新高考苏教版数学理大一轮复习训练3.1导数的概念及其运算(含答案解析)

3.1 导数的概念及其运算一、填空题1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)． 解析 f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，因为函数图象在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0， 所以切线的倾斜角是钝角． 答案 钝角2．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a n ，a 2n )处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ＋1，n ∈N *，若a 1＝16，则a 3＋a 5＝________，数列{a n }的通项公式为________． 解析 k ＝f ′(a n )＝2a n ，切线方程为y －a 2n ＝2a n (x －a n )，令y ＝0， 得－a 2n ＝2a n (a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n ＝12.所以{a n }是首项为16，公比为12的等比数列， 所以a n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n ，a 3＋a 5＝5.答案 5 25－n3．曲线y ＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程是________． 解析 y ′＝3x 2－2，k ＝3－2＝1，所以切线方程为y ＋1＝x －1， 即x －y －2＝0. 答案 x －y －2＝04.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于_______． 解析 求导后导函数为奇函数,所以选择B. 答案-25．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析 设P (t ，t 2－ln t )，由y ′＝2x －1x ，得k ＝2t －1t＝1(t ＞0)，解得t ＝1.所以过点P (1,1)的切线方程为y ＝x ，它与y ＝x －2的距离d ＝22＝2即为所求． 答案26．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为________．解析 y ′＝(x 3)′＝3x 2，k ＝3，由题意，3×a b ＝－1，所以a b ＝－13.答案 －137．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析 由y ＝x n －x n ＋1，得y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，k ＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n ＝－(n ＋2)·2n －1，切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)·2n －1(x －2)， 所以a nn ＋1＝2n,2＋22＋ (2)＝2 1－2n1－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－28．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝________. 解析 设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－3，y 0＝2ln x 0，k ＝2x，解得y 0＝－1，x 0＝1e，k ＝2 e. 答案 2 e9．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝______；函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，f (0)＝0，故函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x . 答案 (x ＋1)e x x －y ＝010．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析 k ＝f ′(2)＝1，切线方程为y ＝x －2. 答案 x －y －2＝011．等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝__________.解析 函数f (x ) 的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212＝4 096. 答案 4 09612．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＞0，对于任意实数x 有f (x )≥0，则f 1f ′ 0的最小值为________．解析 f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＞0，又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a ＞0所以ac ≥b 24，所以c ＞0，所以f 1f ′ 0 ＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2.答案 213．已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝⎝ ⎛2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 如图，可求得直线y ＝2x 与y ＝12x 2＋1(x ＞0)的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m ＞2时，直线y ＝mx 与y ＝f (x )的图象恰有三个不同的公共点． 答案 (2，＋∞) 二、解答题14．曲线y ＝x 2＋1上过点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标． 解析 方法一：设P (x 0，y 0)，由题意知曲线y ＝x 2＋1在P 点的切线斜率为k ＝2x 0，切线方程为y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切， ∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0的判别式Δ＝4x 20－2×4×(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，y 0＝73.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.方法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)分别为切线与曲线y ＝x 2＋1和y ＝－2x 2－1的切点．则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x 21＋1，y 2＝－2x 22－1，k 切＝2x 1，k 切＝－4x 2，k 切＝y 1－y 2x 1－x2，∴x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1＝－4x 2，∴⎩⎨⎧x 21＋2x 22＋2x 1－x 2＝2x 1，x 1＝－2x 2，消去x 1，得x 2＝±33，则x 1＝±233， 则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73. 15．已知函数y ＝f (x )＝ln xx.(1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1e 处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )的最大值． 解析 (1)因为f ′(x )＝1－ln xx2， 所以k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e 2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e ，所以y ＝f (x )在x ＝1e处的切线方程为y ＋e ＝2e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1e ，即2e 2x －y －3e ＝0. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝e. 因为当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，e)上为增函数，在(e ，＋∞)上为减函数， 所以f (x )max ＝f (e)＝1e .16．已知：在函数的图象上，f (x )＝mx 3－x 以N (1，n )为切点的切线的倾斜角为π4. (1)求m ，n 的值；(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k －2 013对于x ∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由． 解析 (1)依题意，得f ′(1)＝tan π4，即3m －1＝1，m ＝23.因为f (1)＝n ，所以n ＝－13.(2)令f ′(x )＝2x 2－1＝0，得x ＝±22. 当－1＜x ＜－22时，f ′(x )＝2x 2－1＞0；当－22＜x ＜22时，f ′(x )＝2x 2－1＜0； 当22＜x ＜3时，f ′(x )＝2x 2－1＞0. 又f (－1)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－23，f (3)＝15，因此，当x ∈[－1,3]时，－23≤f (x )≤15. 要使得不等式f (x )≤k －2 013对于x ∈[－1,3]恒成立，则k ≥15＋2 013＝2 028. 所以，存在最小的正整数k ＝2 028，使得不等式f (x )≤k －2 013对于x ∈[－1,3]恒成立．17.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,定义:设f ″(x )是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的导数,若f ″(x )=0有实数解0x ,则称点0(x ,0())f x 为函数y =f (x )的”拐点”.现已知32()322f x x x x =-+-,请解答下列问题: (1)求函数f (x )的”拐点”A 的坐标; (2)求证f (x )的图象关于”拐点”A 对称. 解析 (1)f ′2()362x x x f =-+,″(x )=6x -6. 令f ″(x )=6x -6=0,得x =1,3(1)1322f =-+-=-2. ∴拐点A 坐标为(1,-2).(2)证明:设00()P x y ,是y =f (x )图象上任意一点,则320000322y x x x =-+-,因为00()P x y ,关于A(1,-2)的对称点为P ′0(2x -04)y ,--,把P ′代入y =f (x )得 左边3200004322y x x x =--=-+--, 右边=0(2)x -33-0(2)x -202(2)x +--2=32000322x x x -+--.∴左边=右边.∴P ′00(24)x y -,--在y =f (x )图象上.∴y =f (x )的图象关于点A 对称.18．已知函数f (x )＝13x 3＋2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ，试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．解析 设存在过切点A (x 1，y 1)的切线与曲线C 同时切于两点，另一切点为 B (x 2，y 2)(x 2≠x 1)，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 31＋2x 21＋3x 1＝(x 21＋4x 1＋3)(x －x 1)，即为y ＝(x 21＋4x 1＋3)x －⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 31＋2x 21.同理，过点B (x 2，y 2)的切线方程是y ＝(x 22＋4x 2＋3)x －⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋2x 22.由于两切线是同一切线，所以有⎩⎨⎧x 21＋4x 1＋3＝x 22＋4x 2＋3，23x 31＋2x 21＝23x 32＋2x 22，即⎩⎨⎧x 1－x 2 x 1＋x 2 ＝－4 x 1－x 2 ， x 1－x 2 x 21＋x 1x 2＋x 22 ＝－3 x 1－x 2 x 1＋x 2又x 1≠x 2，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－4，x 21＋x 1x 2＋x 22＝12，解得x 1＝x 2＝－2，这与x 1≠x 2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两点．。