分数阶系统的分数阶PID控制器设计
分数阶 PIλDμ控制器设计及应用实验
Ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｎ ｄ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｐ Ｉ Ｄ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ
具 有 很 好 的控 制 特性 ， 结 构 化 文 本 编程 的方 法 符 合 Ｉ Ｅ Ｃ ６ １ １ ３ ４国 际标 准 ， 方便 可行 ， 适用 性强 ， 可 以推 广 到 实
际生产过程 中 ， 具 有 一 定 的工 程 应 用 价 值 。
关键词 ： 分数阶 Ｐ Ｉ 控 制 器 ；有 限记 忆 法 ；结 构 化 文 本 ；Ｒ Ｓ Ｌ ｏ ｇ ｉ ｘ ５ ０ ０ ０
ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｉ ｎ ｂ ｉ ｇ ｉ ｎ ｅ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ． Ｉ ｎ ｄ ｅ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｄ ｔ ｅ ｘ ｔ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍｉ ｎ ｇ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ａ ｒ ｄ Ｉ ＥＣ ６ １ １ ３ １ ， ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ， ａ ｎ ｄ ｈ ａ ｓ ｆ ｕ ｌ ｌ ｙ ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｐ Ｉ Ｄ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｈ ａ ｓ ａ ｃ ｅ ｒ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｔ ｕ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｐ Ｉ Ｄ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ；ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｅ ｄ ｍｅ ｍｏ ｒ ｙ ｄ ｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ： ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｄ ｔ ｅ ｘ ｔ ｌ ａ ｎ ｇ ｕ ａ ｇ ｅ ：
分数阶复合型PID型控制器综合设计方法研究
分数阶复合型PID型控制器综合设计方法研究分数阶微积分作为一个重要的数学分支,如今已经广泛应用到数学建模、自动控制、信号处理、流体控制、生物医学工程等多个方面并取得显著成果。
随着对分数阶微积分的深入探讨,人们意识到自然界中存在的许多系统都是分数阶的,如电容是分数阶的,甚至人体也是分数阶的。
而分数阶系统只有通过分数阶类型的控制器才能取得更好的控制效果,因此分数阶控制器的设计是一个重要的话题。
在所有分数阶类型的控制器中,分数阶PID控制器是应用最为广泛的类型,它不仅继承了传统的PID控制器的优点,而且拥有更多的可调参数,可以达到更为灵活和精确的控制效果。
但是,分数阶控制器的设计算法复杂,参数整定比较困难,因此亟需算法更为简单的控制器参数整定方法。
本文主要探讨了分数阶前馈-反馈PID型控制器的设计问题。
首先,利用理想伯德传递函数提出一种分数阶反馈PID型控制器设计方法,搭建直流电机数学模型,用该方法设计分数阶PID类型控制器对电机进行控制,通过MATLAB进行仿真验证。
仿真结果表明,该方法设计的分数阶控制器可以达到比较优异的性能,不仅拥有合理的超调量,而且上升时间短,响应速度快,与其他的控制器相比拥有更强的鲁棒性。
其次,由反馈控制方法延伸到常受忽略的前馈控制,应用平相算法、分数阶迭代学习控制方法以及脉冲响应时不变离散方法相提出一种全参数自适应分数阶前馈PID类型的控制器设计方法,这是第一次将平相算法和分数阶迭代学习控制方法结合到一起进行分数阶控制器设计,该方法采用三个公式可以整定出分数阶PID类型控制器的三个参数,在此不仅进行了相关公式推导,而且通过应用一阶分数阶系统、二阶分数阶系统以及未知结构的系统(黑匣子系统)进行仿真验证。
仿真结果表明,当系统参数发生摄动(一定范围内),该方法设计的控制器依旧能保持其优良性能,实现完全跟踪,此外利用平相算法结合手动调节的方法也能保证二阶分数阶系统以及未知结构的黑匣子系统的收敛性和收敛速度。
控制系统的分数阶建模及分数阶PI^λD^μ控制器设计
其进 行 近似 处理 ， 由于建模 误 差过 大影 响所描 述 系统 的准确 性 和 控 制性 能。本 文 给 出 了具 有 延迟
环 节 的新型 非整数 阶 类一 阶 系统模 型 （ ｎ ｏ ｎ—ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｅ ｒ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｐ ｌ ｕ ｓ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ， Ｎ Ｉ Ｏ Ｐ Ｔ Ｄ） ， 并 分别 设 计 了 某 高阶 系统 降 阶得 到 的传 统模 型 与新型 类一 阶 系统 近似 模 型 ， 对 比分 析 新 型 类一 阶 系统 模 型 的优
第ｌ ８卷
第 ３期
电 机 与 控 制 学 报
Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ Ｃ Ｍａｃ ｈｉ ｎｅｓ ａ ｎｄ Ｃｏ ｎｔ ｒ ｏｌ
Ｖｏ １ ．１ ８ Ｎｏ ． ３ Ｍａ ｒ ．２ ０１ ４
２ ０ １ ４年 ３月
控 制 系统 的分 数 阶建 模 及 分 数 阶 Ｐ Ｉ Ａ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｐ ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ — ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ，ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｏ ｒ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｐ ｌ ｕ ｓ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｍａ ｋ ｅ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｉ ｔ ，ｂ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｓ ｃ ｉ ｒ ｂ ｅ ｄ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｐ ｅ ｆ ｒ ｏ ｍ ａ ｒ ｎ ｃ ｅ ａ ｒ ｅ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｂ ｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｚ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｏ ｆ
分数阶控制器的设计新方法
分数阶控制器的设计新方法摘要：传统的整数阶PID 控制方法是最广泛应用在工业过程控制中的理论。
分数阶PI λD μ控制是传统PID 控制推广和发展。
这篇文章介绍了微积分理论与分数阶PI D λμ控制的基本概念，提出了一个新的分数阶PID 控制器参数安装方法，这种方法主要解决了分数阶PI λD μ控制器的设计问题。
因此获得分数阶PID 控制器的控制模型。
二阶工业对象作为范例。
对分数阶的PI λD μ控制器仿真研究和积分阶PID 控制是分别进行的。
仿真结果表明，改进后的分数阶PI λD μ控制器能够提高产品质量二阶对象，并具有较好的控制效果。
关键词：分数微积分 分数阶PI λD μ控制器 分数阶控制系统1引言分数微积分与牛顿-莱布尼茨提出的传统的微积分几乎同时出现，并拥有300多年的历史[1]。
但早期主要是数学家做理论研究。
直到上后期世纪开始研究其工程应用。
随着计算机和信号加工技术的发展，在分数阶控制系统中应用PID 控制器成为新的热点。
1999年，I.Poflubony 提出了分数阶PI λD μ控制器。
由于顺序分数阶PI λD μ控制器是一种随机的实数，积分阶PI λD μ控制器仅仅是一个例外。
在实际上，许多实际的系统是分数阶的，但不是整数阶的。
因此，进一步研究的理论和应用分数阶PI λD μ控制器是必要的。
2 分数微积分的数学描述分数阶微积分的理论实际上是随机的顺序,这是传统微积分理论的延续。
d dt αα, Re(α)>0 tD αα= 1 Re(α)=0()ta dt -α⎰ Re(a )<0在此公式中，a 是上限，t 为下限。
α代表分数微积分的顺序。
三种常用的分数阶微积分定义如下[1]。
2.1 Grunward- Letnikov 分数阶微积分定义()()()a tt a h ja h 0j 0D f t limh 1f t jh j αα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-→=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑ (1.2) 在这个公式中，t a h -⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示数字的组成部分t a h -，j α⎛⎫ ⎪⎝⎭是二项式系数。
分数阶系统的分数阶PID控制器设计
分数阶系统的分数阶PID控制器设计
薛定宇;赵春娜
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2007(24)5
【摘要】对于一些复杂的实际系统,用分数阶微积分方程建模要比整数阶模型更简洁准确.分数阶微积分也为描述动态过程提供了一个很好的工具.对于分数阶模型需要提出相应的分数阶控制器来提高控制效果.本文针对分数阶受控对象,提出了一种分数阶PID控制器的设计方法.并用具体实例演示了对于分数阶系统模型,采用分数阶控制器比采用古典的PID控制器取得更好的效果.
【总页数】6页(P771-776)
【作者】薛定宇;赵春娜
【作者单位】东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004;东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.一种分数阶系统的内模控制器设计方法 [J], 张博;赵志诚;王元元
2.分数阶系统的自适应PID控制器参数优化 [J], 张艳珠;葛筝;王艳梅
3.带有传感器故障的不确定分数阶系统观测器设计 [J], 张雪峰;刘博豪
4.含有关联噪声的非线性分数阶系统的扩展卡尔曼滤波器设计 [J], 高哲; 陈小姣
5.一类分数阶系统的分析及控制器设计 [J], 王晓燕;王东风;韩璞
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分数阶PID控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析的开题报告
分数阶PID控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析的开题报告一、选题背景与意义随着计算机技术和控制理论的发展，控制系统普遍采用PID控制器作为控制算法。
PID控制器是一个经典的线性控制算法，具有简单、易实现、稳定性好等优点。
但是，传统的PID控制器只能处理一些简单的线性系统，对于非线性、时变等复杂系统的控制效果不佳。
从20世纪90年代开始，一些学者开始研究分数阶控制系统。
分数阶控制系统是指控制系统的微分或积分阶数不为整数，而是分数。
分数阶控制在处理一些复杂系统时具有优势，例如非线性系统、时滞系统等。
分数阶PID控制器是一种新兴的控制算法，已经在一些工业领域得到了应用。
然而，分数阶PID控制器的性能与参数设置较为复杂，需要进一步研究。
另外，在实际控制中，系统存在着各种不确定因素，例如参数不确定、外部扰动等。
因此，如何在不确定的条件下，设计优良的分数阶PID控制器，对于提高控制系统的稳定性和性能至关重要。
二、主要研究内容和思路本文的主要研究内容为：1. 分数阶PID控制器的设计方法和实现原理。
2. 分数阶系统的建模和分析方法。
3. 分数阶PID控制器的参数自整定方法。
4. 分数阶PID控制器在存在参数不确定情况下的控制性能研究。
具体思路如下：1. 综述分数阶PID控制器的研究现状和发展趋势。
2. 研究分数阶系统的数学模型和分析方法。
分析分数阶微积分的概念和性质，探讨分数阶微分方程的建模方法。
3. 研究分数阶PID控制器的设计方法和实现原理。
介绍传统PID控制器的基本结构和算法，阐述分数阶PID控制器的优点和特点。
4. 研究分数阶PID控制器的参数自整定方法。
采用基于遗传算法等智能优化算法对分数阶PID控制器进行参数调整，提高其控制性能。
5. 研究分数阶PID控制器在存在参数不确定情况下的控制性能研究。
运用鲁棒控制理论，分析分数阶PID控制器在参数不确定情况下的稳定域和鲁棒性分析。
三、主要研究方法和技术路线1. 文献综述法。
分数阶PID控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析
分数阶PID控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析分数阶PID控制器及参数不确定分数阶系统稳定域分析一、引言在现代控制系统中，PID控制器是一种经典的控制策略，被广泛应用于工业自动化控制系统中。
然而，传统的PID控制器是基于整数阶微积分的理论，对于一些非线性和时变的系统，其控制效果可能会受到限制。
为了克服这一问题，分数阶PID控制器被提出并得到了广泛的关注。
二、分数阶PID控制器分数阶PID控制器是传统PID控制器的一种推广形式，其包含分数阶微积分的理论。
相比于整数阶微积分，分数阶微积分能够更好地描述非线性和时变的系统动态特性。
分数阶PID控制器的基本形式如下：$u(t)=K_p e(t)+K_i t^{\lambda_i} \int_{0}^{t}e(\tau) d\tau+K_d t^{\lambda_d} \frac{d e(t)}{d t}$ 其中，$e(t)$代表系统的误差信号，$K_p$、$K_i$和$K_d$分别为比例、积分和微分参数，$\lambda_i$和$\lambda_d$为分数阶整数。
三、参数不确定分数阶系统参数不确定是指系统参数的值存在一定的不确定性，即无法准确确定其数值。
在分数阶系统中，参数的不确定性可能导致系统的性能和稳定性受到影响。
因此，研究参数不确定分数阶系统的稳定性是非常重要的。
四、稳定域分析稳定域分析是用于研究系统稳定性的一种方法。
对于分数阶系统，稳定域分析可以通过研究系统的特征方程来得到。
特征方程是通过将系统的传递函数分子和分母的多项式形式相等，然后求解多项式的根来得到的。
根据分数阶阶数的不同，特征方程的求解方法也有所不同。
当分数阶为整数时，可以直接求解特征方程的根。
当分数阶为分数时，可以通过数值计算的方式来求解特征方程的根。
在稳定域分析中，我们关注的是系统的极点位置。
通过分析特征方程的极点分布，可以确定系统的稳定性。
一般来说，系统的极点应该位于左半平面，才能保证系统的稳定性。
分数阶PID控制器参数整定与控制效果
PID 控制器是工业上应用最广泛的控制器之一，它在控制整数阶被控对象时能取得很好的控制效果；然而，对于一些复杂的实际系统，用分数阶微积分建模比整数阶模型更为精确，为了得到更好的控制效果，将控制器的阶次扩展到分数阶得到PI λD μ控制器模型。
本文对包括PI λD μ控制器积分阶次λ、微分阶次μ在内的5个参数，提出了一种基于遗传算法整定分数阶PID 控制器参数的方法，仿真结果表明，对于分数阶系统，采用PI λD μ控制器会取得比常规PID 控制器更好的控制效果，并验证了本方法的有效性。
PI λD μ控制器比常规PID 控制器多了两个可调参数积分阶次λ和微分阶次μ，控制器参数的整定范围变大，控制器能够更灵活的控制受控对象，但是控制器参数的增多也使得参数的整定变得困难，控制器参数的好坏将直接影响着控制效果。
我们给出了一种基于遗传算法直接整定PI λD μ控制器5个参数的方法，并对分数阶控制器和整数阶控制器对同一被控对象的控制效果进行了比较，最后给出了一个实际系统的分数阶模型，通过仿真，对比了本文方法和其他参数整定方法，给出相应结论。
分数阶系统是用分数阶数学模型能更好描述的一类系统。
为了区别整数阶模型，分别用fc G 和ic G 表示PI λD μ控制器和常规PID 控制器，Gf 和Gi 表示分数阶被控对象和整数阶被控对象。
分数阶控制器传递函数，)(s G fc 的表达式如下：μλs K s K K s G d i P fc ++=-)(其中，积分阶次λ、微分阶次μ都大于0，对比于常规的PID 控制器s K s K K s G d i p ic ++=-1)(可以看出，PI λD μ控制器多了两个可调参数，当积分阶次λ、微分阶次μ都取1时，PI λD μ控制器即为常规PID 控制器，可见常规PID 控制器是PI λD μ控制器的特殊形式。
根据式（6）可以得到分数阶控制系统单位反馈结构图如图1所示 分数阶积分K is -λ+-E(s)Y(s)Gf(s)比例Kp 分数阶微分K d s μR(s)Gfc(s)图1 单位负反馈分数阶闭环控制系统结构图从图1中可以得到，分数阶闭环系统的传递函数)()(1)()()()()(s G s G s G s G s R s Y s G fc f fc f s +== 分数阶系统的时域分析考虑一类简单的分数阶微分方程)()()()()(121121t u t y D a t y D a t y D a t y D a n n t n t n t t =++++--αααα其中，u(t)为某已知函数，假设输出信号y(t)及其各阶导数的初始均为0，则可以由Laplace 变换写出系统传递函数模型n n sa s a s a s a s G n n αααα++++=--1211211)(本文采用Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义，可以得到y(t)的每个阶次的微分如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=-≈∑∑-=--=-)()()()(][1)(][0)(jh t y t y h jh t y h t y D h a t j j h a t j jt a i i i i i αααααωω 将上式带入方程中（8）可以写出分数阶微分方程的数值解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑∑∑-===)()(1)(][1)(11jh t y h a t u ha t y h a t j j n i i n i i i i i αααω 应用上述算法就可以求得任意输入的分数阶系统的数值解，编写了一个step （）函数来求解一般微分方程的单位阶跃响应曲线。
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摘要: 对于一些复杂的实际系统, 用分数阶微积分方程建模要比整数阶模型更简洁准确. 分数阶微积分也为描述 动态过程提供了一个很好的工具. 对于分数阶模型需要提出相应的分数阶控制器来提高控制效果. 本文针对分数 阶受控对象, 提出了一种分数阶 PID 控制器的设计方法. 并用具体实例演示了对于分数阶系统模型, 采用分数阶控 制器比采用古典的 PID 控制器取得更好的效果. 关键词: 分数阶微积分; 分数阶系统; 分数阶控制器 中图分类号: TP273 文献标识码: A
第 24 卷第 5 期 2007 年 10 月
文章编号： 1000−8152(2007)05−0771−06
控 制 理 论 与 应 用
Control Theory & Applications
Vol. 24 No. 5 Oct. 2007
分 数 阶 系 统 的 分 数阶 PID 控 制 器设 计
薛定宇, 赵春娜
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分 数阶 微 积 分 (Fractional calculus)
分数阶微积分就像一门新的语言一样, 有它自 己独特的逻辑和语法规则. 在分数阶微积分领域里, 为了更好地明白那些基本原则需要开发新的定义与 原理. 在仔细分析的基础上, 还要证明对于描述函 数、 系统的方法和操作是正确的. 因此, 分数阶微积 分不仅是更好的建模工具, 而且还可以从数学上精 确证明系统的正确性.
Fractional order PID controller design for fractional order system
XUE Ding-y¨ u, ZHAO Chun-na
(Institute of Artificial Intelligence and Robotics, School of Information Science and Engineering, Northeastern University, Shenyang Liaoning 110004, China)
KP e(t) + KI D−λ e(t) + KD Dµ e(t).
(6)
古 典 的 整 数 阶 PID 控 制 器 是 分 数 阶 PID 控 制 器 在 λ = 1 和 µ = 1 时 的 特 殊 情 况. 当 λ = 1 , µ = 0 时, 就是 PI 控制器; 当 λ = 0 , µ = 1 时, 就是 PD 控制器. 可见, 所有这些类型的 PID 控制 器都是分数阶 PID 控制器的某一个特殊情况. 分数 阶 PID 控制器多了两个可调的参数 λ 和 µ . 通过合 理地选择参数, 分数阶 PID 控制器可以提高系统的 控制效果. 分数阶控制器是古典整数阶控制器的一 般化. 分数阶 PID 控制器对于用分数阶数学模型描 述的动态系统, 可以取到很好的控制效果.
Abstract: Fractional order calculus model could model various real materials more adequately than integer order ones and provides an excellent tool for the description of dynamical processes. These fractional order models need the corresponding fractional order controllers to be proposed. A fractional order PID controller design method is proposed for the fractional order system model in this paper. An example is also given to demonstrate the better response of fractional order PID controller in comparison with the classical PID controller. Key words: fractional order calculus; fractional order system; fractional order controller
例 1 文 献 [9] 中 给 出 了 一 个 加 热 炉 的 例 子, 并分别建立了加热炉的整数阶模型和分数阶模 型. 加热炉的整数阶模型 (integer order model 简称 为 IOM) 是一个二阶的微分方程 1 GIp (s) = , 2 73043s + 4893s + 1.93 分数阶模型 (fractional order model 简称为 FOM) 为 1 GF p (s) = . 14994s1.31 + 6009.5s0.97 + 1.69 加热炉的两个模型的阶跃响应如图 1 所示. 根据他 们的输出响应, 得出结论分数阶系统模型要比整数 阶模型更准确.
收稿日期: 2005−04−27; 收修改稿日期: 2006−10−26. 基金项目: 教育部重点实验室资助项目; 国家985项目部分资助项目.
的一般表达式. 然而这些定义在工程问题中的应用 也经历了很长时间. 没有唯一的确切定义以及在几 何运算中的不确切都引起很多问题, 这就降低了分 数阶微积分在科学工程中被接收和应用的速度. PID 控制是控制系统中应用最广泛、 技术最成 熟的控制方法. 由于其结构简单、 鲁棒性强等特点, 被广泛地应用于冶金、 电力和机械等工业过程中, 具有很强的生命力. 将分数阶控制理论和 PID 控 制器整定理论相结合, 是一个很新的研究方向. 分 数 阶 PID 控 制 器 由 I.Podlubny 教 授 提 出[2] , 其 一 般格式简记为 PIλ Dµ . 由于引入了微分、 积分阶 次 λ 和 µ , 整个控制器多了两个可调参数, 所以控制 器参数的整定范围变大, 控制器能够更灵活地控制 受控对象, 可以期望得出更好的控制效果. 可以说, 分数阶 PID 控制器的出现是分数阶控制理论历史上 的一个里程碑, 为分数阶控制理论的发展奠定了基 础. 分数阶控制的意义就是对于古典的整数阶控制
4
最常用的分数阶微积分定义是 Riemann-Liouville (RL) 定义和 Gr¨ unwald-Letnikov (GL) 定义. RL定义 为 m t d 1 f (τ ) α D f ( t ) = dτ, a t a (t − τ )1−(m−α) Γ (m − α) dt (2) 式 中 (m − 1 < α < m), Γ (·) 是 著 名 的 Euler Gamma 函数. GL定义为 1 (t−a)/h Γ (k + α) α f (t − kh), a Dt f (t) = lim h→0 Γ (α)hα k=0 Γ (k + 1) (3) α 可以看到通过引入分数阶操作算子 a Dt , 积分和微 分可以被统一在一起. 描述分数阶系统更常用的代数工具是拉氏变换. 在 t = 0 时刻加入的信号 x(t) 的 n(n ∈ R+ ) 阶微 分的拉氏变换[8] 为
(13) (14)
下面通过例子来形象地说明该方法.
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仿 真 实例 (Simulation examples)
sin πλ πµ µ −KI λ2 + KD sin ω = Imp , ωp 2 p −KI
其中:
sin πλ πµ µ 2 + KD sin ω Img . λ ωg 2 g
−
1 = Rmp + jImp , Am Gp (jωp ) − cos φm − j sin φm = Rmg + jImg . Gp (jωg )
α , 其 分 数 阶 微 积 分 的 基 本 操 作 算 子 为 a Dt 中 a 和 t 是操作算子的上下限, α 为微积分阶次[7] , 是一个复数, 本文假定它为一实数. α d , R(α) > 0, dtα α (1) a Dt = 1, R(α) = 0, t (dτ )(−α) , R(α) < 0. a
3
分 数 阶 PID 控 制 器 (Fractional order PID controller)
分数阶 PID 控制器的一般形式为 PIλ Dµ 控制器, 包括一个积分阶次 λ 和微分阶次 µ , 其中 λ 和 µ 可 以是任意实数. 其传递函数为 KI Gc (s) = KP + λ + KD sµ , (λ, µ > 0), (5) s 这里积分项是 sλ , 就是说, 在相频的对数图中, 它的 斜率是 −20λ dB/dec , 而不是 −20 dB/dec . 在时域中控制信号 u(t) 可以表示为
φm = arg[Gc (jωg )Gp (jωg )] + π, 1 Am = , |Gc (jωp )Gp (jωp )|
其中 ωg 为
(7) (8)
|Gc (jωg )Gp (jωg )| = 1.
而 ωp 满足
(9)
arg[Gc (jωp )Gp (jωp )] = −π. cos πλ πµ µ 2 + KD cos( ωp ) = Rmp , λ ωp 2
772
控 制 理 论 与 应 用
第 24 卷
的普遍化, 它可以提供建立更多的模型, 得到更鲁棒 的控制结果. 近年来, 分数阶控制器也越来越受到研究者们的 关注. 文献[3] 通过最小化积分平方误差给出了一 种分数阶控制器. 文献[4] 给出了一些分数阶控制 器的数值例子. 文献[5] 设计了一个PIα 控制器. 文 献[6] 针对二惯性系统的速度控制提出了一个分数 阶的 PIα D 控制器. 大多数研究者考虑将分数阶控 制器应用到整数阶系统来提高系统的控制效果. 对 于现实情况中的各种实际系统, 分数阶模型能够比 整数阶模型准确, 也为一些动态过程的描述提供了 很好的工具. 针对这些分数阶系统, 分数阶控制器能 更好体现它的优点. 本文针对分数阶系统提出一种 设计分数阶控制器.