广西南宁市2018高二数学上学期第一次月考.

2017~2018学年度上学期高二月考（一）数学试题2017.9一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。

） 1．()0sin 210=（ ）A ． 12-B ． 12 C ．D ．2．在等差数列{}n a 中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3 D．43．在ABC ∆中，若60,45,A B BC ∠=︒∠=︒=AC=（ ）A ．B． CD ．4．在等比数列{}n a 中，前3项之和S3＝168，2542,a a -=则公比q 的值为（ ）A ．1B ．－12C ．1或－12D ．125．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（ ）A ．5，10，15B ．3，9，18C ．3，10，17D ．5，9，16 6．等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（ ）A ．31B ．36C ．42D ．487．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且b =sin sin a bA B +=+（ ）A ．2B．12 CD ．38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边2cos 22B a cc +=，则△ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 9．如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从C ,()βαβ<a ,，则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．()αββα-⋅sin sin sin aB ．()βαβα-⋅cos sin sin aC ．()αββα-⋅sin cos sin aD ．()βαβα-⋅cos sin cos a10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．192 里 B ．96 里 C ．48 里 D ．24 里11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tanA tanB ＝2cb ，则C ＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π4或3π4D ．π312．已知1()1f x x =+,各项均为正数的数列{}n a 满足12201620181,(),,n n a a f a a a +===若则1114a a +的值是（ ） A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知数列{}n a 的前n 项和Sn ＝n2－2n ，则an ＝_____________14．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后得到频率分布直方图（如下图所示），则分[)70,80内的人数是__________．数在第14题图 第16题图15．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n nS nT n =+,则77a b =__________16．如图，正四面体P-ABC 中，D,E 分别是AB 及PC 的中点，则直线AE 与PD 所成的角的余弦值为__________．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分） 17．（本小题满分10分）在锐角三角形ABC 中，a,b,c ，分别为角A,B,C所对的边，且2sin c A =（1）求角C 的大小；（2）若c =，且三角形ABC的面积为，求a b +的值．18．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10S =110，且124,,a a a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1(1)(1)n n n b a a =-+，若数列{}n b 前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点． （1）证明：直线MN ∥平面PCD ； （2）若点Q 为PC 中点，∠BAD=120°，PA=，AB=1，求三棱锥A ﹣QCD 的体积．20．（本小题满分12分）已知具有相关关系的两个变量,x y 之间的几组数据如下表所示：（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并估计当20x =时，y 的值；附：1221,()ini ii ni x y nx ybay bx xn x ==-==--∑∑21．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C .（1）求角A 的值；（2）若a ＝3且b≥a，求2b －c 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()224*n nS n N +=-∈，数列{}n b 为等差数列，且满足2454, 3.b b b +==（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，若存在正实数k ，使不等式()229366n nk n n T n a -+>对于一切的*n N ∈恒成立，求k 的取值范围．高二月考（一）数学参考答案1．A 【解析】()()1sin 210sin 18030sin302︒=︒+︒=-︒=-．2．B 【解析】∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d ＝a4－a3＝2，故选B ．4．D 【解析】根据已知条件得211141116842a a q a q a q a q ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩,两式相除，得11(1),42q q q -=∴= 5．B 【解析】有分层抽样各层抽样比不变，各层人数分别为3，9，186．A 【解析】 由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1q2＝4，a1q4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2.所以S5＝1× 1－251－2＝31，故选A ．7．A 【解析】由题3B π=，则22sin bR B ==，根据正弦定理变形可知2sin ,2sin a R A b R B ==，所以2sin 2sin 22sin sin sin sin a b R A R B R A B A B ++===++，故选择A ．8．B 【解析】∵cos2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，即1＋cosB ＝a ＋c c ． 由余弦定理得1＋a2＋c2－b22ac ＝a ＋cc ．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC 为直角三角形．9．A()sin sin sin ,,,sin sin sin()sin AC CD a a CAD AB CAD ααββααβαβα⋅∠=-==∠--由正弦定理，得AC=故。

10．B 【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q ＝12，依题意有a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a1＝192，则a2＝192×12＝96，即第二天走了96 里，故选B ．11．D 【解析】：∵1＋tanA tanB ＝1＋sinAcosB cosAsinB ＝2c b ，∴sin （A ＋B ）cosAsinB ＝sinC cosAsinB ＝c cosA·b ＝2cb，得cosA ＝12，A ＝π3．又a ＝23，c ＝22，由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝22×3223＝22，∵c ＜a ，∴C ＜A ＝π3，C ＝π4．12．D 【解析】解析:∵121a n a n =++,又20182016201611a a a ==+.∴2201620161a a +=又20160,n a a >∴=.又2016a =201411a +=,∴2014a =.同理得2061412a a === .又135735112131,,,,21315a a a a a a =∴=====++9111411791518183,,1811321326a a a a a a ====∴+=+=++。

13．【解析】当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n －3；当n ＝1时，a1＝S1＝－1，所以an ＝2n －3(n ∈N*)14．【解析】由频率分布直方图得,分数在[)70,80内的频率为：()10.0100.01520.0250.005100.30-+⨯++⨯=，∴分数在[)70,80内的人数为：1000.3030⨯=，故答案为30．15、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则77a b =113711313113711313()132132()132202a a a a a S b b b b b T ++====++16．【解析】连接CD ，取CD 中点为O ，连接AO,OE ，则有,则，或其补角即为所求；设正四面体的棱长为2，则122AE PD OE PD ====，，．在中，由余弦定理可得：．故答案为．17．解：(1)＝2csinA＝2sinCsinA ．∵sinA≠0，∴sinC＝．∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝3π． (2)∵C ＝3π，△ABC面积为2，∴12absin 3π＝2，即ab ＝6．① ∵ca2＋b2－2abcos 3π＝7，即a2＋b2－ab ＝7．②由②变形得(a ＋b)2＝3ab ＋7．③ ③得(a ＋b)2＝25，故a ＋b ＝5． 18．【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意知：22214111101()(3)1101045110a a a a d a a d S a d ⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=⎩⎩解得12a d ==，故数列2n a n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，则111111111111()()()(1)21335212122122(21)2n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=-<⎢⎥-+++⎣⎦ 又1122(21)n T n =-+在(0,)n ∈+∞递增，113n T T ≥=,故1132n T ≤<19．【解答】解：（1）取PD 中点R ，连结MR ，CR ， ∵M 是PA 的中点，R 是PD 的中点，∴MR=AD ，MR ∥AD ， ∵四边形ABCD 是菱形，N 为BC 的中点，∴NC=，NC ∥AD ．∴NC ∥MR ，NC=MR ，∴四边形MNCR 为平行四边形，∴MN ∥CR ，又CR ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，∴MN ∥平面PCD ． （2）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=120°， ∴AC=AD=CD=1，∴．∵Q 是PC 的中点，∴Q 到平面ABCD 的距离h=PA=．∴．20．（1）散点图如图所示：（2）依题意，()124681065x =++++=，()136710127.65y =++++=，5214163664100220ii x==++++=∑，516244280120272i ii x y==++++=∑，()51522215272567.6441.12205640ˆ5i i i ii x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，∴7.6 1.16ˆ1a=-⨯=； ∴回归直线方程为 1.11ˆy x =+，故当20x =时，23y =． 21．【答案】（Ⅰ）A ＝π3或2π3. （Ⅱ）[3，23)【解析】解：(1)由已知得2sin2A －2sin2C ＝2(34cos2C －14sin2C)，化简得sin A ＝32，由(0,)A π∈,故A ＝π3或2π3.(2)由题知，若b ≥a ，则A ＝π3，又a ＝3， 所以由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.因为b ≥a ，所以π3≤B ＜2π3，π6≤B －π6＜π2，所以23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23)．即2b －c 的取值范围为[3，23). 22．试题解析：（1）12111,244n a S +===-= ()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=]1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈∵244b b +=∴32b =∴53122b b d -==∴()311322n n b b n +=+-=(2) n n n c a b =⋅ ()12nn c n ∴=+⋅,()12322324212nn T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅ ①2n T =()234122324212n n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅ ②①-②得()231 42212n nT n+-=+++⋅⋅⋅-+⋅，即12n nT n+=⋅令636(),(),()12,()2,k>2 9g n t n n t n g nnnn==+≥≤+-由对勾函数性质得则故。