四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 平行线分线段成比例定理
平行线分线段比例定理
平行线分线段比例定理平行线分线段比例定理是初中数学中的一个重要定理，也是应用比例关系解决几何问题的基础。
它是指在平行线上，一条线段被另外两条平行线所截断，那么这两个截断线段的比等于两条平行线与截断线段的比。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个简单的实例来说明。
假设有两条平行线AB和CD，它们被一条截断线段EF所截断，如下图所示。
由于AB和CD是平行线，根据平行线内角对应定理，我们知道∠A＝∠D，∠B＝∠C。
如果我们连接线段AD和BC，根据三角形内角和定理，我们知道∠D＋∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠B＋∠A＝180°。
根据平行线分线段比例定理，我们可以得到以下结论：1. 如果线段EF与线段AB的比等于线段EF与线段CD的比，即EF/AB=EF/CD，那么线段EF与线段AB、CD的比都相等。
2. 如果线段EF与线段AB的比等于线段CD与线段EF的比，即EF/AB=CD/EF，那么线段EF与线段AB、CD的比都相等。
3. 如果线段EF与线段CD的比等于线段AB与线段EF的比，即EF/CD=AB/EF，那么线段EF与线段AB、CD的比都相等。
根据上述结论，我们可以用平行线分线段比例定理来解决一些几何问题。
例题1：如图所示，AB//CD，EF是AB的一半，求EF与CD的比。
解：设EF=x，根据平行线分线段比例定理，有EF/AB=EF/CD，即x/1=1/x，解方程得到x=√2/2。
所以EF与CD的比为√2/2:1。
例题2：如图所示，AB//CD，EF与AB的比为2:3，求EF与CD的比。
解：设EF=x，根据平行线分线段比例定理，有EF/AB=CD/EF，即x/3=2/x，解方程得到x=√6/3。
所以EF与CD的比为√6/3:1。
通过以上例题，我们可以看出平行线分线段比例定理的应用十分灵活。
它不仅可以解决截断线段之间的比例关系问题，还可以应用于求解角度的比例关系问题。
在实际生活中，平行线分线段比例定理也有一些应用。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。
这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。
定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。
示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。
由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。
考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。
又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。
根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。
而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。
综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。
应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。
这在解题中经常用到。
2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。
这对于解决相似三角形问题非常有用。
3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。
当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。
例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。
定理定义三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB:BC=DE:EF;AB:AC=DE:DF;BC:AC=EF:DF。
也可以说AB:DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。
上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
定理证明设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF定理推论过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
•平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
•证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
15初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析
初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。
掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。
3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。
三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。
2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。
3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。
四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。
2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。
五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。
2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。
一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。
二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。
2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。
3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。
4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。
5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。
6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。
7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。
8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。
9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。
三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。
证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。
则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理1. 问题介绍在平面几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它描述了平行线所分割的线段之间的比例关系。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、原理、证明以及应用。
2. 定理定义给定一条直线上的两个点A、B，以及与该直线平行的另外一条直线CD，如果直线CD与直线AB相交于点E，那么线段AE与线段EB的比例等于线段CE与线段ED的比例，即：AB / CD = AE / CE = BE / ED其中，AB代表线段AB的长度，CD代表线段CD的长度，AE代表线段AE的长度，CE代表线段CE的长度，BE代表线段BE的长度，ED代表线段ED的长度。
3. 定理原理平行线分线段成比例定理的原理可以通过平行线的性质来进行推导。
根据平行线的性质，我们知道平行线分割两条平行线之间的线段时，这些线段之间的比例关系是不变的。
在给定的情况下，我们可以得到以下等式：∠ADE = ∠CDE （对应角）∠AED = ∠CED （对应角）根据三角形内角和定理，我们知道：∠ADE + ∠AED = 180°∠CDE + ∠CED = 180°因此，我们可以得到以下等式：∠ADE + ∠AED = ∠CDE + ∠CED根据等式的基本性质，我们可以得到：∠ADE = ∠CDE∠AED = ∠CED根据角度对应定理，我们知道∠DAE与∠DCE相等。
由此，我们可以得到以下相似三角形关系：△DAE ~ △DCE （相似三角形）△BDE ~ △BEC （相似三角形）根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AE / CE = DE / DE = AE / DE （对应边）BE / CE = DE / DE = BE / DE （对应边）由此，我们可以得到以下等式：AB / CD = AE / CE = BE / DE这就是平行线分线段成比例定理的原理。
4. 定理证明平行线分线段成比例定理的证明可以通过几何推理和相似三角形的性质来完成。
平行线分线段成比例定理教学课件
05
02
步骤2
根据相似三角形的性质，三角形ABC与三角 形EDC相似，所以有AB/BC = DE/EC。
04
步骤4
根据平行的性质，有骤5，得到AB/AD = BC/AC， 即AB/BC = AD/AC。
定理证明的实例应用
实例1
在梯形ABCD中，AB//CD，点E 在AB上，点F在BC上。如果 EF//AD，那么EF/AD = BF/BC。
数学模型初步建立
通过作图和演示，引导学生初步建立 数学模型。
介绍平行线分线段成比例定理的基本 概念和符号表示。
定理的猜想与验证
引导学生根据情境和模型进行猜想。 通过实例和证明，引导学生验证定理的正确性。
CHAPTER 02
平行线分线段成比例定理的证明
定理的陈述与证明思路
定理陈述
如果两条直线平行，那么任何一条直 线被这两条平行线所截得的两条线段 之比等于两条平行线被这条直线所截 得的两条线段之比。
平行线分线段成比例定理的拓展与 延伸
与其他数学定理的关联与结合
比例与等比定理
讲解如何利用平行线分线段成比例定理证明比例和等比定理，以及这些定理在 几何学中的应用。
勾股定理
介绍如何利用平行线分线段成比例定理证明勾股定理，以及该定理在三角函数 和空间几何中的应用。
在不同年级的教学拓展与延伸
初中教学
重点讲解平行线分线段成比例定理的证明和应用，结合实例 引导学生掌握该定理。
THANKS
[ 感谢观看 ]
判定相等
定理还可以用于判定两条 线段相等，通过比较对应 线段是否成比例来判定。
求解角度
在某些几何问题中，可以 使用该定理来求解角度的 大小，从而解决一些角度 问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川省南江四中高一数学初高中衔接教材平行线分线段成比例
定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长
度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平
行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线错误!未找到引用
源。
（如图），直线错误!未找到引用源。
交错误!未找
到引用源。
于点错误!未找到引用源。
，错误!未找到
引用源。
，另作直线错误!未找到引用源。
交错误!未
找到引用源。
于点错误!未找到引用源。
，不难发现错
误!未找到引用源。
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图，错误!未找到引用源。
，有错误!未找到引用源。
.当然，也可以得出
错误!未找到引用源。
.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段
之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1如图，错误!未找到引用源。
，
且错误!未找到引用源。
求错误!未找到引用源。
.
解错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
例2 在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
为边错误!未找到引用源。
上的点，错误!未找到引用源。
，
求证：错误!未找到引用源。
.
证法（一）：错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
∽错误!未找到引用源。
，错误!未找到引
用源。
证法（二）：如图3.1-3，过错误!未找到引用源。
作直线错误!
未找到引用源。
，
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
.
过错误!未找到引用源。
作错误!未找到引用源。
交错误!未找到
引用源。
于错误!未找到引用源。
，得错误!未找到引用源。
，
因而错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
例 3 已知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上，错误!
未找到引用源。
，能否在错误!未找到引用源。
上找到一点错误!未找到引用源。
，使得线段错误!未找到引用源。
的中点在错误!未找到引用源。
上.
解假设能找到，如图，设错误!未找到引用源。
交错误!未找到引用源。
于错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
的中点，作错误!未找到引用源。
交错误!未找到引用源。
于错误!未找到引用源。
.
错误!未找到引用源。
，
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
，且错误!未找
到引用源。
，
错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
的中点.
可见，当错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
的
中点时，错误!未找到引用源。
的中点在错误!未找到引用
源。
上.
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.
例4 在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
的平分线，求证：错误!未找到引用源。
.
证明过C作CE//AD，交BA延长线于E，
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
AD平分错误!未找到引用源。
由错误!未找到引用源。
知错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
.
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习
1．如图，错误!未找到引用源。
，下列比例式正确的是（）
A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
2．如图，错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
求错误!未找到引用源。
.
3．如图，在错误!未找到引用源。
中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD 的长.
4．如图，在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
的外角平分线错误!未找到引用源。
交错误!未找到引用源。
的延长线于点错误!未找到引用源。
，求证：错误!未找到引用源。
.
5．如图，在错误!未找到引用源。
的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：错误!未找到引用源。
.。