【中考冲刺】点与圆的位置关系
【中考冲刺】点与圆的位置关系
一、选择题（共8小题）
2．（2011•武汉）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）
3．（2011•上海）矩形ABCD中，AB=8，，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD
5．（2002•连云港）直角坐标系中，圆心0′的坐标是（2，0），⊙O′的半径是4，则点P（﹣2，1）与⊙O′的位置关系
7．（2008•资阳）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，
二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）
9．（2012•广元）平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为_________ cm．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
2．（2011•武汉）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）
3．（2011•上海）矩形ABCD中，AB=8，，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD
r=PD=
PC==9
5．（2002•连云港）直角坐标系中，圆心0′的坐标是（2，0），⊙O′的半径是4，则点P（﹣2，1）与⊙O′的位置关系
7．（2008•资阳）已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，
==25
二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）
9．（2012•广元）平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为4或2cm．。
点、直线、圆与圆位置关系
点、直线、圆和圆的位置关系（一）基础知识1.点与圆的三种位置关系如果圆O半径为r，已知点P到圆心的距离OP=d，则：点P在圆外⇔d>r点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r2.过三点的圆（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆（2）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.3.直线和圆的位置关系（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和圆相交.（2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：直线和圆相离⇔d>r直线和圆相切⇔d=r直线和圆相交⇔d<r4.圆的切线（1）切线的判定方法①用定义判断②用等价条件判断③用定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线比必经过圆心（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.5.两圆的位置关系设R、r（R>r）为两圆的半径，d为圆心距，则：两圆相离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r两圆内切⇔d=R-r两圆内含⇔d<R-r6.性质相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两外公切线所夹的角.相切的两圆的连心线必过切点.7.公切线两圆的两条外公切线长相等；两条内公切线的长也相等.8.公切线的条数与两圆的位置关系两圆相离⇔4条公切线两圆外切⇔3条公切线两圆相交⇔2条公切线两圆内切⇔1条公切线两圆内含⇔0条公切线9.常见辅助线（1）连心线；（2）公共弦；（3）内、外公切线（二）经典例题1.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30 ，BC=4D是线段BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由2.（2009湖北荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ．3.（1）如图，在A B C 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.（2）已知：如图，O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 与D ，以O 为圆心，以OD 为半径作圆O ，求证：⊙O 与AC 相切4.ADFCM E BN5.（1）如图，A B C的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，AB=11cm，BC=13cm，CA=14cm，求AD、BE、CF的长（2）在Rt A B C中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，求A B C内切圆的半径.6.（1）已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含（2）已知关于x的一元二次方程22R r x d-++=没有实数根，其中R、rx2()0分别为⊙O1，⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系（）A.外离B.外切C.相交D.内切7.（三）历年中考试题1.（2011上海）2. （2006安徽）3.设⊙O 的半径为2，点P 到圆心O 的距离为m ，且满足方程2210x m -+-=有实数根，则定点P 的位置为（ ）A. 在⊙O 内B. 在⊙O 外C. 在⊙O 上D. 不在⊙O 外 4.（2011杭州）5.（2011日照）6.（2009年泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7.（2009年益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）8. (2009年湖州)已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ）A ．12O O =1B ．12O O ＝5C ．１＜12O O ＜５D ．12O O ＞５9. （2009年遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于 A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）B ． 3 1 0 2 4 5D ．3 1 0 24 5A ．1 0 C ． 3 1 02 4 5A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3210. （2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm 11.（2011舟山）12.(2009成都)如图，A 、B 、c 是⊙0上的三点，以BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC 上一点P ，作PE∥AB 交BD 于点E ．若∠AOC=60°，BE=3，则点P 到弦AB 的距离为_______．13.（2009年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_____________第10题图AB单位：mml 1l 214.（2009年益阳市）如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm .15.(2009年南充)A B C △中，10cm 8cm 6cm A B A C B C ===，，，以点B 为圆心、6cm 为半径作B ⊙，则边AC 所在的直线与B ⊙的位置关系是 ．16.（2010重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .17.（2010湖北孝感）P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为18.（2009襄樊市）已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，且121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系为 ．19.（2009年浙江省绍兴市）如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距A B 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线A B 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．20.（2009威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．21.（2009年崇左）如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心.E C 为半径的半圆与以A 为圆心，A B 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为 ．22.（2010 四川巴中）⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程27110x x -+=的两根，如果两圆外切，那么圆心距a 的值是 23.（2010福州）24.（2009柳州）如图10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：C F B F =；（2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长．D C EB A25.（2010济宁）26.（2011福州）27.（2009安顺）28.（2011盐城）29.（2011菏泽）30.（2011十堰）31.（2010湖北十堰）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C . （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；（2）证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC =12，O 2C =4，求AO 1的长.32.（2010湖北黄石）在△ABC 中，分别以AB 、BC 为直径⊙O 1、⊙O 2，交于另一点D. ⑴证明：交点D 必在AC 上；⑵如图甲，当⊙O 1与⊙O 2半径之比为4︰3，且DO 2与⊙O 1相切时，判断△ABC 的形状，并求tan ∠O 2DB 的值；⑶如图乙，当⊙O 1经过点O 2，AB 、DO 2的延长线交于E ，且BE ＝BD 时，求∠A 的度数.。
点和圆的位置关系4
(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何? (3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
解:(2)∵AB<AD<AC, ∴当以4厘米长为半径时,点B在圆内,点D在圆上,点C在☉A外. (3)当以5厘米长为半径时,点B,D在圆1 点和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
在平面内任意取一点P,若☉O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么:
点P在圆 点P在圆 点P在圆 反过来:
外 ⇔d 上 ⇔d
⇔d 内
> r; = r;
r; <
如果d>r⇒点P在
;
如果d=r⇒点P在 圆外 ;
如果d<r⇒点P在圆 圆上 .
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9
cm.
0≤d<5
6
5.已知☉O的半径为4,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与☉O的位置关系为( B )
(A)在圆上
(B)在圆外
(C)在圆内
(D)不确定
6.三角形的外心在这个三角形的( )
(A)内部
(B)外部
D
(C)在其中一边上 (D)以上三种都可能
7.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心,AC为半径作☉A,那么斜边中点D
2
类型一:点和圆的位置关系 例1 已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米 (1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?
解:(1)如图,连接 AC, ∵ABCD 是矩形,AD=4 cm, ∴BC=AD=4 cm, ∴在 Rt△ABC 中,AC= AB2 BC2 = 32 42 =5(cm), ∴点 B 在☉A 上,点 D 在☉A 外,点 C 在☉A 外.
九年级数学点和圆的位置关系
A
B
C
D
D
2、
A
A
B
D
C
A A
3、 B C B D C
4、
B C
D
所以经过四点不一定能作圆。
为什么过同在一条直线上的三个点不 可以画圆?
O
A
B
C
a
b
判断正误
1.经过三个点一定可以作圆. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.任意一个圆一定有一内接三角形,并 且只有一个内接三角形. 4.三角形的外心到三角形各个顶点的距 离都相等.
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再 画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位 置关系.
A
A
●
A●O C B源自┐O C B●O C
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
思考 经过四个点是不是一定能作圆？
1、
点和圆的位置关系有几种？
(令OP=d )
⑴点在圆内
·
P
O
r r r
d<r d=r d>r
⑵点在圆上 P
·
O
⑶点在圆外
P
·
O
；
/ 润滑脂
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呢，我这样想着。我问山神：“这究竟是怎样的一个世界，山神所在的世界是什么样的世界呢？”山神看着我，看了会蓝天， 缓缓开口说：“如你所见，这里是妖怪们的世界，是没有人类的世界，这里的妖怪修炼两百年为一岁，每一千年就会有一次劫， 称之为千劫，如果渡劫不成功就会死，劫的方式多种多样最常见的有雷劫、火劫、水劫等等，有许多你意想不到的，有些年纪 很轻法力不够地就无法度过千劫，活下来的妖少之又少，这时就需要一个帮他们渡劫的，渡劫人成为妖与自然沟通的纽带，他 传达自然地意思给妖。渡劫人在妖中的地位是很高的，妖是家族制的，比如狼族，狐族，水族，龙族，它们不分高低，各族有 各族的规矩和法术，资历越高法术越高，但也有天分极高的，他们可以很快超出同龄妖甚至比自己大的妖，他们生活自由自在， 在哪个地界有哪里的山神管辖。除了妖还有上古神兽，比如九尾和应龙他们，他们比妖地位要高出很多，他们不受山神管辖， 并与山神处于同等地位。他们行踪不定，我们也无法知道他们究竟在做什么。这是这个世界大致的规则，以后你自然会知道很 多的。”我问山神：“那我两的关系呢。”山神说：“能有啥关系啊。”我翻了个白眼，心中一万只马奔腾而过说：“那山神 和渡劫者的关系是什么？”山神呼了口气说：“也没啥关系，想不理就可以不用理，先做朋友就做朋友，因为山神不渡劫，哈 哈。”我心想：山神了不起啊。我又问：“那山神就是无所不能的咯。”山神说：“这个以后你就会明白了。”山神这个回答 让我很没有底啊。8梅里雪山|想要弄清整件事情，我觉得关键点是那幅油画里的少年，山神说那个少年就是上一任渡劫者，三 十年前和应龙消失了，据说进了梅里雪山，但又有消息说在喜马拉雅山看见过他们。所以，我和山神准备先去梅里雪山看看然 后再去喜马拉雅山。我问山神：“你不是说，你们不可以离开自己管辖的范围太远吗，虽然梅里雪山很近，但是喜马拉雅山还 是很远的。”山神说：“没关系，去的远了，顶多就是法力弱点，再说了，不是有你呢吗”。我心里也只能呵呵了，靠我，总 觉得不靠谱，因为我什么都不会啊。这是个什么世道都不知道啊。山神说他的房子估计也不能回了，九尾他们估计已经在那守 着了，古宅肯定是不能再回了，这个地方他们暂时还找不到，我们就在这里住了几天，刚开始我还没好意思说，后来忍不住了 就对山神说：“你不是会法术吗，你变几件衣服给我呗，我都没有换洗的，你们非人类不换，可我是人啊，你看我都好几天了， 我都觉得我快臭了。”山神笑笑说：“你看，我都把这是给忘了，你不早说。”我心里说，你又不是我男朋友，怎么好意思开 口呢。山神一眨眼的功夫就从手里变出来了一套登山的衣
点与圆的位置关系
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大 于或等于６０度
假设所求证的结论不成立，即 Ｂ 证明 ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° ＜ ＜ ＜ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
圆外的点
圆上的点
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的 点，圆内的点和圆外的点。 圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集 合 ； 圆 的 外 部 可 以 看 成 是 到圆心的距离大于半径的点的集合 。
典型例题
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘 米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作 圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系 如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外)
问：⊙O的半径6cm，当OP=6时， 点P在圆上 ；当OP ＜6 时点P 在圆内；当OP ≤6 时，点P不在 圆外。
画出由所有到已知点O的距离大于 或等于2CM并且小于或等于3CM的 点组成的图形。
O
O
问题:多少个点可以确定一个圆呢? 解决: 步骤1:过一点,可以画多少个圆?
步骤2:过两点,可以画多少个圆? 步骤3:过三个点,可以做多少个圆?
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A， 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？ (B在圆内，D在圆内，C在圆上)
问1：⊙O的半径10cm，A、B、C三点 到圆心的距离分别为8cm、10cm、 12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关 系是： 点A在 圆内 ∵OA=8<10 ∴点A在圆内 点B在 圆上 ∵OB=10=10 ∴点B在圆上 点C在 圆外 ∵OC=12>10 ∴点C在圆外
27。01。01。点与圆的位置关系
点与圆的位置关系一、圆的概念1、圆是轴对称图形，它的对称轴是 ，它有 条对称轴．2、平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形是 ，这个定点是 ．3、如图五，点C 是⊙O 的直径AB 所在直线上 一点．直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，AO ＝BC ，如果 ∠BOD ＝27°，那么∠AOE ＝ （度）4、已知：如图九，扇形∠AOB ＝45°，半径OB ＝2，矩形PQRS 的顶点P ，点S 在半径OA 上，点Q 在 半径OB 上，点R 在弧AB 上，连接OR ． （1）当∠AOR ＝30°时，求OP 长； （2）设OP ＝x ，OS ＝y ，求y 与x 的函数关系式 及定义域；（3）当矩形PQRS 是正方形时，求OP 的长． 二、点与圆的位置关系5、点与圆的位置关系有三种情况： ．6、如果一个圆的半径长为R ，点P 到圆心的距离为d ，那么点P 在圆外⇔d R ；点P 在圆上⇔d R ；点P 在圆内⇔d R ．7、若点P （3，－2）在以原点O 为圆心的⊙O 上，则点（2，－3） ⊙O 上．（填“在”或“不在”）．8、⊙M 的半径为10，点M 的坐标是（4，3），点N 的坐标是（2，－5），那么坐标点N在圆M 的 ．9、有一个长与宽分别是4和3的矩形ABCD ，现以点A 为圆心作圆．若点B 、C 、D 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，那么⊙A 的半径r 的取值范围是 ．10、如图一，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点E 、F 分别为AB 、AC 边的中点，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，以点B 为圆心，BC 为半径，作⊙B ，则点F 和⊙B 的位置关系为……（ ）（A ）点E 、F 都在⊙B 外； （B ）点E 、F 都在⊙B 内； （C ）点E 在⊙B 内，点F 在⊙B 外； （D ）点E 在⊙B 外，点F 在⊙B 内． 三、圆的确定11、经过 的三点不能作圆．四、三角形的外接圆12、已知三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形的外心到顶点的距离是 ．（图一）· · A B C E F （图九）O A BS P Q R （图一） O D C A E B13、下列说法中，正确的是……………………………………………………（）（A）三角形三条角平分线的交点是三角形的外接圆圆心；（B）三角形三条高的交点是三角形的外接圆圆心；（C）三角形三条中线的交点是三角形的外接圆圆心；（D）三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆圆心．14、等腰三角形的外心一定在……………………………………………………（）（A）腰上的高所在的直线上；（B）顶角的平分线上；（C）腰的中线上；（D）底边的垂直平分线上．15、边长为3、4的直角三角形外接圆直径为．16、在Rt△ABC中，如果斜边的长为6cm，那么这个三角形的垂心到外心的距离为．17、⊙O的半径是13，圆心O到直线l的距离OD＝5，点P在直线l上，若PD＝12.5，则点P在（填“圆外”、“圆上”或“圆内”）．18、三角形外心具有的性质是……………………………………………………（）（A）到三个顶点距离相等；（B）到三边距离相等；（C）外心必在形外；（D）到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．19、下列各三角形中，外心一定在该三角形内的是……………………………（）（A）等腰三角形；（B）锐角三角形；（C）直角三角形；（D）钝角三角形．。
考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)
考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。
关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。
2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
初三圆点和圆的位置关系(优秀课件)
2、已知AB为⊙O的直径，P为⊙O 上任意一点，则
点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为(
c)
(A)在⊙O内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定
随堂练习
3.已知⊙O的面积为25π： （1）若PO=5.5，则点P在 （2）若PO=4，则点P在 （3）若PO=
5 圆外 ；
圆内
；
，则点P在圆上；
生活中的数学
如果箭看成点，箭靶看成圆，那么上 面情境反映了点与圆的位置关系。
. . . . . . . . o . .. ..
C
B
A
点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d， 则有： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆上 点P在圆外
一个点、两个点还是三个点呢？
过一点画圆
A
我们的结论:
过一点可以画无数个圆
过两点画圆
A
B
过两点可以画无数个圆
过三点： (1)、三点不共线
F A
B
●o
C G
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
过三点： (2)、三点共线
O
A
B
C
过同一条直线上的三个点不可以画圆。
（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？
P
l1
A
l2
B C
什么叫反证法？
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推 理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知 条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从 而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
三角形的外接圆：
●
B
1、经过三角形三个顶点可 以画一个圆,并且只能画一 个。
圆与点的位置关系
圆和点之间有三种不同的位置关系：
1.点在圆内：当一个点位于圆的内部时，它与圆心的距离小于圆的半径。
2.点在圆上：当一个点位于圆的边界上时，它与圆心的距离等于圆的半径。
3.点在圆外：当一个点位于圆的外部时，它与圆心的距离大于圆的半径。
这些位置关系可以用来解决圆和点之间的几何问题,例如圆的内切圆，外接圆，圆的直径等等。
另外在判断圆和点之间位置关系时，我们还可以使用圆方程来判断。
圆方程为（x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径。
如果给定点(x0,y0) 满足这个方程，则说明该点在圆内，如果点到圆心的距离小于半径，则说明该点在圆上。
如果点到圆心的距离大于半径，则说明该点在圆外。
这种方法可以适用于所有的圆，不管圆的半径是否为0，也不管圆的半径是否为正。
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
点和圆的三种位置关系
E
6、如图：已知PA，PB分别切⊙O于A，B两点， 如果∠P=60° ，PA=2，那么AB的长为_____. 2 变式1:CD也与⊙O相切,切点为E.交PA于C点，交 4 PB于D点，则△ PCD的周长为____.
变式2:改变切点E的位置(在略户ＡＢ 上)，则△ PCD的周长为____. ４ 变式３：若PA=５则△ PCD的 周长为____. １０ 变式４：若PA=a,则△ PCD的周 2a 长为____.
B
F
E O D A
C
1、正三角形边长为6，求它的内切圆半径及 外接圆的半径 2、正三角形内切圆半径为6，求它的边长及 外接圆的半径 3、正三角形外接圆的半径为6，求它的边长 及内切圆半径
4、如图，在ΔABC中，AC=BC，E是内心，AE 的延长线交ΔABC的外接圆于D
求证：（1）BE=AE
AB AE （2） AC ED
１、如图, ⊙O切PB于点 B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
B
O
A
P
2、 如图：PA,PC分别切圆O 于点A,C两点,B为圆O上与 A,C不重合的点,若∠P=50°, 则∠ABC=___
C B
O A
P
3、如图，在RTΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，设⊙O 与BC的另一个交点为D，求线段BD的长度？
D
A、相交 或相交
B、相切
C、相离
D、相切
P 4cm l A
P 4cm A l
12、如图，PC切⊙O于点C,PC=4cm，PO=6cm, 求⊙O的半径。 变式：
C P
C P A O B