2017届河南中原名校高三(上)质检三数学(文)试题(解析版)汇总

2017届河南中原名校高三（上）质检三数学（文）试题一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则()U A C B ⋂=（ ）A.{}1B.{}2C.{}4D.{}1,2 【答案】A【解析】试题分析：因为{}1,3,5U C B =，所以{}1U A C B ⋂=.故选A. 【考点】集合的运算.2．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 3x x >-”的否定是（ ） A.()00,x ∃∈+∞，00ln 3x x ≤- B.()0,x ∀∈+∞，ln 3x x >- C.()0,x ∀∈+∞，ln 3x x <- D.()0,x ∀∈+∞，ln 3x x ≤- 【答案】D【解析】试题分析：改存在量词为全称量词，否定结论即可.故选D. 【考点】命题的否定.3．已知tan α=，αcos αα+=（ ）A. B.-C.- 【答案】C【解析】试题分析：由tan α=，得sin αα=，结合22sin cos 1αα+=，可得21c o s 3α=，又α为第三象限角，所以cos α=.所以s i n c o s 3s 3ααα+=.故选C. 【考点】三角函数的求值.4．已知直线,m n 均在平面α内，则“直线l m ⊥且直线l n ⊥”是“直线l ⊥平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：如果直线,m n 是平行先，则不能得出l ⊥平面α；反之，如果l ⊥平面α，则l 垂直于平面α内的所有直线，故直线l m ⊥且直线l n ⊥.所以“直线l m ⊥且直线l n ⊥”是“直线l ⊥平面α”的必要不充分条件.故选B.【考点】充分条件、必要条件的判定.5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31n n S a =+，则10a =（ ）A.91032-B.101032-C.91032D.101032【答案】A【解析】试题分析：由31n n S a =+①，得1131n n S a ++=+②，②-①，得1133n n n a a a ++=-，得132n n a a +=，又1131a a =+，所以112a =-，故数列{}n a 是以12-为首项，32为公比的等比数列，所以11323n n a -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故991010133222a ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选A.【考点】数列递推式.6．已知向量,a b 的夹角为120，且，(),20a m b m m ==≠，若()a a b λ⊥-，则λ=（ ）A.1B.1-C.2D.2- 【答案】B【解析】试题分析：因为()a a b λ⊥-，所以()0a ab λ⋅-=，即21202m m m λ⎛⎫-⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭，解得1λ=-，故选B.【考点】（1）平面向量的垂直关系；（2）向量的模长. 7．已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.1,26π B.1,6πC.1,3πD.1,23π【答案】A【解析】试题分析：由图像知，224433T ππππω⎛⎫=+==⎪⎝⎭，解得12ω=.当23x π=时，1y =，所以12sin 123πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以122,232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，当0k =时，6πϕ=.故选A.【考点】由()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象求其解析式. 【方法点晴】本题主要考查利用()ϕω+=x A y sin 的图象特征，由函数()ϕω+=x A y sin 的部分图象求解析式，理解解析式中ϕω,,A 的意义是正确解题的关键，属于中档题.A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即ωπ2=T ，通常通过图象我们可得2T 和4T,ϕ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点. 8．已知定义在R 上的函数()f x 为周期函数，且周期为4，若在区间[]2,2-上，()222,20log ,02x m x f x x m x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则()2017f m =（ ）A.94-B.52- C.94 D.52【答案】A【解析】试题分析：因为函数()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()22f f -=，故1214m m +=-，解得14m =.所以()2017111201750441244444f m f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛==+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝.故选A.【考点】（1）函数的周期性；（2）函数的值. 9．如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=（ ）A.13-B.12- C.14- D.12【答案】B 【解析】试题分析：依题意得，()11213333A D AB B D A B BC A B A C A=+=+=+-=+，故1121122333C E C A A E C A AD A C⎛⎫=+=+=-++=-++=-⎪⎝⎭，故151362m n +=-=-.故选B. 【考点】平面向量基本定理的应用.10．已知一空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.27πB.49πC.81πD.100π【答案】C【解析】试题分析：该几何体的直观图如图所示，它是一正四棱柱被截去了两个三棱锥得到的，与原正四棱柱有相同的外接球，该正四棱柱的体对角线为球的直径，长度为9=，故外接球的直径为9，外接球的表面积为294812ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选C.【考点】由三视图求面积、体积. 11．已知正实数,a b 满足3a b +=，则1414a b+++的最小值为（ ） A.1 B.78C.98D.2 【答案】C【解析】试题分析：因为3a b +=，所以()()148a b +++=，所以()()14114148a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++. ()(41141419551481188a b a b ab +⎡⎤+⎛⎫+=++≥+=⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当()41b a a +=+，即22a b -=，即54,33a b ==时等号成立.故选C. 【考点】基本不等式.12．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，点P 从点A 出发，沿A B C A →→→的方向前进，然后再回到点A ，在此过程中，即点P 走过的路程为x ，点P 到点,,A B C 的距离之和为()f x ，则函数()y f x =的大致图像为（ ）【答案】A. 【解析】试题分析：当点P 在AB 上时，02x ≤≤,PC x ==P 到点,,A B C 的距离之和为()22f x ==()f x 在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，且函数图像不是由直线段组成的，排除选项B ，C ，D ，故选A.【考点】函数的图象.【一题多解】当0x =时，()4f x =.当点P 由A 到B 的过程中CP 的长先减小后增大，且2PA PB +=,2CP <，对应的函数图象线下降，后上升，由此可排除选项B ，D ，由CP 长度的增加和减少不是均匀变化的，即对应的图象不是有直线段组成的，由此排除C ，故选A.二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,4b c ==，且ABC ∆的面积为a = .【解析】试题分析：由三角形面积公式，得134sin 2A ⨯⨯=，所以sin 2A =，所以1cos 2A =±，所以a =a =，故答案.【考点】余弦定理.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键.在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.14．已知实数,x y 满足约束条件210100,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =+点的最大值是 . 【答案】13【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数23z x y =+的几何意义是直线233zy x =-+在y 轴上的截距的3倍，易知目标函数在点()2,3A 处取得最大值，故z 的最大值为13.【考点】简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -最终，O 为底面正方形的重心，,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，有下列结论： ①//PC 平面OMN ；②平面//PCD 平面OMN ； ③OM PA ⊥；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③【解析】试题分析：如图，连接AC ，易得//PC OM ，所以//PC 平面OMN ，结论①正确.同理//PD ON ，所以平面//PCD 平面OMN ，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以22222AB BC PA PC AC +=+=，所以PC PA ⊥，又//PC OM ，所以OM PA ⊥，结论③正确.由于,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，所以//MN AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以//AB CD ，所以直线PD 与直线MN 所成的角即为直线PD 与直线CD 所成的角，为PDC ∠，知三角形PDC 为等边三角形，所以60PDC ∠=，故④错误，故答案为①②③ .【考点】（1）线面平行的判定；（2）面面平行的判定；（3）线线垂直的判定.【方法点晴】本题考查了线面平行的判定、面面平行的判定以及线线垂直的判定和异面直线所成的角等，对空间想象能力要求较高，难度较大；常见证明线线平行的方式有：1、利用三角形中位线得到平行；2、构造平行四边形得到平行；3、利用面面平行等；在该题中证明平行利用的是中位线，垂直利用的是勾股定理；求异面直线所成角的简单步骤即：“作，证，求”.16．已知直线1y x =+与曲线ln y a x =相切，若()(),1a n n n N *∈+∈，则n = .（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1≈≈）【答案】3【解析】试题分析：设直线1y x =+与曲线ln (0)y a x a =>相切于点()00,ln x a x ，则在该点处曲线的切线方程为()000ln a y a x x x x -=-，即00ln ay x a x a x =+-，该直线与直线1y x =+重合，所以0a x =且0ln 1a x a -=，即l n 1a a a-=，令()l n 1g a a a a =--，()'ln g a a =，当1a >时，()'ln 0g a a =>，()g a 在()1,+∞上单调递增，又()33ln340g =-<，()44ln458250g lin =-=->，所以函数()y g a =在()1,+∞内唯一的零点在区间()3,4内，所以3n =，故答案为3.【考点】利用导数研究函数在某点处的切线方程.三、解答题17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin 0b A a B +=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）34B π=；（21. 【解析】试题分析：（1）由s i n s i n b Aa B +=结合正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=可求tan 1B =-，进而可求A ；（2）由余弦定理可得222a c ac +≥，从而可得ac 的范围，代入面积公式B ac S ABC sin 21=∆可求ABC ∆面积最大值. 试题解析：（1）由正弦定理和sin cos 0b A a B +=得sin sin sin cos 0B A A B +=， 因为sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，即tan 1B =-， 又0B π<<，所以34B π=.（2）由余弦定理，可得224a c =+，又222a c ac +≥，所以(22ac ≤=，当且仅当a c =时等号成立，所以(11sin 221222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=，故ABC ∆1.【考点】（1）正弦定理；（2）三角形面积计算公式. 18．（本小题满分12分）在单调递增的等差数列{}n a 中，3715,,a a a 成等比数列，前5项之和等于20. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使2425n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）1+=n a n ；（2）48.【解析】试题分析：（1）由题意知27315a a a =以及1545202a d ⨯+=，从而求得；（2）由（1）得2212+-+=n n b n 由裂项相消法得2+=n n T n ，解不等式得结果. 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3715,,a a a 成等比数列，所以27315a a a =，即()()()21116214a d a d a d +=++，即212a d d =，因为0d ≠，上式可化为12a d =①， 又数列{}n a 的前5项之和等于20，所以1545202a d ⨯+=，即124a d +=②. 联立12a d =①②解得12,1a d ==， 所以()2111n a n n =+-⨯=+. （2）因为()()122221212n n n b a a n n n n +===-++++， 所以1222222222233412222n n nT b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 因为2425n T ≤，所以24225n n ≤+， 48n ≤，所以使2425n T ≤成立的n 的最大值为48.【考点】（1）数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.19．已知函数()()4cos cos 103f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）根据两角差的余弦公式以及降幂公式和周期性可得其解析式；（2）由不等式222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈先求出()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递增区间，令0k =，1k =，2k =可得在[]0,2π上的单调递增区间. 试题解析：（1）()4cos cos 13f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭14cos cos 122x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭22cos cos 1x x x ωωω=+-2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22ππω=，即1ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由不等式222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，可得6k x k πππ≥≥+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令0k =，得函数()f x 在[]0,2π上的一个单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 令1k =，得函数()f x 在[]0,2π上的一个单调递增区间为27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；令2k =，得函数()f x 在[]0,2π上的一个单调递增区间为5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【考点】（1）函数()ϕω+=x A y sin 解析式的求法；（2）()ϕω+=x A y sin 的单调性.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解，单调增区间即Z k k k ∈+≤≤+-，ππμππ2222的解集.20．在如图所示的多面体ABCDE 中，四边形ABCF 为平行四边形，F 为DE 的中点，BCE ∆为等腰直角三角形，BE 为斜边，BDE ∆为正三角形，2CD CE ==.（1）证明：CD BE ⊥；（2）求四面体ABDE 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）43. 【解析】试题分析：（1）结合勾股定理得CD ⊥平面BCE ，故CD BE ⊥；（2）连接BF ，利用割体思想得：ABF E ABF D BD E A V V V ---+=得解.试题解析：（1）因为BCE ∆为等腰直角三角形，BE 为斜边，所以2,2C B C E B ==因为三角形BDE 为正三角形，所以BD =在三角形BDC 中，222BC CD BD +=，所以CD BC ⊥，同理，可得CD CE ⊥.因为BC CE C ⋂=，所以CD ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，所以CD BE ⊥.（2）又（1）可得BC ⊥平面DCE ，因为四边形ABCF 为平行四边形，所以AF ⊥平面DCE ，所以AF DE ⊥, 又CD CE =，F 为DE 的中点，所以CF DE ⊥，又CF AF F ⋂=，所以DE ⊥平面AFCF .连接BF ，则13A BDE D ABF E ABF ABF V V V DE S ---∆=+=⋅1142323=⋅⋅= 所以四面体ABDE 体积为43.【考点】（1）线线垂直的判定；（2）几何体的表面积、体积.21．某工厂每日生产某种产品(1)x x ≥吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当120x ≤≤时，每日的销售额y （单位：万元）与当日的产量x 满足ln y a x b =+，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况.已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元.（1）把每日销售额y 表示为日产量x 的函数；（2）若每日的生产成本()112c x x =+（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.（注：计算时取ln 20.7,ln 5 1.6==）【答案】（1）5ln 1,12016,20x x y x +≤≤⎧=⎨>⎩；（2）日产量为10吨时，最大利润为6.5万元. 【解析】试题分析：（1）由已知条件易得0.7 4.5a b +=以及1.48a b +=，可得5a =，1b =，故可得结果；（2）利润()()15ln ,1202115,202x x x l x y c x x x ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，求分段函数的最值即可.试题解析：（1）因为2x =时， 4.5y =，所以0.7 4.5a b +=①，当4x =时，8y =，所以1.48a b +=②，由①②解得5a =，1b =，所以当120x ≤≤时，5ln 1y x =+.当20x =时，()ln20152ln2ln515(1.4 1.6)116y =+=⨯++=⨯++=. 所以5ln 1,12016,20x x y x +≤≤⎧=⎨>⎩.（2）当日产量为x 吨时，每日利润为()l x ，则()()15l n ,1202115,202x x x l x y c x x x ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩. ①若120x ≤≤，则()'511022x l x x x-=-=, 当110x ≤<时()'0l x >；当1020x <≤时，()'0l x <，故10x =是函数在[]1,20内唯一的极大值点，也是最大值点，所以()max 1(10)5ln1010 6.52l x l ==-⨯=万元. ②若20x >，则()1152l x x =-，显然()1152l x x =-单调递减，故()5l x <. 结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元.【考点】分段函数的应用.22．已知函数()()2xf x x e =-. （1）求()f x 在[],2t t +上的最小值()h t ；（2）若存在两个不同的实数,αβ，使得()()f f αβ=，求证：2αβ+<.【答案】（1）()()2,1,112,1t t te t h t e t t e t +⎧≤-⎪=--<≤⎨⎪->⎩；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对()x f 进行求导，得到其单调性，在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，对导函数的零点与所给区间[],2t t +的关系进行讨论，即分为21t +≤，12t t ≤<+和1t >三种情形，根据单调性求得最值；（2）令()()()x f x f x g --=2，易得当1x >时，()()2f x f x >-，设1a <，1β>，故()[]()()222f f f f αααβ⎡⎤->--==⎣⎦，根据单调性得证.试题解析：（1）根据题意，得()()'1x f x x e =-，当1x <时，()'0f x <；当1x >时()'0f x >.故()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当21t +≤，即1t ≤-时，()f x 在[],2t t +上单调递减，()()22t h t f t te +=+=； 当12t t ≤<+，即11t -<≤时，()()1h t f e ==-；当1t >时，()f x 在[],2t t +上单调递增，()()()2t h t f t t e ==-. 所以()()2,1,112,1t t te t h t e t t e t +⎧≤-⎪=--<≤⎨⎪->⎩.（2）构造函数()()()()()22222,1x x xx e x g x f x f x x e xe x e x e -=--=-+=-+>， 则()()()()22'111xx x x e x e g x x e x e e e -⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭. 因为1x >，所以10x ->，函数2xx e y e e =-单调递增， 所以22110xx e e e e e e ->-=， 所以在区间()1,+∞上()'0g x >，所以在区间()1,+∞上()g x 单调递增， 所以()()10g x g >=，所以当1x >时，()()2f x f x >-.根据（1）中()f x 的性质，若存在两个不同的实数,αβ，使得()()f f αβ=，不妨设，则一定有1a <，1β>，当1α<时，21α->，所以()[]()()222f f f f αααβ⎡⎤->--==⎣⎦，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以2αβ->，2αβ+<.【考点】（1）利用导数研究函数的单调性；（2）对称性在函数中的应用.。