中考专题(动手操作型专题)

中考专题动手操作型专题在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题．动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．因此．实验操作问题将成为今后中考的热点题型．题型1 动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2 证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3 探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念．二、知识运用举例（一）动手问题例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（C）(第1题) (第2题)例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（B）A．85°B．90°C．95°D．100°例3．（2006年广州市）如图（1），将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图（2）的图案，则图（2）中阴影部分的面积是整个图案面积的（D）A 1B．14C．17D．18(第3题) (第4题)例4．（2006年河南省）如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE＝4，CE＝3BF，•那么这个四边形的面积是___________．（二）证明问题例5．（07浙江省）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH ﹦DH（图4）（图5）（图6）解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长（2分）又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC＝30，∴BC＝5cm，∴平移的距离为5cm．（2分）（2）∵∠130A F A= ，∴∠60G FD= ，∠D＝30°．∴∠90FG D= ．（1分）在Rt EFD中，ED＝10 cm，∵FD＝1分）∵2F C =．（2分）（3）△AHE 与△1D H B 中，∵130FAB ED F ∠=∠=，（1分） ∵F D F A =，1EF FB FB ==，∴1FD FB FA FE -=-，即1AE DB =．（1分）又∵1AHE DHB ∠=∠，∴△A H E ≌△1D H B （AAS ）（1分）． ∴AH D H =．（1分）（三）探索性问题例6．（07青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP ＝12AD 时（如图②）：∵AP ＝12AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴S △ABP ＝12S △ABD ．∵PD ＝AD －AP ＝12AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴S △CDP ＝12S △CDA ．∴S △PBC ＝S 四边形ABCD －S △ABP －S △CDP ＝S 四边形ABCD －12S △ABD －12S △CDA＝S 四边形ABCD －12(S 四边形ABCD －S △DBC )－12(S 四边形ABCD －S △ABC )＝12S △DBC ＋12S △ABC ．（2）当AP ＝13AD 时，探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程；（3）当AP ＝16AD 时，S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系式为：________________；（4）一般地，当AP ＝1nAD （n 表示正整数）时，探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程；图①PDCBAABCDP图②问题解决：当AP＝mn AD（0≤mn≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．解：⑵∵AP＝13AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝13S△ABD．又∵PD＝AD－AP＝23AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝23S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－13S△ABD－23S△CDA＝S四边形ABCD－13(S四边形ABCD－S△DBC)－23(S四边形ABCD－S△ABC)＝13S△DBC＋23S△ABC．∴S△PBC＝13S△DBC＋23S△ABC．⑶S△PBC＝16S△DBC＋56S△ABC；⑷S△PBC＝1n S△DBC＋1nn-S△ABC；∵AP＝1nAD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝1nS△ABD．又∵PD＝AD－AP＝1nn-AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝1nn-S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－1n S△ABD－1nn-S△CDA＝S四边形ABCD－1n (S四边形ABCD－S△DBC)－1nn-(S四边形ABCD－S△ABC)＝1n S△DBC＋1nn-S△ABC．∴S△PBC＝1n S△DBC＋1nn-S△ABC．问题解决：S△PBC＝mn S△DBC＋n mn-S△ABC．PDCBA例7．（07孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）．（图1） （图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB ＝a ，BC ＝b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为y kx =，当M BC '∠＝60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？（图3）解：（1）△BMP 是等边三角形． 证明：连结AN∵EF 垂直平分AB ∴AN ＝ BN由折叠知 AB ＝ BN∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN 为等边三角形 ∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30°又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90° ∴∠BPN ＝60°∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60° ∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60° ∴△BMP 为等边三角形 ．（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP在Rt △BNP 中， BN ＝ BA ＝a ，∠PBN ＝30° ∴BP ＝cos 30a∴b ≥cos 30a∴a ≤23b ．∴当a ≤23b 时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP ．（3）∵∠M ′BC ＝60° ∴∠ABM ′ ＝90°－60°＝30°在Rt △ABM ′中，tan ∠ABM ′ ＝AM AB' ∴tan 30°＝2AM ' ∴AM ′3∴M ′3，2). 代入y ＝kx 中 ，得k3设△ABM ′沿BM ′折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A ' 过A '作A 'H ⊥BC 交BC 于H ．∵△A 'BM ′ ≌△ABM ′ ∴A BM ''∠＝ABM '∠＝30°， A 'B ＝ AB ＝2 ∴A BH M BH ''∠=∠－A BM ''∠＝30°．在Rt △A 'BH 中， A 'H ＝12A 'B ＝1 ，BH ＝3∴)A '∴A '落在EF 上.(图2) (图3)三、知识巩固训练1．在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线z ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L 有_______条．2． （2006年东营）如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动______________格．3．（2006年台州）小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用_______________分钟．4．(2006年湖南省郴州)如图，将一副七巧板拼成一只小动物，则AOB ∠=____________．5．(2005年北京海淀) 印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码. 如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．6．（2006年湖南湘西）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．___________________7．（2006年荆州）如图的梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，且AD ＝AB ，∠C ＝45°．将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形．（在图形中直接画分割线，不需要说明）8．（2006年咸宁）在一张长为9cm ，宽为8cm 的矩形纸片上裁取一个与该矩形三边都相切的圆片后，余下的部分中能裁取的最大圆片的半径为________cm ．9．（2005年佛山市）如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个A BDC图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是_________度．10．（2006年枣庄）右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是______________．11．（2005年福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）．按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形D ．两个直角三角形，一个等腰梯形 12．（2006年浙江）Rt △ABC 中，斜边AB ＝4，∠B ＝60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（ ）A ．3π B ．3π2 C ．π D ．3π413．(2006年天门) 如下图a ，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图a 的阴影部分拼成了一个矩形，如图b ．这一过程可以验证 （ ）A 、a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2B 、a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C 、2a 2－3ab ＋b 2＝(2a －b )(a －b )D 、a 2－b 2＝(a ＋b ) (a －b )14．（2006年广安）用一把带有刻度尺的直角尺， ①可以画出两条平行的直线a 和b ， 如图a图b（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）图（1）； ②可以画出∠AOB 的平分线OP ， 如图（2）； ③可以检验工件的凹面是否为半圆， 如图（3）； ④可以量出一个圆的半径， 如图（4）. 这四种说法正确的有 （ ）图（1） 图（2） 图（3） 图（4）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个15．（2006年嘉兴）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换：①先以点A 为中心顺时针旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针旋转90°； ③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针旋转90°．其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③16．（2006年泰州）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）EF17．如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥，则BAC ∠的度数是 （ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°CABB'A'18．（2006年吉林）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）A ．18B ．16C ．12D ．819．（2006年舟山）假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去.例如，密封爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号，共有2种不同的爬法.问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有几种不同的爬法（ ）A .7B .8C .9D .1020．（2006年晋江）如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）第16题图①②③④⑤A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41-n cm 2 D ．n )41( cm 221．（07云南省）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n ＋1）的一条腰长为_______________________．22（07绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒23（07内江）把一张正方形纸片按如图（3）对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）24．（1）如图（1），有两个正方形花坛，准备把每个花坛分成形状相同的四块，•种不同的花草，图中左边的两个图是设计示例，请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案．（2）在下面的图形中，用两种不同的设计方案，将正方形八等分，画出图案．图（2）25．（2006年浙江省）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片．将它折两次（•第一次折后也可以打开铺平再折第二次）．使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作）．① ② ③26．（2006年鸡西市）已知∠AOB ＝90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E ．当三角板绕点C 旋转到CD 到OA 垂直时（如图1），易证：OD ＋OE．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，•上述结图（3）A ．B ．C ．D ．A B CD论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．27．操作，在△ABC 中，AC ＝AB ＝2，∠C ＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC ，射线CB 于D ，E 两点，•图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．探究：（1）三角板绕P 点旋转，观察线段PD 与PE 之间有什么大小关系？•它们的关系为_________，并以图②为例，加以证明．（2）三角板绕P 点旋转，△PBE 能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出△PBE 为等腰三角形时的CE 的长）；若不能，说明理由．（3）若将三角板直角顶点，放在斜边AB 的M 处，且AM ：MB ＝1：3和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间又有什么关系？直接写出结论，不必证明． （图④供操作，实验用）结论为__________________．28．（2006年广州市）在△ABC 中，AB ＝BC ，将△ABC •绕点A •沿顺时针方向旋转得到△AB 1C 1，使点C 1落在直线BC 上（点C 1与点C 不重合）．（1）如图①，当∠C ＞60°时，写出边AB 1与边CB 的位置关系，并加以证明； （2）当∠C ＝60°时，写出边AB 1与边CB 的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C ＜60°时，请你在图②中用尺规作图法作出△AB 1C 1（保留作图痕迹，•不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由．29．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD ，AB ＝2，AD ＝1，将纸片折叠，•使顶点A •与边CD 上的点E 重合． （1）如果折痕FG 分别与AD 、AB 交与点F 、G （如图①），AF ＝23，求DE 的长；（2）如果折痕FG 分别与CD 、AB 交与点F 、G （如图②），△AED 的外接圆与直线BC •相切，求折痕FG 的长．图a F BE E BF 图b30（07辽宁旅顺口）如图a ，∠EBF ＝90°，请按下列要求准确画图：① 在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使BC ＜AB ＜2BC ，连接AC 得直角△ABC ； ② 在AB 边上取一点M ，使AM ＝BC ，在射线CB 边上取一点N ，使CN ＝BM ，直线AN 、CM 相交于点P ． （1）请用量角器度量∠APM 的度数为_____________（精确到1°）； （2）请用说理的方法求出∠APM 的度数；（3）若将①中的条件“BC ＜AB ＜2BC ”改为“AB ＞2BC ”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出∠APM 的度数吗？31（07江西省）实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，，________，_________；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；x图1x图2x图3归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C mn D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为___________；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为___________（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．32（07无锡）（1）已知ABC △中，90A ∠=，67.5B ∠=，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC △中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系．33（07连云港市）如图1，点C 将线段A B 分成两．部分，如果A CB CA B A C=，那么称点C 为线段A B 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，ABC备用图①ABC备用图②ABC备用图③)x图4如果121S S SS，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为A B 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交A B 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接E F （如图3），则直线E F 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是ABCD 的边A B 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线E F 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．34（07河北省）在图14－1—14－5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图14－1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD的位置构成四边形FGCH ．思考发现 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH ＝BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14－1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH ＝HC ＝GC ＝FG ，∠FHC ＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是__________；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14－1的剪拼方法，请你就图14－2—图14－4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．A Ｃ Ｂ 图1 A DB 图2C AD B 图3 C FE E A 图4 （第27题图） 图14-3图14-4图14-2C（2b ＝a ）（a ＜2b ＜2a ）（b ＝a ）图14-1H （2b ＜a ）联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14－5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．35（07宁德）已知：矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在A D 上，且6AE =厘米，点P 是A B 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图1所示）；步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接Q E （如图2所示） （1）无论点P 在A B 边上任何位置，都有P Q _________Q E （填“>”、“=”、“<”号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，P T 与MN 交于点11Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ②当6PA =厘米时，P T 与MN 交于点22Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ③当12P A =厘米时，在图3中画出MN PT ，（不要求写画法），并求出MN 与P T 的交点3Q 的坐标；（3）点P 在运动过程，P T 与MN 形成一系列的交点123Q Q Q ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．图14-5（b ＞a ）P C B图1图3P CE图2参考答案：1．2条 2．9格 3．12 4．135° 5．6．若房子高度高于（6 7．图略 8．1； 9．60°； 10．30a11．C 12．B 13．D14．A 15．D 16．C 17．B 18．B 19．B 20．C21．12、2n⎛ ⎪⎝⎭；22.B ；23.C 24．略 25．26．解：图2结论：OD ＋OE，证明：过C 分别作OA ，OB 的垂线，垂足分别为P ，Q ，△CPD ≌△CQE ，DP ＝EQ ，OP ＝OD ＋DP，•DQ ＝OE －EQ ， 又OP ＋OQ，即OD ＋DP ＋OE －EQ ， ∴OD ＋DE ．图3结论：OE －OD OC 27．略28．（1）AB 1∥CB ，证略 （2）AB 1与CB 平行（3）图略，（1）（2）中的结论仍然成立29．解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AF ＝23，∠D ＝90°根据轴对称的性质，得EF ＝AF ＝23，∴DF ＝•AD －AF ＝13，在Rt △DEF 中，DE ＝2221()()33-＝33（2）设AE 与FG 的交点为O ，根据轴对称的性质，得AO ＝EO ，• 取AD 的中点M ，连接MO ，则MO ＝12DE ，MO ∥DC ，设DE ＝x ，则MO ＝12x ，在矩形ABCD 中，∠C ＝∠D ＝90°，∴AE 为△AED 的外接圆的直径，O 为圆心． 延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD ， ∴∠DNM ＝180°－•∠C ＝90°， ∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形， ∴MN ＝CD ＝AB ＝2，∴ON ＝MN －MO ＝2－12x ，∵△AED 的外接圆与BC 相切， ∴ON 是△AED 的外接圆的半径， ∴OE ＝ON ＝2－12x ，AE ＝2ON ＝4－x ．•在Rt •△AED 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，∴12＋x 2＝（4－x ）2． 解这个方程，得x ＝158，∴DE ＝158，OE ＝2－12x ＝1716．•根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴∠FOE ＝∠D ＝90°． 又∵∠FEO ＝∠AED ，∴△FEO ∽△AED ， ∴,FO O E O E FO ADD E D E=∴=·AD ．可得FO ＝1730，又AB ∥CD ，∴∠EFO ＝∠AGO ，∠FEO ＝∠GAO ，∴△FEO ≌△GAO ，∴FO ＝GO ，∴FG ＝•2FO ＝1715，∴折痕FG 的长是1715．30证明：（1）45°（2）过点A 作AK AB ⊥，且AK CN =，连接CK 、MK ∴四边形ANCK 是平行四边形KPNM CAF B E∵CN ＝MB ，∴AK ＝MB ∵AM ＝CB ，∠B ＝∠KAM ∴△AKM ≌△BMC∴∠AKM ＝∠BMC ，KM ＝MC ∵∠AKM ＋∠AMK ＝90° ∴∠BMC ＋∠AMK ＝90° ∴∠KMC ＝90°∴△KMC 是等腰直角三角形 ∴∠MCK ＝45° ∵CK ∥AN∴∠APM ＝∠MCK ＝45°（3）过点A 作AK AB ⊥，且AK CN =，连接CK 、MK ∴四边形ANCK 是平行四边形 ∵CN ＝MB ，∴AK ＝MB ∵AM ＝CB ，∠B ＝∠KAM ∴△AKM ≌△BMC ∴∠AKM ＝∠BMC ，KM ＝MC ∵∠AKM ＋∠AMK ＝90° ∴∠BMC ＋∠AMK ＝90° ∴∠KMC ＝90°∴△KMC 是等腰直角三角形 ∴∠MCK ＝45° ∵CK ∥AN∴∠APM ＋∠MCK ＝180° ∴∠APM ＝135°31解：（1）()e c d +，，()c e a d +-，． 2分（2）分别过点A B C D ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111A B C D ，，，， 分别过A D ，作1AE BB ⊥于E ，1DF CC ⊥于点F ． 在平行四边形ABCD 中，CD BA =，又11BB CC ∥，180EBA ABC BC F ABC BC F FC D ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=．EBA FCD ∴∠=∠． 又90BEA C FD ∠=∠=， BEA CFD ∴△≌△．AF DF a c ∴==-，BE CF d b ==-．设()C x y ，．由e x a c -=-，得x e c a =+-．)x由y f d b -=-，得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，． （此问解法多种，可参照评分）（3）m c e a =+-，n d f b =+-．或m a c e +=+，n b d f +=+．（4）若G S 为平行四边形的对角线，由（3）可得1(27)P c c -，．要使1P 在抛物线上， 则有274(53)(2)c c c c c =--⨯--，即20c c -=．10c ∴=（舍去），21c =．此时1(27)P -，．若SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32)P c c ，，同理可得1c =，此时2(32)P ，．若GH 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2)c c -，，同理可得1c =，此时3(12)P -，．综上所述，当1c =时，抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形．符合条件的点有1(27)P -，，2(32)P ，，3(12)P -，．32解：（1）如图（共有2种不同的分割法，每种1分，共2分）（2）设ABC y ∠=，C x ∠=，过点B 的直线交边AC 于D ．在DBC △中， ①若C ∠是顶角，如图1，则90AD B ∠>，11(180)9022C BD C D B x x ∠=∠=-=-，180A x y ∠=--．此时只能有A ABD ∠=∠，即1180902x y y x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭， 34540x y ∴+= ，即31354A B C C ∠=-∠．②若C ∠是底角，则有两种情况．第一种情况：如图2，当DB DC =时，则DBC x ∠=， ABD △中，2ADB x ∠=，ABD y x ∠=-．1．由A B A D =，得2x y x =-，此时有3y x =，即3ABC C ∠=∠．2．由AB BD =，得1802x y x --= ，此时3180x y += ，即1803ABC C ∠=-∠．ABC备用图① 67.567.522.522.5ABC备用图②22.522.545453 ．由AD BD =，得180x y y x --=- ，此时90y = ，即90ABC ∠=，C ∠为小于45的任意锐角．第二种情况，如图3，当BD BC =时，BDC x ∠=，18090AD B x ∠=->，此时只能有AD BD =， 从而12A AB DC C ∠=∠=∠<∠，这与题设C ∠是最小角矛盾．∴当C ∠是底角时，BD BC =不成立．33解：（1）直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边A B 上的高为h ． 12ADCS A D h = △，12BD C S BD h =△，12A B C S A B h = △，所以，A D C AB CS A D S A B=△△，B DC AD CS B D S A D=△△．又因为点D 为边A B 的黄金分割点，所以有A D B D A BA D=．因此A D CB DC A B CA D CS S S S =△△△△．所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线．（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212s s s ==，即121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）因为DF CE ∥，所以DEC △和FCE △的公共边C E 上的高也相等， 所以有DEC FCE S S =△△．设直线E F 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△． 所以AD C FG C AFG D S S S =+△△四边形D GE AEF AFG D S S S =+=△△四边形，BD C BEFC S S =△四边形． 又因为A D CB DC A B CA D CS S S S =△△△△，所以B E FC A E F A B CA E FS S S S =四边形△△△．图2图3因此，直线E F 也是ABC △的黄金分割线． （4）画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取E F 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交A B ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线． 画法二：如答图2，在D F 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交A B 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．34解：实践探究（1）a 2＋b 2；（2）剪拼方法如图3—图5．（每图2分）联想拓展 能；剪拼方法如图6（图中BG ＝DH ＝b ）．（注：图6用其它剪拼方法能拼接成面积为a 2＋b 2的正方形均给分）35解：（1）PQ QE =． 2分 （2）①(03)，；②(66)，． ③画图，如图所示．解：方法一：设M N 与EP 交于点F ． 在R t APE △中，PE ==∵12P F P E ==∴．390Q PF EPA ∠+∠=∵°，90AEP EPA ∠+∠=°， 3Q PF AEP∠=∠∴．又390EAP Q FP ∠=∠=∵°， 3Q PF PEA ∴△∽△．3Q P P F P EE A=∴．315PE PF Q P EA==·∴．3(1215)Q ∴，．方法二：过点E 作3EG Q P ⊥，垂足为G ，则四边形APG E 是矩形．6G P =∴，12E G =．E A M （第27题答图1）E A M （第27题答图2）F 图3A B C(E ) DH G F图5AC DF图4A BC EH D G F图6ABC EDG H设3Q G x =，则336Q E Q P x ==+． 在3Rt Q EG △中，22233EQ EG Q G =+∵．222(6)12x x +=+∴．9x =∴．3125Q P =∴．3(1215)Q ∴，．（3）这些点形成的图象是一段抛物线． 函数关系式：213(026)12y x x =+≤≤．。