4.2.1平面直角坐标系学案
高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案含解析新人教A版选修42
一 平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞y ′＝μy μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 设出点M 的坐标(x ，y )，直接利用条件求解．如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动， 所以x 20＋y 20＝1. ② 将①式代入②式，即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m >0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． (3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求．(4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程⎝⎛⎭⎪⎫其中|θ|≤π4. 解：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ， ①b ＝sin θcos θ. ②①2－2×②，得a 2＝2b ＋1.∵|θ|≤π4，由sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，知0≤a ≤ 2.由sin θcos θ＝12sin 2θ，知|b |≤12.∴点P (a ，b )的轨迹方程是a 2＝2b ＋1(0≤a ≤2)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求点A 的轨迹方程．解：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则D (0,0)，B (－2,0)，C (2,0)．设A (x ，y )为所求轨迹上任意一点， 则|AD |＝x 2＋y 2.又|AD |＝3，∴x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 2＝9(y ≠0)． ∴点A 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0).由于△ABC 为等腰三角形，故可以BC 为x 轴，以BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )． 则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式，得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h 2.∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．3．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC .求证：AC ＝BD .证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝b ＋a 2＋h 2，|BD |＝a ＋b2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，AC ＝BD .4．已知△ABC 中，D 为边BC 的中点，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)．设B (a,0)，C (b ，c )， 则D ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2，所以AD 2＋BD 2＝a ＋b24＋c 24＋a －b24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， 又AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2， 所以AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2).求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线9＋4＝1.设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得到椭圆x ′29＋y ′24＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0.注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变为 436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较， 比较系数得λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.6．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′2－9⎝ ⎛⎭⎪⎫13y ′2＝1.整理，得x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.课时跟踪检测(一)一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．已知线段BC 长为8，点A 到B ，C 两点距离之和为10，则动点A 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A 的轨迹为一椭圆．3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x解析：选B 由题意，得MN ―→＝(4,0)，MP ―→＝(x ＋2，y )，NP ―→＝(x －2，y )，由|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，得4x ＋2＋y 2＋4(x －2)＝0，整理，得y 2＝－8x .4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，则有1μ＝3，λ＝2.∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y .二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12x ′. 答案：y ＝3cosx ′26．把圆X 2＋Y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x 2＋y 216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λX λ，y ＝μYμ，则⎩⎪⎨⎪⎧X ＝x λ，Y ＝yμ.代入X 2＋Y 2＝16得 x 216λ2＋y 216μ2＝1.∴16λ2＝1,16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝X 4，y ＝Y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝X 4，y ＝Y7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4.∴点A 轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)． 答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)三、解答题8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.①x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.② 比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c2. 由于|BC |＝b 2＋c 2， |AM |＝b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.10．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，动圆C 1与椭圆C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)， 则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②，得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③，得 x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)，此方程即为点M 的轨迹方程． 敬请批评指正。
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教案一. 教材分析《4.2 平面直角坐标系》是浙教版数学八年级上册的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。
通过学习，学生能熟练运用平面直角坐标系解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、一次函数和二次函数等基础知识，对数学图形有一定的认识。
但部分学生在坐标与图形的对应关系方面可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过直观的教学手段，帮助他们更好地理解平面直角坐标系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平面直角坐标系的定义，了解各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。
2.过程与方法：通过观察、实践，培养学生运用坐标系解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生在解决实际问题中体会数学的重要性。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。
2.难点：坐标与图形之间的对应关系，以及运用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，让学生感受坐标系的存在和作用。
2.直观演示法：利用教具和多媒体手段，直观展示坐标系的特点和规律。
3.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究坐标系的性质，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教具：平面直角坐标系模型、多媒体设备。
2.学具：练习本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中熟悉的场景，如商场购物、电影院等，引导学生思考如何用数学工具表示这些场景中的位置。
通过分析，引入平面直角坐标系的概念。
2.呈现（10分钟）展示平面直角坐标系模型，让学生直观地了解坐标系的组成。
同时，讲解坐标轴上的点的坐标特征，如原点、正方向等。
3.操练（10分钟）让学生在练习本上绘制一个简单的平面直角坐标系，并标注出各象限内的点。
4.2平面直角坐标系教案(1)
一、情境导入1、在一条笔直的街道边，竖着一排等距离的路灯，小华、小红、小明的位置如图1所示，你能根据图示确切地描述他们三个人的位置关系吗？在学生进行叙述后，教师可以抓住以什么为“基准”，并借助于数轴来处理这个问题，从而进入课题．设计意图：学生可以以其中的一人为基准进行描述，其目的是为数轴上的点的坐标的确定做准备。
2、如果我们画一条数轴，取小红的位置为原点，取向右的方向为正方向，取两盏路灯间的距离为一个单位长度，那么小华的位置（A）就可以用－3来表示，小明的位置（B）就可以用6来表示（如图2).此时，我们说点A在数轴上的坐标是－3，点B在数轴上的坐标是6．这样数轴上的点的位置与坐标之间就建立了对应关系．设计意图：将数轴上点的坐标的概念学习置于具体的问题情境中。
问题：(1)在上述情境中，如果小兵位于小明左侧的第二盏路灯处，你能说出小兵在数轴上对应的点的坐标吗？(2)如果小兵站在一个长方形的操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？(3)如果小兵站在一个大操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？设计意图：三个问题的安排有一定的层次性，为下一步引出平面直角坐标系作铺垫。
二、探究新知1、平面直角坐标系的引入对于上述第(2)个问题，我们可以用图3来表示：这时，小兵(P)的位置就可以用两个数来表示．如点P离AB边1 cm，离AD边1. 5 cm，如果1 cm代表20 m，那么小兵离AB边20 m，离AD边30 m.对于上述第(3)个问题，我们是否也可以借助于这样的一些线来确定小兵的位置呢？我们在小兵所在的平面内画上一些方格线（如图4)，利用上节课所学的知识，就可以解决这个问题了．（然后由学生回答这个问题的解决过程）受上述方法的启发，为了确定平面内点的位置，我们可以画一些纵横交错的直线，便于标记每一条直线的顺序，我们又可以以其中的两条为基准（如图5).最早采用这种方法的是法国数学家笛卡儿，然后向学生简要介绍笛卡儿的有关故事．2、平面直角坐标系的概念教师边在黑板上画图（见教材第47页图6.1-4)，边介绍平面直角坐标系、x轴（或横轴）,y轴（或纵轴）、原点等的概念．注意：在一般情况下，两条坐标轴所取的单位长度是一致的．3、点的坐标，有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．如下图，由点A 分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，有序数对(3，4)就叫做点A的坐标，其中3是横坐标，4是纵坐标．注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开。
浙教版初中数学八年级 上册4.2 平面直角坐标系 (一)导学案
4.2平面直角坐标系（一）导学案学习目标：1、认识平面直角坐标系，理解平面内点的横坐标和纵坐标的意义。
2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，有点的位置写出它的坐标。
3、掌握各象限内及坐标轴上点的坐标特征。
学习重难点：重点：理解平面直角坐标系的有关概念，由点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置。
认识各象限内点的坐标特征。
难点：正确画坐标和找对应点，各象限内点的坐标特征的应用。
一、复习回顾1、你还记得平面上确定物体位置两种方法吗？2、右图是某城市局部示意图，若规定列号写在前,行号在后,你能用有序实数对来表示图中各点的位置吗?体育馆和医院能用有序实数对来表示吗？又怎么表示呢？二、探索新知1、什么叫平面直角坐标系？2、什么叫做点的坐标？如何根据点的位置写出其坐标？3、已知点的坐标，如何在平面直角坐标系图中描出这个点？4、坐标轴分平面为四个部分，分别叫什么？平面上有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
水平方向的数轴称为，取为正方向。
竖直方向的数轴称为，取为正方向。
两条数轴统称为。
公共原点O称为。
在平面直角坐标系中，任取一点P，过点P分别作X轴和Y轴的垂线，垂足分别为M和N，这时，点M在X轴上对应的数为m，称为点P的＿＿＿，点N在Y轴上对应的数为n，称为点P的＿＿＿，依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数，这个有序实数对叫做点P的坐标。
记作P（m,n）。
横坐标写在前面。
5、请同学们画一个平面直角坐标系。
思考1：x轴与y轴将坐标平面分为几部分？思考2：坐标平面内的点如何表示？三、例题讲解例1:（1）已知A、B、C、D、E、F、G在直角坐标系的位置如下,请你求出它们的坐标分别是多少?并表示出来？思考3：反过来，如何根据点的坐标在直角坐标系中画出这个点呢？（2）在直角坐标系中画出下列各点。
M(-2,3) N(4,-3)P(3,5) Q(-3,-2)R(-4,0) S(0,5)思考4：坐标平面内的点与坐标之间存在什么关系？思考5：四个象限内点的横、纵坐标符号有何特点？思考6坐标轴上的点的横、纵坐标符号有何特点？四、课堂练习1、数轴上的点和是一一对应的，平面直角坐标系中的点和也是一一对应的。
《4.2平面直角坐标系》教学设计
浙教版八上数学《4.2平面直角坐标系》教学设计（第1课时）一、教材分析1、《课程标准》的要求：1）、结合实例进一步体会用有序实数对可以表示物体的位置。
2）、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
3）、在实际问题中，能建立适当直角坐标系，描述物体的位置。
2、本节教材内容主要是让学生认识坐标系以及怎样利用坐标系的坐标确定物体的位置。
掌握在平面直角坐标系中确定物体位置一般方法就是，将坐标系中的点向纵横坐标轴作垂线，然后在坐标轴上找出垂足所对应在数轴上所表示的数，形成一个有序的数对，形成坐标这一概念。
它在今后学习平面直角坐标系函数教学模块中有着很重要地位，图形与坐标是通过坐标系将它们联系在一起的，也奠定了数与形的结合数学转化思想基础。
二、学情分析：（1）学生在学习4.1《探索确定物体位置的方法》后，对确定物体位置的常用方法有了初步了解，初步形成了确定物体位置一般需要两个维度的限定条件这一基本认识。
在学习平面直角坐标中系用数对表示物体的位置存在着知识相近之处。
（2）学生可能存在的学习问题：学生对有序数对与坐标系中的点一一对应这一关系难以理解。
（3）学生有对现实中对物体的位置描述精确的定位的方法需要，即有具体到抽象的数学模型建立的需要，引起了学生的极大关注。
学生有了这样的学习需要和好奇心就促使他们主动参与自主学习、合作交流、积极探究的学习兴趣。
三、教学目标：1、知识与技能1）.认识并能画出平面直角坐标系。
2）. 在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
3）.掌握坐标的概念2、过程与方法1）. 利用生活中问题情境引入课题，由学生自己动口、动手、动脑进行实验过程。
2）.多次反复两个练习达成坐标概念四、教学重点：确定坐标平面内点的坐标和根据坐标确定点的位置。
五、教学难点：学生完整认识直角坐标系需要一个较长的过程是本节的难点。
平面直角坐标系基础教案
平面直角坐标系基础教案一、教学目标1、能够理解并掌握平面直角坐标系的基本概念和特性。
2、掌握平面直角坐标系中点、距离和斜率的计算方法。
3、具备平面直角坐标系的应用能力，能够解决相关实际问题。
二、教学重点和难点1、教学重点：平面直角坐标系中点、距离和斜率的计算方法。
2、教学难点：平面直角坐标系的应用能力，能够解决相关实际问题。
三、教学过程1、知识点1：平面直角坐标系的基本概念和特性平面直角坐标系是数学中一个重要的基础知识，理解它的基本概念和特性是学好这一知识点的关键。
我们需要了解以下几个概念：（1）横坐标和纵坐标在平面直角坐标系中，每个点都可以用它的横坐标和纵坐标唯一地确定。
横坐标通常用x表示，纵坐标通常用y表示。
比如，点P(x,y)表示平面直角坐标系中的一个点，其横坐标为x，纵坐标为y。
（2）坐标轴平面直角坐标系由两条相交的直线组成，这两条直线分别称为x轴和y轴。
在它们的交点处形成了一个原点O。
（3）象限平面直角坐标系将平面分为四个部分，这四个部分称为象限。
第一象限位于x轴和y轴的正半轴之间，第二象限位于x轴的负半轴和y 轴的正半轴之间，第三象限位于x轴和y轴的负半轴之间，第四象限位于x轴的正半轴和y轴的负半轴之间。
（4）直线的斜率在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般式y=kx+b表示。
其中，k表示这条直线的斜率，b表示其与y轴的截距。
斜率k的大小表示直线的倾斜程度，它可以用下面的公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示直线上的两个点。
2、知识点2：平面直角坐标系中点、距离和斜率的计算方法在掌握平面直角坐标系的基本概念和特性之后，我们需要学习如何在坐标系中计算点的位置、两个点之间的距离以及直线的斜率等重要参数。
（1）点的位置在平面直角坐标系中，一个点的位置由它的横坐标和纵坐标共同决定。
如果我们知道一个点P(x,y)的坐标，那么它就在坐标系中唯一确定了。
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教学设计
浙教版数学八年级上册《4.2 平面直角坐标系》教学设计一. 教材分析《4.2 平面直角坐标系》是浙教版数学八年级上册的一个重要内容。
本节内容主要让学生掌握平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征、坐标的正负判断等基本知识。
通过本节的学习，为学生进一步学习函数、几何等知识打下基础。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生主动探究，合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但部分学生对抽象的数学概念理解仍有困难，尤其是对坐标系的认识。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，有针对性地进行教学，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平面直角坐标系的定义，了解各象限内点的坐标特征，能熟练判断坐标系的正负。
2.过程与方法：通过观察、实践、探究、合作等环节，培养学生的空间想象力，提高学生的问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标特征。
2.难点：坐标系的正负判断，坐标系在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入坐标系的概念，让学生在具体的情境中感受和理解坐标系。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究坐标系的性质，提高学生的合作能力。
3.启发式教学法：教师提问，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣。
4.实践操作法：让学生动手画图，实际操作，加深对坐标系的理解。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：练习本、直尺、圆规。
3.教学资源：教材、教学课件、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如商场购物时的优惠券坐标，引出坐标系的概念。
提问：你们知道坐标系是什么吗？坐标系有什么作用？2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，介绍各象限内点的坐标特征。
浙教版-数学-八年级上册-4.2 平面直角坐标系1 教案
平面直角坐标系1教学目标：知识目标1.了解平面直角坐标系的产生过程；2.感知平面上确定物体位置的方法，初步认识平面直角坐标系的有关概念；3.会正确画出平面直角坐标系；4.探索象限内点的特征与坐标轴上点的特征。
技能目标1.在给定的平面直角坐标系中，能够根据坐标指出点的位置，并且已知点的位置写出标；2.通过学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生观察、发现问题的能力、抽象思维能力、创造性解决问题的能力及总结、概括和语言表达能力，体会转化及数形结合的思想；情感目标1.能使学生感受到数学与现实世界的联系，增强学生“用数学”的意识，感受数学之用；2.培养学生严谨朴实的科学态度和勤奋自强的探索精神，以及独立思考与合作交流的学习习惯，感受数学之实。
3.让学生得到尝试、成功的情感体验，感受数学之美。
教学重点与难点：1.教学重点：能在给定的平面直角坐标系中，由点求出坐标，由坐标描出点。
2.教学难点：探索象限内点的特征与坐标轴上点的特征，以及它们特征的简单。
教学过程：问：用怎样的两个表示教室中具体的位置（二）合作探究，概念解析提问：怎样表示一个数，说出数轴上A.B两点所表示的数平面直角坐标系的有关概念：1.在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
2.水平的数轴叫x轴或横轴，取向右为正方向。
3.铅直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向。
4.两轴交点O是原点。
5.直角坐标系所在的平面叫坐标平面。
6.x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，编号如图。
说明：x轴y轴上的点不属于任何象限。
7.由点求坐标由点A向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，由点A向y轴作垂线，垂足N在y轴上的坐标是3。
我们说点A的横坐标是-2，纵坐标是3，合起来点A的坐标记作(-2,3)，横坐标写在纵坐标前面，(-2,3)是一对有序数对。
师：在坐标中怎样去求一点的坐标。
生：学生各抒己见，老师加以补充。
坐标平面内的点与有序数对是一一对应的关系。
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4.2 平面直角坐标系（1）
【学习目标】
1、认识并能画出平面直角坐标系
2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置由点的位置写出它的坐标。
【学习重点】确定坐标平面内点的坐标和根据坐标在坐标平面内确定点的位置。
【学习难点】平面直角坐标系及相关概念。
一、课前预学
1．数轴上的点与一一对应；
2. 表示物体的位置的方法有哪几种？请你思考是否能找到一种方法使不同人表示的同一物体的位置的一对有序数对都一样呢？
3．阅读教材内容后请回答：
在平面直角坐标系中，如何根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.
4. 预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：
个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：
三、巩固练习与提高
1.(1)平面直角坐标系中点A（0，4）必在
(2)点A(1－π,2)在第象限
(3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a=
2.(1) 已知点(0 ，0),(0 ，－2),(－3 ，0),(0 ，4),(－3 ，1)其中在X轴上的点的个
数是( )
A．0 B. 1 C.2 D. 3
(2)如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( )
A.第一象限,
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限.
(3)以方程组
2
1
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
的解为坐标的点(,)
x y在平面直角坐标系中的位置是
( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 在平面直角坐标系中画出点A(0，－2)，B(1 ，2) ，C(－1，2)，D(－3，0)然后用线段把各点顺次连结起来.
四、挑战
4. 点P（3a－9,a+1）在第二象限，则a的取值范围为是多少？若a是整数请写出所有满足条件的点的坐标.
5.如图，小明从家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，请你帮小明设计一条从家到学校的路线，并在图上画出，用坐标描述他的行走路线.。