高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充互动学案苏教版选修313

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2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充学案苏教版选修1_2word版本

3.1 数系的扩充学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无解的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，则方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理(1)虚数单位i引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：①i2＝－1.②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数的概念形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(3)复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．知识点二复数的分类1．复数(a＋b i，a，b∈R)错误!2．集合表示：知识点三两个复数相等的充要条件思考1 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．思考2 两个复数能不能判断相等或不等呢？答案能．梳理在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.1．复数z＝3i－2，则它的实部是3，虚部是－ 2.( ×)2．实部为零的复数一定是纯虚数．( ×)3．若复数z＝m＋n i，则m，n一定是复数z的实部和虚部．( ×)4．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √)类型一复数的概念例1 (1)给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的序号为________．(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．答案(1)③⑤(2)±2，5解析 (1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确；②中2i －1的虚部应是2，故②不正确；④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确；∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题：①1＋i 2＝0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 为纯虚数；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)答案 ①④解析 ②当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，所以②错；③当x ＝i ，y ＝1时，x 2＋y 2＝0，所以③错．①④正确．类型二复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m≠－3且m≠－2⇔m ＝3.∴当m＝3时，复数z是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解由已知得，复数z 的实部为m2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数．答案 3或－2解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m2－m －6m ＋3＝0，m2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝错误!＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且错误!有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且错误!有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足错误!＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.类型三复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}， P ＝{－1,1,4i}，且M ∪P ＝P ，∴M P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m2－2m ＝－1，m2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ m2－2m ＝0，m2＋m －2＝4，∴m ＝1或m ＝2.反思与感悟 (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．跟踪训练3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________．考点复数相等题点由复数相等求参数答案 112 解析由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ x20＋x0＋3m ＝0，－2x0－1＝0⇒m ＝112. (2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a2－3a －1＝3，a2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.1．已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．答案 1或－1解析 a 2－1＝0，∴a ＝±1.2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝___________.答案 1解析因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中真命题的序号为________．答案①②③⑥解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.答案－10解析由错误!解得错误!∴m＋n＝－10.5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．答案－2解析由题意知错误!即错误!得x＝－2.1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、填空题1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的________________条件．答案必要不充分解析因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋b i＝0∈R”．而当“复数a＋b i是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要不充分条件．2．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝____________.答案 1解析因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋y ＋(x －y )i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．答案 2－2i解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y ＝________. 答案 1解析由复数相等的充要条件知，x ＋y ＝0，∴2x ＋y ＝20＝1. 5．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，z 1＝z 2，则θ＝________. 答案 π6＋2k π，k ∈Z 解析由复数相等的定义，可知⎩⎨⎧ sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ，所以cos θ＝32，sin θ＝12. 所以θ＝π6＋2k π，k ∈Z . 6．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m ＝________.答案－1解析根据题意知，M ∩N ＝{1,3}，故3∈M ，而M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，则有(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，即m 2－3m －1＝3且m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.7．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案－2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m －2＝0，m2－1≠0⇒m ＝－2.8．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的______________条件．答案充分不必要解析当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．9．若复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，则实数m＝________.答案2或－1解析∵复数z＝m2＋m－2＋(m2－m－2)i为实数，∴m2－m－2＝0，解得m＝2或－1.10．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．故答案为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．11．下列命题中，假命题的序号为________．①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③引进虚数单位i后任何负数都可以开平方了．答案①②解析①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③引进虚数单位i的主要目的就是能使负数也能开平方，故③是真命题．二、解答题12．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.(1)当z是纯虚数时，求实数a的值；(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，求实数a的取值范围．解复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.(1)当z是纯虚数时，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，解得a＝－1.(2)当z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，解得a >1或a <12且a ≠2. 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1,2)∪(2，＋∞)．三、探究与拓展13．若复数z ＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i 是纯虚数，则sin 2017θ＋cos 2017θ＝________.答案－1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＋1＝0， ①sin θ－cos θ≠0，由①得sin θ＋cos θ＝－1，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－1，cos θ＝0. 所以sin 2017θ＋cos 2017θ＝(－1)2017＋02017＝－1. 14．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？解当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．。

第3章数系的扩充与复数的引入

第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2）解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ）（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

第三章数系的扩充与复数的引入教材分析

第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2 的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4 课时．第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．•教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．•教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．•教学难点（1）虚数单位i 的引进．（2）复数的几何意义．•教学时数本节教学，建议用2 课时．第1 课时处理数系的扩充和复数的概念；第 2 课时研究复数的几何意义．•课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．(3)在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”.从这上点上看，《课标》要求降低了.•教学建议1 •关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议(1)课题的引入•教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程x= 0有解吗？②在整数集Z中，方程2x =1有解吗？③在有理数集Q中，方程x2= 2有解吗？④在实数集R中，方程•有解吗？(2)回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程•帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征•可让学生思考如下问题：①从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？②每一次扩充的主要原因是什么？③每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要. 扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展.(3)提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程x2T=0在新的数集中的解？(4)引入虚数单位i .(5)学习复数的概念.(6 )规定复数相等的意义.(7)研究复数的分类.(8)告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：①a，bi=c，di=a=c, b = d ；在a=c b c两式中，只要有一个不成立，则a bi = c di .②如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.③“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“v”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a , b来说，a ::: b , a = b , b . a这种情况有且只有一种成立；如果a ： b, b c，那么a c ；女口果a :: b，那么a c ：： b c ；如果a ： b, 0 ：：：c，那么ac ::: bc.2 •关于“复数的几何意义”的教学建议(1 )帮助学生认识复数的几何表示.复数的几何表示就是指用复平面内的点Z ( a,b)来表示复数z = a bi .①明确“复平面”的概念.②建立复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的—对应关系，即J一一对应、复数z=a，bi = "复平面内的点Z ( a,b).(2 )帮助学生认识复数的向量表示•复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z = a bi •①认识复平面内的点Z ( a,b )与向量OZ 的■对应关系.② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z = a bi——对应戸' .兀、——对应点 Z ( a,b —— 对应 > 向量OZ(3 )用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识.在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点(原点除外)一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应•可通过一组练习题来强化这一认识.第二节复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算. •教学目标(1 )掌握复数代数形式的加减运算法则. (2 )了解复数代数形式的加减运算的几何意义. (3 )理解复数代数形式的乘除运算法则. (4)体验复数问题实数化的思想方法. •教学重点(1) 复数代数形式的加减运算及其几何意义. (2) 复数代数形式的乘除运算.(3) 复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用. •教学难点(1) 复数代数形式的加减运算的规定.(2) 复数代数形式的加减运算的几何意义的理解. (3) 复数代数形式的乘除运算法则的运用. •教学时数本节教学，建议用 2课时•第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第 2课时研究复数代数形式的乘除运算.•课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：(1) 《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法； (2) 《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法. •教学建议1 •复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性•这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立.2 •复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法则. 3•复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用i 2二-1，将它们归结为实数的四则运算•在具体运算情境中，弓I 入共轭复的概念，明确公式(a - bi)(a_bi)二a 2 • b 2是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则•从而让学生体验复数问题实数化的思想方法.4 •要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义.附录一:《数系的扩充与复数的引入》章末复习学案一、本章复习要求：(1)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义•(2)复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识回顾：1 •虚数单位“ i ”的两条规定：①i2=-1, ②i与实数在一起，可以进行通常的四则运算。

2019最新高中数学第3章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充(2)学案苏教版选修1-2

§3.1 数系的扩充课时目标 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．1．复数的概念及代数表示(1)定义：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝________. (2)表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．2．复数的分类复数a ＋b ia，b ∈R⎩⎨⎧实数b ＝虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝非纯虚数a .(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________________.一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是__________．2．a ＝________时，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 表示纯虚数．3．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i (x ，y ∈R )，则x ，y 的值分别为____________． 4．若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________.5．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,3}，M ∩P ＝{3}，则实数m ＝________.6．已知复数z 1＝(3m ＋1)＋(2n －1)i ，z 2＝(n ＋7)－(m －1)i ，若z 1＝z 2，实数m 、n 的值分别为__________、________.7．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝______.8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．二、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．10．已知x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0 (x ∈R )，求x 的值．能力提升11．设a ，b ∈R ，若a ＋b ＋i ＝10＋ab i(i 为虚数单位)，则(a －b )2＝________. 12．如果m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？1．利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部虚部应满足的条件，求参数时，可由此列出方程组求解．但注意考虑问题要全面．2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．§3.1 数系的扩充答案知识梳理1．(1)－1 (2)实部虚部 3．a ＝c 且b ＝d 作业设计 1．0,1＋ 3解析 (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ，所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3. 2．0解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝0时，z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 为纯虚数． 3．1,2解析 (7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i⇔⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ＝2y ，3y ＝x ＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即x ，y 的值分别为1,2. 4．5 5.－1 6．2,0解析两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＝n ＋72n －1＝－m －，解得m ＝2，n ＝0.7．－4解析若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －4＝0a 2＋4a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝1a ＝0或a ＝－4.∴a ＝－4. 8．{3}解析 ∵若使复数可以比较大小， ∴两个数必须为实数．∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎨⎧m ＝0或3，m ＝1或3，－10<m <10，∴m ＝3.9．解 (1)当z 为实数时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴a ＝6.∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴a ≠±1且a ≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 10．解由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，∴x ＝3为所求． 11．8解析由复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10ab ＝1⇒(a －b )2＝a ＋b －2ab ＝10－2＝8.12．解由z 1>z 2，z 1<z 2可知z 1∈R ，z 2∈R ，∴当z 1>z 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 3＋3m 2＋2m ＝0， ①m 3－5m 2＋4m ＝0， ②m 2＋1>4m ＋2， ③由①②解得m ＝0，不能满足③式， ∴使z 1>z 2的m 的值的集合为空集．由以上可知，m ＝0时，m 2＋1<4m ＋2， ∴使z 1<z 2的m 的值的集合为{0}．。

2017-2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教案苏教版选修1-

3.1数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。

教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：(1) 你对数的发展的了解(2) 由得你有，何困惑？(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。

问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。

3.1.1《熟悉的扩充和复数的概念》教案

课题：《数系的扩充和复数的概念》教案
一、教材分析
本课选自普通高中课程标准实验教科书选修2-2第三章第一节《数系的扩充和复数的概念》。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。

通过本节课的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性。

二、教学目标
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i.
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
三、教学重点、难点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
教学难点：虚数单位i的引进、复数的概念及复数相等是本节课的教学难点.
四、教学方法：
根据上述分析，贯彻启发性教学原则，结合本校学生实际水平，确定本节课主要使用两种教学方法：1、情景探究式教学；2、讲练结合教学。

五、教学过程：
六、板书设计：。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

广东高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念1学案

3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数表示形式及其有关概念．【重点难点】重点：引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．难点：复数概念的理解．【学习过程】一．课前预习阅读教材5052P P -的内容，了解复数概念的建立过程，并注意一下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 每次数系的扩充，解决了什么问题？（1）分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.（2）负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.（3）无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.（4）在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x +=无解，那么在什么范围内才有解？二．课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程210x +=没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．要解决这一问题，最根本的问题是要解决1-的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于1-．N Z Q R2.根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做，并规定：（1）21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．3．复数的概念：根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数；a 叫做，b 叫做；这种形式的复数叫做复数的．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，有：*N N Z Q R C ．4.实数、虚数、纯虚数：对于复数),(R b a bi a ∈+，当且仅当0b =时，它是；当且仅当0a b ==，它是实数0；当0b ≠时，叫做；当0a =，0b ≠时，叫做 .5. 复数相等的充要条件：在复数集2{|,,1}C a bi a b R i =+∈=-中任取两个复数：a bi +，c di +，,,,abcd R ∈，规定：a bi c di a c +=+⇔=且b d =.2.师生探索，合作交流例1. 当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？( 1 ) 217i + ；( 2 )2i - ；( 3 )0 ，( 4 )2i ；( 5 )sin cos 66i ππ- . 2.已知复数2(1)()z m i m i =+-+，当m 为何值时，z 是虚数？是纯虚数？例2.已知i y y i x )3()12(--=+-，其中，,x y R ∈，求x 与y ．动动手：已知2(12)320(,)x i x mi i x m R ++--=∈，求实数m 的值.3．达标检测(1)已知(21)(3)x i y y i -+=--，则,x y 分别是________________.(2)若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为_________________. (3)若()()2223256i 0x x x x --+-+=，则实数x 的值是 .4．归纳与小结(1)在(,)z a bi a b R =+∈中，实部是a ，虚部是b ，易错为虚部是bi ；(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等；(3)在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.。

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3.1 数系的扩充
互动课堂
疏导引导
1.复数概念的理解及两复数相等的条件
引进了虚数单位i 之后，对于方程x 2+1=0，当x=i 时，x 2+1=0成立，因此i 是方程x 2+1=0的一个根.由于i 可以与实数进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，于是便有了形如a+bi(a 、b ∈R)的数——复数. 复数包括实数和虚数.两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或者是不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.
2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集)之间的关系
上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图，
3.数的发展过程
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≠≠=≠⎪⎩⎪⎨⎧<===>==∈+)0,0()0,0()0()0,0()0,0()0,0()0(),(b a b a b a b a b a b b R b a bi a 非纯虚数纯虚数虚数负实数零正实数实数复数 4.注意问题
本节内容概念较多,在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确,实数也是复数,要把复数与虚数加以区别,对于纯虚数bi(b≠0,b∈R)不要只记形式,认为形如bi的数就是纯虚数,要注意b∈R,且b≠0.
复数z=a+bi(a、b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复数问题转化成实数问题的主要方法,要很好地掌握.
要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会应用它.
对“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的说明：
(1)根据复数相等的定义知,在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么
a+bi≠c+di.
(2)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：
①对于任意实数a、b来说,a＜b,a=b,b＜a这三种情况有且只有一种成立;
②若a＜b,b＜c,则a＜c;
③若a＜b,则a+c＜b+c;
④若a＜b,c＞0,则ac＜bc.
规律总结
1.设z=a+bi(a,b∈R)利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法.
2.两共轭复数在复平面内的对应点关于x轴对称，因此，它们的和为实数，差为0或纯虚数，积为实数.
3.实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数.
4.数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定运用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等等.
活学巧用
例1 实数k 为何值时，复数(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?
解：由z=(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k 2-3k-4)+(k 2-5k-6)i.
(1)当k 2-5k-6=0时，z ∈R ，即k=6或k=-1.
(2)当k 2-5k-6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠-1.
(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--0
6504322k k k k 时，z 是纯虚数,解得k=4. (4)当⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0
6504322k k k k 时，z=0,解得k=-1. 故当k=6或k=-1时，z ∈R ；当k ≠6且k ≠-1时，z 是虚数；当k=4时，z 是纯虚数；当k=-1时，z=0.
点评：复数z=a+bi ，a 、b ∈R 是复数的基本定义，由a 、b 的取值来确定实数、虚数和纯虚数，在解题时，关键是确定复数的实部和虚部.
例2 设复数z=lg(m 2-2m-2)+(m 2+3m+2)i,m ∈R ，当m 为何值时，(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点在第二象限?
解：(1)要使z ∈R ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=++0
2-2m -m 023m m 22⇔m=-1或m=-2，所以当m=-1或m=-2时，z 为实数.
(2)要使z 为纯虚数，则需
⎪⎩⎪⎨⎧≠++=,023m m 0,2)-2m -lg(m 22即⎩⎨⎧≠≠=-2.
m -1m 1,2-2m -m 2且 ∴⎩⎨⎧-≠-≠-==.
21,13m m m m 且或∴m=3.∴m=3时，z 为纯虚数.
(3)要使z 对应的点位于复平面内的第二象限，则需
⎪⎩⎪⎨⎧>++<0,23m m 0,2)-2m -lg(m 22即⎪⎩⎪⎨⎧>++<<0
23m m 12-2m -m 022⇔⎩⎨⎧->-<+<+-<<-12331311m m m m 或或 ⇔311-<<-m 或331<<+m .
∴当m ∈(-1,31-)∪(31+,3)时,z 对应的点在第二象限.
例3 已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i ，求实数x 、y 的值.
解：∵x 、y 为实数，∴2x-1、y+1、x-y 、-x-y 为实数.
由复数相等的定义知⎩⎨⎧=+=y,--x 1y y,-x 1-2x ∴⎩
⎨⎧==-2.y 3,x 点评：两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等.
例4 已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i ，求x 与y.
解：设y=bi(b ∈R 且b ≠0)，代入已知条件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i.
由复数相等的条件得⎩⎨⎧==3.-b 1-b,1-2x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==.23-x 4,b ∴x=2
3-,y=4i. 点评：一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决，在解此题时，学生易忽视y 是纯虚数这一条件，而直接得
出等式⎩⎨⎧==y)--(31y,1-2x 进行求解，这是审题不细致所致.。