+-=--． 3u y ∴=是u 的增函数，当1x =时，max y f =（1）81=，而22330x x y -++=>．4033u ∴<，即值域为(0，81]．当1x 时，()u f x =为增函数，3u y =是u 的增函数， 由x 越大推出u 越大，u 越大推出y 越大即x 越大y 越大∴即原函数单调增区间为(-∞，1]；当1x >时，()u f x =为减函数，3u y =是u 的增函数， 由x 越大推出u 越小，u 越小推出y 越小， 即x 越大y 越小∴即原函数单调减区间为[1，)+∞．证明同上．（2）函数221()2x x y -=的值域为( )A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(0，1]2D ．(0，2]【解答】解：令22()2(1)11t x x x x =-=--+1()2t y =单调递减∴21211()()22x x -即12y故选：A ．（3）当1x 时，函数1422x x y +=-+的值域为( ) A ．[1，)+∞B ．[2，)+∞C ．[1，2)D ．[1，2]【解答】解：122422(2)222(21)1x x x x x y +=-+=-+=-+， 设2x t =，1x ，02t ∴<，则函数等价为2(1)1y t =-+，02t <，12y ∴，即函数的值域为[1，2]． 故选：D ．例5.已知定义域为R 的函数13()33x x af x +-+=+是奇函数．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并用定义法证明函数()f x 的单调性．【解答】解：（Ⅰ）()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，则030a -+=，解得1a =，()f x ∴的解析式为131()33x x f x +-+=+； （Ⅱ）131()33x x f x +-+=+，121()3331xf x ∴=-++是R 上的减函数； 证明如下：在R 上任取12x x <， 则12()()f x f x -122121()()333131x x =-++ 21122333(31)(31)x x x x -=++； 12x x <，∴21330x x ->，1310x +>，2310x +>， ∴2112330(31)(31)x x x x ->++；即12()()f x f x >； ()f x R ∴上的减函数．例6.已知定义域为R 的函数13()3x x af x b+-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 在R 上是增函数，求不等式(2)(1)0f x f x +-<的解集． 【解答】（本小题满分12分）解：（1）定义域为R 的函数13()3x x a f x b+-=+是奇函数，∴由题意知函数()f x 为定义在R 上的奇函数可知03(0)03af b-==+，解得1a =由(1)f f -=-（1），知102311333b b---=++，解得3b =． （2）由()f x 在R 上是增函数且为奇函数，(2)(1)f x f x <-- 即(2)(1)f x f x <-，则有21x x <-， 解得13x <，∴不等式(2)(1)0f x f x +-<的解集为13x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．例7.已知函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的增函数；（3）是否存在m 使2(24)(42)(0)f t f m t f -+->对任意[0t ∈，1]均成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数． 02(0)021f a ∴=-=+， 解得1a =．证明：（2）由（1）知2()121xf x =-+，定义域为R ， 在R 上任取1x ，2x ，令12x x <，121222()()(1)(1)2121x x f x f x ∴-=---++ 122112222(22)2121(21)(21)x x x x x x -=-=++++ 12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>， 12()()0f x f x ∴-<，∴函数()f x 是R 上的增函数．解：（3）假设存在m 使2(24)(42)(0)f t f m t f -+->对任意[0t ∈，1]均成立， ()f x 在R 上既是奇函数，又是增函数，2(24)(42)(24)f t f m t f t m ∴->--=-对任意[0t ∈，1]均成立， ∴2242401t t m t ⎧->-⎨⎩，即22201t t m t ⎧->-⎨⎩，1224m ∴--，解得98m ． m ∴的取值范围是9[8，)+∞．课后作业：1. 已知3215532,3,5a b c -===，则( ) A ．b a c << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：35535(2)28a ===，25525(3)39b ===，1b a ∴>>，1030551-<<=，01c ∴<<，c a b ∴<<，故选：D ．2211113322a ---=1a．212111111551111()5113332332236622221661515156666661a bab abababaa aa b a ba b⨯---+--------======． 故答案为：1a． 3．已知13x x -+=，则22x x -+= 7 ；1x x --=． 【解答】解：13x x -+=，1222()29x x x x --∴+=++=， 227x x -∴+=，1222()2725x x x x --∴-=+-=-=，∴1x x --=故答案为：7,．4．如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[1-，1]上的最大值是14，则实数a 的值为 ．【解答】解：设x t a =，则函数等价为22()21(1)2y f t t t t ==+-=+-， 对称轴为1t =-，若1a >，则10t a a<， 此时函数的最大值为f （a ）2(1)214a =+-=，即2(1)16a +=， 即14a +=或14a +=-， 即3a =或5a =-（舍)， 若01a <<，则10a ta<， 此时函数的最大值为211()(1)214f a a =+-=，即21(1)16a +=，即114a +=或114a +=-， 即13a =或15a=-（舍)， 解得13a =， 综上3或13；故答案为：3或13；5．求函数221()()2x x f x -=的定义域、值域和单调区间．【解答】解：函数221()()2x x f x -=的定义域为R ；令22t x x =-，则1()()2t y f x ==，22(t x x =-∈-∞，1]，11()()[22t y f x ∴==∈，)+∞，即函数221()()2x x f x -=的值域为1[2，)+∞，22t x x =-在(-∞，1]上为增函数，在[1，)+∞上为减函数，1()2t y =为减函数，∴函数221()()2x x f x -=的单调递增区间为[1，)+∞；单调递减区间为(-∞，1]6．已知1010()1010x xx xf x ---=+．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明()f x 是定义域内的增函数；（3）求()f x 的值域．【解答】（1）1010()()1010x xx xf x f x ----==-+，()f x ∴为奇函数（2）2221012()1101101x x xf x -==-++ 在(,)-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x > 12211222122222222(1010)()()101101(101)(101)x x x x x x f x f x -∴-=-=++++， 而10x y =在R 上为增函数，∴12221010x x >，即12()()f x f x > ()f x ∴在R 上为增函数．（3）21101x y y +=-，而2100x >，即101yy+>-，11y ∴-<<． 所以()f x 的值域是(1,1)-．。