2013版高中全程复习方略配套课件：7.7空间向量及其运算(人教A版·数学理)浙江专用

【反思·感悟】1．空间向量的坐标运算，关键是要注意向量 坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式． 2．用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知 向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角
形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来．
共线向量定理、共面向量定理的应用 【方法点睛】 1.证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A,B,C三点共线，即证明 AB,AC 共线，亦即证明 AB AC (λ ≠0)．
【即时应用】 （1）思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对 于向量a,b，若a· b=0，则一定有a=0或b=0吗？ 提示：不一定，因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b=0．
（2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=｜b｜=4，那么 b· (2a+b)等于______． 【解析】b· (2a+b)=2b· 2=2×4×4cos120°+42=0． a+b 答案:0
第七节 空间向量及其运算
三年10考
高考指数:★★★
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，
掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积 判断向量的共线与垂直.
4.掌握向量的长度公式，两向量夹角公式、空间两点间的距离




可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充
要条件．
【例2】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA
的中点,用向量法证明：
(1)E，F，G,H四点共面；
4.空间向量的坐标运算
a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3).( a, b 均为非零向量)
共线
a ∥b a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a1b1+a2b2+a3b3=0 a b a 0 _______________ b
底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)． 答案:（1）
1 10
(2)(1,2,3)
3．空间向量的数量积及运算律
夹角
a
O
b
a
b
A B
_____称为 a 与 b 的夹角 ∠AOB 〈a, b 〉 记作_____

夹角
范围
数量积
〈 0≤ a, b〉 ≤π __________
（特殊情形< a, b >= a b） 2
空间向量线性运算的方法
几何表示 加法 减法 数乘 坐标表示
满足三角形法则和平行 对应坐标相加 四边形法则
满足三角形法则 与平面向量数乘类似 对应坐标相减 把每个坐标同乘以常数
空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满 足的运算律相同．
【提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两
名称 空间向
内容 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向 p=xa+yb 量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得________ +zc ____．把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫 基向量 做_______．
量基本
定理
【即时应用】 （1）已知a=(λ +1,0,2λ ),b=(6,2μ -1,2)，若a∥b，则 λ μ =______． (2)已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量a+b, a-b,c是空间的另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下 的坐标为(
a b
a b cos<a, b> =____________

运算律
(1)结合律：a ____________ b (ab) a(b) b a (2)交换律： b ______; a a a b c (3)分配律： b c _______ a
a (a) ______(λ ∈R,μ ∈R)，
a b ③分配律：(a b) _______ (λ ∈R).
【即时应用】
判断下列命题的正误(请在括号内填“√”或“×”)．
(1)空间任意五边形ABCDE，则 AB BC CD DE EA 0 (
(2)(2012·中山模拟)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)．计算 2a+3b,3a-2b的值. 【解题指南】(1)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结 合向量的线性运算.
(2)根据向量坐标运算的法则解题即可；
【规范解答】(1)① A1O 1 AB 1 AD (A1A AO) 1 AB 1 AD
a _____________ b a1b1+a2b2+a3b3
空 间 向 量 坐 标 运 算
垂直
数量积 模
| a | a a12 a 2 2 a32 a
ab cos<a, b > | a || b | a1b1 a 2 b 2 a 3 b3 a12 a 2 2 a 32 b12 b 2 2 b32
2．空间向量的有关定理 名称
共线向 量定理 共面向 量定理
内容
对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要 a=λ b 条件是存在实数λ ，使_______． 如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共 面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)， p=xa+yb 使_________．
(2)空间向量的加、减、数乘运算 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广． 如图，设 a , b 是空间任意两向量，若 OA AC a,AB b,

P∈OC，
①加法： OA AB _____， ab OB

3 1 , ,3 )，则向量p在基底{a,b,c}下的坐标为 2 2
______．
1 6k 【解析】（1）由a∥b得a=kb，从而得 0 k 2 1 , 解得 2 2k 1 1 1 3 1 （2）由条件得p= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3c，故向量p在基 2 2










答案： AA1 (或A1A) ①


1 1 ② AB AD AA1 2 2
(2)2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)= (6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)； 3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16) =(5,13,-28)．
)
) )
(2)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行 (3)空间任意两非零向量a、b共面 (4)空间向量a平行于平面α ，则a所在直线平行于平面α
( (
(
)
【解析】由向量加法知(1)正确；当a∥b时，a与b所在直线平
行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意 两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3) 是正确的；a所在的直线可能在平面α内，故(4)是错误的． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
公式，并会解决简单的立体几何问题.
1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角 问题的基础． 2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考 的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及 分析问题、解决问题的能力．
1.空间向量的有关概念及线性运算 (1)空间向量的概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 概念
模为___的向量 0
1 长度（模）为___的向量 相同 相等 方向____且模_____的向量 相反 相等 方向____且模____的向量
表示
0
ab
a 的相反向量为 a
ab
共线向量 共面向量
表示空间向量的有向线段所 平行或重合 在的直线互相__________的 向量
平面 平行于同一个____的向量
2 2 2 1 1 1 AA1 ( AB AD) AB AD AA1． 2 2 2 ②方法一： OC CC 1 AC CC OC1 1 1 2 1 1 1 AB AD AA1 AB AD AA1. 2 2 2 方法二： CC CO CC 1 CA OC1 1 1 2 1 1 1 1 CC1 AC AA1 AB AD AB AD AA1. 2 2 2 2 2
向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起
点．进行向量减法时，必须使两向量共起点．
【例1】(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中 点．①化简 A1O 1 AB 1 AD _________；
2 2 ②用 AB,AD,AA1 表示 OC，则 OC1 =_________. 1
②减法： AC AB _____, ab BC
③数乘： ___ R . OP a



(3)空间向量加法、数乘运算满足的运算律 ①交换律： b ______， ba a
a (b c) ②结合律：a b) c ________， (
(2) 由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)， ∴｜b-a｜= 1 t 2 2t 12 0