关注一类球与球相切问题的教学1[1]

关注一类球与球相切问题的教学
球是一种常见而又重要的几何体，以球和其它几何体的切、接为背景来设计出的问题，在近几年的高考或各级各类竞赛中倍受命题者的青睐，并且这类题难度偏大，如果学生没有掌握有效方法极易失分。

究其原因是这类问题中所涉及的几何元素关系复杂、数量关系隐藏很深，而且直观图又不好画，是教与学的一个难点。

本文着重来探讨一下其中以球与球相切为背景的这一类问题。

球与球相切问题通常是由几个球两两相切叠放起来构成的，处理问题的关键是模型化处理：抓住球心所构成的基本几何体来分析、挖掘其中的几何元素关系以及数量关系，为解题打开突破口。

下面以最近几年出现的相关高考题为例来谈一谈处理此类问题的策略与教学中需注意的问题
策略1:连球心，转化为多面体问题
球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相
切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决．
例1 （2006 陕西）水平桌面上放有4个半径为2R 的球，且相邻的球都相切，在这4个球的上面放有一个半径为R 的小球，它与下面的4个球恰好相切，则最上边的小球的球心到水平桌面的距离是_________。

解析：设小球球心为O ，其他4个球心分别是A 、B 、C 、D 则它们构成一个正四棱锥O —ABCD （图1）,
连结AC 、BD ，交于点O 1，连结OO 1， 因为AB ＝4R ，所以AO 1＝22R ，又
OA ＝3R ，则OO 1=R ，因此O 到水平 桌面的距离是OO 1+2R=3R.
例2 （2005 全国）将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A 、
3623+ B 、362+ C 、3624+ D 、3
6
234+ 解析：由题意结合空间想象知这4个球两两相切，并且每个球与四面体的3个面
相切对称的处于四面体内部。

设这4个球的球心分别为O 1、O 2、O 3、O 4，正四面体为A —BCD （图2），过A 作AA 1⊥面BCD 垂足为A 1，连结BA 1并延长交CD 于点E ，
连结AE ，知E 为CD 的中点， 则由对称性知O 1必在高AA 1上，
且球O 1与侧面ACD 的切点F 在AE 上。

由几何知识知AO 1=3O 1F=3r=3,
另外球心O 1、O 2、O 3、O 4可构成一个棱长均为2的正四面体高为
3
6
2。

故容器AA 1高的最小值为3
6
24+
，选C 。

变式练习：现有4个半径均为1的钢球完全装入一个底面半径为2的圆柱容器，这个圆柱容器内的高的最小值为（ ）
A 、4
B 、1+2
C 、2+2
D 、3+3
(提示：圆柱形容器内所装四个小球的球心连线可构成一个棱长均为2的正四面体，且下边两球的球心连线与上边两球的球心连线垂直互为异面直线，则该圆柱体容器的高即为两异面直线的距离再加上两个半径，如图3) 选C
3 例3 四个半径都是1
的小球两两相外切于一个大球内,且都与大球相切,
则大球的半径是多少？
解析：首先，要做到四个小球两两相切，则这四个小球的球心连线构成一个正四面体（如图中A-BCD ），且该四面体的棱长=2
设四面体底面中心为O'，大球的球心为O ，连结AO'，OD ，DO' 则：DO'⊥BC,AO'⊥DO' 根据其对称关系，设AO=BO=CO=DO=x 则，大球半径R=1+x 而在正四面体A-BCD 中，棱长=2.所以： DO'=32232⨯⨯
=33
2在Rt △ADO'中根据勾股定理有：AO'=22DO'-AD =3
4-4
=
3
6
2所以，在Rt △DOO'中，根据勾股定理又有： OD 2=OO'2+DO'2
===> x 2=3
4
364382++-x x
===> x=
2
6 所以，大球半径R=1+x=1+
2
6
变式练习：四个半径为1的球，每个球都与其它三球相外切，求和这四个球都相切的球的半径？
分析：本题包含两种情况：1，所求球与题中四球相外切即上例；2，所求球与题中四球相内切，此时可将问题转化为在棱长为2的正四面体内确定一点到四顶点的距离相等并求出此距离，然后所求半径即为此距离减去1。

综上所述半径为
2
6
- 1 或2
61+
策略2：找截面，化归为平面几何问题
空间图形的主要元素往往集中在一个特征平面内，将此特征平面解剖出来，而多球相切的特征面通常过球心和切点，这正体现了一个处理立体几何问题的常用方法---立体问题平面化。

例4 在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 内,作一个内切球,再在正方体的八个角上各作一个小球,使它们都有与球O 外切,并且分别与正方体的三个面相切.求小球的半径.
分析 (1)由对称性可知, 八个小球大小均相等.正方体的对角面ACC 1A 1通过5
个球心和10 个切点及正方体的棱和对角线,包含其主要元素.把这个对角面解剖出来（如图）,重点分析研究，即可化归为平面几何问题去解。

（2）利用位似可知A ，O 1，O ，O 2，C 1五点共线，A CC MOA 1∠=∠。

数量关系集中在直角梯形OMNO 1中，设小球半径为x ，则
2
32312
121
cos 1
1-=
∴=+--=∠x x
x
OO N O OM MOA
（注：本题的处理策略即是通过研究截面图而获得几何元素之间的关系的。

）
例5 正三棱锥P-ABC 的底面边长为1,高PH=2,在这个棱锥的内切球上面堆一个与它外切且与棱锥其余各侧面相切的球,按照这样的方法继续把球堆上去,求这些球的体积之和。

（分析）（1）过侧棱PA 及高PH 的截面通过球心和对应切点，包含正三棱锥
的主要元素，把它解剖出来（如图），重点分析研究，化归为平面几何问题。

（2）设内切球O 1，O 2，O 3…,的半径分别为R 1，R 2，R 3…,由正三棱锥底面边心距DH=
63
,斜高PD=6
3722=+DH PH ,有 4
171
27
1
1111=
⇒=
-=∠⇒==∠R R R M PO COS PD DH PDH COS
在直角梯形O 1MNO 2中,
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴=⨯==
⇒=
+-=-=∠ (43431413443)
,43
41437
1
cos 6
3332312212121211πV R R R R R R R R O O N O M O M PO 同理
.111
4431164
1343
ππ=⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯⨯=
从以上几例可以看出，球与球的相切这类问题空间位置关系比较复杂，直观图难画，从而构成了学生学习起来的一个难点，在此，提出以下教学建议。

1 重视寻找“特征截面”。

由于球的切、接问题,直观图不好画,缺少“看的见”、“摸的着”的分析对象，因此解题的关键是采取平面化的策略，作出一个既过球心又包含其他几何体的“特征截面”再把它“移出体外”，通过对截面图形的分析，获取相应的数量关系。

2 重视基本几何体的教学。

由于球的切、接问题大多是以基本几何体为依托，熟练地掌握这些基本几何体的概念和性质对解决这类问题至关重要。

教学中，要重视基本几何体概念的教学，重视性质的推导和归纳，从而丰富学生对空间模型的认知结构，使学生形成稳固的概念表征，同时还要有意识的设计一些关于基本几何体的问题让学生来解决，以提升学生的模型化处理能力。

3 重视数学思想方法的渗透。

解决球的切、接问题要经过三次转化：文字语言（符号语言）转化为图形；空间问题转化为平面问题；由形向数转化。

没有成熟的转化意识，缺少转化思想的指导，是不可能顺利解决问题的。