第4章 拉普拉斯变换1
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第四章 拉普拉斯变换
即，收敛域相应平移一 Res0 个
Res 0 a
例：求衰减的正弦函数 t sin t的象函数， 0 e 解： sin t
s
2 2
Res 0
令f (t ) sin t 则F ( s)
s2 2
由频移性质： e t sin t e t f (t ) F (s )
0为收敛轴，如图所示
F(s)的拉氏逆变换为
1 f (t ) F ( s) F ( s)e st ds 2j f (t ) F (s) 记为
1
五、一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数
u (t )
2.指数函数
Hale Waihona Puke 0e st e st dt s
单边拉氏变换 当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0
则 F ( s ) f (t )e st dt
0
记为F ( s ) f (t )
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j f (t ) 0
t0 t0
f (t ) F (s) f (t )e st dt
0
在半平面Re(s ) 0上一定存在，积分 f (t )e st dt在 Re(s ) 1 0
0
上绝对一致收敛， ( s )在 Re(s )为解析函数。其收敛域 Re(s ) 0， F 为
注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例： 1 1 1 s 1 s 1 s 2 其中s=-1为不可观测状态。 四、复频移特性 若 f (t ) F ( s), Res 0
拉普拉斯变换
第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。
若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。
另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
第4章 拉氏变换
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t)= 4f(0.5t)
f(t) 1 0 1 y(t) 2 4 t
Y(s) = 4×2 F(2s)
8 e 2 s
2s 2
(1 e
2 s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
α
σ
收敛边界
第4-7页
■
收敛域
信号与系统 解
4.1
拉普拉斯变换
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
e ( s )t F2b ( s ) e e st d t (s )
■
信号与系统
2 拉普拉斯变换引入 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推 广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = ζ+jω,以复指数函数est 为基本信号，任意信号可分解为不同复频率 的复指数分量之和。这里用于系统分析的独 立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用 的数学工具为拉普拉斯变换。
第4-15页
■
信号与系统
4.1
拉普拉斯变换
（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
F (j ) lim F ( s )
0
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
1 j F (j ) lim lim 2 lim 2 0 j 0 2 0 2
s 2 2 2 2 s2 F ( s) 2 2 2 s2 4 s 4 2 s 4 2
第4章 拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
Fc ( s ) K1 K2 K ( s j ) K 2 ( s j ) 1 s j s j (s )2 2 ( s )( K1 K 2 ) j ( K1 K 2 ) (s )2 2 ( s ) 2 A j 2 jB (s )2 2 (s ) 2A 2B 2 2 (s ) (s )2 2
t0 0
拉普拉斯变换的基本性质
4. 频移特性
L f ( t ) F ( s) 若
L at f ( t ) e F (s a) 则
拉普拉斯变换的基本性质
5. 时域微分特性
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
df (t ) L sF ( s ) f (0 ) Re( s ) 0 dt
若 则
L f (t ) F ( s )
Re( s ) 0
a0
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
拉普拉斯变换的基本性质
3. 时移特性
若 则
f (t ) F ( s)
L
L f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
常用信号的拉普拉斯变换
5.余弦信号 cos 0t
6.正弦信号 sin 0t
常用信号的拉普拉斯变换
at e cos 0t 7.衰减余弦信号
at e sin 0t 8.衰减正弦信号
拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性特性
若
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
第四章拉普拉斯变换1
13
二、拉氏变换的收敛域ROC(单边拉氏变换)
(Region of Convergence) 信号 f (t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对 可积的条件。是否一定满足，还要看f (t) 的性 质与 的相对关系。
t f ( t ) e 通常把使 满足绝对可积条件的 值
的范围称为拉氏变换的收敛域 。
14
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
则收敛条件为 0 满足上述条件的最低限度的 值，记为 0 (收敛坐标)。 j
收 敛 轴 0
1
收敛区
收 敛 坐 标
15
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
则收敛条件为 0
常用信号的收敛域 如：有始有终的能量信号 0 周期信号是功率信号 0 0 按指数规律增长的信号，如
显然，可表示成 F j
令s j F ( s) f (t )e st dt
FT[ f (t )e ] F ( s) f (t )e dt
t st
8
f (t )e
dt
FT[ f (t )e ] F ( s) f (t )e dt
24
1. 线性（linearity）
设f1 (t ) F 1 ( s), f 2 (t ) F 2 ( s)
则a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 ( s) a2 F2 ( s), a1, a2为常数
例：求 f (t ) sin t u (t )的拉氏变换 F ( s ) 1 j t j t sin t (e e ) 解： 2j 1 1 jt jt e u (t ) , e u (t ) s j s j 1 1 1 LT [sin tu (t )] [ ] 2 2 j s j s j s 2
二、拉氏变换的收敛域ROC(单边拉氏变换)
(Region of Convergence) 信号 f (t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对 可积的条件。是否一定满足，还要看f (t) 的性 质与 的相对关系。
t f ( t ) e 通常把使 满足绝对可积条件的 值
的范围称为拉氏变换的收敛域 。
14
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
则收敛条件为 0 满足上述条件的最低限度的 值，记为 0 (收敛坐标)。 j
收 敛 轴 0
1
收敛区
收 敛 坐 标
15
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
则收敛条件为 0
常用信号的收敛域 如：有始有终的能量信号 0 周期信号是功率信号 0 0 按指数规律增长的信号，如
显然，可表示成 F j
令s j F ( s) f (t )e st dt
FT[ f (t )e ] F ( s) f (t )e dt
t st
8
f (t )e
dt
FT[ f (t )e ] F ( s) f (t )e dt
24
1. 线性（linearity）
设f1 (t ) F 1 ( s), f 2 (t ) F 2 ( s)
则a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 ( s) a2 F2 ( s), a1, a2为常数
例：求 f (t ) sin t u (t )的拉氏变换 F ( s ) 1 j t j t sin t (e e ) 解： 2j 1 1 jt jt e u (t ) , e u (t ) s j s j 1 1 1 LT [sin tu (t )] [ ] 2 2 j s j s j s 2
第四章拉普拉斯变换
1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2
0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0
e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n
0
t st t e dt e s
F ( )
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t
F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)
F1 ( ) [ f (t )e ]e
d t f (t )e
n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n
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第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收 敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt ， 使得 f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可 积条件。 则
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
5．t的正幂信号 ． 的正幂信号
F (s) = L t
[ ]= ∫
n
∞ 0
∞ 0−
t n e − st dt
n dt = s
∞ 0
利用分部积分法，得：
∫
∞ 0
t e −
n
− st
t − st dt = − e s
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.1 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为
F (ω ) = ∞ f (t )e − jωt dt ∫−∞ 1 ∞ f (t ) = F (ω )e jωt dt 2π ∫−∞
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
2. 单边拉氏变换收敛域 收敛域是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使 f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。 由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt 的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有
F (ω ) = ∫
∞
0
f (t )e e
− at − jωt
dt = ∫
∞
0
f (t )e −(σ + jω )t dt = F (σ + jω )
(4.1-1)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
令σ+jω=s， 式（4.1-1）可表示为
F ( s ) = ∫ f (t )e dt
依此类推
n ∞ ∞ d f (t) d n f (t) L[ n ] = ∫ e−stdt = sn F(s) − ∑sn−r−1 f (r) (0) 0− dtn dt r =0
若f(t)为单边信号,则式（5―13）中由于f(0-)=0而 简 化为
df (t) L[ ] = sF(s) dt
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
lim f (t )e − st = 0
t →∞
(σ > σ 0 )
(4.1-8)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
式中, σ0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿 过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的 右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦σ0确定， f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。 满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函 数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数 阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐 标σ0 确定。 σ0 的取值与f(t)有关， 具体数值式计算。
即：
e
− st ∞
s
0−
1 = s
1 u (t ) ↔ s
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
2．单位冲激信号 ．
F ( s ) = L [δ (t )] =
即：
∫
∞ 0
−
δ (t ) e dt =
− st
∫
∞ 0
−
δ (t )dt = 1
δ (t ) ↔ 1
象函数与原函数的关系还可以表示为
L{ f (t )} = F ( s ) −1 L {F ( s )} = f (t )
f (t ) ↔ F ( s )
(4.1-7)
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， σ是实轴， jω是虚轴， 如图4.1-1所示。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
积分下限取0-是把f(t)中可能存在的冲激信号也包含 在积分中。应用分部积分法,则有
∞ d (t ) − st ∞ L[ ] = [e f (t )]0 − ∫ ( − s )e − st f (t )dt = sF ( s ) − f (0− ) 0− dt
上式得证。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
（5―12）
L
则
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( s ) + bF2 ( s )
式中,a和b为任意常数。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
2. 时域微分 若
（5―13） L[ f (t )] = F ( s ) df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0− ) dt d n f (t ) L[ ] = s n F ( s ) − s n −1 f (0− ) − s n −2 f ′(0− ) − ⋅⋅⋅ − f ( n −1) (0− ) dt n
lim f (t )e − st = 0
t →∞
(σ > σ 0 )
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， σ0<0， 例如单边指数信号 e-atu(t)（a>0）的σ0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.12(a)所示； f(t)是随时间不变的， σ0=0， 例如u(t)、 sinω0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t) 是随时间增长的， σ0>0， 例如eatu(t)（a>0）的σ0=a， >0 e u(t) a>0 σ =a 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。
同理可得
∞ df (t) d f (t) d f (t) −st −st df (t) ∞ L[ 2 ] = ∫ e dt = e |0− +s∫ e−stdt 0− dt2 0− dt dt dt ' 2 ' = − f (0) + s[sF(s) − f (0)]= s F(s) − sf (0) − f (0) 2 ∞ 2
(n) 式中f(0-)及 f (t ) 分别表示f(t)及f(t)的n阶
（5―14）
导数在t=0-时的值。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
证明:根据拉氏变换定义
∞ df ( t ) df (t ) L[ e − st dt ]= ∫ 0− dt dt
1 σ + j∞ f (t ) = ∫σ − j∞ F (s)ds 2πj
(4.1-5)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
因为e-σt的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶 函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的 因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一 起， 单边拉氏变换定义为
jω
0
σ
图 4.1-1 复平面
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
由以上分析， 并比较式(4.1-6)与式(3.3-7)， 以及 式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函数也有变换是 否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可 由单边拉氏变换收敛域解决。
0
∞
− st
(4.1-2)
F1(ω)的傅氏反变换为
f1 (t ) = f (t )e 1 f (t ) = 2π
−σt
1 = 2π
∫
∞
−∞
F1 (ω )e dω dω
(4.1-3)
jωt
∫
∞
−∞
F1 (ω )e
(σ + jω ) t
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式（4.1-3）两边同乘eσt， eσt不是ω的函数， 可放 入积分号里， 由此得到
∞ ∞
1 f (t ) = 2π
∫
−∞
F1 (ω )e
( σ + jω ) t
1 dω = 2π
∫
−∞
F (σ + jω )e (σ + jω )t dω
(4.1-4)
已知s=σ+jω， ds=d(σ+jω)， σ为常量， ds=j dω， 代入式（4.1-4）且积分上、 下限也做相应改 变， 式(4.1-4)可写作
[
]
[ ] [ ]
表4-1 常用信号的拉氏变换
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第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.2.1 拉氏变换的基本特性 1.线性特性 若
f1 (t ) ↔ F1 ( s );
L
L
f 2 (t ) ↔ F2 ( s )