初二几何证明题1
初二几何证明题
初二上证明题011．如图，DE ∥BC ，∠D +∠B ＝180°．求证：AB ∥CD ． 2． 3． 4． 5．6．如图，AB ∥CD ，GH 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，EM 平分∠AEG ，FN 平分∠CFG ． 求证：EM ∥FN ．7．如图，OB ＝BC ，OC 平分∠AOB ．求证：AO ∥BC ． 8． 9． 10． 11． 12． 13．14．B 如图，AB ∥CD ，∠A +∠E ＝∠AME ．求证：AB ∥EF ．15．B 如图，E 为AC 上的一点，∠1＝∠B ，∠2＝∠D ，BE ⊥DE ．求证：AB∥CD ．16．B 已知：在图中，∠A =∠F ，∠C =∠D =65°试求∠CBD 和∠CED 的度数．初二上几何证明00217．B 如图：已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠B 是∠A 的5倍。
BCD EAHGCDEA BNM F ABCO求∠C 和∠D 的度数．18．B 如图：已知AB ∥CD ，问∠B +∠E +∠D 等于多少度？19．B 如图，AB ∥CD ，∠B ＝130°，∠BPC ＝65°.试求∠C 的度数． 20．B 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，且∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，求∠BCE 的度数．21．B 如图，AB ∥EF ，AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，∠E ＝∠F ＝120°，求∠DBF 与∠CAE的度数．22．B 如图，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，DE 过点O ，且DE ∥BC ，求证：DE=BD+CE ． 初二上几何证明题00323．B 如图：已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠B 是∠A 的5倍。
求∠C 和∠D 的度数．24．B 如图：已知AB ∥CD ，问∠B +∠E +∠D 等于多少度？25．B 如图，AB ∥CD ，∠B ＝130°，∠BPC ＝65°.试求∠C 的度数． 26．B 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，且∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，求∠BCE 的度数．27．B 如图，AB ∥EF ，AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，∠E ＝∠F ＝120°，求∠DBF 与∠CAE的度数．28．B 如图，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，DE 过点O ，且DE ∥BC ，求证：DE=BD+CE ． 初二上几何证明题00429．C 如图，BD 是△ABC 的一条角平分线，AE ∥BD ，交CB 的延长线于点E ，F为AE 的中点．OE D A BCED C BAA B CDP FED C B A OE D A BCED C BAA B CDP求证：BD ⊥BF ．30．C 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ．求证：AC 垂直平分BD ．31． 32． 33． 34． 35．36．C 如图，已知AE ∥BF ，AE ＝BF ，AC ＝BD ．你能判断ED 与CF 相等吗？请说明你的理由．37． 38． 39． 40．41．C 如图，AB ＝CD ，AE ＝FD ，BF ＝EC ．求证：AF ＝ED ． 42． 43．44． 45． 46． 47． 48．49．C 如图，PA ＝PB ，PC 是△PAB 的中线，∠A ＝55°，求：∠B 的度数． 50．AC PA BCD EFAB C DFEAB CD51．C 如图：在△ABC 中，AD =AE ，点D 、E 在BC 上，CE =BD ，写出AB =AC 的说理过程． 52． 53． 54． 55． 56．初二上几何证明题00557．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：（1）△ADE ≌△ABE ；（2）∠DCA =∠BCA ． 58．59． 60． 61． 62． 63．64．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：EA 平分∠DEC ． 65．如图：已知△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，求证：BD =CE ．66．如图，在等腰△ABC 中，两条腰上的高BD 和CE 相交于O ，求证：△BOC是等腰三角形．67．如图在△ABC 中，AB =AC ，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，写出△ABD ≌△ACE 的理由． 68．DEB CA4321ED CBAEOABCDEABCDBD CE A O 34ABCDE 1269． 70． 71．72．如图，在△ABC 中，BE ＝CD ，∠1＝∠2．求证：AB ＝AC ． 初二上几何证明题00673．C 如图，在△ABC 中，BF 、CE 相交于点O ，AE ＝AF ，AO 平分∠BAC ．求证：AB ＝AC ． 74．75． 76． 77． 78．79．C 如图，AD ＝AE ，∠D ＝∠E ，∠1＝∠2，BE 、CD 相交于点O ．求证：OB＝OC ． 80． 81． 82． 83． 84．85．C 如图，AC 、BD 相交于点O ，AB=CD ，∠BAD=∠ADC ，求证：△ABO ≌△DCO ．86．C 如图，B 、C 是线段AD 上的两点，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AE ＝DF ．87．求证：⑴∠E ＝∠F ；⑵OB ＝OC ．21AB CDEODC B AA B C DEFOA B C FOEA B CDOE12H E A 88．C 如图：已知AD =BC ，AC =BD ，求证：∠1=∠2．89．C 如图：已知AC 、BD 的交点O 平分AC 、BD ，过点O 引直线EF 交AB 、DC 于点E 、F ， 90．求证：OE=OF ． 91． 92． 93．初二上几何证明题00794．如图，已知AB ＝AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，求证：△ADF 是等腰三角形．95．C 已知：如图DC ⊥CA ，EA ⊥CA ，CD ＝AB ，CB ＝AE ，说明BD ⊥BE 的理由．96．C 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ．求证：BH =AC ．97． 98． 99．100．C 如图，△ABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD ＝BD ．试说明下列结论成立的理由．⑴∠DBH ＝∠DAC ；⑵△BDH ≌△ADC ．101．C 已知，如图，△ABC 的两条高BD 和CE 相交于F ，CF=AB ，求证：DB=DC ．102．C 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点OF E DCB A ABCDE H FAD BE CD ，CE ⊥BD 交BD 延长线于点E ．求证：BD ＝2CE ．初二上几何证明题008103．C 已知：如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是边AC 、AB 上的高，BP=AC ，CQ=AB ，求证：AP=AQ ． 104．C 如图，已知∠BDA =∠CEA ，CE 与BD 交于点P ，PB=PC ，求证：AB=AC ． 105．106．C 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 与CE 相交于点O ，BO ＝CO ．求证：∠B ＝∠C ．107．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，108．求证：⑴OD ＝OC ；⑵∠ECD ＝∠EDC ；⑶OE 是CD 的中垂线．109．C 如图，在∠MON 的两边分别截取OA=OB ，OC=OD ，如果连结AD 、BC 相交于点P ；110．求证：OP 平分∠MON ．111．C 如图：已知，AB=AD ，∠ABC =∠ADC ，求证：△ABC ≌△ADC ． 112． 113．114．初二上几何证明题009115．C 如图，已知AB ＝AC ，DB ＝DC ．说明∠B ＝∠C 的理由．116． 117．118．C 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ．求证：∠B ＝∠D ．PEDCB AP ONMCDBAQF ABCPEDC BAAB CD119．C 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 上一点，AD ＝AC ，ED ⊥AB 于点D ，120．求证：BD ＝DE ＝CE ．121．C 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥DF ，E 、F 分别在AB 、AC 上，求证：DE ＝DF ．122．123．C 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE ⊥BE 于点E ，AE ＝12BD ．求证：BD 平分∠ABC ． 124．125．C 如上图，在上题其他条件不变的情况下，即在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE ⊥BE 于点E ，能否由条件“BD 平分∠ABC ”得到结论“AE ＝12BD ”？ 126． 127．初二上几何证明题010128．C 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 平分∠BAC ，AD ＝BD ．求证：CD ⊥AC ． 129． 130． 131．132．C 如图，已知D 为等边△ABC 内一点，P 为等边△ABC 外一点，BD ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC ．求证：∠P ＝30°．ABCDEFAB CD E A BCABCDP133．C 如图：AD ∥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，134．求证：AD +BC =AB ．135．C 如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，若∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，试说明，△ABC ≌△ADE 的理由． 136．C 如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD ＝BE ．求证：∠A ＝∠1．137．C 如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 上的一点，∠1＝∠2，BD ＝CE ．求证：△ADE 是等边三角形初二上几何证明题011138．C 如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B 、C 、D 在一直线上，试说明： 139．(1)∠ECD ＝60°；(2)CE ＝AC +DC ． 140．141．C 如图所示，在等边三角形ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连结AD 、BE ．求∠BAD +∠CBE 的度数（要有说理的过程）． 142． 143． 144．145．如图，C 为AB 上的一点，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，AE 交DC 于点M ，BD 交EC 于点N ． 求证：⑴AE ＝BD ；⑵CM ＝CN ．123AB CD F EAB CD EABCD E146．C 如图，已知C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，AE 交CD 于点G ，BD 交CE 于点H ．求证：GH ∥AB ．147． 148． 149．150．C 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 边上的一点，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ．151．求证：DE ＝EC ．152．C 如上图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，AD ＋BC ＝AB ． 153．求证：（1）BE 平分∠ABC ；（2）AE ⊥BE ． 154． 155．初二上几何证明题012156．D 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是AC 上一点，E 是AB 延长线上一点，CD=BE ，连结DE 交BC 于点P ，求证：DP=EP ．157．D 如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边的延长线上，CE ＝BD ，DG ＝GE ．158．求证：AB ＝AC ．159． 160．161．D 如图：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF=EF ．CB DAEHG EDCBAFEC BADABGD EC162．163．D 如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，过点M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：BE ＝CF ．164．D 如图：已知EC 与AD 相交于点B ，∠AEC =∠A +∠C ，EB =BC ．求证：AB =BD+DC ．165．C 如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =DC ． 初二几何证明题013166．C 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB +BD ＝DC ．求证：∠B ＝2∠C ．167．C 如图：已知AP 是∠BAC 的平分线，AB ＋BP =AC ，求证：∠B =2∠C ． 168． 169． 170． 171．172．C 如图，已知在△ABC 中，∠A =2∠B ，CD 平分∠ACB ，试猜想BC 、AD 、AC 三线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明． 173．174． 175． 176．177．C 如图，在△ABC 中，BE ＝CE ，AD ＝2AE ，AC 平分∠EAD ．求证：CD ＝AB ． 178．D CB AABCDADBE C179．C 如图，在△ABC 中，BC ＝2AB ，AD 为BC 边上的中线，AE 为△ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ． 180．181．D 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是CB 延长线上的一点，∠D ＝60°，E是AD 上的一点，DE ＝DB ． 求证：AE ＝BE +BC ．初二上几何证明题014182．C 如图，已知点D 在∠BAC 内，求证：∠BDC =∠BAC +∠B +∠C ． 183． 184． 185． 186． 187．188．D 如图，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，D 为垂足，AB ＞AC ，求证：∠2=∠1+∠B ．189．C 如图，在△ABC 中，BC =10，D 是BC 上的一点，且BD =4，求ABD S V ∶A DC S V 的值．190．C 如图：点D 是△ABC 的边BC 上的一点，且23BD DC ∶∶，若ABD S V =8㎝2，求：△ADC 的面积．ABCDE ABECDDCB A 2A B CD 1DC B ADCBA191．C 如图，点D 是△ABC 的边BC 的中点，点E 是AD 的中点，当△ABE 的面积是4㎝2时，192．求：（1）△ABD 的面积，（2）△ABC 的面积． 193． 194．D 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，把△ABC 绕着点B 旋转后得△A ′BC ′，若旋转角的度数正好是底角度数的一半，且C ′在腰AC 上，AC ′=BC ′，求证：△A ′MB 是等腰三角形．195． 196．初二上几何证明题015197．D 如图所示：∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，则：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD 、CE 、DE 之间存在着什么关系？请说明理由． 198．如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 是△ABC 的外角平分线，求证：2∠P ＝∠A ．199．C 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝α，△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P ，且∠P ＝β，试探求下各图中α与β的关系，并对图（2）（3）加以说明．ABC DE MC 'A'CB A ABFDECAB C DPABC EF(2)(1)ABCE(3)PABCP200．C 我们知道：平面图形的运动有________、_______、_______等三种形式；如图：△ABD 和△BCE 都是等边三角形，试用运动的思想说明AE 等于DC ，且它们的夹角为60°． 201．202．D 如图中的①，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 为BD 上的一点，AB ＝CD ，BC ＝DE ． (1)求证：AC ⊥CE ．(2)若将CD 沿CB 方向平移得到图②、③、④、⑤的情形，其余条件不变，结论AC ⊥CE 还成立吗？请说明理由．初二上几何证明题016203．D 已知，在△ABC 中，AB ＝AC ．（本题9分） (1)如图⑴，如果∠BAD ＝40°，AD 是△ABC 的中线，AD ＝AE ，则∠EDC ＝ ；(2)如图⑵，如果∠BAD ＝70°，AD 是△ABC 的中线，AD ＝AE ，则∠EDC ＝ ；(3)思考，通过以上两题，你发现∠BAD 与∠EDC 数量之间有什么关系？请用式子表示 ；(4)如图⑶，如果AD 不是△ABC 的中线，AD ＝AE ，是否仍有上述关系？请说OGFECDBAB(C')C'ACDE ABCDE E D CBA③②①CC'C'AB D EAB C D E⑤④ABCDEAB CD EAB CD E明理由． (5) (6) (7) (8) (9)(10)（1）（2）（3）204．D 如图（1），已知∠BAC =90°，AB=AC ，AE 是过点A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于点D ，CE ⊥AE 于点E ，205．求证：（1）BD=DE +CE ；206．（2）若直线AE 绕点A 旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明；207．（3）若直线AE 绕点A 旋转到图（3）位置时，其余条件不变，则BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明．208． 209． 210． 211． 212． 213．214．（1）（2）（3）215．D 如图，已知点C 是AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形． (1)说明AN ＝MB ；AB CDEADECBACDE B(2)将△ACM 绕点C 按逆时针旋转180°，使A 点落在CB 上，请对照原题图在备用图上画出符合要求的图形；(3)在（2）所得到的图形中，结论“AN ＝BM ”是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由；(4)在（2）所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于点D ，请你判断△ABD 的形状，并说明你的理由．(5)(6) (7) (8) (9)NMCBAA BC MN。
初中数学几何证明经典试题(含答案)【范本模板】
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点,CD⊥AB，EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE ，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证:△PBC是正三角形．（初二).如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO,所以CD=GF得证..如下图做GH⊥AB，连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证:∠DEN ＝∠F ．经典题(二)1、已知：△ABC 中,H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1)求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600,求证：AH ＝AO ．(初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 A N FE CDMB · A HEOF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图,四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．(初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．(初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证:AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3,PB ＝4,PC 求：∠APB 的度数．（初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初二数学压轴几何证明题(含答案)
1.四边形ＡBCＤ是正方形，△ＢEF是等腰直角三角形,∠BＥＦ＝９0°,BE＝ＥF,连接DF,G 为DF的中点，连接EG,CG,EC．ﻫ(1)如图1,若点Ｅ在ＣB边的延长线上，直接写出EG与GC 的位置关系及的值；ﻫ(2)将图1中的△BEＦ绕点Ｂ顺时针旋转至图2所示位置，请问(１）中所得的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点Ｂ顺时针旋转α(0°<α<９0°),若BE＝１，AＢ=,当Ｅ，F,Ｄ三点共线时,求DF的长及tan∠ＡBＦ的值．解：（１）ＥＧ⊥CG，=,ﻫ理由是:过G作ＧH⊥ＥC于Ｈ,ﻫ∵∠FEB=∠DＣB=9０°，∴ＥF∥ＧＨ∥DC,ﻫ∵G为DF中点，ﻫ∴H为EＣ中点,ﻫ∴EG=ＧC，GH=(ＥF+DC）＝（ＥB＋ＢC）,ﻫ即ＧH=EH=HC，ﻫ∴∠ＥＧC=9０°，即△ＥＧC是等腰直角三角形，∴=；ﻫ（２）ﻫ解：结论还成立，ﻫ理由是:如图2,延长EG到H,使EG＝GＨ，连接CH、ＥC,过E作BC的垂线ＥM,延长CD,∵在△ＥFG和△ＨＤG中ﻫ∴△EFG≌△HDG（SAＳ）,∴ＤH=EF=BE,∠FEG＝∠DHＧ,∴EF∥ＤH,ﻫ∴∠1=∠2＝90°－∠3=∠4，ﻫ∴∠EBＣ=１80°－∠4=１80°－∠１=∠ＨDＣ，在△EBＣ和△HDC中ﻫ∴△EBC≌△HDC.ﻫ∴CＥ＝ＣH,∠ＢＣE=∠DCH,∴∠ECH＝∠DＣＨ+∠ＥＣD=∠BCE+∠ＥCD=∠ＢＣD=90°，∴△EＣH是等腰直角三角形,ﻫ∵G为ＥH的中点，ﻫ∴EG⊥GC，=,ﻫ即(１）中的结论仍然成立;ﻫﻫ（３）ﻫ解:连接BD，∵AＢ=，正方形AＢCD,ﻫ∴BＤ=２，ﻫ∴coｓ∠DＢE==,∴∠DBE=60°，ﻫ∴∠ABE=∠ＤBE-∠ABＤ=1５°,ﻫ∴∠ＡＢF=45°-１５°=３0°,∴ｔaｎ∠ABF＝，∴DE=BＥ=,∴ＤＦ＝ＤE-EＦ=-1．解析: （1)过G作GH⊥EＣ于H，推出EF∥GＨ∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH＝（EF＋ＤC）=(EB＋BC）,推出GH=ＥH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;ﻫ（２)延长EG到H，使EG＝ＧH,连接CH、EC,过E作ＢC的垂线EM，延长ＣD，证△ＥFG≌△ＨDG，推出ＤH=EF=BE,∠ＦEG＝∠DHG,求出∠EBC=∠ＨＤC，证出△ＥBＣ≌△ＨDＣ，推出ＣＥ=CH,∠ＢCＥ=∠DＣH，求出△EＣＨ是等腰直角三角形,即可得出答案；3(ﻫ）连接BD，求出cｏs∠DBE＝＝，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=３０°，解直角三角形求出即可．2．已知正方形ABＣD和等腰直角三角形ＢEＦ，BE=EF，∠ＢEＦ＝9０°,按图１放置,使点E在BC上，取DF的中点Ｇ，连接ＥG，ＣＧ.（1)延长EG交DC于Ｈ，试说明:ＤＨ=BE.ﻫ(２）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DＦ中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=ＣG且EG⊥CＧ．在设法证明时他发现：若连接BD，则D,E，B三点共线.你能写出结论“EＧ=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.ﻫ（３)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α<90°)，再连接DＦ,取DF的中点Ｇ(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．(1）证明:∵∠BＥＦ=9０°，∴EＦ∥DH,ﻫ∴∠EFG=∠GDH,ﻫ而∠ＥGＦ＝∠DGH，ＧF＝GD，ﻫ∴△GEF≌△GＨD，ﻫ∴EF=DH，而BＥ=EF,ﻫ∴DH=BＥ;ﻫ（2）连接DB，如图，ﻫ∵△BＥF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，ﻫ而四边形ＡBCD为正方形，∴∠DBC=45°，ﻫ∴D，E,B三点共线.ﻫ而∠ＢEF＝90°，∴△FED为直角三角形，ﻫ而Ｇ为DF的中点，∴EG=ＧＤ＝GＣ，∴∠ＥGC=2∠EDＣ=９0°，∴EG=CＧ且EG⊥CG;ﻫﻫ（3)第２问中的结论成立.理由如下：连接ＡC、ＢD相交于点O,取BF的中点M，连接OG、ＥM、MG，如图,ﻫ∵Ｇ为DＦ的中点,Ｏ为BD的中点，Ｍ为BF的中点,ﻫ∴OＧ∥BF,ＧM∥OB，ﻫ∴四边形ＯGMＢ为平行四边形,∴OＧ=BM，GM=OB,而EM=BM，ＯC＝OB,∴EM=OG，MＧ=OC,∵∠ＤOG＝∠GMF,而∠DＯC=∠EＭF=9０°,∴∠EMＧ=∠GOC，ﻫ∴△ＭEG≌△ＯGＣ,∴EG=CG，∠EGM=∠OCＧ，ﻫ又∵∠MGF=∠BDF,∠ＦＧC=∠GDC＋∠GＣD，∴∠EGC=∠ＥＧＭ＋∠MGF+∠FGC=∠BDF＋∠ＧＤC+∠ＧＣD+∠OCG=4５°+４５°=90°,ﻫ∴EＧ=ＣG且EG⊥CG.解析：(1）由∠BEF＝90°,得到EF∥ＤH,而GF=GD,易证得△GＥF≌△GHD，得EF=DH,而BE=EF，即可得到结论.ﻫ(2)连接DB，如图2，由△ＢＥF为等腰直角三角形,得∠ＥBＦ=４５°，而四边形ABCD为正方形，得∠DＢC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EＧ=ＧD=GC，于是∠EＧC=2∠EDC=90°，即得到结论.ﻫ（３）连接ＡC、BＤ相交于点O,取BF的中点M，连接OG、EM、ＭG，由G为ＤF的中点，Ｏ为BD的中点,M为ＢＦ的中点,根据三角形中位线的性质得OＧ∥BＦ，GM∥OB，得到OG=BM,GM=OB，而EM＝BM，OC＝OB，得到EM=ＯG,MＧ=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DＯＣ=∠EMF ＝90°，得∠ＥＭG＝∠GOC，则△MEG≌△OＧC，得到ＥG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BD Ｆ,∠FＧC＝∠GDC+∠ＧCD，所以有∠ＥGC＝∠ＥGM+∠MGF＋∠FＧC=∠ＢDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=4５°+４５°=90°.３.已知正方形ABCD和等腰Ｒt△BEF,ＢＥ=EF,∠BEF＝90°，按图①放置,使点F在BC上，取ＤＦ的中点Ｇ，连接EG、CＧ.ﻫ(１）探索EＧ、CG的数量关系和位置关系并证明;ﻫ（2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接ＤF,取DF中点Ｇ（如图②)，问(１)中的结论是否仍然成立．证明你的结论;(３）将图①中△ＢEF绕B点转动任意角度(旋转角在０°到９0°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③）,问(１）中的结论是否仍然成立,证明你的结论.ﻫ解：(1）EＧ=CG且EG⊥CＧ．ﻫ证明如下：如图①,连接BD.∵正方形ABCＤ和等腰Ｒｔ△BＥF,∴∠EＢF＝∠DBＣ＝4５°．∴B、E、D三点共线.ﻫ∵∠DEF=9０°,Ｇ为DF的中点,∠DCB=90°,∴EG=DG＝ＧF＝CG.ﻫ∴∠ＥGＦ=２∠EＤＧ,∠CGＦ＝2∠CＤG．ﻫ∴∠ＥＧＦ＋∠CGF=2∠ED Ｃ=９0°，ﻫ即∠EGC=９0°,∴EG⊥CG．ﻫﻫ（2）仍然成立，证明如下:如图②,延长EG交CD于点H.ﻫ∵BE⊥EF，∴EF∥ＣD,∴∠1=∠2.ﻫ又∵∠3=∠４，ＦG=DＧ，ﻫ∴△FEG≌△DHG，∴EF＝DH，ＥＧ=GＨ．∵△BＥF为等腰直角三角形，∴ＢE=EＦ,∴BE=DH．ﻫ∵CD=BC,∴CＥ=ＣH．∴△EＣＨ为等腰直角三角形．又∵EG=GH,∴EＧ=CG且ＥＧ⊥CG．ﻫ(3）仍然成立.证明如下：如图③，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF交BＣ于Ｍ，连接ＥH、EC．∵GF=GＤ,∠HGＦ＝∠CGD,HG＝CG，ﻫ∴△HFG≌△CDG，ﻫ∴HＦ=CD，∠GHF＝∠ＧCD，∴HＦ∥CD．∵正方形ＡBCD，∴ＨＦ=ＢC，HF⊥BC．∵△ＢEＦ是等腰直角三角形,∴ＢE＝ＥF，∠EBC=∠HFE，∴△BＥC≌△FEH,ﻫ∴HE=EC,∠BEC＝∠FEH，ﻫ∴∠BEF＝∠HEC=90°，ﻫ∴△ECH为等腰直角三角形.又∵CG=GH,∴EG ＝CG 且ＥG ⊥C Ｇ.解析：（１）首先证明B 、Ｅ、Ｄ三点共线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=ＤG=GF=CG,得到∠ＥGF=2∠ＥＤG ，∠CGF=2∠ＣDG,从而证得∠EGC=9０°;ﻫ(2)首先证明△FE Ｇ≌△DHG,然后证明△ＥCH 为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG 且EG ⊥C Ｇ．ﻫ（3）首先证明：△BEC ≌△ＦEH,即可证得:△ECH 为等腰直角三角形，从而得到:ＥG=C Ｇ且EG ⊥CG.已知，正方形A ＢCD 中，△BEF 为等腰直角三角形,且BF 为底,取DF 的中点G,连接EG 、C Ｇ．ﻫ（1）如图1，若△B ＥF 的底边B Ｆ在BC 上,猜想E Ｇ和ＣG 的数量关系为＿___＿＿;ﻫ（2)如图2，若△B ＥF 的直角边BE 在ＢC 上,则(１）中的结论是否还成立？请说明理由；（３）如图3，若△B ＥF 的直角边BE 在∠DB Ｃ内,则(1）中的结论是否还成立?说明理由． 解：（１)GC=EG,（1分)理由如下：ﻫ∵△ＢＥF 为等腰直角三角形,ﻫ∴∠DEF=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点, ∴EG= ＤF,∵A ＢCD 为正方形,ﻫ∴∠BCD=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点，∴CG= ＤF,ﻫ∴G Ｃ=EG;ﻫ（２)成立.如图，延长ＥG 交CD 于Ｍ,Ｄ,∵∠BEF ＝∠FEC=∠BCD=90°,∴EF ∥Ｃ1 2 1 ２∴∠EFG=∠MD Ｇ,ﻫ又∠E ＧF=∠DGM ，D Ｇ=ＦG ，∴△G ＥF ≌△ＧMD,ﻫ∴EG=MG,即G 为EM 的中点．∴ＣＧ为直角△EC Ｍ的斜边上的中线，ﻫ∴ＣG=G Ｅ= EM;（3)成立．ﻫ取BF 的中点H,连接ＥH ，GH ，取BD 的中点O,连接O Ｇ,OC ． ∵CB=CD,∠DCB=９0°，∴C Ｏ= BD .ﻫ∵DG=G Ｆ，ﻫ∴GH ∥ＢD ，且GH= BD ，ﻫＯG ∥ＢF,且OG= B Ｆ,ﻫ∴CO ＝ＧH ．∵△ＢEF 为等腰直角三角形． B Ｆ∴EH=∴EH=OG ． ∵四边形O ＢHG 为平行四边形, ∴∠BOG ＝∠BH Ｇ．∵∠B ＯC=∠BH Ｅ＝9０°. ∴∠GOC=∠ＥHG ．ﻫ∴△GOC ≌△E ＨG ．ﻫ∴EG=GC ．此题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质,熟练运用全等知识是解本题的关键．解析:(1)E Ｇ=ＣG,理由为：根据三角形BEF 为等腰直角三角形，得到∠DEF 为直角，又G 为ＤF 中点，根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半，得到ＥG 为ＤF 的一半,同理在直角三角形DC Ｆ中,得到CG 也等于ＤF 的一半,利用等量代换得证;ﻫ(２）成立．理由为:延长ＥG 交CD 于M,如图所示,根据“A ＳA ”得到三角形E ＦG 与三角形ＧDM 全等,由全等三角形的对应边相等得到EG 与ＭG 相等，即G 为EM 中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到E Ｇ与ＣＧ相等都１２１2 １ 2 １ 2。
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初二证明题练习题
初二证明题练习题题目一：证明下列几何题中的等式。
1. 证明ABCD是一个正方形。
解答：首先，我们已知AD = BC （对边相等）和∠ADB = ∠CBA（直角相等）。
因此，根据SSS三边相等定理，我们可以得出AD = BC，AB = DC 和∠DAC = ∠CBA。
同时，我们还知道∠DAC + ∠CAB = 90°（补角定理）。
由于∠DAC = ∠CBA，我们可以得知∠CDA = 90°。
根据两组对边相等且对角线垂直的条件，我们可以得出ABCD是一个正方形。
2. 证明三角形ABC中，如果∠B = ∠C，那么AB = AC。
解答：已知∠B = ∠C，我们可以知道△ABC是一个等腰三角形（两个边相等）。
由等腰三角形的性质，我们可以得知AB = AC。
题目二：根据已知条件，给出相关结论的证明。
1. 已知x > 0，y > 0，证明2xy < x^2 + y^2。
解答：我们可以根据多种方法来证明这个不等式，其中一种方法如下：由于x > 0和y > 0，我们可以将不等式两边同时除以xy，得到：2 < (x^2 + y^2) / xy。
我们进一步将右边的分数展开，得到：2 < (x/y) + (y/x)。
根据调和平均数不等式，我们知道(x/y) + (y/x) >= 2，且等号只在x = y时取得。
因此，我们得出结论2 < (x/y) + (y/x) <= (x^2 + y^2) / xy。
2. 已知三角形ABC中，AB = AC，∠B > ∠C，证明BC > BA。
解答：由于∠B > ∠C和AB = AC，我们可以推知∠A > 90°。
因此，在△ABC中，我们可以根据余弦定理得到：BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB * AC * cosA。
由于∠A > 90°，cosA < 0。
几何证明练习题带答案
几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
求证：∠BAD=∠CAD。
A. 利用等腰三角形性质B. 利用角平分线定理C. 利用等边三角形性质D. 利用相似三角形性质答案：B2. 已知线段AB和CD平行，且M是线段AB上的一点，N是线段CD上的一点，MN与AB、CD不平行。
求证：∠AMN≠∠CNM。
A. 利用平行线性质B. 利用内错角定理C. 利用同位角定理D. 利用补角定理答案：A二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=90°，AB=AC，那么∠B=∠C=______。
答案：45°2. 已知三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=6，根据勾股定理可知这是一个______三角形。
答案：直角三、简答题1. 如何证明三角形内角和定理？答案：在三角形ABC中，延长BC至点D，根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B。
又因为∠ACD+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，证明了三角形内角和为180°。
2. 如何证明圆内接四边形的对角互补？答案：设圆内接四边形ABCD，连接对角线AC和BD，由于AC和BD 都是圆的直径，根据圆周角定理，∠A+∠C=90°，∠B+∠D=90°。
因此，对角互补。
四、证明题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
证明∠BAD=∠CAD。
证明：由于AB=AC，根据等腰三角形性质，∠ABC=∠ACB。
又因为BD=DC，根据等边三角形性质，∠ABD=∠ACD。
因此，∠BAD=∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD=∠CAD。
2. 已知圆O中，弦AB和CD相交于点P，PA=PB，PC=PD。
证明：OP垂直于AB和CD。
证明：由于PA=PB，根据圆周角定理，∠APB=∠PBA。
同理，∠CPD=∠PDC。
因为∠APB+∠CPD=180°，所以∠OPB+∠OPD=90°。
几何证明题及其答案1
例1：如图2-4-27，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等 腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点． （1）求证：△BCF ≌△DCE ．（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG ：GC 的值．例2：已知如图2-4-28，BE 是⊙O 的走私过圆上一点作⊙O 的切线交EB 的延长线于P ．过E 点作ED ∥AP 交⊙O 于D ，连结DB 并延长交PA 于C ，连结AB 、AD ．（1）求证：2AB PB BD = ．（2）若PA=10，PB=5，求AB 和CD 的长．例3：如图2-4-29，⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，圆心1O 在⊙2O 上，连心线1O 2O 与⊙1O 交于点C 、D ，与⊙2O 交于点E ，与AB 交于点H ，连结AE ．（1）求证：AE 为⊙1O 的切线．（2）若⊙1O 的半径r=1，⊙2O 的半径32R =，求公共弦AB 的长． （3）取HB 的中点F ，连结1O F ，并延长与⊙2O 相交于点G ，连结EG ，求EG 的长．例4 如图2-4-30，A 为⊙O 的弦EF 上的一点，OB 是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA 的延长线交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线与EF 的延长线交于点D ． （1）求证：DA=DC图2-4-27GFED CB A 图2-4-28C 321OEPB A O 2O 1H G F ED B CA 图2-4-28（2）当DF ：EF=1：8且DF=2时，求AB AC 的值．（3）将图2-4-30中的EF 所在的直线往上平移到⊙O 外，如图2-4-31，使EF 与OB 的延长线交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交EF 于点D ．试猜想DA=DC 是否仍然成立，并证明你的结论．【提高训练】1．如图2-4-32，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 和BC 上的点，连结DE 并延长与AC 的延长线相交于点F ．若DE=EF ，求证：BD=CF ．2．点O 是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，如果DEFG 能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O 点在△ABC 内时，求证四边形DEFG 是平行四边形．（2）当点O 移动到△ABC 外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由．图2-4-30H FE D O C B A K 图2-4-30HF E DO CBA 图2-4-32F EDC B A 图2-4-33O GF E D CB A3．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=1200，∠ACB=450，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．5．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E 是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设A DO C的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，1sin3E∠=时，求AD和OC的长．图2-4-34FEDC BAO图2-4-35PEDCBA图2-4-36OEDCBA答案例1.分析与解答 （1）∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BCF+∠FCD=900，BC=CD ．∵△ECF 是等腰直角三角形，CF=CE ．∴∠ECD+∠FCD=900．∴∠BCF=∠ECD ．∴△BCF ≌△DCE（2）在△BFC 中，BC=5，CF=3，∠BFC=900． ∴BF=2222534BC CF -=-=．∵△BCF ≌△DCE ，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=900． ∴DE ∥FC ．∴△DGE ∽△CGF ．∴DG ：GC=DE ：CF=4：3．例2.分析与解答 （1）证明：∵PA 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2． ∵ED ∥AP ，∴∠P=∠PED ．而∠3=∠BED ，∴∠3=∠P ．∴△ABD ∽△PBA ．∴2AB PB BD =． （2）连结OA 、AE ．由切割线定理得，2PA PB BD = ．即2105(5)BE =⨯+， ∴BE=15．又∴△PAE ∽△PBA ，∴2AE PAAB PB==，即AE=2AB ． 在Rt △EBA 中，22215(2)AB AB =+，∴35AB =．将AB 、PB 代入2AB PB BD = ，得BD=9． 又∵∠BDE=900，ED ∥AP ， ∴DC ⊥PA ．∴BC ∥OA ．∴BC PBOA PO=． ∴515315252BC =⨯=+．∴CD=12 例3.分析与解答 （1）连结A 1O ．∵1O E 为⊙2O 的直径，∴∠1O AE=900． 又∵1O A 为⊙1O 的半径，∴AE 为⊙1O 的切线．（2）∵1O A=r=1，1O E=2R=3，△A 1O E 为Rt △，AB ⊥1O E ， ∴△A 1O E ∽△H 1O A ．∴2111O A O H O E = ． ∴113O H =．2242223AB AH OA OH ==-=． （3）∵F 为HB 的中点，∴HF=1243HF AB ==， ∴221133O F O H HF =+=．∵11HO F GO E ∠=∠． ∴Rt △1O HF ∽Rt △1OGE ．∴11O F HFO E EG=． ∴11HF O EEG O F = ，即233623EG ⨯==． 例4.分析与解答 （1）连结OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DCA=900-∠ACO=900-∠B ．又∠DAC=∠BAE=900-∠B ，∴∠DAC=∠DCA ．∴DA=DC ．（2）∵DF ：EF=1：8，2DF =，∴EF=8DF=82， 又DC 为⊙O 的切线，∴229218DC DF DE ==⨯= ． ∴1832DC ==．∴32AD DC ==，32222AF AD DF =-=-=， 822262AE EF AF =-=-=． ∴622224AB AC AE AF ==⨯= ．（3）结论DA=DC 仍然成立．理由如下：如图2-4-31，延长BO 交⊙O 于K ，连结CK ，则∠KCB=900．又DC 是⊙O 的切线，∴∠DCA=∠CKB=900-∠CBK ．又∠CBK=∠HBA ，∴∠BAH=900-∠HBA=900-∠CBK ． ∴∠DCA=∠BAH ．∴DA=DC ． 提高部分：【答案】 1．过D 作DG ∥AC 交BC 于G ，证明△DGE ≌△FCE 2．（1）证明DG ∥EF 即可（2）结论仍然成立，证明略（3）O 点应在过A 点且垂直于BC 的直线上（A 点除外），说理略． 3．（1）BE=5 （2）3tan 5CDE ∠=4．（1）3AC = （2）1:2CE AE =（3）∵1:2CE AE =，PB=2BC ，∴CE ：AE=CB ：PB ． ∴BE ∥AP ．∴AO ⊥AP ．∴PA 为⊙O 的切线5．（1）AD ∥OC ，证明略（2）连结BD ，在△ABD 和△OCB 中，∵AB 是直径，∴∠ADB=∠OBC=900． 又∵∠OCB=∠BAD ，∴Rt △ABD ∽Rt △OCB ．∴AD ABOB OC=．222S AD OC AB OB r r r ==== ， ∴22S r = （3）433AD =，23OC =.。
初二数学 几何证明初步经典练习题 含答案
几何证明初步练习题1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推理过程：○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。
3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。
4. 已知，如图，AE5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°.反证法经典例题6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。
求证：AB 与CD 必定相交。
8.2一．角平分线－－轴对称9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长第9题图 第10题图 第11题图分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12(AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ．11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ．分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ．∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ．二、旋转12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF＝EF ．求证：45EAF ∠=． C B ADE F D A B C B A E D NM B D A C分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ．∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠= 13、如图，点E 在ΔABC 外部，D 在边BC 上，DE 交AC 于F ．若123∠=∠=∠，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠．∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠．∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴FBA EDA ∠=∠． 又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ． 平移第14题图 第15题图 第16题图 第17题图三、平移15、如图，在梯形ABCD 中，BD ⊥AC ，AC ＝８，BD ＝１５．求梯形ABCD 的中位线长． 分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．16、已知在ΔABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，Ｅ为AC 延长线一点，且BD ＝CE ．求证：DM ＝EM 分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长四、倍长17、已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ．∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．18、如图，AD 为ΔABC 的角平分线且BD ＝CD ．求证：AB ＝AC ． 分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ． 19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=．易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=．∴ΔBPF 为等边三角形．∴ＢＰ＝２ＰＱ．中位线五、中位线、中线：20、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，Ｅ和Ｆ分别为BD 与AC 的中点, 求证：1()2EF BC AD =-． 分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线． ∴ＥＧ∥＝12BC ，FG ∥＝12AD ．∵AD ∥BC ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半21、已知，在ABCD 中BD AB 21=．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点． 求证：ＥＦ＝ＥＧ．分析：连接ＢE ．∵BD AB 21=，ＡＥ＝O Ｅ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ． ∴BD EG 21=．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴AD EF 21=．∴ＥＦ＝ＥＧ． 22、在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）．∴ＥＧ＝ＣＧ．∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠．∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．几何证明初步测验题（1）一、选择题（每空3 分，共36 分）1、使两个直角三角形全等的条件是（ ）A 、一组锐角对应相等B 、两组锐角分别对应相等C 、一组直角边对应相等D 、两组直角边分别对应相等2、如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠C ＝∠E ．则∠C ＝（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°第2题图 第4题图 第6题图 第7题图3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）A ．有两个角是直角B ．有两个角是钝角C ．有两个角是锐角D ．一个角是钝角，一个角是直角4、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠BOE=90°，OF 平分∠AOE ，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( ) A D B E F OC B E F ED G AA．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD+∠1=180° D．∠EOD=75°30’5、下列说法中，正确的个数为（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线③在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是直角三角形④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（）A、50°B、65°C、70°D、75°7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A. B.9、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（）A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都对第9题图第10题图第11题图第12题图10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是（）．①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.A．全部正确; B．仅①和②正确; C．仅②③正确; D．仅①和③正确11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠1=∠②③∠+∠2=90°④=3:4:5 ⑤A．1 B．2 C．3 D．412、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定二、填空题（每空3 分，共15 分）13、命题“对顶角相等”中的题设是_________ ,结论是___________ 。
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O B M A B
E F
C
D 练习1
1、已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，且x ＋y －z ＝6，则z y x 232+-＝
2、四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，∠A=70°，∠B′=108°，∠C′=92°，则∠D=______
3、已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长差40cm ，则其中较大三角形的周长是 cm
4、△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，并且AD ：DB=2：1，AE ：EC=1：2，则S △ADE ：S △ABC = 。
5、如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得
CD =30米，则AB =______米
6、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是
7、如图，路灯距地面
1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度 A.增大1.5米 B.减小1.5米 C.增大3.5米 D.减小3.5米
(第7题图)
8、 一个△ABC 的面积被平行于它的一边BC 的两条线段三等分，如果BC=12 cm ，则这两条线段中较长的一条是
9、如图，△ABC 中，D 是边AC 上的一点，且∠DBC=∠A ，BC=6，AC=3，则CD 的长是
10、如图,已知:△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于
F.求证:FD 2
=FB.FC.
11、已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．
（1）求AE
AC
的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．
12、如图：已知△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 在BC 上．
(1) 当△PQC 的面积等于四边形PABQ 面积的
3
1
，求CP 的长． (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．
(3)试问：在AB 上是否存在一点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ 的长．
13、阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1．6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）．
（3）请选择丙树的高度为 A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
无锡市格致中学阶段性反馈2010.5
初二数学参考答案
一、填空题
1、cm 4；
2、12；
3、ο90；
4、18.6；
5、115；
6、9:2；
7、7500:1；
8、
60；9、5
192⨯；10、1
3418,24,18-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯n
二、选择题
11、B;12、A;13、D;14、D;15、C;16、A;17、D;18、D;19、C;20、C 三、作图题
21、直接利用 X 型形似作图 四、解答题
22、分两种情况讨论CBA Δ∽CPQ Δ,CBA Δ∽CQP Δ，可以求出时间分别是
11
1656或
23、连接FA,证明FAC Δ∽FBA Δ,由于FD FA =,命题获证。
24、法一：连接AD FC ,;法二：过F E 或者 做平行线，命题获证，在命题获证的基础上第二问求出。
25、(1)用相似CPQ Δ∽CAB Δ
(2)设出x PC = 表示出CQ ,利用周长列出方程，求出PC
（3）当∠PQM=90°时（画图）
过P作PN⊥AB于N
设PQ=QM=PN=MN=a
∠QMB=∠ANP=90°
∠B=90°-∠A=∠APN
∴△MQB∽△NAP∽△CAB
∴AN:PN=AC:BC，BM:QM=BC:BC
∴MB=3/4a，AN=4/3a
∵AB=AN+NM+MB
∴3/4a+4/3a+a=5
∴PQ=a=60/37
当∠QPM=90°时
同理有PQ=60/37
当∠PMQ=90°时
过P作PN⊥AB于N,过Q作QR⊥AB于R,过M作MS⊥PQ于S
设PN=QR=a
则PQ=MN=2a
类似前两种情况可得△RQB∽△NAP∽△CAB
∴RB=3/4a,AN=4/3a
∵AB=AN+NM+MB
∴3/4a+4/3a+2a=5
∴a=60/49 ∴PQ=2a=120/49
26、（1）1 :：0.8=X ：4.08 求出甲树高X=5.1米
（2）先求墙壁上的影长展开在地上的距离 1 ：0.8=1.2：X 求出X=0.96米得出落在地面上的影长一共为0.96+2.4=3.36米则 1：0.8=X：3.36 求出乙树高
X=4.2米
（3）台阶高0.3米投影到地面则影长为1:0.8=0.3：X 求出X=0.24 则在水平面上的总影长为0.24+0.2+4.4=4.84米则1:0.8=X：4.84求出丙树高X=6.05米
（4）1.6：2=X：3.2求出X=2.56米则1：0.8=2.56：X 求出斜面上的影子落在水平面上的影长X=2.048米则丁树在水平面上的总影长为2.048+2.4=4.448 则1：0.8=X：4.448 求出丁树高X=5.56米。