高中数学人教A版选修2-2全册综合专项测试题
(完整版)最新【人教A版】高中数学选修2-2综合测试题【2】及答案
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B －41 C 21 D 41 2.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（ ）Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（ ）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞) 5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝3x ＋３ Ｃ ｙ＝-3x -31Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）.A －3, 2B －3, 0C 3, 2D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（ ） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定. 二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。
高中数学 综合测试题3 新人教A版选修2-2
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（ ）Ａ．1eＢ．1e - Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ 3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（ ） 答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i -- 答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（ ） Ａ．①②Ｂ．②④Ｃ．①③Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（ ） Ａ．12cm/s Ｂ．13cm/sＣ．14 cm/s Ｄ．15cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[的函数共有（ ） （1）(sin )(cos )y x x ''=+（2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ 二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为 ． 答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为 ．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为 ． 答案：72m 三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数． 证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=， 即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且， 所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，故123z z -为实数．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-， 于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<， 即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去）， 因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 31.8m ．19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线． 证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．所以AB C ，，三点不共线． 20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-． （1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数； （2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数； （3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数． 综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明． 解：满足的不等式为21212111()(2)n nx x x n n x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k kx x x k x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，． （1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ； （2）求()S a 的最小值． 解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β=，由曲线关于y 轴对称， 有2300()2[(1)]2(1)3a S aax a dx x a xββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a⎡=-=⎢⎣· （2）()S a =3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x '<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为 （ ） （A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是 （ ） （A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值 （C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值 （D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是 （ ）（A ）1 （B （C （D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是 （ ） （A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=(B)26．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ） （A ）合情推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是 （ ） （A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是 （ ） （A ）仅有最小值的奇函数 （B ）既有最大值又有最小值的偶函数 （C ）仅有最大值的偶函数 （D ）非奇非偶函数 9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
高中数学人教A版选修2-2综合检测二.docx
综合检测(二)一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是() A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理2．复数21－i等于() A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于()A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 104．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在() A．大前提B．小前提C．推理形式D．没有出错5．观察下列数表规律2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→1 4→58→912→…则数2 007的箭头方向是() A．2 007→B．↓↑ 2 007→C ．↑D ．→2 007→2 007 ↓6． 函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对7． 给出下列命题：①ʃa b d x ＝ʃba d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②ʃ0－1x 2d x ＝ʃ10x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2， 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38． 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋19． 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 211．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x的值( )A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2二、填空题12．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________.13．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为______________________________________ ________________________________________________________________________. 14．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为________．15．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15三、解答题16．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.17．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，试求ʃπ2－1f (x )d x .18．已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.19．如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．20．已知函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点，求实数m 的取值范围．21．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N ＋都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．C 12．i13．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)3214.12516米/秒 15.119116．解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i5＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 17．解 ʃπ2－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃπ20f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃπ20(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|π20 ＝13＋1－π2＝43－π2. 18．证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.19．证明 假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c . ∵a ∥c ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ，∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾． 因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 20．解 依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．(1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5，或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1若函数y ＝f (x )有两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1.解得m >3.21．解 若存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N ＋都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1) ＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N ＋都成立．。
高二数学人教A版选修2-2习题综合检测2(基础卷)Word版含答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10．设 a， b∈ R，那么“ a2＋ b2<1 ”是“ ab＋ 1>a＋ b”的 (
)
A ．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案 ] A [解析 ] ∵ a2＋ b2<1 ，∴ |a|<1，|b|<1，∴ ab＋1－ (a＋ b)＝ (a－ 1)( b－ 1)>0 成立． 反之， (a－ 1) ·(b－ 1)>0 ，推不出 a2＋ b2<1.故“ a2＋ b2<1” 是“ ab＋ 1>a＋ b” 的充分不必要 条件．
11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文
(加密 )，接收方由密文→明文 (解
密 )，已知加密规则为：明文 a，b， c， d 对应密文 a＋ 2b,2b＋ c,2c＋ 3d,4d.例如，明文 1,2,3,4
A ． f( k)＋k－ 1 B． f(k)＋ k＋ 1 C． f(k)＋ k D． f( k)＋ k－2
[答案 ] A
[解析 ] 三棱柱有 0 个对角面；四棱柱有 2 个对角面 (0＋ 2＝0＋ (3－ 1))；五棱柱有 5 个对
角面 (2＋ 3＝2＋ (4－ 1))；六棱柱有 9 个对角面 (5＋ 4＝ 5＋ (5－ 1))． 猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 (k＋ 1)棱柱有 f(k)＋ k－ 1 个对角面．故选 A.
A ．①②③ [答案 ] D
B．②③④ C．②④⑤
D ．①③⑤
[解析 ] 由推理的特征知，归纳推理是由特殊到一般的推理，所以②不正确．类比推理是 由特殊到特殊的推理．
11 2．设 a<b<0 ，则在①
高中数学人教A版选修2-2模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若复数＝＋的实部与虚部相等，则实数＝( )．－．．－．【解析】＝＋的虚部为，故＝，选.【答案】．已知复数＝，则·在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】∵＝＝，∴＝＋，∴·＝－＋.【答案】．观察：＋<，＋<，＋<，…，对于任意的正实数，，使＋<成立的一个条件可以是( )．＋＝．＋＝．＝．＝【解析】由归纳推理可知＋＝.故选.【答案】．已知函数()的导函数为′()，且满足()＝′()＋，则′()＝( ) 【导学号：】．－．－．．【解析】∵()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝－.【答案】．由①＝＋是一次函数；②＝＋的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )．②①③．③②①．①②③．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，＝＋是一次函数(小前提)，＝＋的图象是一条直线(结论)．【答案】．已知函数＝()的导函数＝′()的图象如图所示，则( )图．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查′()的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么()在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么()在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么()在这个点处不是极值．由此可见，是函数()的极大值点，是极小值点，，不是极值点．【答案】．曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )．．【解析】∵′()＝，∴曲线在点(，)处的切线的斜率为＝′()＝，切线方程为－＝(－)，即－－＝，切线与轴和轴的交点坐标分别为()，(，－)，则切线与坐标轴围成的△的面积为××＝.【答案】．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是( )。
人教A版高中数学选修2全册综合检测
全册综合检测A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．29 C ．32 D ．23解析：选A 令380＝n (n ＋1)，即n 2＋n －380＝0， 解得n ＝19或n ＝－20(舍去)， 所以380是{n (n ＋1)}的第19项． 同理，可检验B 、C 、D 不是该数列中的项．2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( ) A ．－5 B ．－3 C ．5 D ．3解析：选C 由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－－24]1－－2a 1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5. 4．若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．e 解析：选C f ′(x )＝a e x－cos x ，若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意，故选C.5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为()解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象知，当x <0时，f (x )单调递减；当x >0时，f (x )先递增，再递减，最后再递增，分析知y ＝f ′(x )的图象可能为D.6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，q 2a 1＋a 2＝9，∴q 2＝9.∵a n >0，∴q ＝3，∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.故选B.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不单调，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析：选A 由题意，得f ′(x )＝(x －b )(x －2)． 因为f (x )在区间[－3,1]上不单调，所以－3<b <1. 由f ′(x )>0，得x >2或x <b ； 由f ′(x )<0，得b <x <2，所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.故选A.8．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选C 设容器的高为x cm ，容器的体积为V (x ) cm 3，则容器的长为(90－2x ) cm ，宽为(48－2x ) cm ，所以容器的体积V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)．由V ′(x )＞0，得0＜x ＜10；由V ′(x )＜0，得10＜x ＜24，所以V (x )在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V (x )最大时，该容器的高为10 cm.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则下列命题中正确的是( )A ．若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B ．若S 4＝S 12，则使S n ＞0的n 的最大值为15C ．若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大D ．若S 7＜S 8，则S 8＜S 9解析：选BC 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝a 1＋a 10×102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0，a 9＜0，则有S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＝0，故使S n ＞0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15＞0，S 16＜0，则S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＜0，则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大，C 正确；对于D ，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8－S 7＞0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误．故选B 、C.10．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝2为f (x )的极小值点C ．f (x )的最大值为1＋ln 2D ．f (x )的最小值为1＋ln 2 解析：选BD ∵f (x )＝2x＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点，f (x )无极大值点， 且f (x )的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值． 故选B 、D.11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，都有S n≥S 3，则a 6a 5的值可能为( )A ．2B ．53 C.32 D ．43解析：选ABC 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 1≥S 3，S 2≥S 3，S 4≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥3a 1＋3×22d ，2a 1＋d ≥3a 1＋3×22d ，4a 1＋4×32d ≥3a 1＋3×22d ，∴－3d ≤a 1≤－2d (d ＞0)， ∴代入选项知，当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝2时，a 1＝－3d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝53时，a 1＝－52d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝32时，a 1＝－2d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝43时，a 1＝－d 不成立．故选A 、B 、C. 12．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC 对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x .令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x.令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥214．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________． 解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax(a >0)． 由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a15．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝cos x ·x －sin xx 2，所以所求切线的斜率为k ＝y ′| x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π.由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y ＝－1π(x －π)， 即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy －π＝016．数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋A ＝2，∴A ＝12.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12＋12n －1＝n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：12 nn ＋1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－n ＋1a n n n＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n2－n .18．(12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1，所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值． 所以g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 所以f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． 19．(12分)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1 ＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *. 20．(12分)已知函数f (x )＝1＋1x ＋ln x ＋ln x x.(1)判断函数f (x )的单调性；(2)记g (x )＝2ex －1x e x ＋1，试证明：当x >1时，f (x )>(e ＋1)g (x )．解：(1)由题意，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ln xx 2.令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，∴φ(x )≥φ(1)＝1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 故当x >1时，f (x )>f (1)＝2，故f xe ＋1>2e ＋1. g ′(x )＝2ex －1x e x ＋1－x e x ＋1′·e x －1x e x ＋12＝2ex －11－e x x e x＋12.∵x >1，∴1－e x<0，∴g ′(x )<0， 即g (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴当x >1时，g (x )<g (1)＝2e ＋1.∴f xe ＋1>2e ＋1>g (x )，即f (x )>(e ＋1)g (x )． 21．(12分)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)， 则a n ＝a 1qn －1，且a n ＞0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q q ＋1＝2q ＋1，a 21q5q ＋1＝32q ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1＞0，q ＞0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n－14－1＋nn －12＝4n－13＋n n －12.22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R.(1)证明：ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数． 解：(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x ＞0.令－2x 2＋ax ＋1＝0， 解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1.当a ＞1时，f (1)＝a －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12＜12a －1－14a 2＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －122－14＜0，f (2a )＝ln 2a －2a 2＜2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1和区间(1,2a )上各有一个零点． 综上可得，当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a ＞1时，函数f (x )有两个零点．B 卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等比数列且a n >0，a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析：选A 由等比数列的性质知a 2·a 4＝a 23，a 4·a 6＝a 25，所以a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0，所以a 3＋a 5>0，所以a 3＋a 5＝5.2．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174 D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，且最小值为f (1)＝3.3．已知{a n }是等比数列，a 4·a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：选 B 根据等比数列的性质可得a 4·a 7＝a 3·a 8＝－512.又a 3＋a 8＝124，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.因为公比为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128，所以q 5＝a 8a 3＝－32，所以q ＝－2.4．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－6解析：选 B ∵f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＝(x 2－3kx )(x 2＋3kx ＋2k 2)，∴f ′(x )＝(2x －3k )(x 2＋3kx ＋2k 2)＋(x 2－3kx )(2x ＋3k )，∴f ′(0)＝－3k ×2k 2＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.故选B.5．设曲线y ＝ln xx ＋1在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选 A 由题意得，y ′＝ln x ′x ＋1－ln xx ＋1′x ＋12＝1＋1x －ln x x ＋12(x >0)．∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴2－ln 14＝－a ，解得a ＝－12，故选A. 6．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1， 且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3， 即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×1－261－2＝189.7．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184解析：选D 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：选B 构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则y ′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )的图象在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， 所以(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)， 所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2或x ＜－1(舍去)．所以不等式f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)的解集是(2，＋∞)．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则下列说法正确的是( )A ．a 1＞0B ．q ＞0 C.a 3a 2＝3或－1D ．a 6a 4＝9解析：选ABD 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1＞0，且q ＞0，故A 、B 正确；由q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，所以a 3a 2＝q ＝3，a 6a 4＝q 2＝9，故C 错误，D 正确，故选A 、B 、D.10．设函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10有三个公共点解析：选CD 对于选项A ，B ，根据函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12.令3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，故函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A ，B 都不正确；对于选项C ，当b ＝－6时，f ′(－2)＝0，f (－2)＝10，故函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10，选项C 正确；对于选项D ，当b ＝0时，f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16，故直线y ＝10与函数f (x )的图象有三个公共点，选项D 正确．故选C 、D.11．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7解析：选AD ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1，a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1，a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．故选A 、D.12．已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，则下列选项正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0<0D ．f (x 0)＋x 0>0解析：选AC 因为f (x )＝x ln x ＋12x 2，所以f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，又当x →0时，f ′(x )→－∞，所以0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 0＋1＝x 0ln x 0＋x 0＋1－12x 0＝－12x 20<0，故C 正确，D 错误．综上所述，选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析：将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111.答案：11114．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧f1－x －2f x ＝x 2－1，f x －2f 1－x ＝1－x2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝015．已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：2116．函数f (x )＝e x(x －a e x)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝e x(x －a e x)， ∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x)e x . ∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根． 令x ＋1－2a e x＝0，且a ≠0， ∴x ＋12a＝e x. 设y 1＝x ＋12a(a ≠0)， y2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a ＞1，解得0＜a ＜12，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }单调递减，且a 3＝1，a 2a 4＝34.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a 1a n }是否为等差数列．若是，求出公差；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知，a 2＋a 4＝2a 3＝2. 又a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝－12，a 1＝a 2－d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12n ＋52. (2)由(1)知a 1a n ＝2a n ，则当n ≥2时，2a n －2a n －1＝2(a n －a n －1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.当n ＝1时，2a 1＝4，∴数列{a 1a n }是首项为4，公差为－1的等差数列．18．(12分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.19．(12分)在①q ·d ＝1，②a 2＋b 3＝0，③S 2＝T 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．若S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，T n 是公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和，________，a 1＝1，S 5＝25，a 2＝b 2，是否存在正数λ，使得λ|T n |＜12?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：∵S 5＝25＝5a 3，∴a 3＝5，∴a 2＝a 1＋a 32＝1＋52＝3，∴b 2＝a 2＝3.∴d ＝a 2－a 1＝3－1＝2.若选①，∵q ·d ＝1，∴q ＝1d ＝12，∴b 1＝3×2＝6，∴T n ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .由λ|T n |＜12得λ≤1，又λ＞0，∴λ的取值范围为(0,1]． 若选②，∵a 2＋b 3＝0，∴b 3＝－a 2＝－3， ∴q ＝－1，b 1＝－3，∴当n 为偶数时，T n ＝0，则λ＞0；当n 为奇数时，T n ＝－3，由λ|T n |＜12得λ＜4. 综上，λ的取值范围为(0,4)．若选③，由S 2＝T 2得b 1＝a 1＋a 2－b 2＝1＋3－3＝1，∴q ＝b 2b 1＝3，∴T n ＝1－3n 1－3＝3n－12.∵T n 单调递增，没有最大值， ∴不存在正数λ，使λ|T n |＜12.20．(12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )，a >0，b >0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益．解：(1)由投资额为0时收益为0， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0≤x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元． 设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0≤x ≤5)．x ＋1当0≤x <2时，S ′(x )>0，函数S (x )单调递增； 当2<x ≤5时，S ′(x )<0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得极大值，也是最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6(万元)．当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为6ln 3＋6万元．21．(12分)已知等差数列{a n }是单调增数列，且a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n ＋13a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝8，a 2a 3＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 3＝3.又等差数列{a n }是单调增数列， 所以a 2<a 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5，所以d ＝a 3－a 2＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋2(n －2)＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝3a n ＋13a n ＝32n －1＋13·(2n －1)，所以S n ＝(3＋33＋35＋…＋32n －1)＋13[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝31－9n1－9＋13·n 1＋2n －12＝32n ＋18＋n 23－38.22．(12分)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f (1)＝1，∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)由题意得，g (x )＝2ln x －x 2＋m ， 则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.⎣⎦e 当1e ≤x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有最大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.。
模块综合测评 人教A版数学选修2-2 全册测评
模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：5i2－i＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i(2＋i)5＝－1＋2i，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a<3b成立C.3a＝3b或3a<3b成立D.3a＝3b且3a<3b成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B. 答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，由f ′(x )＝0得x＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出 解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ，若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B. 答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C . 答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83 D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D . 答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B .答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019.答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫ππ－x 2d x ＝π24. 解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫ππ－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5， 所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ， ∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a .(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x，设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下：x (－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)－0＋0－g(x)递减有极小值－4递增有极大值0递减∴g(x)的大致图象如下：要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有两个零点，只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同的交点，∴实数a的值为－4或0.19．(12分)(1)当a>2时，求证：a＋2＋a－2<2a；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)由题意得(a＋2＋a－2)2＝2a＋2a＋2·a－2，∵a－2>0，a＋2>0，且a＋2≠a－2，∴要证a＋2＋a－2<2a，即证2a＋2a＋2·a－2<4a，即证a＋2·a－2<a，即证a2－4<a2，即证－4<0，而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ， 则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值． 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 解析：(1)f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点， 所以2－a 2＝0，所以a ＝4. (2)因为f ′(x )＝x －a x，f (x )的定义域为x >0， 所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x， 令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ， 则g ′(x )＝2x 2－x －1x， 因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0. 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式． 解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， 所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证． 所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， 所以a n ＝2n (n ＋1).。
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本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·安徽)i 是虚数单位，i3＋3i＝( )A .14－312iB .14＋312i C .12＋36i D .12－36i 解析i3＋3i＝i3－3i3＋3i3－3i＝3i ＋312＝14＋312i . 答案 B2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x cos xB ．－x sin xC ．x sin xD ．－x cos x解析 y′＝(x cos x －sin x)′ ＝cos x －x sin x －cos x＝－x sin x.答案B3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为( )A．29 B．31C．32 D．33解析观察前几项知，5＝2＋3，11＝5＋2×3,20＝11＋3×3，x＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3.答案C4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若m＝M，则f′(x)()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．以上都有可能答案A5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析 f′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0， 解得－3≤a≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 解析 由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D8．设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( ) A.b a ＋ab≥2B ．ln(ab ＋1)≥0C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bD ．a 3＋b 3≥2ab 2解析 易知A 、B 正确． 又a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b ) ＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， ∴C 正确． 答案 D9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T (1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.4918 B.4936 C.4972D.49144 解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1 B.52 C.92D ．9解析 如图所示由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)．∴阴影部分的面积为S ＝⎠⎜⎛03(x －x 2＋2x )d x ＝⎠⎜⎛03(－x 2＋3x )d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪3＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2010·重庆)已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________.解析 2z －z ＝21＋i －(1＋i)＝(1－i)－(1＋i)＝－2i. 答案 －2i14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a＝________.解析 ⎠⎜⎛-11 (3x 2＋2x )d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪1－1＝2，∴2(3a 2＋2a )＝2. 即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1，或a ＝13.答案 －1或1315．设n ∈N *，且sin x ＋cos x ＝－1，则sin n x ＋cos n x ＝________. 解析 ∵sin x ＋cos x ＝－1， ∴sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1， ∴2sin x cos x ＝0. ∴sin x ＝0，或cos x ＝0. 当sin x ＝0时，cos x ＝－1， ∴sin n x ＋cos n x ＝(－1)n . 当cos x ＝0时，sin x ＝－1， ∴sin n x ＋cos n x ＝(－1)n . 答案 (－1)n16．y ＝x e x ＋1的单调增区间为________． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．令y ′>0，得e x (x ＋1)>0， ∵e x >0，∴x ＋1>0，即x >－1，∴增区间为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A >sin B ，则∠B 必为锐角．证明 假设B 不是锐角，则0°<∠A <∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°， ∴sin A <sin(180°－B )，即sin A <sin B ，这与已知sin A >sin B 矛盾，故∠B 必为锐角． 18．(12分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，代入原式得 (2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎨⎧4a 2＝4，－3a 2＋b 2＝－6，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎨⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎨⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎨⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎨⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.19．(12分)已知函数f (x )＝x 2e －2x ，求函数在[1,2]上的最大值． 解 ∵f (x )＝x 2e －2x ， ∴f ′(x )＝2x e －2x ＋x 2(－2)e －2x ＝e －2x (2x －2x 2) ＝－2x (x －1)e －2x . 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1,2]上单调递减．∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)＝e －2.20．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(－1,0)，(2,0)，如下图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解 由y ＝f ′(x )的图像可知，在(－∞，－1)上f ′(x )<0，在(－1,2)上f ′(x )>0，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f (x )在x ＝－1处取得极小值，所以x 0＝－1.∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f (－1)＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N*)．(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n的表达式．解(1)易求得S1＝1＝22，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.(2)①当n＝1时，S1＝2×11＋1＝1，猜想成立．②假设n＝k(k∈N*)时，S k＝2kk＋1，则当n＝k＋1时，S k＋1＝(k＋1)2a k＋1＝(k＋1)2(S k＋1－S k)，∴S k＋1＝k＋12k2＋2k·2kk＋1＝2k＋1k＋1＋1，这表明当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①、②可知，对n∈N*，S n＝2nn＋1，从而a n＝S nn2＝2n n＋1.22．(2010·北京)(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2 f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)， 即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ，x ∈(－1，＋∞)，当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x ，所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k>0.所以在区间(－1,0)和(1－k k ，＋∞)上f ′(x )>0；在(0，1－kk )上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)和(1－k k，＋∞)，单调减区间为(0，1－k k)． 当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x>0，故f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －11＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k ∈(－1,0)，所以在区间(－1，1－k k)和(0，＋∞)上f ′(x )>0； 在区间(1－k k，0)上f ′(x )<0， 故f (x )的单调增区间为(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调减区间为(1－k k，0)．。