2020年山西省高考数学(文科)模拟试卷(3)

2020年山西省高考数学（文科）模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√32．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}3．（5分）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．244．（5分）设a ＝213，b ＝（14）23，c ＝log 212，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a5．（5分）某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，46．（5分）函数f （x ）＝sin x +x ﹣1的图象不经过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（5分）如果执行如图的程序框图，那么输出的S ＝（ ）A ．402B ．440C ．441D ．4838．（5分）已知sin2α＝cos α，α≠kπ2，k ∈Z ，则cos2α＝（ ） A ．34B ．−34C ．12D ．−129．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若a →，b →夹角为2π3，则|a →−b →|=（ ）A ．√7B ．√6C ．√5D ．√310．（5分）已知双曲线C ：y 2a2−x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．√133B ．√132C ．√153D ．√15211．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知A ＝120°，a ＝7，c ＝5，则sinB sinC=A ．85B ．58C ．53D ．3512．（5分）已知抛物线M ：x 2＝12y 和椭圆N ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），直线l 与抛物线M相切，其倾斜角为π4，l 过椭圆N 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点，|AF |=√2|BF |，则椭圆N 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．√33D ．√32二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知函数f （x ）＝lnx ，0＜a ＜b ＜c ＜1，则f(a)a，f(b)b，f(c)c的大小关系是 ．14．（5分）若数列{a n}是正项数列，且√a1+√a2+⋯+√a n=n2+3n，则a12+a23+a34+⋯+a nn+1=．15．（5分）已知0≤x≤2π，则f（x）＝cos2x+2sin x﹣1的最大值为．16．（5分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为4的菱形，∠ABC＝60°，AC ∩BD＝O，AC1⊥A1O，则三棱锥A1﹣ABD的外接球的表面积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y76542（1）求y关于x的线性回归方程y=b x+a；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−n⋅x⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．18．（12分）设{a n}是公比为正数的等比数列a1＝2，a3＝a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=2nn2+n，求证：数列{b n}的前n项和T n＜1．19．（12分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△BCD都是边长为2的等边三角形，E、F、G、H分别是棱AB、AD、CD、BC的中点．（1）证明：四边形EFGH为矩形；（2）若平面ABD⊥平面BCD，求点B到平面EFGH的距离．20．（12分）过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA ⊥OB（O为坐标原点）．（1）求抛物线C 的方程；（2）在y 轴上是否存在定点M ，使得∠OMA ＝∠OMB ？并说明理由． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2﹣2x ．（I ）若函数f （x ）在x ∈[14，2]内单调递减，求实数a 的取值范围；（II ）当a =−14时，关于x 的方程f （x ）=−12x +b 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)． （1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．2020年山西省高考数学（文科）模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．2．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：B ．3．（5分）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【解答】解：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为0.2， 男生喜欢篮球运动的频率为0.6，从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人， 则抽取的男生人数为：32×0.60.2+0.6=24．故选：D．4．（5分）设a＝213，b＝（14）23，c＝log212，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝213＞20＝1，0＜b＝（14）23＜(14)0=1，c＝log212＜log21＝0，∴a＞b＞c．故选：A．5．（5分）某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为（）A．20，2B．24，4C．25，2D．25，4【解答】解：由频率分布直方图可知，组距为10，[50，60）的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50，60）的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则，所以N=20.08=25，根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样，都是2，故选：C．6．（5分）函数f（x）＝sin x+x﹣1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵f（x）＝sin x+x﹣1∴f′（x）＝cos x+1≥0，∴函数f（x）＝sin x+x﹣1在R上是单调增函数，且f（x）＝sin x+x﹣1的零点在原点的右侧，如图．∴函数f（x）＝sin x+x﹣1的图象不经过第二象限．故选：B．7．（5分）如果执行如图的程序框图，那么输出的S ＝（ ）A ．402B ．440C ．441D ．483【解答】解：由框图可知，该程序求的是首项为3，公差为2的等差数列前20项的和，最后再加上1． 故S 20=3×20+20×192×2=440． 故输出的S ＝S 20+1＝441． 故选：C ．8．（5分）已知sin2α＝cos α，α≠kπ2，k ∈Z ，则cos2α＝（ ） A ．34B ．−34C ．12D ．−12【解答】解：∵sin2α＝cos α，α≠kπ2，k ∈Z ， ∴2sin αcos α＝cos α，cos α≠0， ∴sin α=12，∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（12）2=12．故选：C ．9．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若a →，b →夹角为2π3，则|a →−b →|=（ ）A ．√7B ．√6C ．√5D ．√3【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，＜a →，b →＞=2π3， ∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2×1×1×(−12)+1=3， ∴|a →−b →|=√3． 故选：D ．10．（5分）已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ）A ．√133B ．√132C ．√153D ．√152【解答】解：双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一条渐近线：y =−ab x ，与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直．可得：−a b ×32=−1，可得3a ＝2b ，所以9a 2＝4b 2＝4c 2﹣4a 2，可得13a 2＝4c 2， 可得e =√132．故选：B ．11．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知A ＝120°，a ＝7，c ＝5，则sinB sinC=A ．85B ．58C ．53D ．35【解答】解：∵A ＝120°，a ＝7，c ＝5，∴由余弦定理可得：72＝b 2+52﹣2×b ×5×cos120°，整理可得：b 2+5b ﹣24＝0， ∴解得：b ＝3或﹣8（舍去）． ∴由正弦定理及比例的性质可得：sinB sinC=b c=35．故选：D ．12．（5分）已知抛物线M ：x 2＝12y 和椭圆N ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），直线l 与抛物线M相切，其倾斜角为π4，l 过椭圆N 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点，|AF |=√2|BF |，则椭圆N 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√32【解答】解：设直线l 与抛物线M 相切于点P （x 0，y 0），由x 2＝12y 得y ′=16x ， 由已知得k l =16x 0=tan π4=1，得x 0＝6，y 0＝3，所以直线l 为y ﹣3＝x ﹣6， 即y ＝x ﹣3，得F （3，0），得c ＝3，由|AF |=√2|BF |，设BF =√2t ，A 的横坐标：3−√2t ，B 的横坐标3+t ，则AF ＝2t ，所以AF ＝a ﹣e （3−√2t ）＝2t ，…①（利用焦半径公式求解的结果） BF ＝a ﹣e （3+t ）=√2t ，…②， ①②消去t ，√2+e2−√2e=1，可得√2e =2−√2e ，解得e =√22．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知函数f （x ）＝lnx ，0＜a ＜b ＜c ＜1，则f(a)a，f(b)b，f(c)c的大小关系是f(a)a＜f(b)b＜f(c)c．【解答】解：函数f （x ）＝lnx ，0＜a ＜b ＜c ＜1， 设g （x ）=f(x)x =lnxx ， g ′（x ）=1−lnxx 2， 可得0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增， 由0＜a ＜b ＜c ＜1，可得 g （a ）＜g （b ）＜g （c ）， 即f(a)a＜f(b)b ＜f(c)c ．故答案为：f(a)a＜f(b)b＜f(c)c．14．（5分）若数列{a n }是正项数列，且√a 1+√a 2+⋯+√a n =n 2+3n ，则a 12+a 23+a 34+⋯+a n n+1= 2n 2+6n ．【解答】解：由√a 1+√a 2+⋯+√a n =n 2+3n ， 令n ＝1，得√a 1=4，∴a 1＝16．当n ≥2时，√a 1+√a 2+⋯+√a n−1=(n −1)2+3(n −1)．与已知递推式作差，得√a n =(n 2+3n)−(n −1)2−3(n −1)=2n +2． ∴a n =4(n +1)2， 当n ＝1时，a 1适合上式， ∴a n =4(n +1)2， 则a n n+1=4n +4．∴a 12+a 23+a 34+⋯+a n n+1=4（1+2+…+n ）+4n ＝4×n(n+1)2+4n =2n 2+6n ． 故答案为：2n 2+6n ．15．（5分）已知0≤x ≤2π，则f （x ）＝cos 2x +2sin x ﹣1的最大值为 1 ． 【解答】解：f （x ）＝1﹣sin 2x +2sin x ﹣1＝﹣sin 2x +2sin x ，x ∈[0，2π]； 令a ＝sin x ，则f （a ）＝﹣a 2+2a ，a ∈[﹣1，1]，所以f ′（a ）＝﹣2a +2≥0，故f （a ）在[﹣1，1]上单调递增，所以当a ＝1时f （a ）取最大值，则f （a ）max ＝f （1）＝﹣1+2＝1，即当x =π2时，f （x ）最大值为1． 故答案为：1．16．（5分）在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为4的菱形，∠ABC ＝60°，AC ∩BD ＝O ，AC 1⊥A 1O ，则三棱锥A 1﹣ABD 的外接球的表面积为 72π ．【解答】解：如图，在底面菱形ABCD 中，由AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝60°，可得AB ＝AC ＝AD ＝4，则C 为△ABD 外接圆的圆心，∵CC 1⊥底面ABD ，取CC 1中点Q ，则Q 为三棱锥A 1﹣ABD 外接球的球心，由AC 1⊥A 1O ，可得∠A 1AC 1＝∠C 1AC ，设AA 1＝a ，由∠A 1AC 1＝∠A 1OA ，得tan ∠A 1AC 1＝tan ∠A 1OA ， 则4a=a2，即a ＝2√2．∴QC =√2，则三棱锥A 1﹣ABD 的外接球的半径满足R 2=42+(√2)2=18． ∴三棱锥A 1﹣ABD 的外接球的表面积为4πR 2＝72π． 故答案为：72π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y76542（1）求y关于x的线性回归方程y=b x+a；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−n⋅x⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解答】解：（1）x=15（1+2+3+4+5）＝3，y=15（7+6+5+4+2）＝4.8．∑5i=1x i y i=60，∑5i=1x i2=55，∴b=60−5×3×4.855−5×9=−1.2，a=4.8+1.2×3＝8.4．∴y关于x的线性回归方程为y=−1.2x+8.4．（2）z＝x（﹣1.2x+8.4）﹣2x＝﹣1.2x2+6.4x＝﹣1.2（x−83）2+12815，∴当x=83≈2.67时，利润z取得最大值．18．（12分）设{a n}是公比为正数的等比数列a1＝2，a3＝a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=2nn2+n，求证：数列{b n}的前n项和T n＜1．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}是公比为q的等比数列，（q＞0），a1＝2，a3＝a2+4，可得2q2＝2q+4，解得q＝2，则a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N；（Ⅱ）证明：a n b n=2nn2+n=2n b n，则b n=1n2+n=1n−1n+1，可得前n项和T n＝1−12+12−13+⋯+1n−1n+1＝1−1n+1，由1n+1＞0，可得T n＜1．19．（12分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△BCD都是边长为2的等边三角形，E、F、G、H分别是棱AB、AD、CD、BC的中点．（1）证明：四边形EFGH为矩形；（2）若平面ABD⊥平面BCD，求点B到平面EFGH的距离．【解答】证明：（1）由于E、F为AD，AB的中点，则EF∥BD，EF=12BD，由于G、H为CD，BC的中点，则GH∥BD，GH=12BD，即有EF∥GH，且EF＝GH，则四边形EFGH为平行四边形，取BD的中点M，连接AM，CM，由于三角形ABD和三角形CBD均为等边三角形，则AM⊥BD，CM⊥BD，则BD⊥平面ACM，则BD⊥AC，则由EF∥BD，EH∥AC，则EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形．解：（2）以M为原点，MB，MC，MA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，0，0），A（0，0，√3），C（0，√3，0），E （12，0，√32），F （−12，0，√32），H （12，√32，0）， EB →=（12，0，−√32），EF →=（﹣1，0，0），EH →=（0，√32，−√32）， 设平面EFGH 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=−x =0n →⋅EH →=√32y −√32z =0，取y ＝1，得n →=（0，1，1）， ∴点B 到平面EFGH 的距离d =|EB →⋅n →||n →|=√322=√64．20．（12分）过点（0，2）的直线l 与抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）交于A ，B 两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；（2）在y 轴上是否存在定点M ，使得∠OMA ＝∠OMB ？并说明理由． 【解答】解：（1）设直线l ：y ＝kx +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +2x 2=2py得x 2﹣2pkx ﹣4p ＝0，则{x 1+x 2=2pk x 1x 2=−4p ，所以y 1y 2＝（kx 1+2）（kx 2+2）＝k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＝4， 由OA ⊥OB 得OA →⋅OB →=0，∴x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴﹣4p +4＝0，∴p ＝1， 所以抛物线C 的方程为x 2＝2y ．（2）假设存在满足条件的点M （0，t ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由（1）知{x 1+x 2=2kx 1x 2=−4，若∠OMA ＝∠OMB ，则k MA +k MB ＝0，∴y 1−t x 1+y 2−t x 2=(y 1−t)x 2+(y 2−t)x 1x 1x 2=(kx 1+2−t)x 2+(kx 2+2−t)x 1x 1x 2=2kx 1x 2+(2−t)(x 1+x 2)x 1x 2=−8k+2(2−t)k−4=(2+t)k 2=0，显然k ≠0， ∴t ＝﹣2，∴存在M （0，﹣2）满足条件．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2﹣2x ．（I ）若函数f （x ）在x ∈[14，2]内单调递减，求实数a 的取值范围；（II ）当a =−14时，关于x 的方程f （x ）=−12x +b 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=1x −2ax ﹣2=−2ax2−2x+1x…（1分）由题意f '（x ）≤0在x ∈[14，2]时恒成立，即2a ≥1−2x x2=(1x −1)2−1 在x ∈[14，2]时恒成立，即2a ≥[(1x −1)2−1]max ，…（4分） 当x =14时，(1x −1)2−1取最大值8， ∴实数a 的取值范围是a ≥4．…（6分）（Ⅱ）当a =−14时，f(x)=−12x +b 可变形为14x 2−32x +lnx −b =0．令g(x)=14x 2−32x +lnx −b(x ＞0)， 则g ′(x)=(x−2)(x−1)2x．…（8分） 列表如下：x 1 （1，2） 2 （2，4）4 g '（x ） ﹣ 0 + g （x ）−b −54↘极小值↗2ln 2﹣b ﹣2∴g （x ）极小值＝g （2）＝ln 2﹣b ﹣2，g(1)=−b −54，…（10分）又g （4）＝2ln 2﹣b ﹣2，∵方程g （x ）＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根， ∴{g(1)≥0g(2)＜0g(4)≥0，…（11分）得ln2−2＜b ≤−54．…（12分）四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)． （1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值． 【解答】解：（1）①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α＝1，所以（x ﹣1）2+y 2＝1，即曲线C 1的的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；②由ρ2＝x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝1，又直线l 的直角坐标方程为x ﹣y ＝0，所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22，√22)和(−√22，−√22)．（2）设N （ρ，θ），又由曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1得其极坐标方程ρ＝2cos θ．∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|． 所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3， 由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ， 由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤13； 当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6， 此时不等式f （x ）≥2无解，综上，不等式f （x ）≥2的解集为[−1，13]．（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤03−3x ，0＜x ＜3−x −3，x ≥3．当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；当0＜x ＜3时，f （x ）＝3﹣3x ∈（﹣6，3）； 当x ≥3时，f （x ）＝﹣x ﹣3≤﹣6．∴函数y ＝f （x ）的最大值为m ＝3，则a +b +c ＝3． 由柯西不等式可得（1+1+1）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2， 即3（a 2+b 2+c 2）≥32，即a 2+b 2+c 2≥3， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 因此a 2+b 2+c 2≥3．。