第2章2.2第1课时
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
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4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章 一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时 直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的 平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
2020_2021学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学
2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养．如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：其含义分别为①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.你能用数学式子表示上述关系吗？1．不等式的定义我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．2．不等式a≤b和a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“a＞b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．3．实数大小比较的依据我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x 为点P的坐标，并记作P(x)．另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a.此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b.上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )(3)若a＞b，则ac2＞bc2. ( )(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d. ( )[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d 不得小于10 m，用不等式表示为( )A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 mA[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．4.5t<28 000[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．M＞N[M－N＝a2＋a＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞0， ∴M ＞N .]用不等式(组)表示不等关系【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2， v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．[跟进训练]1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m).因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.比较两数(式)的大小【例2】 (教材P60例1改编)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1). ∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.把本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1). ∵3x 2＋1＞0，当x ＞1时，x －1＞0，∴3x 3＞3x 2－x ＋1； 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1； 当x ＜1时，x －1＜0，∴3x 3＜3x 2－x ＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤[跟进训练]2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小． [解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0， ∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2.不等关系的实际应用【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x (n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当0＜n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．[跟进训练]3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解] 设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y 甲、y乙，一张全票价为a 元，则y 甲＝a ＋0.55ax ，y 乙＝0.75(x ＋1)a . y 甲－y 乙＝(a ＋0.55ax )－0.75(x ＋1)a＝0.2a (1.25－x )，当x ＞1.25(x ∈N )时，y 甲＜y 乙；当x ＜1.25(x ∈N )时，即x ＝1时，y 甲＞y 乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．知识：比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .方法：作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．1．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是( )A ．a ＞4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b （a ＋4）（b ＋4）＝200 D ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4b4ab ＝200 C [∵仓库的长a 大于宽b 的4倍，∴a ＞4b .又矩形地基的面积为200 m 2，∴(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.]2．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a －b ＜0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0[答案] C3．设M ＝(a ＋1)(a －3)，N ＝2a (a －2)，则( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤NC [N －M ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，即M ＜N ，故选C.]4．若实数a >b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“>”或“<”) > [因为(a 2－ab )－(ba －b 2)＝(a －b )2，又a >b ，所以(a －b )2>0.]5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质
【解析】(1)由xlg＋x1＋>01，－3≠0， 得xx>＋－1≠1，103， ∴x>－1 且 x≠999. ∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠999}.
(2)由xx>≠01，， 2－x>0，
得xx>≠01，， x<2，
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}.
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logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.
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1. 函 数 f(x) ＝ (a2 － a ＋ 1)log(a ＋ 1)x 是 对 数 函 数 ， 则 实 数 a ＝
【答案】(2,1)
【解析(jiě xī)】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________. 【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的 反函数为y＝ex.
2.2 对数函数(duìshùhán shù)
2.2.2 对数函数(duìshù hán shù)及其性质
第1课时 对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
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目标定位
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图 象及性质. 3.会类比指数函数，研究 对数函数的性质.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标
从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
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解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
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3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
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4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
高中数学第二章2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数练习(含解析)新人教版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时对数1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④=-5成立.其中正确命题的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有意义.2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=100;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( C )(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④解析:lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;ln(ln e)=ln 1=0,②正确;10=lg x得x=1010,③错误;e=ln x,x=e e,④错误.故选C.3.已知log x9=2,则x的值为( B )(A)-3 (B)3 (C)±3 (D)解析:由log x9=2得x2=9,又因为x>0且x≠1,所以x=3.故选B.4.若log a=c,则下列各式正确的是( A )(A)b=a5c (B)b=c5a (C)b=5a c(D)b5=a c解析:由log a=c得a c=,所以b=a5c.故选A.5.已知log a=m,log a3=n,则a m+2n等于( D )(A)3 (B)(C)9 (D)解析:由已知得a m=,a n=3.所以a m+2n=a m×a2n=a m×(a n)2=×32=.故选D.6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:由题知log3(log2x)=1,则log2x=3,解得x=8,所以===.故选D.7.已知f(2x+1)=,则f(4)等于( B )(A)log25 (B)log23(C)(D)解析:令2x+1=4,得x=log23,所以f(4)=log23,选B.8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则log x(y x)的值是( B )(A)1 (B)0 (C)x (D)y解析:x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1.log x(y x)=log212=0.故选B.9.已知对数式log(a-2)(10-2a)(a∈N)有意义,则a= .解析:由对数定义知得2<a<5且a≠3,又因为a∈N,所以a=4.答案:410.方程log2(1-2x)=1的解x= .解析:因为log2(1-2x)=1=log22,所以1-2x=2,所以x=-.经检验满足1-2x>0. 答案:-11.已知=,则x= .解析:由已知得log2x=log9=log9=-,所以x==.答案:12.若f(10x)=x,则f(3)= .解析:令10x=3,则x=lg 3,所以f(3)=lg 3.答案:lg 313.计算下列各式:(1)10lg 3-(+e ln 6;(2)+.解:(1)原式=3-()0+6=3-1+6=8.(2)原式=22÷+3-2·=4÷3+×6=+=2.14.(1)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值; (2)已知log4(log5a)=log3(log5b)=1,求的值.解:(1)1002a-b=104a-2b===.(2)由题得log5a=4,log5b=3,则a=54,b=53,所以==5.15.(1)求值:0.1-2 0150+1+; (2)解关于x的方程(log2x)2-2log2x-3=0.解:(1)原式=0.-1++=()-1-1+23+=-1+8+=10.(2)设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,(t-3)(t+1)=0,解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=8或x=.16.()的值为( C )(A)6 (B)(C)8 (D)解析:()=()-1·()=2×4=8.故选C.17.若a>0,=,则lo a等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为=,a>0,所以a=()=()3,则lo a=lo()3=3.故选B.18.计算:lo(+)= .解析:因为(-)·(+)=n+1-n=1,所以+=(-)-1,所以原式=-1.答案:-119.已知log x27=,则x的值为.解析:log x27==3·=3×2=6,所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=. 答案:20.设x=,y=(a>0且a≠1),求证:z=.证明:由已知得log a x=,①log a y=, ②将②式代入①式,得log a z=, 所以z=.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
(部编版)2020学年高中数学第二章2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质学案含解析
第一课时椭圆的简单几何性质[提出问题]图中椭圆的标准方程为x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．[导入新知]椭圆的简单几何性质1．由不等式x 2a 2＝1－y 2b 2≤1可得|x |≤a ，由y 2b 2＝1－x 2a2≤1可得|y |≤b ，从而可得椭圆的范围．2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a ，而不是a .3．椭圆的离心率e 的大小，描述了椭圆的扁平程度．e 越接近1，则c 就越接近a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此，椭圆越扁；反之，e 越接近0，则c 就越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆越接近圆．特别地，当a ＝b 时，c ＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x 2＋y 2＝a 2.[例1] 求椭圆4x 2＋9y 2＝36 [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53. [类题通法]求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1， 性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.[例2] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5.又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.[类题通法](1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置．②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝c a等．(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率e ＝22； (2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.[例3] 如图，已知F 1P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．[解] 由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则由题意可知P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2，∴e ＝ca ＝22. [类题通法]椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝c a求解； (2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． [活学活用]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a＝12，即椭圆的离心率e ＝12.4.忽视椭圆焦点位置致误[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过P (2,3)，求此椭圆的标准方程． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，4a 2＋9b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝10，a 2＝40.所以所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1. (2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，9a 2＋4b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝254，a 2＝25.所以所求椭圆的标准方程为y 225＋x 2254＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋x 2254＝1.[易错防范]求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x 轴上，这是最常见的错解． [成功破障] 若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值等于________． 解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1， 又∵e ＝12，∴k －1k ＋8＝12，解得k ＝4. 当焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k ， 又∵e ＝12，解得k ＝－54.∴k ＝4或k ＝－54.答案：4或－54[随堂即时演练]1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)( )A ．有相同的长轴B ．有相同的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率解析：选C 25－9＝(25－k )－(9－k )，故两椭圆有相同的焦点． 3．椭圆x 2＋4y 2＝16的短轴长为________． 解析：由x 216＋y 24＝1可知b ＝2， ∴短轴长2b ＝4. 答案：44．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2555．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12； (2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)． 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，即a ＝6. ∵椭圆的离心率为32， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝9.因为c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2＝81＋49＝130， ∴椭圆的标准方程为y 2130＋x 281＝1.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴a ＝ 3. 又∵e ＝33， ∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→， ∴|AP ―→|＝2|PB ―→|. 又∵PO ∥BF ， ∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即aa ＋c ＝23， ∴e ＝c a ＝12.5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －－n ＝n －m . 二、填空题6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又因为b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝17．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163. 综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为__________． 解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2， 即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a ＞0)．∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1，解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝1三、解答题※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12， 从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12. 由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8. 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 10．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围． 解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， 所以y 2＝ax －x 2.① 又因为P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.② 把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0.∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b2，又0＜x ＜a ， ∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b 2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1， 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.。
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【自主解答】 (1)是等差数列． ∵an＋1－an＝4－2(n＋1)－(4－2n) ＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)， ∴{an}是等差数列，且公差为－2. (2)不是等差数列． ∵a1＝2，a2＝6，a3＝12， ∴a2－a1≠a3－a2，
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教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合．通过计算机 模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造 条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中， 符合教学论中的直观性原则和可接受性原则．而保留使用黑板 则能让学生更好的经历整个教学过程．
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【自主解答】 (1)由 an＝a1＋(n－1)d 得，
a1＋4d＝10， a1＋11d＝31， a1＝－2， 解得 d＝3.
∴a20＝－2＋19×3＝55. (2)∵a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 令 3n－5＝85，∴n＝30. ∴85 是该数列的第 30 项．
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2.2 第 1 课时
等差数列 等差数列
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过 程；能运用等差数列的通项公式解决一些问题．
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●教学流程
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【提示】 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一 常数．
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(1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的
【提示】 an＝a1＋(n－1)d. 把各式相加可得：an－a1＝(n－1)d，移项可得
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等差数列的通项公式 an＝ a1＋(n－1)d .
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等差数列的判断
判断下列数列是否是等差数列，并给出证明． (1)an＝4－2n； (2)an＝n2＋n.
【思路探究】 (1)判断一个数列是否为等差数列的方法有 哪些？ (2)如果用等差数列的定义该怎样证明某数列为等差数 列？
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●重点难点 教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应 用． 教学难点：对等差数列中“等差”两字的把握，通项公式 的推导．
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本例中若把(1)改为“an＝4n－3”，试判断并证明之．
【解】 是等差数列． ∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4， ∴{an}是公差为 4 的等差数列．
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∴{an}不是等差数列．
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1．本例给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可 以用定义法，也可以直接看通项公式是否为 an＝kn＋b(k，b 为 常数，n∈N*)的形式，若符合形式则为等差数列，否则不是． 2．定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证 明一个数列为等差数列，可用 an＋1－an＝d(常数)或它的等价命 题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例．
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●教学建议 数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往 互动共同发展的过程， 结合学生的实际情况及本节内容的特点， 我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想 为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指 导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得 出的结论，从而使学生既获得知识又发展智能的目的．
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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等差数列的通项公式
【问题导思】 等差数列{an}中，a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，„， an－an－1＝d，能不能用 a1 与 d 表示 an 呢？怎样表示？
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等差数列的通项公式及其应用
等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31. (1)求 a20； (2)85 是不是该数列中的项？若不是说明原因，若是，是第 几项？
求出 a1，d，从而确定该数
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列的通项公式． 2．通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中有四个量 a1，d，n，an， 求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．
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【思路探究】 (1)根据已知条件，结合等差数列的通项公 式能否列出关于 a1，d 的方程组并解得 a1，d 的值？(2)能否写 出{an}的通项公式？(3)怎样判断一个数是不是某数列中的项？
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等差中项
【问题导思】 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？
【提示】 因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a， A， b 成等差数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .