高二下学期开学考试数学(文)试题(无答案)
广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题(含答案解析)
广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}A x x x ==，{}20B x x x =+≥，则A B = （）A ．[]1,0-B ．[)0,∞+C ．[)1,+∞D ．(],1-∞-2．已知复数3i1iz +=-，则z =（）ABC D3．“a b >”是“22log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()y f x =在定义域()1,3-上是减函数，且()()212f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(),1-∞C ．()0,2D ．()1,+∞5．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（）A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂C ．//,,m l m l αβ⊥⊥D ．,//,//l m l m αβ⊥6．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（）A ．2AB AD =B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒C ．1AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒7．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．B ．C ．6D ．8．已知双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴为12A A ，虚轴为12B B ，直线11A B 与直线22B F 相交于点D .若223DF DB =，则C 的离心率等于（）A ．5B ．3CD 二、多选题9．已知双曲线方程C ：22197x y -=，则在该双曲线中下列结论中正确的是（）A ．实轴长为6B ．渐近线方程为3y x =±C ．焦距是4D10．已知数列{}n a 的前n 项和为210n S n n =-，则下列结论正确的有（）A ．{}n a 是递减数列B ．60a >C ．110S >D ．当n S 最小时，5n =11．已知点00(,)P x y 是直线:4l x y +=上的一点，过点P 作圆22:2O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，连接,OA OB ，则（）A ．当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)B ．||PA的取值范围为)+∞C ．当PAB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭12．已知正四面体ABCD 的棱长为O ．点E 满足(01)AE AB λλ=<< ，(01)CF CD μμ=<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（）A ．四边形EMGH 的周长为是变化的B ．四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481C ．当14λ=时，平面α截球O 所得截面的周长为π2D ．当12λμ==时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后与原四面体的公共部分体积为43三、填空题13．抛物线22y x =的准线方程是______.14．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则异面直线1AB 与1BC 所成的角余弦值是______．15．若数列1,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，则123499100a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=________.16．过双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F 的动直线l 与Γ的左支交于A 、B两点，设Γ的右焦点为2F .若存在直线l ，使得22AF BF ⊥，则Γ的离心率的取值范围是______.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =，1b c -=．(1)若4a =，求ABC 的周长；(2)若1cos 7B =，求ABC 的面积．18．等比数列{}n a 中，12a =，且2134,,a a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2121log log n n nb a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项的和n T .19．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD AB ⊥，//AD BC ，π2BAE ∠=，22AB AD AE BC ====，F 是AE 的中点．(1)证明：//BF 平面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．20．已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是C 上在第一象限内的一点，PF 与x 轴垂直，OP =(1)求C 的方程；(2)经过点F 的直线l 与C 交于异于点P 的A ，B 两点，若PAB 的面积为，求l的方程．21．如图1，在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，30A D ∠=︒，在AC 上，且DA DC ==作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接,PB PC ，如图2.(1)若平面PDE ⊥平面BCDE ，求证:BE PD ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --，求PB 的长.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P ．(1)求椭圆C 的标准方程：(2)设点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为1k ，2k ，若1212k k =，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．参考答案：1．B【分析】解不等式求出[)0,A =+∞，[)(]0,,1B =+∞-∞- ，求出交集.【详解】{}[)0,A x x x ∞===+，{}[)(]200,,1B x x x ∞∞=+≥=+⋃--，故A B = [)0,∞+.故选：B 2．D【分析】利用复数除法运算求出复数z ，再求出复数的模作答.【详解】依题意，(3i)(1i)24i12i (1i)(1i)2z +++===+-+，所以z ==.故选：D 3．B【分析】求出22log log a b >的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】22log log 0a b a b >⇔>>，因为“a b >”⇒“0a b >>”且“a b >”⇐“0a b >>”，因此，“a b >”是“22log log a b >”的必要不充分条件.故选：B.4．A【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.【详解】因为函数()y f x =在定义域()1,3-上是减函数，且()()212f a f a -<-，则有1213123212a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是()1,2.故选：A ．5．D【解析】A ，有可能出现α，β平行这种情况.B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.C ，根据面面平行的性质定理判断.D ，根据面面垂直的判定定理判断.【详解】对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误；对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误；对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确.故选：D【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.6．D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D== ，即b c =，12B D c ==a ．对于A ，AB a =，AD b =，AB =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为tan 2c BAE a ∠==，所以30BAE ∠≠ ，B 错误；对于C，AC =，1CB ==，1AC CB ≠，C 错误；对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，11sin 2CD a DB C B D c ∠===1090DB C <∠< ，所以145DB C ∠= ．D 正确．故选：D ．7．C【分析】在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得,OM ON的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，2OM =，(2cos ,2sin )33OM ππ== ，43MP = ，即4(,0)3MP = ，13PN = ，由分形知//PN OM ，所以1()66PN = ，所以5(,)26ON OM MP PN =++= ，所以5162OM ON ⋅=⨯+= ．故选：C ．8．A【分析】连接22A B ，通过构造平行线，由对应线段成比例，解得5c a =，可得双曲线的离心率.【详解】如图所示，223DF DB = ，则223DF DB =，连接22A B ，由双曲线的对称性，可得2211//A B A B ，21221232DF A F a c DB A A a +===，得5c a =，故双曲线的离心率5ce a==．故选：A ．9．ABD【分析】由双曲线方程得到,,a b c 的值，进而得到实轴长，渐近线方程和焦距，利用点到直线距离求出焦点到渐近线的距离.【详解】22197x y -=中3,a b ==，故2229716c a b =+=+=，故4c =，则实轴长为26a =，渐近线方程为b y x a =±=±，B 正确；焦距为28c =，C 错误；由对称性，不妨取焦点()4,0到渐近线30y =距离为d ==D 正确.故选：ABD 10．BCD【分析】由数列前n 项和为210n S n n =-，可求数列通项，然后逐个验证选项.【详解】210n S n n =-，当1n =时，111109a S ==-=-；当2n ≥时，221(10)(1)10(1)211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦注意到1n =时也满足12111a =⨯-，所以数列{}n a 的通项公式为211n a n =-，*N n ∈，12n n a a +-=，{}n a 是递增数列，A 选项错误；6261110a =⨯-=>，B 选项正确；()111116111102a a S a +==>，C 选项正确；()2210525n S n n n =-=--，*N n ∈，当n S 最小时，5n =，D 选项正确.故选：BCD.11．BD【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行判断即可.【详解】解：对于A 选项：当四边形OAPB 为正方形时，则OA OB AP BP ===则圆22:2O x y r +=⇒=2PO ∴=又点00(,)P x y 是直线:4l x y +=上的一点设00(,4)P x x -2PO ∴==，即200460x x -+=该方程Δ0<，0x 无解故不存在点P 使得OAPB 为正方形，A 错误；对于B 选项：由A 知，PA =()222200000428162(2)88PO x x x x x ∴=+-=-+=-+≥226PO ∴-≥，则PA ≥PA 的取值范围是)+∞故B 正确；对于选项C ：若三角形PAB 为等边三角形为等边三角形，易知60APB ︒∠=又OP 平分APB ∠30APO BPO ︒∴∠=∠=在Rt PAO 中，由于OA =sin 30OA OP OP︒∴=⇒=又P 点坐标为：00(,4)x x -()220048x x ∴+-=，即220002880(2)0x x x -+=⇒-=002,2x y ∴==，故C 错误；对于选项D ：00(,4)P x x - ()222000042816PO x x x x ∴=+-=-+记OP 中点为004,22x x D -⎛⎫⎝⎭则以D 为圆心，2PO为半径的圆与圆O 的公共弦为AB∴圆D 方程为222000041(2816)224x x x y x x -⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得2200(4)0x y x x x y +---=联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，化简得00(4)2x x x y +-=即得直线方程为00(4)20x x x y +--=将12x y ==代入方程恒成立；故直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确.故选：BD 12．BD【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A ：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B ：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C ：根据球的性质分析运算；对D ：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.【详解】对于边长为2的正方体1111AB CD A BC D -，则ABCD 为棱长为球心O 即为正方体的中心，连接11B D ，设11AC B D NI =∵1BB 1DD ，11BB DD =，则11BB D D 为平行四边形∴BD 11B D ，又∵BD 平面α，11B D ⊄平面α，∴11B D 平面α，又∵AC 平面α，11AC B D N I =，11,AC B D Ì平面11AB CD ，∴平面α 平面11AB CD ，对A ：如图1，∵平面α 平面11AB CD ，平面α 平面ABC EM =，平面11AB CD 平面ABC AC =，∴EM AC ，则1EM BEAC ABλ==-，即())11EM AC λλ=-=-，同理可得：HE GM 11B D ，HE GM ==，EM GH AC ，)1EM GH λ==-，∴四边形EMGH 的周长L EM MG GH EH =+++=，A 错误；对B ：如图1，由A 可知：HE GM 11B D ，HE GM ==，EM GH AC ，)1EM GH λ==-，∵11AB CD 为正方形，则11AC B D ⊥，∴EMGH 为矩形，根据平行可得：点A 到平面α的距离12d AA λλ==，故四棱锥A EMGH -的体积)()231162133V λλλλ=⨯⨯⨯-=-，则()16233V λλ'=-，∵01λ<<，则当203λ<<时，则0V '>，V 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当213λ<<时，则0V '<，V 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当23λ=时，V 取到最大值6481，故四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481，B 正确；对C ：正四面体ABCD 的外接球即为正方体1111AB CD A BC D -的外接球，其半径R =设平面α截球O 所得截面的圆心为1O ，半径为r ，当14λ=时，则112OO =，∵2221OO r R +=，则22r =，∴平面α截球O 所得截面的周长为2πr =，C 错误；对D ：如图2，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后得到正四面体1111D C B A ，设11111111,,,A D AD P A C BD K B C BC Q B D AC N ====I I I I ，∵12λμ==，则,,,,,E F P Q K N 分别为各面的中心，∴两个正四面体的公共部分为EFPQKN ，为两个全等的正四棱锥组合而成，根据正方体可得：EP K PEQF -的高为1112AA =，故公共部分的体积1422133K PEQF V V -==⨯⨯=，D 正确；故选：BD.【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题.13．18y =-【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出p 的值，即可求解.【详解】由22y x =得抛物线方程为212x y =，所以14p =，所以抛物线22y x =的准线方程是128p y =-=-，故答案为：18y =-.14．14【分析】分别取AB ,BB 1,B 1C 1,的中点L ,M ,N ,则1AB ∥LM ，1BC ∥MN ，进而∠LMN （或其补角）是直线1AB 与1BC 所成角，然后解出LMN 的三边，进而用余弦定理即可解得.【详解】设三棱柱棱长为2，取AB ,BB 1,B 1C 1,BC 的中点分别为L ,M ,N ,P ，连接,,LM MN LN ，∴1AB ∥LM ，1BC ∥MN ，设直线1AB ，1BC 所成角为α，∴cos |cos |LMN α=∠.连接,LP PN ，容易判断NP ⊥LP ，易知：1,2LP NP ==,∴LN ==,易知：LB =BM =1，∠LBM =90°，∴LM ==LM =在LMN 中，由余弦定理：1cos4LMN ∠=-，∴1cos |cos |4LMN α=∠=.故答案为：14.15．5000【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可.【详解】123499100139924100)(()a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，由已知可得199139950()50(098)245022a a a a a ++++⋅⋅⋅+===，21002410050()50(2100)255022a a a a a ++++⋅⋅⋅+===，所以原式245025505000=+=.故答案为5000.【点睛】本题主要考查数列求和问题，涉及分组求和与公式法求和，属中等难度题.16．【分析】由题可设l 为x my c =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立l 与双曲线的方程可得12y y 、12y y +；根据22AF BF ⊥得220F A F B =⋅，将12y y 、12y y +代入可得关于m 的表达式，根据m范围和120y y <可求离心率范围﹒【详解】依题意知直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x my c =-，联立22221x my c x y ab =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22222420b m a y b cmy b --+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由0∆>知，2122222b cm y y b m a +=-，412222b y y b m a =-，由22AF BF ⊥得220F A F B =⋅，故()()12120x c x c y y --+=，即()()2211220my c my c y y --+=，整理得()()2212121240m y y cm y y c +-++=，将12y y 、12y y +代入整理得，()()2422222221440m b m c b c b m a +-+-=，则()242214m b a c +=，∴2224411a c m b+=≥，故()222224a c c a ≥-，∴442260c a a c +-≤，两边除以4a ，得42610e e -+≤，解得233e -≤≤+又∵1e >，∴(2211e <≤+，故11e <≤，又A 、B 在左支且l 过1F ，∴120y y <，即42220b b m a <-，故222a m b<，∴222242411a c a m b b+=<+，∴()22224222224a c a b b b a b b c <+=+=，即22224a b c a <=-，则225a c <，故25e >，即e >1e <≤e ∈+．故答案为：.【点睛】本题的关键在于根据直线l 方程x my c =-里面m 的范围，得到关于a 、b 、c 的不等式，从而求得离心率的范围．17．(1)18(2)【分析】（1）由正弦定理边化角可求出C ，结合余弦定理2222cos c a b ab C =+-，由1b c -=代换b ，求得,c b ，进而得解；（2）由正弦定理sin sin b c B C =，1b c =+代换得1sin sin c cB C+=，求出sin B ，可解得,b c ，由正弦面积公式()11sin sin 22ABC S bc A bc B C ==+△即可求解.【详解】（1cos sin C c A =cos sin sin A C C A =．又sin 0A ≠，所以sin C C =，即tan C =0πC <<，所以π3C =．()()2222216141213c a b ab c c c c =+-=++-+=-+，解得132c =，则152b =．故ABC 的周长18ABC C a b c =++=△；（2）因为1cos 7B =，所以sin 7B =．由sin sin b cB C=，1b c =+72=7c =，8b =．故ABC 的面积()1111sin sin 28227272ABC S bc A bc B C ⎛==+=⨯+⨯= ⎝⎭△18．(1)2n n a =(2)111n T n =-+【分析】（1）设出公比，得到()24132a a a a +=+，求出公比，得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到()11111n b n n n n ==-++，裂项相消法求和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q .因为12a =，且2134,,a a a a +已成等差数列，所以()24132a a a a +=+，因为()221311110a a a a q a q +=+=+≠，所以24132a a a a +=+，即2q =，所以数列{}n a 的通项公式为1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为2n n a =，所以数列()2121111log log 11n n n b a a n n n n +===-⋅++所以数列{}n b 前n 项的和1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)证明见解析(2)23【分析】（1）取DE 中点G ，结合三角形中位线性质可证得四边形BCGF 为平行四边形，从而得到//BF CG ，由线面平行的判定可证得结论；（2）根据面面垂直性质可得AD ⊥平面ABE ，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点到面距离的向量求法可求得结果.【详解】（1）取DE 中点G ，连接,FG CG，,F G 分别为,AE DE 中点，//FG AD ∴，12FG AD =，又//AD BC ，12BC AD =，//BC FG ∴，BC FG =，∴四边形BCGF 为平行四边形，//BF CG ∴，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，//BF ∴平面CDE .（2） 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，又π2BAE ∠=，则以A 为坐标原点，,,AB AE AD正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0F ，()2,0,1C ，()0,0,2D ，()0,2,0E ，()2,0,1CD ∴=- ，()0,2,2DE =- ，()0,1,0FE =，设平面CDE 的法向量(),,n x y z = ，则20220CD n x z DE n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，解得：2y =，2z =，()1,2,2n ∴= ，∴点F 到平面CDE 的距离23FE n d n⋅== .20．(1)212y x=(2)y =-y =+【分析】（1）根据抛物线方程以及P的位置关系，由OP =（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设出直线方程并与抛物线联立方程组，利用弦长公式并根据PAB的面积为即可求得直线的斜率，得到直线方程.【详解】（1）由题可知，点P 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．因为OP =22452p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得p ＝6或p ＝－6（舍去），故C 的方程为212y x =．（2）由题可知，()3,6P ，所以直线l 的斜率一定存在，可设l 的方程为(3)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立方程组2(3)12y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()222261290k x k x k -++=，则2122612k x x k ++=，129x x =．所以PAB 的面积1212S PF x x =-===，解得22k =或223k =-（舍去），故l 的方程为y =-y =+21．(1)证明见解析【分析】(1)由题意知BE DE ⊥，由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PDE ，进而可得BE PD ⊥；(2)作PH BE ⊥所在的直线于点H ,由题意可得知,DE BE DE PE ⊥⊥，所以ED ⊥平面PEB ，即可得平面PBE ⊥平面BCDE ，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，进而可得PGH ∠为二面角P BC E --的平面角，设PGH θ∠=，则tan PH GH θ==304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，，解得12x =，再由PB 计算即可得答案.【详解】（1）证明：由题意知BE DE ⊥，又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE 平面,BCDE DE BE =⊂平面BCDE ，所以BE ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，所以BE PD ⊥；（2）解：由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面,PEB 因而ED ⊥平面PEB ，又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .如图，作PH BE ⊥所在的直线于点H ，又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE .作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，则PGH ∠为二面角P BC E --的平面角，设PGH θ∠=，则tan θ=在ABC 中，90,30,CA D A D C ︒︒∠=∠===，所以34,2,2AB BC AE ===，设304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，因而)PH x ==-，在直角三角形PHG 中，tan PH HG θ==解得12x =或1611x =（舍去），此时3PHH B ==，从而PB==.22．(1)22182x y +=(2)直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意可得28a =，22411a b+=，求出2b ，从而可得椭圆方程，（2）讨论直线AB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线PA 与PB 的斜率，再由1212k k =-列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点．【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，即24118b+=，得22b =所以椭圆方程为22182x y +=，（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由2248y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，得()222418480k x ktx t +++-=，()()2222226444148820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228414841kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()121222241ty y k x x t k +=++=+，()()()2222121212122841t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以()()121212121212111122242y y y y y y x x x x x x -++--⋅==----++，即()()1212121222224y y y y x x x x -++=-++-，则2222222824882222441414141t k t t kt k k k k ---⋅-⋅=-+-++++，所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---，化简得22438210k t kt t ++--=，即()()212310k t k t +-++=，所以12t k =-或123kt +=-，当12t k =-时，直线AB 的方程为()1221y kx k k x =+-=-+，则直线过定点()2,1（舍去），答案第17页，共17页当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为()2x m m =≠，由2248x m x y =⎧⎨+=⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以y =所以()212221112414422m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===--+-，解得2m =（舍去），或23m =，所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中与曲线相交的直线过定点问题，一般采取“设而不求”的思想方法，即设直线方程为y kx m =+，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，直线方程代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得12x x +，12x x 或12y y +，12y y ，然后交点坐标计算其它量(如斜率、弦长等)并利用其满足的性质和题目条件求得参数值或参数k 和m 关系后由直线方程可得定点坐标.。
2022-2023学年四川省宜宾市校高二年级下册学期开学考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省宜宾市校高二下学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．命题“存在，”的否定是（ ）0R x ∈020x ≤A ．不存在，B ．存在，0R x ∈020x >0R x ∈020x ≥C ．对任意的，D ．对任意的，x ∈R 20x<x ∈R 20x>【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】解：由题意∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在，”的否定是：0R x ∈020x ≤对任意的，．x ∈R 20x>故选：D ．2．抛物线的焦点坐标为（ ）243x y=A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.【详解】由得，故焦点为，243x y =234y x =3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图cm 表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）A ．甲乙两班同学身高的极差相等B ．甲乙两班同学身高的平均值相等C ．甲乙两班同学身高的中位数相等D ．乙班同学身高在以上的人数较多175cm【答案】D【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为18215725-=，两班身高极差不相等，故A 错误；18315924-=甲班同学身高的平均值为，1(157158163165166170172178181182)169.210+++++++++=乙班同学身高的平均值为1(159162165167171172176178181183)171.410+++++++++=显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B 错误；根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为1661701682+=，171172171.52+=所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C 错误；由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4175cm 175cm 人，故D 正确.故选;D 4．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ．B ．C ．2D ．12-1-【答案】A【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A5．在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式成立的概率为（ ）220x x +<A ．B ．C ．D ．13122334【答案】B【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.220x x +<20x -<<【详解】解：由可得，220x x +<20x -<<由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.220x x +<20(2)2(2214)---==-故选：B.6．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为1:R p x ∃∈210x x ++<2:[1,2]p x ∀∈210x -≥A ．B ．C ．D ．12p p ⌝∧⌝12p p ∨⌝12p p ⌝∧12p p ∧【答案】D【详解】的解集为空集，故命题为假命题，22(1)430,10x x ∆=--=-<∴++< 1p 1p ⌝为真命题；，使得恒成立，故为真命210,11,x x x -≥∴≥≤ 或[1,2]x ∴∀∈210x -≥2p 题，为假命题；因为真命题，为真命题，故为真命题，答案为C ．2p ⌝1p ⌝2p 12p p ⌝∧7．圆与圆的位置关系为（ ）()221:11O x y -+=()222:39O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.【详解】因为圆的圆心, 半径为,()221:11O x y -+=(1,0)11r =圆的圆心, 半径为，,()222:39O x y -+=(3,0)23r =,而，2=122r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.8．“”是“直线与直线垂直”的（ ）1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据两直线垂直的条件，求解范围即可求解.m 【详解】若直线与直线垂直，则()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=或，()()()()()241104104m m m m m m m -+-+=⇒-+=⇒=1m =-故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=故选：B9．直线与圆交两点.若，则的面积为:l y x =222:(1)(2)(0)C x y a a -+-=>,A B ||=AB a ABC（ ）A B C D 【答案】A【分析】由题知圆心为，半径为，进而根据几何法求弦长得()1,2C r a =，解得，再计算面积即可得答案.AB a ===a =【详解】解：由题知圆心为，半径为，()1,2C r a =所以，圆心到直线的距离为()1,2C :l y x =d ==所以，弦长，即，解得，AB a ===2320a -=a =所以的面积为ABC 1122S AB d ===故选：A10．若，，，则的最小值为（ ）0a >0b >()lg lg lg 3a b a b +=+a b +A ．B ．C ．6D ．4+3+【答案】B【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由，()()()lg lg lg 3lg 3lg 331a b a b a b b ab ab a b a b ⇒=⇒=+⇒=+=+-+因为，，所以，即，0a >0b >10b ->1b >所以33(1)44411b a b b b b b +=+=+-+≥+=+--当且仅当时取等号，即时取等号，311b b =--1b =故选：B11．在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的-P ABC 2,90,AC AB BAC PC ︒==∠=⊥,1ABC PC =体积为（ ）A ．B ．C ．D ．36π12π8π92π【答案】D【解析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为，32r ==则该三棱锥外接球的体积为3442793382V r πππ==⨯=故选：D【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12．是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、12,F F ()2222:10x y C a b a b -=>>1F l C 右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）,A B 22::12:5:13AB BF AF =A B ．C D 2【答案】D【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可2AB BF ⊥a 12,BF BF 构造关于的齐次方程求得离心率.,a c 【详解】设，则，，12AB t=25BF t=213AF t=，；22222AB BF AF += 2AB BF ∴⊥由双曲线定义可知：，，211132AF AF t AF a-=-=1132AF t a ∴=-，，1212172022BF BF AF AB BF AF t t a a ∴-=+-=+=-=15t a ∴=，，11312355BF AF AB a a a ∴=+=+=2BF a=，，则.2221212BF BF F F+= 22294a a c ∴+=e ===故选：D.二、填空题13．若实数，满足约束条件则的最小值为___________.x y 4,2,2,x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-【答案】2-【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.由，得.2z x y =-2y x z =-令直线与直线的交点为，则.2y =2x y +=A ()0,2A 由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值为.2y x z =-A y z 2-故答案为：-214．双曲线的焦距为______．2212x y λλ+=-【答案】【分析】由，可得，，从而即可求解.2λλ>-20a λ=>220b λ=->【详解】解：因为，所以，，2λλ>-20a λ=>220b λ=->所以，解得22222c a b λλ=+=+-=c =所以该双曲线的焦距为．2c =故答案为：15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A .若为正三角形，()222210x y a b a b +=>>1F 2F 12AF F △则该椭圆的离心率为______.【答案】##120.5【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率2a c =【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率12AF F △2a c =122c c e a c ===故答案为：1216．已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为____22:4O x y +=l O ,P Q •2OP OQ =-PQ【答案】【详解】由题12cos 2cos 2OP OQ OP OQ POQ POQ ⋅=-⇒⋅∠=-⇒∠=-则由余弦定理2222cos 12PQ OP OQ OP OQ POQ PQ =+-⋅∠=∴=故答案为：三、解答题17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，(x )x 超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用x .100水量单位：吨，将数据按照,,分成组，制成了如图所示的频率分布直方()[)[)0,0.5,0.5,1⋯[]4,4.59图．(1)求直方图中的值；a (2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；303(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．85％(x )x 【答案】(1)0.3a =(2)万，理由见解析3.6(3)，理由见解析2.9x =【分析】（1）根据各组的累积频率为，构造方程，可得值；1a （2）由图可得月均用水量不低于吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于吨的人数；33（3）由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于吨的频率，进而可得值．2.53x 【详解】（1），()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++= ；0.3a ∴=（2）由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，3()0.50.120.080.040.12⨯++=由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；300.12 3.6⨯=3 3.6（3）由图可得月均用水量低于吨的频率为：；2.5()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于吨的频率为：；3()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．0.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯18．已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.C 320x y +=C (2,0)A -4380x y -+=（1）求的标准方程；C （2）直线与相交于两点，求的面积.:230l x y --=C ,M N CMN 【答案】（1）（2）10()()222325x y -++=【解析】（1）不妨设圆心为，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；(),C a b r （2）由圆心到直线距离公式求得弦心距，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用d 即可求解12S MN d =⋅【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得(),C a b r ()()222x a y b r -+-=，解得，则圆的标准方程为；()22233202485a a b a b rr b ⎧⎪+=⎪-+⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩235a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩C ()()222325x y -++=（2）如图，可求出圆心到直线的距离，:230l x y --=d则半弦长，2l===l =111022CMN S MN d =⨯⋅=⨯=△【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.y x 年份代号x12345高考人数（千人）y 3533282925（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）(1)求关于的线性回归方程；y x (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.（参考公式：）()()()121,niii nii a y bxx x y y b x x ==--==--∑∑【答案】(1) 2.437.2y x =-+(2)22.8千人(3)答案见解析【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；22.4,37.a b =-=（3）言之有理，客观分析即可.【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知，y bx a =+，.3x =30y =所以，25(1)30(2)1(1)2(5)122.441415b -⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-==-=-+++所以，()30 2.4337.2a y bx =-=--⨯=所以关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+（2）由（1）得关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+令，（千人），6x = 2.4637.222.8y =-⨯+=所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.（3）①该市经济发展速度慢；②该市人口数量减少；③到省会城市求学人数增多.20．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.PABD QABC (1)求证：；PQ AB ⊥(2)若，求四面体的体积.2AB =APQB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的CD AB O O AB PO QO 判定定理证得平面，即可得到；AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,PQ ABD △ABC 的长度，结合平面，及，即可求解.1,,PP PQ OA AO ⊥POQ 2A PQB A POQ V V --=【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，ABD △ABC CD AB O 因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，PABD QABC ACBD O AB 连接，，因为，，所以，PO QO PA PB =QA QB =,Q PO AB O AB ⊥⊥又因为，所以平面，所以；PO QO O ⋂=AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）解：在四边形中，过点分别作，垂足分别为，DPQC ,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,P Q 如图所示，可得分别为等边和等边的中心，11,P Q ABD △ABC因为，在等边中，可得2AB =ABD △OD =1DP =1OP =在直角中，可得1DPP 1PP ==同理可得，1OQ =1111PQ PQ OQ OP ==+=由（1）知，平面，可得平面，AB ⊥POQ AO ⊥POQ所以1223A PQB A POQ POQ V V S OA --==⨯⨯⨯=△21．已知平面上动点P 到定点的距离比P 到直线的距离大1.记动点P 的轨迹为曲线C .(2,0)F =1x -（1）求曲线C 的方程；（2）过点的直线交曲线C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点是D ，证明：直线恒(2,0)-l BD 过点F .【答案】（1）（2）证明见解析28y x =【解析】(1)先分析出点P 在直线的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可=1x -(2)设出直线的方程和A 、B 两点坐标，联立方程求出的范围和A 、B 两点纵坐标之和和积，写l m 出直线的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.BD 【详解】（1）不难发现，点P 在直线的右侧，=1x -∴P 到的距离等于P 到直线的距离.(2,0)F 2x =-∴P 的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，(2,0)F 2x =-∴曲线C 的方程为.28y x =（2）设直线的方程为，l 2x my =-()()1122,,,A x y B x y 联立，得，，解得或.228x my y x =-⎧⎨=⎩28160y my -+=264640m ∆=->1m >1m <-∴，.128y y m +=1216y y =又点A 关于x 轴的对称点为D ，()11,D x y -则直线的方程为BD ()212221y y y y x x x x +-=--即()()()22122221218228y y y y y x x x my my y y ⎛⎫+-=-=- ⎪----⎝⎭令，得.0y =22211222888y y y y y x y -=-⋅==∴直线恒过定点，而点.BD (2,0)(2,0)F 【点睛】本题考查了抛物线的定义和综合问题，属于较难题，设而不求法是解决直线与抛物线交点问题的常见方法.22．椭圆的左顶点为2222:1(0)x y M a b a b +=>>()2,0A -(1)求椭圆的方程；M (2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平⎛ ⎝lM ,B C D 4x =-ABCD 行四边形，求直线的方程.l 【答案】(1)；2214x y +=(2)或y x =+y =【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长(4,)D t -AD BC k k =l l ，由求出，即可求得直线的方程.BC BC AD =t l 【详解】（1）由题意知：，故椭圆的方程为；2,c a a ==2221b a c =-=M 2214x y +=（2）设，又，故，又直线经过点，故的方程1122(4,),(,),(,)D t B x y C x y -(2,0)A -2AD BC tk k =-=l ⎛ ⎝l 为2t y x =-联立椭圆方程可得，显然，22214t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()22110t x +--=0∆>，1212211x x x x t +==-+==，由，可得BC AD ==解得或，t =0=t 故直线的方程为或l y x =+y =。
2022-2023学年山东省潍坊市潍坊中学高二下学期开学检测语文试题(解析版)
山东省潍坊市潍坊中学2022-2023学年高二下学期开学检测语文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、非连续性文本阅读阅读下面的文字，完成小题。
材料一：子曰：“学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？” 作为《论语》首章，并不必具有深意。
但由于首章突出的“悦”、“乐”二字，似可借此简略谈论《今读》的一个基本看法：即与西方“罪感文化”、日本“耻感文化”相比较，以儒学为骨干的中国文化的精神是“乐感文化”。
“乐感文化”的关键在于它的“一个世界”（即此世间）的设定。
它具体呈现为“实用理性”（思维方式或理论习惯）和“情感本体”（以此为生活真谛或人生归宿，即道德之上的准宗教体验）。
“乐感文化”“实用理性”乃华夏传统的精神核心。
作为儒学根本，首章揭示的“悦”、“乐”，就是此世间的快乐：它不离人世、不离感性而又超出它们。
学习“为人”以及学习知识技能而实践之，当有益于人、于世、于己，于是心中悦之，一种有所收获的成长快乐。
有朋友从远方来相聚会，来相见面，来相饮酒，来相聊天，不也愉快？特别又从远方来，一定是很久没有见面了，在古代，这就更不容易，当然更加快乐。
这“乐”完全是世间性的，却又是很精神性的，是“我与你”的快乐，而且此“乐”还在“悦”之上。
“悦”仅关乎一己本人的实践，“乐”则是人世间也就是所谓“主体间性”的关系情感。
那是真正友谊情感的快乐。
（选自李泽厚《<论语>今读》）材料二：“乐感文化”不仅是对以儒家为核心的中国传统文化特质的高度概括，更是一种深层的“文化——心理”结构，是对中国人诗性智慧的精审总结。
《论语》作为儒家经典，不仅在中国传统文化中占有举足轻重的地位，而且在中华民族民族性格塑造过程中亦起着不可替代的作用，“孔颜乐处”所揭示的安贫乐道、豁达自信的处世理想和人生态度，“曾点气象”所描述的寓无限于有限、即自由而超自由的审美精神，无不体现着中国“乐感文化”的诗性智慧。
河北省石家庄市四十四中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题(含答案解析)
河北省石家庄市四十四中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若,,DA a DB b DC c ===，则BE =（）A ．1144a b c-+ B ．1122a b c-+C ．1144a b c++D ．1122a b c-+2．直线10x -=的倾斜角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．已知数列3，6-，9，12-，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．30-C ．21D ．304．圆221:4210C x y x y +-++=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3616S S =，则93SS =（）A ．12B ．36C ．31D ．336．已知双曲线221169x y -=上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(5,0)-的距离为（）A ．7B ．23C ．5或25D ．7或237．已知函数()sin 3x f x π=，数列{}n a 满足11a =，且1111n n a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（n 为正整数）．则()2022f a =（）A ．1-B ．1C．D8．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221231e e +=（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B ．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C ．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为αD ．经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程可以表示为：121121()()()()y y x x x x y y --=--10．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=-++=-，则（）A ．{}n a 的公差为2B ．{}n a 的公差为3C ．{}n a 的前50项和为900D ．{}n a 的前50项和为130011．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-，数列{}n b 满足1n n n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为13n n a -=B ．{}lg n a 为等差数列C ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．数列{}n b 的通项公式()()11233131n n nn b -+⨯=--12．设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB的中点，||AB =确的是（）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-三、填空题13．抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点(5,2)A -，则PA PF +的最小值为___________.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若523S S -=，且公差33d a =+，则n S 的最小值为____.15．已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，若321n n S n T n +=+，则55a b =______．四、双空题16．已知直线13480l x y +-=：与2320l x ay -+=：平行，则实数=a ________，两平行线之间的距离为_______________.五、解答题17．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角大小；18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12S =，122n n S S +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．已知直线()():12530R l k x y k k --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上.(1)求定点P 的坐标与圆C 的方程；(2)过()10,0M 的直线1l 被圆截得的弦长为8，求直线1l 方程.20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1211,a a =为整数，且4n S S ≤.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的长轴长为4，离心率e 是方程22520x x -+=的一根．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 是坐标原点，斜率为k 的直线l 经过点()0,1M ，已知直线l 与椭圆C 相交于点A ，B ，求OAB 面积的最大值．22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点()2,b 到焦点F 的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线:(0)l x ty m m =+>与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且以线段AB 为直径的圆过原点O ，求证直线l 恒过定点，并求出此定点的坐标．参考答案：1．A【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解.【详解】依题意，结合图形可得，111()222BE BD DE DB DF DB DA DC =+=-+=-+⨯+ 11114444DA DB DC a b c =-+=-+ ．故选：A.2．D【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.【详解】10x -=化为y =+直线的斜率为0150.故选:D.【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.3．B【分析】根据数列的特征进行求解即可.【详解】因为313,623,933,1243=⨯-=-⨯=⨯-=-⨯，所以该数列的通项公式为1(1)3(N )n n a n n +*=-⋅∈，因此1110(1)31030a =-⋅⋅=-，故选：B 4．D【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()221:214C x y -++=;()()222 :224C x y ++-=,可知圆心()12,1C -,()22,2C -,半径122,2r r ==,12125C C r r =>+，故两圆外离，故选：D.5．C【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3616S S =，所以不妨设()3,0S m m =≠则66S m =.由分段后性质可知：36396,,S S S S S --构成等比数列.由()()263396S S S S S -=⨯-，即()()2955m m S m =⨯-，解得：931S m =.所以9331S S =.故选：C 6．D【分析】根据双曲线的定义知，12||||||28PF PF a -==，即可求解.【详解】由题意，双曲线221169x y -=，可得焦点坐标12(5,0),(5,0)F F -，根据双曲线的定义知，12||||||28PF PF a -==，而215PF =，所以17PF =或123PF =．故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.7．C【分析】将1111n n a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进行整理，可以求出其通项公式，再代入()sin 3xf x π=可得答案.【详解】由()11111111n n n n a a a a n n n n n n ++⎛⎫=++∴=+ ⎪++⎝⎭，11111111, (2111111)n n n n a a a a a n n n n n n n n ++∴=+-∴+=+==+=++++，()202220224043π21,4043,sin32n a n a f a =-∴=∴==故选：C 8．C【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率1e 和双曲线的离心率2e 的关系式，即可求得221231e e +的值.【详解】设椭圆的长轴长为2m ，双曲线的实轴长为2n ，令122F F c =，不妨设12PF PF >则121222n PF PF m PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，解之得12PF m n PF m n⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入()22212122π22cos3c PF PF PF PF =+-⋅，可得()()()()()2222c m n m n m n m n=++-++-整理得22243c m n =+，即2243m n c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是2212314e e +=故选：C 9．BD【分析】举反例判断A ；根据直线的斜率和倾斜角的关系判断B,C ；结合直线的两点式方程判断D.【详解】对于A ，直线的倾斜角分别为π2π,33，此时不满足直线的倾斜角越大，其斜率就越大，A 错误；对于B,由于直线的倾斜角范围是[0,π)，所以斜率相等的两直线的倾斜角一定相等,正确；对于C,直线的斜率为tan α，α的取值范围不确定，α不一定是直线的倾斜角，比如直线的斜率为5πtan4，此时直线的倾斜角为π4，C 错误；对于D ，当12x x =时，经过111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程为1x x =，此时适合121121()()()()y y x x x x y y --=--；当12y y =时，经过111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程为1y y =，此时适合121121()()()()y y x x x x y y --=--；当12x x ≠，12y y ≠时，经过111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程为112121x x y y x x y y --=--，也即121121()()()()y y x x x x y y --=--，故经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程可以表示为：121121()()()()y y x x x x y y --=--，D 正确，故选：BD 10．AD【分析】根据135246105,99a a a a a a ++=-++=-求出3,a d ，求出通向公式.12202150a a a a a ++++++= ()()12350123202a a a a a a a a ++++-++++ .【详解】()()135246246135105,9936a a a a a a a a a a a a d ++=-++=-∴++-++== ，2d ∴=，所以A 对，B 错.135********a a a a a ++==-∴=- ，()()333523241n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，当20n ≤时，0,n n n a a a <=-；当21n ≥时，0,n n n a a a >=，1220215012202150a a a a a a a a a a ++++++=----+++ =()()()()1235012320503959203912222a a a a a a a a ⨯-+⨯--++++-++++=-⨯()252020405008001300=⨯-⨯-=+=，所以D 对，C 错.故选：AD 11．BCD【分析】根据题目求出{}n a 的通项公式，即可判断A 、B 选项的正误；求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C 、D 选项的正误.【详解】当=1n 时，11312S a =-，则12a =，当2n ≥时，11312n n S a --=-，两式相减得：()132n n n a a a -=-，则13n n a a -=，所以{}n a 是以首项为2，公比为3的等比数列.11123n n n a a q --∴==⋅，所以A 错；又因为()()11lg lg 23lg 2lg 31lg 3lg 2n n n a n --=⋅=+=-+，()+1lg lg lg3lg 21lg3lg 2lg3n n a a n n ∴-=+---=，所以{}lg n a 是以1lg =lg 2a 为首相，lg 3为公差的等差数列，所以B 对.11123n n n a a q--==⋅ ，()2133113n n n S -∴==--,()()()()()()11111313123111133313131313131n nn n n n n n n n b +-+++---⨯⎛⎫==⨯=-⎪------⎝⎭，D 对；22334111111111133131313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()111166331n +=-<-，0n b > ，所以，数列{}n T 为单调递增数列，则118n T T ≥=，故1186n T ≤<，C 对.故选：BCD.12．BC【分析】两直线互相垂直，分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，可得P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=即可判断选项A ；判断两圆的位置关系可判断选项B ；由垂径定理可得||1CQ =，则有Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆，从而可得线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径即可判断选项C ；由数量积的运算结合选项C 即可判断选项D ．【详解】解：因为直线310mx y m --+=与310x my m +--=，满足1(1)0m m ⋅+⋅-=，所以两直线互相垂直，又两直线分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，所以P 是以MN 为直径的圆，圆的方程为22(2)(2)2x y -+-=，故选项A 错误；圆22(2)(2)2x y -+-=与圆22:(2)(1)9C x y +++=53>，所以两圆相离，则点P 在圆C 外，故选项B 正确；因为||AB =Q 为弦AB 的中点，所以||QA =(2,1)C --到弦AB 的距离为||1CQ =，所以弦AB 中点Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆，所以线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即16+选项C 正确；2()()()PA PB PQ QA PQ QB PQ PQ QA QB QA QB⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 22222||8PQ QA PQ QA PQ =-=-=-，因为||14min PQ =所以2()(48108min PA PB ⋅=--=-选项D 错误．故选：BC.13．8【分析】根据抛物线的定义，将||PF 转化为P 到准线的距离，再结合图形可求出结果.【详解】由212y x =-，得(3,0)F -，准线方程为：3x =，过P 作准线3x =的垂线，垂足为M ，则PA PF +||||PA PM =+||3(5)8AM ≥=--=，当且仅当,,A P M 三点共线时，等号成立.故答案为：814．9-【分析】利用523S S -=与33d a =+，求出15a =-，2d =，表示出2(3)9n S n =--，根据二次函数的性质即可得到最小值.【详解】依题意及等差数列的性质知52345433S S a a a a =-=++=，得41a =；又因33d a =+，则有431(3)a a d d d ==+=-+，解得2d =；再由4113a a d ==+，得15a =-.于是2(1)52(3)92n n n S n n -=-+⨯=--；当3n =时，()min 9n S =-.故答案为：9-（另解：由()52113154523,2323S S a a d d a a d ⨯⎧-=+-+=⎪⎨⎪=+=++⎩即1131,3a d a d +=⎧⎨+=-⎩得152a d =-⎧⎨=⎩；下略.）15．2910【分析】根据等差数列的求和公式以及性质即可求解.【详解】由等差数列的求和公式得11321n n n n S a a n T b b n ++==++，所以9195919529291010S a a a T b b b +==⇒=+，故答案为：291016．4-2【分析】根据12//l l ，求得4a =-，得到2l 的方程3420x y ++=，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】因为直线13480l x y +-=：与2320l x ay -+=：平行，所以()()3343238a ⎧⨯-=⨯⎪⎨⨯≠⨯-⎪⎩，解得4a =-，可得2l 的方程3420x y ++=，所以两条平行线之间的距离2d =．故答案为：4-；217．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）先证明CD ⊥平面PAD ，则有AM CD ⊥，在证明AM ⊥平面PCD ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又,,,AD CD AD AP A AD AP ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以AM CD ⊥，因为点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，又,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD ，因为AM ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面PCD ；（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得()()()0,0,0,1,0,01,0,0,121,02A P M B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，因为AM ⊥平面PCD ，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭即为平面PCD 的一条法向量，()1,0,1PB =- ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AM PB AM PB AM PB θ⋅=== ，又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6θ=，即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为π6.18．(1)2nn a =(2)22n n n T +=【分析】（1）根据题意构造函数可得122(2)n n S S ++=+，可得{}2n S +为首项是124S +=，公比为2的等比数列，所以122n n S +=-，再利用n a 和n S 之间的关系求n a 即可；（2）由22log log 2n n n b a n ===，利用等差数列求和即可得解.【详解】（1）由122n n S S +=+可得122(2)n n S S ++=+，而1240,20n S S +=≠∴+≠，所以1222n n S S ++=+，所以{}2n S +为首项是4，公比为2的等比数列，所以112422n n n S -++=⋅=，所以122n n S +=-，当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=，当1n =时，112a S ==也满足上式，所以2n n a =；（2）22log log 2n n n b a n ===，已知{}n b 为首项为1公差为1的等差数列，所以2(1)22n n n n n T ++==.19．(1)()3,1，22(7)(4)25x y -+-=(2)10x =或724700x y +-=【分析】（1）直线():12530l k x y k --+-=变形为()3250k x x y ---+=，列出方程组，求出定点P 的坐标，设出圆心坐标()21,C m m -，根据半径相等列出方程，求出4m =，从而确定圆心和半径，写出圆的方程；（2）分直线1l 斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程.【详解】（1）():12530l k x y k --+-=变形为()3250k x x y ---+=，令30250x x y -=⎧⎨--+=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩，故定点P 的坐标为()3,1，由圆心在直线210x y -+=上可设圆心坐标为()21,C m m -，则AC CP =，=4m =，故圆心坐标为()7,4C 5=，故圆C 的方程为22(7)(4)25x y -+-=；（2）当直线1l 斜率不存在时，直线1l 为10x =，此时圆心到10x =的距离为1073-=，由垂径定理得：弦长为28=，满足要求，当直线1l 斜率存在时，设直线1l 为()110y k x =-，圆心()7,4C 到直线()110y k x =-即11100k x y k --=距离为d =由垂径定理得：222852⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：1724k =-，故直线1l 方程为：()07241y x -=-即724700x y +-=综上：直线1l 方程为10x =或724700x y +-=20．(1)143n a n =-；(2)()11113n n T n =-.【分析】（1）根据题意得公差d 为整数，且450,0,a a ≥≤分析求出d 即得；（2）利用裂项相消法即得.【详解】（1）由1211,a a =为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数，又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1130,1140d d +≥+≤，解得111134d -≤≤-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为143n a n =-；（2）由题可知()()11111431133113143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111138115811314331131111113n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．21．（1）22143x y +=；（2）3.【分析】（1）待定系数法求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，用“设而不求法”表示出三角形OAB的面积 1||2OAB S AB d =⋅= .令t =转化为关于t 的函数，利用函数求最值.【详解】（1）依题意得：24a =，∴2a =.方程22520x x -+=的根为12x =或2x =.∵椭圆的离心率(0,1),e ∈，∴12c e a ==，∴1c =∴b ===∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243880k x kx ++-=，则122843k x x k +=-+，122843x x k =-+点O 到直线l的距离为d =||AB =11||22OAB S AB d =⋅=⋅令1t ≥，则2221k t =-.22143212k t t t==+++.∵12y t t=+在[1,)t ∈+∞单调递增，∴1t =时.12y t t =+有最小值3.此时12t t+.∴OAB 面积的最大值为3.22．(1)28y x =(2)证明见解析，定点()8,0．【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合121k k =-，即可进一步求解.【详解】（1）由题设知，抛物线C 的准线方程为2p x =-，由点()2,b 到焦点F 的距离为4，得242p +=，解得4p =，∴抛物线C 的标准方程为28y x =．（2）由28,,y x x ty m ⎧=⎨=+⎩消去x 得2880y ty m --=．∴128y y t +=，128y y m =-．设直线OA 和直线OB 的斜率分别为1k ，2k ， 以线段AB 为直径的圆过原点O ，∴OA OB ⊥，∴121k k =-．∵2118y x =，2228y x =，∴11118y k x y ==，228k y =．∴121288646418y y y y m⨯===--，即8m =．∴直线:8l x ty =+．∴直线l 恒过定点()8,0．。
安徽省六安第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题(含答案解析)
安徽省六安第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线的准线是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（）A ．24y x=B ．24y x =-C ．24x y=D ．24x y=-2．若椭圆2214x y m +=的一个焦点为(0,1)-，则m 的值为（）A ．5B ．3C ．4D ．23．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=6．设12,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅= ，则2212212()e e e e +的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．不确定7．直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN =2132二、多选题9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或-3C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是（）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁11．已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则2k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为212．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列说法一定正确的是（）A ．AB 的最小值为2B ．线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切C ．12x x 为定值D ．若(1,0)M -，则AMF BMF∠=∠三、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________．14．直线y x b =+与曲线x =则b 的取值范围是__________．15．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是__________．16．若点P 在椭圆C 1：22x ＋y 2＝1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋10x －8y ＋39＝0上，则PQ PF -的最小值为__________．四、解答题17．已知圆22:410C x y y +-+=，点()11M --，.(1)若过点M 的直线l 与圆交于A ，B 两点，若AB =l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，记切点为T ，若满足PT ＝PM ，求使PT 取得最小值时点P 的坐标．18．已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.19．已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ 面积的最小值20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)求证：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21．如图，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =;(3)是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.【详解】将两圆2240x y +-=、2230x y y ++-=的方程相减得：1y =-，显然圆2240x y +-=的圆心(0,0)到直线1y =-距离1小于其半径2，圆2230x y y ++-=的圆心1(0,)2-到直线1y =-距离12小于其半径2，因此直线1y =-是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为：24x y =.故选：C 2．B【分析】由题意判断椭圆焦点在y 轴上，则4=+1m ，解方程即可确定m 的值.【详解】有题意知：焦点在y 轴上，则2224,,1a b m c ===，从而4=+1m ，解得：=3m .故选：B.3．A【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4．D【分析】设过右焦点F)y x c =-，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得a b ，的关系，由此求双曲线的离心率取值范围.【详解】设过右焦点F)y x c t =-+，联立方程组22221)x y a b y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简可得22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=，方程22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=的判别式4222222224=364(3)(3)160a c b a a c a b a b ∆+-+=>，设方程的解为12x x ，，∵直线与双曲线的左右支各有一个交点，∴120x x ⋅<，∴222222303a c a b b a --<-，∴2240c a ->，∴双曲线的离心率2e >，即双曲线的离心率取值范围是(2,)+∞.故选：D.5．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d =>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP ，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．C【分析】设它们共同的焦距为2c ，椭圆的长轴长12a ，双曲线的实轴长为22a ，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理建立关于12,,a a c 的方程，联立解得可得222122a a c +=,再根据离心率的定义化简整理可得到()2212212e e e e +的值.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，P 为两曲线的一个公共点，则1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，平方相加得2222121222PF PF a a +=+，又1212,0PF PF PF PF ⋅∴⊥=，22222221212124,2PF PF F F c a a c ∴+==∴+=，2212222a a c c∴+=，即221222*********e e e e e e ++==.故选：C.7．B【分析】分类讨论，0x ≥和0x <，分别解方程组得解了和个数，也即得交点个数．【详解】解：若0x ，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得225720x x -=，解得0x =或72x 25=，均满足题意，所以直线与半椭圆有两个交点；若0x <，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得225720x x +=，解得7225x =-，满足题意，所以直线与半双曲线有一个交点．综上所述，直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为3个．故选：B ．8．B【分析】由题意可得直线PF的方程为)2y x =-，再将直线的方程与抛物线28y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN 的长．【详解】抛物线C ：28y x =的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ，由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+，于是124MN MF NF x x =+=++．作MH ⊥l 于H ，∵3PF MF = ，∴22PM MF MH ==，∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB的斜率为∴直线PF的方程为)2y x =-.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=，∴12203x x +=．于是1220324433MN x x =++=+=．故选B ．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．9．ACD【分析】将直线化为(2)310a x y y -+-=可判断A ；将1a =或-3代入直线方程可判断B ；根据12120A A B B +=可判断C ；将直线化为11y x a=-+，即可求解.【详解】2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．ABC【解析】由122a a =，12222c a c c =+>，得出A 正确；由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到B 正确；由122a a =，122c a c =+，得出离心率判断C 正确；求出12e e >，判断D 错误．【详解】解：对于A 、由122a a =，12222c a c c =+>，所以11222()a c a c +>+，所以选项A 正确；对于B 、由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到：1122a c a c -=-，所以选项B 正确；对于C 、由122a a =，122c a c =+，得2122212122c c a c a a a ++==，即2112e e +=，所以选项C 正确；对于D 、根据选项C 知，122212e e e =+>，所以12e e >，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项D 错误．故选：ABC ．11．BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点(),P x y ，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C ；求出,PA PB 的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.【详解】对A，双曲线的渐近线方程为2y x =±，若直线y kx =与双曲线C无交点，则k ≥.A 错误；对B ，由A渐近线方程为0x ±=，焦点为()±，则焦点到渐近线的距离2d =.B 正确；对C ，设点(),P x y ，则222212884x y x y -=⇒-=，点P 到两条渐近线的距离之积为222833x y -.C正确；对D，易得()(),A B -，由C 点(),P xy 满足(22418x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线,PAPB的斜率之积为22224181882x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===---.D 错误.故选：BC.12．BCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.【详解】对A ，抛物线2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1x -，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值24p =，故A不正确；对B ，如图，设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线的定义可知11AA AF BB BF ==，，所以11112()12DD AA BB AB ==+,所以以线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切，故B 正确；对C ，设AB 所在的方程为1x ny =+，由21,4x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ny --=，所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；对D ，由C 得124y y n +=，()()()()()12121212121222880111111AM BM ny y y y y y n n k k x x x x x x ++-++=+===++++++，故D 正确．故选:BCD13．10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14．11b -<≤或b =.【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =可得221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故答案为：11b -<≤或b =【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.15a <<【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】由221,31,y ax x y =+⎧⎨-=⎩得()223220a x ax ---=，方程在⎛-∞ ⎝⎭有两个不相等的负实根，所以(()()2222122212230Δ48(3)003333660,3333a a a a x x a a x x a ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎛⎪++=> ⎪⎨ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭⎪--⎪+++=<⎪-⎩,a <<.a <16．2【分析】根据椭圆的定义得222PE PF a +==，结合圆的性质以及四点共线即可求解最小值.【详解】记椭圆C 1：22x ＋y 2＝1的左焦点为E (－1,0)，右焦点F (1,0)，由椭圆的定义可得，222PE PF a +==，所以22PQ PF PQ PE -=+-，由22108390x y x y ++-+=，得()()22542x y ++-=，即圆C 2的圆心为()5,4-，半径为2r =，作出图形如图所示，由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，22PQ PF PQ PE -=+-223322PC PE EC ≥+-≥-＝22(51)4-++32-＝42－32＝2(当且仅当C 2，Q ，P ，E 四点共线时，等号成立)，所以PQ PF -的最小值为2.故答案为：217．(1)=1x -或4310x y -+=.(2)131,2020⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的弦长求解，即可根据直线有无斜率讨论求解，（2）根据两点间距离公式可得点P 轨迹，根据点到直线的距离即可求解最小值，联立方程即可求解交点坐标.【详解】（1）圆C 的标准方程为()223=2x y +-，圆心为()02，，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1=1y k x ++，即10kx y k -+-=，.∵AB =，∴圆心C 到直线l 的距离d＝1，∴d＝1，解得k ＝43，则直线l 的方程为4310x y -+=，∴所求直线l 的方程为=1x -或4310x y -+=.（2）设()00P ,x y ,PT=∵PT PM =，∴，化简得002610x y ++=，∴点()00,P x y 在直线2610x y ++=.当PT 取得最小值时，即PM 取得最小值，即为点()1,1M --到直线2610x y ++=的距离，此时直线PM 垂直于直线2610x y ++=，∴直线PM 的方程为6240x y -+=，即320x y -+=.由2610,320,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得13,201,20x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 的坐标为(－1320，120).18．（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M 计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x ，又因为双曲线过点M ，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m+=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.19．(1)是定值，116；【分析】（1）由题意设出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得2211||||AM BM +为定值116；（2）当AB 的斜率为0时，求得三角形ABQ的面积为AB 的斜率不为0时，由弦长公式求解||AB ，再由点到直线的距离公式求Q 到AB 的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形ABQ的面积大于ABQ 面积的最小值．【详解】（1）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+，联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-，所以1AM =，2BM =，所以)()(22222212111111k x k x AM BM +=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-==++，所以2211AM BM +是定值116；（2）当直线AB 的斜率为0时，)(0,4Q -，又)(A，)(B -，此时182ABQ S =⨯=△．当直线AB 的斜率不力0时，12AB x =-==，又因为OQ AB ⊥，且直线AB 的斜率不为0，所以1:OQ y x k=-，即)(4,4Q k -，所以点Q 到直线AB的距离d =，此时111622ABQ S AB OQ ==⋅ 因为)(3228k +>，所以，综上，ABQ 面积的最小值为．20．(1)y 2＝4x(2)证明见解析【分析】（1）由焦点坐标得焦参数p ，从而得抛物线方程；（2）直线垂直于x 轴时直接求出面积比，直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得12x x ，然后计算面积比可得．【详解】（1）由焦点坐标可知，2p ＝1，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .（2）证明：当直线垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以ABO MNO S S !!＝(2OF )2＝14.当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以ABO MNO S S !!＝1sin 21sin 2AO BO AOB MO NO MON ⋅⋅∠⋅⋅∠＝AO BO MO NO ⋅⋅＝12x ·22x ＝14，综上，ABO MNO S S !!＝14.21．(1)28x ＋24y ＝1，24x －24y ＝1；(2)证明见解析；(3)存在，8.【分析】（1）由题可得a 、c ，再根据222a b c =+，即可求出椭圆方程，由双曲线的离心率，设双曲线方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，由顶点坐标求出m ，即可求出双曲线方程；（2）设()00,P x y ，即可表示1k ，2k ，再根据P 在双曲线上，即可得到22004x y -=，从而得解；（3）设直线1PF 的方程为1(1)y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式表示出||AB ，再设直线2PF 的方程为2(1)y k x =-，即可得到CD ，则11||||AB CD λ=+代入计算可得；【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：2c a =，由椭圆定义知)2241a c +=，所以2c =，a =222a b c =+，因此24b =，故椭圆的标准方程为228:14x y M +=，由题意知双曲线为等轴双曲线，设其标准方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m c ==，因此双曲线的标准方程为22:144x y N -=；（2）设()00,P x y ，由于1(2,0)F -，2(2,0)F ，则0102y k x =+，0202y k x =-，因为点P 在双曲线22:144x y N -=上，所以22004x y -=，因此20001220001224y y y k k x x x =⋅==+--，即121k k =为定值；（3）由于直线1PF ､2PF 斜率一定存在，设直线1PF 的方程为1(2)y k x =+联立122(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222111128880k x k x k +++-=，由于()213210k ∆=+>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有211221812k x x k -+=+，2112218812k x x k -=+，则由弦长公式||AB ==，化简得)21211||12k AB k +=+即21||AB =直线2PF 的方程为()22y k x =-，同理可得21||CD =由于121k k =，可得)()2212121||81k CD k +=+，所以)())())()2221112221111223311||||8181881k k k AB CD k k k λ+++=+=+==+++，综上，存在常数8λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立.。
2024届高二下学期数学开学摸底考(新高考七省)(考试版)A4
2023-2024学年高二下学期开学摸底考（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知经过点()4,1-A 和点()2,3B 的直线的方向向量为()2,m ，则实数m 的值为（ ）A ．1±B ．1-C ．1D ．4-2．己知随机变量()()23,,10.2X N P X σ~≤=，则()15P X ≤≤=（ ）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.73．在()()511x x +-展开式中3x 的系数为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．24．某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．245．天气预报元旦假期甲地下雪的概率为0.6，乙地下雪的概率为0.3，假定这段时间内两地是否下雪相互独立，则这段时间甲、乙两地至少有一个下雪的概率为（ ）A ．0.18B ．0.72C ．0.28D ．0.126．一束光线从点()1,2M 出发经x 轴反射后经过点()2,4N -C 恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆C 的标准方程是（ ）A ．()2255x y -+=B ．()2255x y ++=C ．()2255x y ++=D ．()2255x y +-=7．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为1,P 为棱AE 的中点，13DQ DA =，设直线FP 与CQ 的夹角为θ，则tan θ=（ ）A B C D 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，点P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，OP c =，2PF Q △的面积记为S ，且24S a ≥，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．⎛ ⎝C ．D ．⎫⎪⎪⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．任意向量a ，b ，c满足()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b c B ．在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,3,5N C ．已知1232a e e e =-+ ，1232b e e e =-++ ，1237c e e =-+ ，{}123,,e e e 为空间向量的一个基底，则向量a，b ，c能共面D ．已知(1,1,2)A -，(2,2,4)B ，(3,2,0)C -，则向量AC 在向量AB上的投影向量是11(3,1,2)1410．下列结论中正确的有（ ）A ．数据11,20,14,17,26,27,9,29,15,30,4的第75百分位数为30B ．已知随机变量X 服从二项分布2,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()217E X -=，则6n =C ．已知回归直线方程为ˆˆ9ybx =+，若样本中心为()3,24-，则ˆ5b =-D ．若变量x 和y 之间的样本相关系数为0.9989r =，则变量x 和y 之间的正相关性很小11．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%,5%,4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5:6:9，现任取一个零件，记事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1,2,3i =），事件B =“零件为次品”，则（ ）A ．()10.25P A =B ．()216P B A =C ．()0.048P B =D ．()1516P A B =12．已知M ，N 是抛物线2:2(0)C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(,1)P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是（ ）A ．1p =B ．若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点(0,1)C ．若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12D ．若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在()()()()()12345x x x x x +++++的展开式中，含4x 的项的系数是 .14．若直线()50mx y m --+=与直线()2130x m y -++=平行，则m =．15．已知某批产品的质量指标X 服从正态分布()25,0.16N ，其中[]24.6,26.2X ∈的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为.参考数据：若()2,X N μσ:，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.16．已知()221:21O x y +-=e ，()()222:369O x y -+-=e ，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是M ，N ，当PM PN +取到最小值时，点P 坐标为.四、解答题：本题共6小题，共7017．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）已知2023220230122023(21)x a a x a x a x +=++++ ．（1）求0a ；（2）求32023122320232222a a a a ++++ ；（3）求1352023a a a a ++++ ．19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，,2,4AD BC AB BC CD AD ====∥，现以AC 为折痕把ABC V 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥．（1）证明：平面PAC ⊥平面ACD ；（2）M 为PD 上的一点，若平面ACM 与平面ACD ，求点P 到平面ACM 的距离．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2）．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =AB ，求直线l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12?若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．21．（12分）李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在[)20,70岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表：年龄/岁[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70抽取人数182225278有意向购买熏肉大饼的人数81722244（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关?年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买熏肉大饼的人数无意向购买熏肉大饼的人数总计（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【参考数据及公式】()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()2P χα≥0.10.050.010.0050.001α 2.706 3.8416.6357.87910.82822．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点⎛ ⎝，右焦点为(),0F c ，且2222c b a +=.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点(P 在Q 的上方)，PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线PN ，QN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k S-是定值.。
河北省邯郸市武安市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试语文试卷(含答案)
武安市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：春节来临，烟花爆竹的话题重新被捡起，是禁是放，各有说辞。
有人建议，应该以立法的方式禁止中心城区燃放烟花，以缓解日益严峻的空气污染问题。
还有人建议，至少应该严格规范行政审批，对烟花爆竹的运输、燃放等行为进行控制。
事实上，近些年来，这一话题几乎每年都会引发激烈争议。
从立法和执法的角度对燃放行为进行规范，固然是法治思维与法治方式的体现，同时也要看到，对于“爆竹声中辞旧岁”的传统风俗，还需要通过文化创新的方式来改造，以适应现代社会的生活方式。
要改变风俗和习惯，不应当单纯依靠法律，否则便可能是一种粗暴的行为。
传统农业社会中，燃放烟花爆竹寄托了人们“辟邪”、行好运的心愿，也给孩子们添了乐趣，给大人带来了喜气儿。
但在现代高密度生活的大都市，情况显然不同：一方面，人们已不堪喧嚣，他们更希望已经浑浊的城市空气能清爽一些，繁忙工作之后的假日能安静一些；而另一方面，物质生活的丰裕，使人们对“年味儿”有更高的文化期待，甚至赋予其文明传承与传统复兴的意义。
“过年”成了现代生活中的文化乡愁，一串小小的爆竹是禁是放，也因而承载了传统与现代、文化与文明的价值评判，变得沉甸甸起来。
在“春节”的文化转型中，能不能找到一种方式让大家各得其所？能否在重建春节习俗的过程中，同时加强文化认同和公共意识？比如，在一些国家民俗中，通过特定的仪式和形式，体现出社区和团体的存在，通过不限于家庭亲人的群体活动，构建出丰富的公共生活领域，在更大的程度上培养对社会、国家、民族的归属、认同与公益心。
因此，立法者和执法者应该有更多的文化关怀，通过具体的技术手段，既维护现代社会中人们的法定权利，又为传统文化留下生长的空间，使之成为促进民族认同和强化共同体意识的重要节点。
比如，能否通过科技手段，降低烟花爆竹的污染、噪声和火灾隐患？舞狮舞龙扭秧歌，能否通过居民自治和民主协商的方式选择时间和地点，既保留年味又培养自治意识？社会组织能否行动起来，举办一些体现组织性、开放性和集体性的节庆活动？自省促进文化创新。
安徽省合肥市高二下学期开学考试数学试题(解析版)
高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知两个向量，且，则的值为（ ）()()2,1,2,4,,a b m n =-= //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【分析】根据向量共线得，解出即可. 4212m n ==-【详解】，，解得， //a b 4212m n∴==-2,4m n =-=则. 2m n +=故选：B.2．直线的一个方向向量是（ ） 210x y ++=A ． B ．C ．D ．()1,2-()1,2()2,1-()2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】因为直线可化为，210x y ++=1122y x =--所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，210x y ++=12k =-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于A ，与不平行，故A 错误；(1,2)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，与不平行，故B 错误；(1,2)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，，故与平行，则也是直线的一个方向向,(22,1)211⎛⎫-= ⎝-⎪⎭(2,1)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2,1)-210x y ++=量，故C 正确；对于D ，与不平行，故D 错误.(2,1)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.3．椭圆的焦距为4，则的值等于（ ）2219x y m +=m A ．5 B ．13C ．5或13D ．25【答案】C【分析】根据椭圆中的关系求解. ,,a b c 【详解】由题知：，24,2=∴=c c当焦点在轴上时，； x 2913m c =+=当焦点在轴上时，，y 295m c =-=或13.5m ∴=故选:C.4．在正四面体中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则的值为-P ABC PE BC ⋅A ．B ．1C D ．1-73【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E 是棱中点，可PA BC ⊥0PA BC ⋅=AB 得，代入，利用数量积运算性质即可得出.()12PE PA PB =+ PE BC ⋅【详解】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅=是棱中点E AB()12PE PA PB \=+()111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC \×=+×=×+×=´´´=- 故选：A 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.5．在数列中，，且，，则（ ） {}n a 12a =111n na a +=-*n ∈N 2022a =A ．2 B ．-1C ．D ．112【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.{}n a【详解】解：在数列中，，，则， {}n a N n *∀∈111n na a +=-2111111111n n n na a a a ++===----，3211111(1)n nn na a a a ++===---于是得数列是周期数列，周期为3， {}n a 又，所以，，所以， 12a =21111112a a ===---()321111112a a ===---202267333312a a a ⨯+===所以. 202212a =故选：C.6．等比数列中，已知，则的值为（ ） {}n a 135716,8a a a a +=+=9111315a a a a +++A ．2 B ．4 C ．6 D ．12【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q 445173,a a q a a q ==. 4571312a a q a a +∴==+.()()2891113151357116862a a a a a a a a q ⎛⎫∴+++=+++⋅=+⨯= ⎪⎝⎭故选:C.7．若两圆和恰有三条公切线，则()229900x y m m +++-=>()221400x y n n +--+=>的最小值为（ ） 114m n+A ． B ．C ．D ．1161414【答案】C【分析】分析出两圆外切，可得出，将与相乘，展开后利用基本不9416m n +=114m n +()19416m n +等式可求得的最小值. 114m n+【详解】圆的标准方程为，圆心为()229900x y m m +++-=>(229x y ++=，半径为，()1C -13r =圆的标准方程为，圆心为，半径为()221400x y n n +--+=>(221x y +-=(20,C ，21r =因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，14C ==即，9416m n +=， 119411149191101416416416m n n m m n m n m n ⎛+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时，等号成立， 494n mm n=344m n ==故的最小值为. 114m n+1故选：C.8．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是111ABC A B C -AB AC 1AA 1AB AC AA ==M N 线段，上的点，平面与平面 所成（锐）二面角为，当最小时，1BB 1CC AMN ABC 6π1B M （ ）AMB ∠=A ．B ．C ．D ．512π3π4π6π【答案】B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能A AC x AB y 1AA z 求出的大小．AMB ∠【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， A AC x AB y 1AA z 设，1=1AB AC AA ==设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，CN b =BM a =(1N )b (0M )a (0A 0)(0B 0)，1，，，0，，(0AM = )a (1AN =)b 设平面的法向量，，，AMN (n x =y )z，取，得，，， ·0·0AM n y az AN n x bz⎧=+=⎨=+=⎩1z =(n b =-a -1)平面的法向量，0，，ABC (0m =1)平面与平面所成（锐二面角为，AMN ABC )6π||cos 6||||m n m n π∴= A A 解得，22331a b +=当|最小时，，∴1|B M 0b=BM a == tan AB AMB BM ∴∠==．3AMB π∴∠=故选．B【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是 12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=A ．若，则m =-1或m =3 B ．若，则m =3 12l l //12l l //C ．若，则D ．若，则 12l l ⊥12m =-12l l ⊥12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为12l l //3(2)0m m --=3m =1m =-1m =-，即，两直线重合，只有时两直线平行，A 错，B 正10x y --=3330x y -++=30x y --=3m =确；，则，，C 错，D 正确． 12l l ⊥230m m -+=12m =故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．10．已知向量，则（ ）()()()1,1,0,1,0,1,2,3,1a b c =-=-=-A ．B ．6a b -= ()()27a b b c +⋅+= C ．D ．()5a b c +⊥ ()a b c - ∥【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,， ()()()1,1,0,1,0,1,2,1,1a b a b =-=-∴-=--A 错误；a b ∴-==对于B ，，()()21,1,2,1,3,2a b b c +=--+=-则，故B 错误； ()()()()()21113226a b b c +⋅+=-⨯+-⨯-+⨯= 对于C,，()54,1,5a b +=--则，()()()54213510a b c +⋅=-⨯+-⨯-+⨯=则，故C 正确；()5a b c +⊥ 对于D ，，故D 正确.()()()3,3,0,1,1,0,3,b c a b c a a b c -=-=-∴-=-∴-∥故选:CD.11．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列说法中正硆的有（ ） A ．大鼠与小鼠在第三天相逢B ．大鼠与小鼠在第四天相逢C ．大鼠一共穿墙尺D ．大鼠和小鼠穿墙的长度比为591759:27【答案】AC【分析】对A 和B 构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出的值，对C ，首先求出前两天n 每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C 和D.【详解】对A 和B ，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列， 分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所成的数列为， {}{},n n a b 则大鼠第日穿墙，小鼠第n 日穿墙，n 12n n a -=112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=则，11122511212nnn S ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=--整理得，解得， 11242nn --=121n -=+()21log 12,3n ⎛=+∈ ⎝，，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A 正确，B 错误； N n *∈ 3n =对C ，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺， 可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.设第三天大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，则打洞时间相等：，解x ()0.5x -()40.50.25x x ÷=-÷方程得大老鼠在第三天打了尺，8,17x =∴817小老鼠打了，三天总的来说：大老鼠打了尺，故C 正确； 810.51734-=85931717+=对D ，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故D 错误.5959:559:261717⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：AC.12．已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是P 22:13y C x -=C 12F F､（ ）A ．双曲线的离心率为2 CB ．双曲线的渐近线方程为C y =C ．动点到两条渐近线的距离之积为定值PD ．当动点在双曲线的左支上时，的最大值为P C 122PF PF 18【答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B ，双曲线，22:1,1,23y C x a b c -====所以双曲线的离心率为，C e 2==ca渐近线方程为，A 选项正确，B 选项错误；y =对C ，设点的坐标为，则，P ()00,x y 22013y x -=双曲线，C 0y -=0y +=则点C 选项正确； P 3,4对D ，当动点在双曲线的左支上时，， P C 12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++当且仅当时，等号成立，12=PF 所以，的最大值为，D 选项正确.122PF PF 18故选:ACD.三、填空题13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．如图所示，在平行六面体中是的中点，点1111ABCD A B C D -1AB a AD b AA c M ===，，，，1D D N 是上的点，且，用表示向量的结果是______.1AC 113AN AC = a b c，，MN【答案】121336a b c --【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】是的中点，M 1D D 113AN AC =()111111112323MN MD DA AN DD AD AC AA AD AA AD AB ∴=++=--+=--+++． 1121121336336AB AD AA a b c =--=--故答案为：．121336a b c --四、双空题15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，记其前项和为，设{}n a 12121,1,(3n n n a a a a a n --===+≥)*N n ∈n n S （为常数），则__________，__________. 2022a m =m 20202022S a -=135********a a a a a +++++= 【答案】1-m 【分析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，由{}n a 11a =21a =211n n n n a a a S ++=+=+此可求，再结合求的值. 20202022S a -132********a a a a S ++⋯+=+13520192021a a a a a +++++ 【详解】因为斐波那契数列满足 {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 21122111n n n n n n n a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 所以，20202022S 1a -=-，135201920211123420192020a a a a a a a a a a a a +++++=+++++++ ， 135201920211202012022111a a a a a a S a a m m +++++=+=+-=+-= 故答案为：；.1-m五、填空题16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定比，则点P A B ､m n :P 的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的xOy ()6,0A ||:||2:1MA MO =动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得M C :60l x ay a -+=P C D E ､，则实数的取值范围是__________. PD PE ⊥a 【答案】[]1,7-【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图像，根据题意可知点M C G到直线距离的最大值为，从而利用点线距离公式即可得解.l 【详解】设，由题知，(),M x y ()222222|4|,(6)4MA MO x y x y =-+=+化简整理得，则此圆心为，半径为，22(2)16x y ++=()2,0G -4r =因为是曲线上的两点， ,PD PE D E ⊥､C 当都与圆相切，可使最大， PD PE ､DPE ∠又，，PD PE ⊥DG GE r ==此时四边形为正方形，，PDGE PG =显然，当为锐角，不满足题意，PG >DPE ∠当时，才能取得直角，故，PG ≤DPE ∠PG ≤所以点到直线距离要满足， G :60l x ay a -+=d PG ≤≤，解得，2670a a --≤17a -≤≤所以实数的取值范围为.a []1,7-故答案为：.[]1,7-【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数形结合，找到圆心到直线距离的G :60l x ay a -+=最大值，从而列出关于的不等式，解之即可.a六、解答题17．已知直线：，直线：.1l 2240kx y k --+=2l 224480k x y k +--=（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；1l 1l （2）若，求直线的方程.12//l l 2l 【答案】（1）或；（2）.0x y -=40x y +-=60x y +-=【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.1l 1l (2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，1l 1l 0此时则，解得， 240k -+=2k =②若直线不过原点，则斜率为，解得. 1l 12k =-2k =-因此所求直线的方程为或1l 0x y -=40x y +-=（2）①若，则解得或.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 0k =1l 240y -+=2l 480y -=12l l //当时，直线：，直线：，满足题意；2k =-1l 40x y +-=2l 60x y +-=因此所求直线：2l 60x y +-=【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是l 在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.18．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线()222210,0x y a b a b-=>>y =的准线上.224y x =（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2） ()6,0F ±221927x y -=【分析】（1）根据抛物线的准线方程是，求出双曲线的焦点坐标；（2）由条件可知抛物线6x =-的焦点是，且，求出双曲线的标准方程. ()6,0-b a=222c a b =+【详解】因为抛物线的准线方程为，224y x =6x =-则由题意得，点是双曲线的左焦点.()16,0F -（1）双曲线的焦点坐标.()6,0F ±（2）由（1）得，22236a b c +==又双曲线的一条渐近线方程是，y =所以，， b a =29a =227b =所以双曲线的方程为：. 221927x y -=【点睛】本题考查双曲线方程，几何性质，属于基础计算题型.19．已知圆过点相切于点．C (A 0y -=(B (1)求圆的标准方程；C (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． ()()2,0,2,0M N -P C PM PN 【答案】(1)22(4)12x y -+=(2)证明过程见详解【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方(),C a b r 程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即(),P x y PM PN 可证明结论．【详解】（1）设圆心，半径为，(),C a b r因为点，，所以直线的中垂线方程是，(A (B AB 4x =过点垂直的直线方程是， (B 0y -=40x -=由，解得， 440x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩40x y =⎧⎨=⎩圆心，，∴()4,0C r AC ==圆的标准方程是．∴C 22(4)12x y -+=（2）证明：由（1）知圆的标准方程为，22(4)12x y -+=则其一般方程为，即，22840x y x +-+=2284x y x +=-设点，且点在圆上运动，(),P x y P C则，PM ===PN ==于是， PMPN =为定值．PMPN ∴20．已知等比数列{an }中，a 1=1，且2a 2是a 3和4a 1的等差中项.数列{bn }满足b 1=1，b 7=13，且bn +2+bn =2bn +1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{an +bn }的前n 项和Tn .【答案】(1)；(2).12n n a -=221n n T n =+-【分析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.{}n b 【详解】(1)设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，11a =222131,a a q q a a q q ====因为是和的等差中项，所以，即，解得，22a 3a 14a 23144a a a =+244q q =+2q =所以.1112n n n a a q --==故答案为：.12n n a -=(2)因为，所以为等差数列，212n n n b b b +++={}n b 因为，，所以公差， 11b =713b =131271d -==-故.21n b n =-所以1122n n n T a b a b a b =++++++ ()()1212n n a a a b b b =+++++++ . 2121212112()2n n n n n -+-=+=+--故答案为：.221n n T n =+-21．在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充PAB ⊥ABCD AP CD ⊥BC ⊥PAB 在下面的问题中并作答.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，P ABCD -ABCD E BC //AD BC AB AD ⊥AB AP ⊥，，且______.22244BC AB AD AP BE =====（1）求证：平面平面；PDE ⊥PAC （2）求直线与平面所成角的正弦值.PE PAC【答案】选条件①（1）证明见解析；（2②（1）证明见解析；（2③（1）证明见解析；（2【分析】若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系PA ⊥ABCD 结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，AC DE ⊥DE ⊥PAC 即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证PA ⊥ABCD 明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面AC DE ⊥DE ⊥PAC 平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即PA BC ⊥AB AP ⊥可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，PA ⊥ABCD AC DE ⊥可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可DE ⊥PAC PDE ⊥PAC 得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线PAC ()2,1,0DE =- 与平面所成角的正弦值.PE PAC 【详解】方案一：选条件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，， PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =AP ⊂PAB AP AB ⊥∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，， ()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又， ()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ⋅==== 方案二：选条件②.（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.ABCD //AD BC AB CD 又，，，平面，AP AB ⊥AP CD ⊥AB CD ⊂ABCD ∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 方案三：选条件③.（1）∵平面，平面，∴.BC ⊥PAB AP ⊂PAB BC AP ⊥又，，平面，，AP AB ⊥AB BC ⊂ABCD AB BC B ⋂=∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 22．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线x ()0,1A -的距离为4.0x +=(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同的两点，且？若存在，请k l l ,M N AN AM =求出的取值范围，若不存在，请说明理由.k 【答案】(1) 2214xy +=(2)存在，(【分析】(1)根据椭圆的定义结合点到直线距离公式求解； (2)利用韦达定理表示出中点的坐标，再结合可得，利用斜率之积等于MN P AN AM =AP MN ⊥即可求解. 1-【详解】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，x ()0,1A -由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点， 2221(1)xy a a+=>)F 由到直线的距离，F 0x +=4d =4解得，所以椭圆的方程. 2a =2214x y +=（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，:l y kx b =+得：，消去得：2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()222418440.k x bkx b +++-=, ()()()22222(8)441441641kb k b k b ∆=-⨯+⨯-=+-设，则有，()()1122,,,M x y N x y ()22122Δ16140814k b bk x x k ⎧=+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ()12122282221414bk b y y k x x b k b k k ⎛⎫∴+=++=-+= ⎪++⎝⎭的中点的坐标. MN ∴P 224,1414bk b k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭是线段的垂直平分线，于是.,AN AM AP =∴ MN AP MN ⊥根据斜率之积为，即， 1-221141414AP MNb k k k k bk k ++⋅=⋅=--+可得，将其代入， 2413k b +=22140k b ∆=+->并整理得：，解得：.()()224120k k +-<k <故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围. l (【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键在于利用韦达定理表示的中点的坐标，再根据几何MN P 关系确定，从而建立代数关系式可得，再根据判别式大于零即可求范围. AP MN ⊥2413k b +=。
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2019年春季学期南宁市第八中学开学考试
高二数学（文科）试卷
出题人：黄诗韵 审题人：潘联邦
考生注意：
1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出．．
答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，将其选出后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1.设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，﹁p 为（ ） A ．∀n ∈N ，n 2
>2n
B. ∃n ∈N ，n 2
≤2n
C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D. ∃n ∈N ，n 2<2n 2.在等差数列{n n }中，n 1+n 9=10，则n 5=（ ） A ．5 B ．6 C ．8
D ．10 3.抛物线n 2=4n 的焦点坐标是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，1）
C ．（2，0）
D ．（1，0） 4.在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，c=1，则最短边的边长是（ ） A ．√6
3 B ．√6
2 C ．1
2 D ．√3
2
5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是n ，n ，n ，且n =1，n =2，n =√7，则角C 为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ． 120° 6.已知数列{n n }的前n 项和n n =n 2+n ，那么它的通项公式n n =（ ） A ．n B ．2n C ．2n +1 D ．n +1
7.已知函数y =n 3−3n +c 的图象与n 轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A ．-2或2
B ．-9或3
C ．-1或1
D ．-3或1 8.已知双曲线n 2
−
n 2n
=1（n >0）的渐近线方程是n =±√3n ，则n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9.若命题“∃n 0∈N ，使得3n 02+2nn 0+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−√3，√3) B ．(−∞，−√3]∪[√3，+∞) C ．[−√3，√3] D ．(−∞，−√3)∪(√3，+∞)
10.“不等式n2−n+n>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）
A．n>1
4B．n>0C．0<n<1
4
D．n>1
11.已知函数n(n)=n’(1)n2+2n+2n(1)，则n’(2)的值为（）
A．-2 B．0 C．-4 D．-6
12.已知F是抛物线n2=4n的焦点，M是抛物线上的一个动点，P（3，1）是一个定点，则|MP|+ |MF|的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡各题横线上．
13.已知α、β∈N，则“α>n”是“cosα>cosβ”成立的条件.（填“充分且必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不必要又不充分”之一）
14.已知焦点在y轴上的椭圆nn2+4n2=1的离心率为√2
2
，则实数n等于.
15.函数n(n)=2nn n的导数n’(n)= .
16.已知函数n(n)=n3+nn2+nn在n=1处有极值为2，则n(2)= .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．
17. （10分）已知数列{n n}的通项公式为n n=9
2−n.
（1）证明数列{n n}是等差数列.
（2）求此数列前20项的和n20.
18. （12分）在△ABC中，AB=√3，AC=1，∠B=30°.
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.
19. （12分）根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）经过两点P(−3，2√7)和Q(−6√2，−7)；
（2）与双曲线n2
4
−n2
3
=1有共同的渐近线，且过点(2，2√3).
20. （12分）设n(n)=n（n−5）2+6ln n，其中n∈N，曲线y=n(n)在点(1，n(1))处
的切线与y轴相交于点(0，6).
（1）求n的值；
（2）求函数n(n)在区间[1，4]的单调性与最值.
21. （12分）设函数n(n)=ln n+n2+nn.
（1）若n=1
2
时，n(n)取得极值，求n的值；
（2）若n(n)在其定义域内为增函数，求n的取值范围.
22. （12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在n轴上，其中左焦点为F(−√3，0)，点B(√3，1
)在椭圆C上.
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线n：n=n−1与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长|PQ|.。