任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识点与题型归纳.

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●高考明方向
1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
★备考知考情
1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题．
2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用．
3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.
一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念
(1)分类⎩⎨⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.
《名师一号》P47 对点自测 1、2
2
注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题1、2
相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
角的表示形式是唯一的吗？
角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x |x ＝k ·360°－90°，k ∈Z}，也可以表示为{x |x ＝k ·360°＋270°，k ∈Z}． (补充)
2、正角 > 零角 > 负角
3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．
4、(1)终边落在坐标轴上的角 1）终边落在x 轴非负半轴上的角 {x|x ＝2kπ，k ∈Z }
2）终边落在x 轴非正半轴上的角 {x|x ＝2kπ+π，k ∈Z }
终边落在x 轴上的角
{x|x ＝kπ，k ∈Z }
3）终边落在y 轴非负半轴上的角
{x|x ＝2kπ+π
2，k ∈Z } 4）终边落在y 轴非正半轴上的角
{x|x ＝2kπ+3π
2
，k ∈Z }
3
终边落在y 轴上的角
{x|x ＝kπ+π
2，k ∈Z }
(2) 象限角 （自己课后完成）
知识点二 弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l ＝|α|r ；
③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和1
2
|α|r 2.
关键：基本公式180︒
→=rad π
《名师一号》P47 对点自测 3
注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3
在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的， 不可混用．
2、弧长公式与扇形面积公式
（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）
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弧长公式||l r α= 扇形面积公式1
2
S lr =
(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交
于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)． (补充)
1
2(补充)关键：立足定义 正弦……一二正，横为零 余弦……一四正，纵为零
正切……一三正，横为零，纵不存在
3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）
知识点三任意角的三角函数
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的
正弦线，余弦线和正切线．
《名师一号》P47 对点自测 6
注意：
《名师一号》P48 问题探究问题4
如何利用三角函数线解不等式
及比较三角函数值的大小？
(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期．
(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较
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大小，应注意三角函数线的有向性．
也可以利用相应图象求解
二、例题分析：
（一)角的表示及象限角的判定
例1.《名师一号》P48 高频考点例1 (1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；
(2)已知α是第三象限角，求α
2所在的象限．
【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．
(2)把α写成集合的形式，从而α
2的集合形式也确定．
解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为
{α|α＝2kπ＋π
3，k∈Z}，
当角的终边在第三象限时，角的集合为
{α|α＝2kπ＋4
3
π，k∈Z}，
故所求角的集合为
{α|α＝2kπ＋π
3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋
4
3
π，k∈Z}
6
＝{α|α＝kπ＋π
3，k∈Z}．
(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋3
2
π(k∈Z)，
∴kπ＋π
2<
α
2<kπ＋
3
4
π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π
2<
α
2<2nπ＋
3
4
π，
α
2是第二象限角，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π
2<
α
2<2nπ＋
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4
π，
α
2是第四象限角，
综上知，当α是第三象限角时，
α
2是第二或第四象限角．
注意:《名师一号》P48 高频考点例1 规律方法
(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
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（二) 弧度制的定义和公式
例1.《名师一号》P48 高频考点 例2
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时， 才使扇形面积最大？
解：(1)设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎨⎧
r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝4，θ＝1
2 故扇形圆心角为1
2
.
(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.
S ＝12θ·r 2＝12
r (40－2r )＝r (20－r )
＝－(r －10)2＋100≤100，
当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．
《名师一号》P47 对点自测 4
注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法
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1.弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝1
2lr ，此时α为弧度．
在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2
360
，
此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． 2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理 应用圆心角所在的三角形．
（三) 三角函数的定义及应用
例1.《名师一号》P48 高频考点 例3
(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，
若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
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，
则y ＝________.
解：(1)r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－25
5
，
所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2
＝－25
5，
所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.
《名师一号》P47 对点自测 5
(3)(2015·日照模拟)已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．
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解：(3)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩
⎨⎧
sin θ>0，
cos θ<0，
所以θ为第二象限角．
※(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在
x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐
标为________．
解： (2)如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，
AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点， 由题意知BP 的长为2.。