2018-2019学年八年级数学下册习题课件：第16章 二次根式 核心素养提升专题(3)(共11张PPT)
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式课件 新人教版
课堂导学
知识点1：二次根式的定义
【例1】下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】根据二次根式的概念“形如(a≥0)的式子，
即为二次根式”，进行分析．
【答案】C
【点拔】判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣
定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特
征：①带二次根号“ ”；②被开方数不小于零． 4
16.1 二次根式
1 …核…心……目…标..… 2 …课…前……预…习..… 3 …课…堂……导…学..… 4 …课…后……巩…固..… 5 …能……力…培……优….
1
核心目标
理解二次根式的概念，掌握 二次根式的基本性质。
2
课前预习
1．一般地，我们把形如 子叫做二次根式．
的式
2．( a ) 2 ＝____a____，＝____a____(a≥0)．
16
感谢聆听
17
＝________；
(2)
＝____3____，
＝____5____．
7
课堂导学
6．计算：
＝____6_____， ＝____1_____．
7．化简：
＝________，
＝________．
8
课后巩固
8．下列式子：① ；② ； ；④
.
其中是二次根式的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．要使二次根式
12．计算： (1)
课后巩固
＝__0_._3__，
＝______；
(2)
＝__1_2__5__，
13．化简：
(1)
八年级数学下册 第16章 二次根式本章总结提升课件
C. 33＝3
D．(－ 3)2＝－3
[解析] A ( 3)2＝3，A 正确； （－3）2＝3，B 错误； 33＝ 27＝3 3，C 错 误；(－ 3)2＝3，D 错误．故选 A.
第八页，共三十页。
本章(běn zhānɡ)总结提升 【归纳总结】根据 a2＝|a|化简时要注意 a 的正负．
第九页，共三十页。
x－ y x＋ y ＝ x＋ y＋ x－ y
（ x－ y）2＋（ x＋ y）2 ＝ （ x＋ y）（ x－ y）
＝x－2
xy＋y＋x＋2 x－y
xy＋y
＝2xx＋ －2yy.
第二十八页，共三十页。
本章(běn zhānɡ)总结提升
例 5 比较 6－ 5和 7－ 6的大小．
6－ 5 （ 6＋ 5）×（ 6－ 5）
第十八页，共三十页。
本章(běn zhānɡ)总结提升
问题(wèntí)5 二次根式非负性的应用
二次根式的非负性指什么？除了二次根式，还有哪种形式的非 负数？
第十九页，共三十页。
本章总结(zǒngjié)提升 例 5 已知 x－1＋ 1－x＝y－4，求 xy 的平方根．
[解析] 由于二次根式具有双重非负性，即 a≥0 且 a≥0，因此在解决有关二 次根式的问题时应注意这些隐含条件的应用． 解：由题意可得 x－1≥0，1－x≥0，所以 x＝1， 将 x＝1 代入已知的等式中，得 y＝4， 所以 xy＝14＝1，则 xy 的平方根是±1.
第十二页，共三十页。
本章 总结提升 (běn zhānɡ)
49
1
解：(1)原式＝ 2 ÷2－ 3÷2－6
9
71
9
8×3－ 0.12×3＝2－6 6－2 6－
人教版八年级下册数学 16.1二次根式 (共15张PPT)
.
；面积为 S 的正
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
则它的宽为
.
（3）一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间
t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足
关系h = 5t 2 ，如果用含有h 的式子表示 t，那么t 为
.
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？
3.已知实数a满足 （2012-a)2 a 2013 a, 求a 20122的值.
问题 请比较 a 和0 的大小．
随堂练习
义务教育教科书（RJ）八年级数学上册
作业布置
教材：P5页 习题16.1 第1、3、5、6、7题
安徽省巢湖市第七中学碧桂园分校
义务教育教科书（RJ）八年级数学下册
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
安徽省巢湖市第七中学碧桂园分校
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的
算术平方根.
用 a (a 0)表示.
做一做
当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义. (1) x 2 ; (2) 3 x x 2 ; (3) 1 . 2x 1
已知 a 2 b 1 0,求-a2b的值. 2
典例解析 例1 下列各式中，一定是二次根式的有( )
① -3 ；②-2 a2 ;③ a2 1 ;④ a 1
1.填空题： （1）形如 （2）负数
的式子叫二次根式； 算术平方根（填“有”或者“没有”）
2.当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
新人教版初中数学八年级下册第16章 二次根式《16.2二次根式的乘除》优质课件
3 2
6
2 5
3
6 5
.
如果根号前有系数，就 把系数相除，作为 商的系数.
最简二次根式
上述几个例题中运算的最后结果，都有如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
说明：二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最 简二次根式，并且分母中不含二次根式.
6 52 2 65 2
30 2；
含系数的二次根 式相乘，将系数 相乘作为积的系 数，被开方数相 乘作为积的被开
方数.
（3） 3x 1 xy 3x 1 xy x2 y
3
3
x2 y x y .
本章中二次根式相 乘时，如没有特别 说明，所有的字母
都表示正数.
归纳
（1） 16 81； （2） 4a2b3 .
这样运算的作用： 化简二次根式
. 解：（1）16 81 16 81 4 9 36 ；
（2） 4a2b3 4 a 2 b3
2a b2 b 2ab b .
a2 a可以看作公式 ab a b 在 a b 时
2 2 3 6.
3 3 3 3
利用第（1）题中解 法2的方法去掉分 母中的根号.
（3） 8 8 2a 4 a 2 a .
2a 2a 2a 2a a
二次根式的运算中， 最后结果分母一般 不含二次根式.
应用（2）
例4 计算： （1） 4 1 7 ；
5 10
（2） 2
的算术平方根.
有何作用？
八年级数学下册 第16章 二次根式学科素养 思想方法(含解析)新人教版
二次根式学科素养·思想方法一、转化思想【思想解读】转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,是将不易解决的问题,设法变成容易解决的问题,在研究数学问题时,我们通常是将未知的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,将不熟悉的问题转化为已学过的问题的一种数学思想.【应用链接】在本章中,体现转化思想的知识点共有三个:一是把确定二次根式有意义时字母的取值范围问题转化成解不等式或不等式组的问题;二是在化简形如的二次根式时,要转化为绝对值;三是在二次根式的运算中,遇除法运算一般要转化为乘法运算后再进行求解.【典例1】(2017·贺州中考)要使代数式有意义,则x的取值范围是________.【思路点拨】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数,分式有意义的条件是分母不等于0,转化为不等式组进行求解.【自主解答】由题意可得:2x-1≥0,且x-1≠0,解得x≥且x≠1.答案:x≥且x≠1【变式训练】化简:(a<2).【解析】==.∵a<2,∴a-2<0,∴==-(a-2)=2-a.二、数形结合思想【思想解读】结合具体问题,合理进行“数”与“形”的相互转换,可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;同时利用代数知识可以解决复杂的问题,简化解题的方法.【应用链接】数形结合思想在二次根式中主要体现在进行二次根式的化简时,可以借助数轴确定字母的取值范围,然后利用二次根式的性质进行化简.【典例2】(2017·福建模拟)已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+的结果为________.导学号42684156【思路点拨】由实数a在数轴上的对应点的位置判断出a的范围,再根据二次根式的性质及绝对值的相关知识进行化简.【自主解答】根据数轴可知-1<a<0,所以1-a>0,所以+=1-a-a=1-2a.答案:1-2a【变式训练】实数a在数轴上的位置如图所示,则化简-=________.【分析】先根据数轴确定a及a-1的正负,再利用二次根式及绝对值的性质把二次根号及绝对值化去,化简即可.【解析】由数轴可知:a<0且a<1,所以-=-=-(a-1)-(-a)=-a+1+a=1.答案:1三、分类讨论思想【思想解读】指在解决一个问题时,无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决.注意:分类要做到不重不漏.【应用链接】分类讨论主要体现在二次根式的化简中,当二次根式中含有字母且未给出字母的取值范围时,一般需要进行分类讨论.分类的关键是根据分类的目的,找出分类的对象,分类时既不能重复,也不能遗漏.【典例3】已知=5,=3,且ab>0,则a+b的值为( )导学号42684157 A.8 B.-2 C.8或-8 D.2或-2【思路点拨】由于a,b的符号不能确定,再根据ab>0可知a,b同号,分两种情况计算a+b的值.【自主解答】选C.由=5,=3,可知a=±5,b=±3,又因为ab>0,所以a,b同号,当a>0即a=5时,b=3,此时a+b=8;当a<0即a=-5时,b=-3,此时a+b=-8.【变式训练】化简:(x<1且x≠0).【分析】x2-2+=,由x<1且x≠0并不能确定x-的符号,需分三种情况讨论:(1)0<x<1.(2)-1≤x<0.(3)x<-1.【解析】==.当0<x<1时,x-<0,∴原式==-x.当-1≤x<0时,x-≥0,∴原式==x-;当x<-1时,x-<0,∴原式==-x.四、整体思想【思想解读】在数学问题中,对于有的问题可以从整体角度思考,即将局部放在整体中进行观察分析,探究问题的解决方法,从而简捷巧妙地解决问题.【应用链接】二次根式中的整体思想主要体现在与整式和分式的化简求值的综合应用上,把已知或已知变形后的式子作为一个整体,代入求值式或者求值式的化简式子中,往往可以避免局部运算带来的麻烦,达到简化计算的目的.在二次根式中,见到对称式、倒数式的求值问题请考虑使用整体代入.【典例4】已知x=-1,y=+1,求+的值导学号42684158 【思路点拨】先将+进行化简,然后再计算x+y和xy的值,最后代入计算.【自主解答】+==.∵x=-1,y=+1,∴x+y=(-1)+(+1)=2,xy=(-1)(+1)=2-1=1,∴原式==6.【变式训练】已知x=3+2,y=3-2,求+-4的值.【分析】因为x=3+2,y=3-2,则有x+y=6,xy=1,再将所求代数式用x+y和xy表示出来,即可求出代数式的值.【解析】+-4==.∵x=3+2,y=3-2,∴x+y=(3+2)+(3-2)=6,xy=(3+2)(3-2)=32-(2)2=1.∴+-4==30.。
人教版数学八年级下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式 课件 (共18张PPT)
抽象概念
h 3, S , a b , , 5 2
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子
叫做二次根式， 称为二次根号.
类比分式: 体会“形式+参数+定义域”
巩固概念
例1 下列各式是二次根式吗?为什么？
(1)
6, (2)
12, (3)
4,
3
(4) -m ( m 0) , (5)
2
乘方
开方
x 5 (平方)
x 5(平方根)
x 5( x 0) (平方)
x 5(算数平方根)
引入概念—代数运算
2.我们学过哪些数与字母的运算？举例说明.
运算 加 减 乘 举 例 结 果 多项式 多项式 单项式 整式或分式 整式
除 乘方 开方
a+2，2a+b，a+a a-2，2a-b， a-2a -3ab ，5a2b3 a 3 x , , 2 b y 2 2 3 5 , a , ( a)
2
则 abc =
.
课堂小结
1.你有哪些收获？（知识、思想方 法、经验） 2.你有哪些困惑？ 3.展望后面将要学习哪些内容？
谢谢！
5, a,
3
b
?
引入概念—实际例子
（1）面积为2的正方形的边长为 面积为S的正方形的边长为 面积为(a+b)的正方形的边长为 ， ,
.
（2）面积为2的圆的半径为 . （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所 用的时间t（单位：S）与开始落下时离地面的 高度h（单位：m）满足关系h=st2如果用含有 h的式子表示t，那么t =_____.
xy ,(6)
5
巩固概念
八年级下册第16章二次根式章末复习课件
。
在求二二次 次6根根.一式式般的中混字地合母，运的算取二中值次，范乘围根法的式公基式本加依( 减据：时，、 可以先)将仍然二适次用，根最式后 化成 最简二次根式
，
求在二二次 次再根根将式式中的字混被母合的运开取算方值中范，数围乘相的法基公同本式依( 的据：二次、 根式进行)仍然合适并用，. 最后
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
求下列二次根式中字母的取值范围
解得 ，再
x=①4,y=，被-8最开后方数大，有于括或号的等先于算括零号；里面的.
解得 - 5≤x＜3
再将 ②分母的中二有次根字式母进行时合，并.要保证分母不为零。
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
结果一定要化成
。
在二次根式的混合运算中，乘法公式(
、
)仍然适用，最后
求下列二次根式中字母的取值范围
①被开7方.二数次大于根或式等于的零混； 合运算：二次根式混合运算的顺序与有理数的运算顺序相同，先
在二次根式的混合运算中，乘法公式(
、
)仍然适用，最后
解求得下列- 5二≤x次乘＜根3方式中字母的，取再值范围乘除 ，最后 加减 ，有括号的先算括号里面的.
解二：次由 根8题式.在意的二，混得合次运x根算-4=：式0二且的次2x根+混y式=0合混合运运算算的中顺，序与乘有法理数公的式运算(平顺序方相差同，公先式、 完全平方公式 )仍然适用，最后
专题讲解
一、二次根式的概念 １．二次根式的定义：
２．二次根式的识别： （１）被开方数：a≥0 （２）根指数是２
讲练结合
≤3
a=4 3.求下列二次根式中字母的取值范围
解得 - 5≤x＜3
方法总结
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
人教版八年级数学下册16章二次根式复习课件(18张)
（2） a 2 a.
一、基本问题 知识梳理
3 3
2
2 3 2 3
42
2 63 3 3 3 2 42
3.二次根式的乘法法则是
6 2 2 3 2 2
a b aba 0，b 0.
13 2 - 3. 2
4.二次根式的除法法则是
18 9 2 32 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
4.二次根式的除法法则是 a a a 0，b 0.
bb
5.最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母 ；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
二、典例问题 方法提炼
例 1下列代数式中，不是二次根式的是（ C）
A. 3 B. a2
C. x - 7
a - b 2 5，ab -4.
（1）ab2 ba2 （2） a2 b2 - 2ab（3）a2 - b2
abb a
a - b2
a ba - b
-4 2
2
2
5
22 5
-8.
20.
4 5.
三、巩固问题 综合运用
4. 若a 3 - 10 ，求代数式 a2 - 6a - 2.
D.
1 2
例2
使
x 5 有意义的 x的取值范围是 x 5且x 3 ．
3- x
二、典例问题 方法提炼
例 3若实数a,b满足 a 2 b 4 0，则 a2 1 ．
b
例 4实数a,b在实轴上的位置如图所示，那么化简
b a b2的结果是（C ）.
A．2a - b B．- b C．a D．- 2a b