绵阳东辰国际学校2007年高一新生综合素质测试数学试题及答案
2007绵阳东辰高中自主招生数学试题(含答案)
绵阳东辰国际学校2007年高中新生综合素质测试数学试卷（时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题3分，共30分）（温馨提示：每小题选出答案后，把答案填在后面的选择题答题卡里）1．2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对780万名寄宿学生补助了生活费．在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（ ） A ．1.84×1011 B.5.2×107C.3.73×107D. 7.8×1062. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的41，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A ．20分钟B ．22分钟C ．24分钟D ．26分钟3. 由小到大排列一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于-1，则对于样本1，x 1，-x 2，x 3，-x 4，x 5的中位数是（ ）A ．213x + B ．212x x - C ．215x + D ．243x x + 4、已知反比例函数(0)ky k x=<的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <，则12y y -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定5.一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小 立方块，设其中仅有i （i=1，2，3）个面涂有颜色的小立方块的个数为i x ，则x 1 ，x 2 ，x 3之间的关系为（ ）A. x 1-x 2+x 3 = 1B. x 1+x 2-x 3 = 1C. x 1 +x 2-x 3 = 2D. x 1-x 2+x 3 = 26.如图，在函数y=-x+3的图象上取点P ，作PA ⊥x 轴于A,作PB ⊥y 轴于点 B,O 为原点，且矩形OAPB 的面积为2，则符合条件的P 点共有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．4OAB xy3P3A ．10B ．8C ．6D ．48.已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① a +b +c <0； ②a-b +c <0； ③ b +2a <0； ④ abc >0. 其中所有正确结论的序号是( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ③④9.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． A.5 B.6 C.7 D.810.已知一个三角形的三边长分别为a 、a 、b ，另一个三角形的三边长分别为a 、b 、b,其中a ﹥b ．若两个三角形的最小内角相等，则ba的值等于（ ） A.215+ B. 213+ C.223+ D.215- 选择题答题卡二、填空题 （每小题4分，共32分） 11、有五张不通明的卡片为2231627π，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机 抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为________. 12、函数y=x2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y=x2的图象的交点共有 个.13. 有八个球编号是① 至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案番号AAADCB B CDEDCB EF重．那么，两个轻球的编号是_________.14．如图，在矩形ABCD 中，AB=8cm ，BC=16cm ，动点P 从点A 出发，以1cm/秒的速度向终点B 移动，动点Q 从点B 出发以2cm/秒的速度向终点C 移动，则移动第到_____ 秒时，可使△PBQ 的面积最大. 15.如图所示，点E 为正方形ABCD 的边CD 上的一点，F 为边BC 的延长线上一点，且CF=CE.若正方形ABCD 的边长为2，且CE=x ，△DEF 的面积为y ，请写出y 与x 之间的函数关系式为 . 16.若关于x 的分式方程3131+=-+x ax 在实 数范围内无解，则实数=a _____.17.平面上两点A 、B 的距离为a+b （a 、b ＞0，且为定值），又点A 、B 到某直线的距离分别为a 、b ，则这样的直线共有 条.18.对自然数a 、b 、c ，定义新运算﹡，使其满足（a ﹡b ）﹡c = a ﹡（bc ），（a ﹡b ）（a ﹡c ）= a ﹡（b+c ）.则2﹡4= ． 三、解答题 （共88分）19．（1）（本题满分8分）计算： ()000145cos 30sin 12114.329⋅--+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-．（2）(本题满分8分)已知2a ＋2a 30，求222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭的值. QPA B CD20．（本题满分10分）如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB=AE ， （1）求证：△ABC ≌△EAD ；（2）若AE 平分∠DAB ，∠EAC=24°，求∠AED 的度数21．（本题满分12分）把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等．（1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？ （2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为m ，第二次所得的数为n ．把m 、n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m 、n ）在函数y=3x-1的图象上的概率又是多少？ D22．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC 大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙Ｏ1交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F．（1）求OA、OC的长；（2）求证：DF为⊙Ｏ1的切线；（3）小明在解答本题时，发现∆AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使∆AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙Ｏ1外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．23．（本题满分12分）如图，已知P 为∠AOB 的边OA 上一点，以P 为顶点的∠MPN 的两边分别交射线OB 于M 、N 两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）.当∠MPN 以点P 为旋转中心，PM 边与PO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OB 上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x ，ON=y （y ＞x ＞0），△POM 的面积为S.若sin α=，OP=2. （1）当∠MPN 旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N 移动的距离； （2）求证：△OPN ∽△PMN ； （3）写出y 与x 之间的关系式；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围. PONM BA24. （本题满分13分）已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0 ①（1）若方程①有实数根，求实数m的取值范围？（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y =（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？25.(本题满分13分)已知抛物线y＝－x2＋2mx―m2―m＋2．（1）判断抛物线的顶点与直线L：y＝-x＋2的位置关系；（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．祝贺你做完了我校高中新生综合素质测试数学试题,请再仔细检查一遍,看看参考答案及评分标准：一、选择题（每小题3分，共30分）1 B2 C3 C4 D5 D6 D7 B8 B9 C 10 A二、填空题（每小题4分，共32分）115212 2 13 ④⑤ 14 4 15 y=－21x 2+x 16 1 17 3 18 16三、解答题（共88分） 19(1)解：原式=291－1 +)12)(12(12+-+－21×22 (4分)=32－1+2+1－42（6分）8分） (2)解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-2)2(1)2(2a a a a a ×42-+a a （2分） =2)2()1()2)(2(+--+-a a a a a a ×42-+a a （4分） =222)2(4++--a a a a a ×42-+a a=)2(1+a a=aa 212+ （6分）∵a 2＋2a 0，∴a 2＋2a=33（8分） 20、（1）证明：∵ ABCD 是平行四边形∴ AD ∥BC ，AD=BC∴ ∠DAE =∠AEB (2分) ∵ AB =AE ∴ ∠AEB=∠B ∴ ∠B=∠DAE∴ △ABC ≌△EAD (5分) （2）∵ ∠DAE=∠BAE ，∠DAE=∠AEB∴ ∠BAE=∠AEB=∠B∴ △ABE 为等边三角形 (8分) ∴ ∠BAE =60° ∵ ∠EBC =24° ∴ ∠BAC =84° 由(1)知△ABC ≌△EAD∴ ∠AED =∠BAC =84° (10分)21解：（1）依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种，而且它们出现的可能性相等．满足数字大于4（记为事件A ）的有2种.所以P(A)=31（4分） （2）依题意列表分析如下： 第二次n为事件A ）的有(1 2)和（2 5）两种情况，所以在函数y=3x-1的图象上的概率为 P(A)= 362＝181 （12分） 22解：（1）在矩形OABC 中，设OC ＝x 则OA ＝x ＋2，依题意得x （x+2）＝15 解得：x 1＝3，x 2＝－5x 2＝－5（不合题意，舍去） 所以OC=3，OA=5 （3分）（2）连接O ’D在矩形OABC 中，OC=AB ，25,90==︒=∠=∠BE CE ABC OCB 所以⊿OCE ≌⊿ABE所以EA=EO所以21∠=∠在⊙O ’中，因为O ’O=O ’D所以13∠=∠所以23∠=∠所以O ’D//AE因为DF ⊥AE所以DF ⊥O ’D 又因为点D 在⊙O ’上，O ’D 为⊙O ’的半径，所以DF 为⊙O ’的切线 （7分）（3）不同意，理由如下：①当OA=AP 时，以点A 为圆心，以AO 为半径画弧交BC 于P 1和P 4两点过P 1 点作P 1H ⊥OA 于点H ，P 1H ＝OC ＝3,因为AP 1＝OA=5所以AH ＝4，所以OH=1求得点P 1（1,3）同理可得：P 4（9，3） （9分）②当OA=OP 时，同上可求得P 2（4，3），P 3（－4,3） （11分）因此，在直线BC 上，除了E 点外，既存在⊙O ’内的点P 1，又存在⊙O ’内的点P 2、P 3、P 4，它们分别使⊿AOP 为等腰三角形 （12分）其他解法，请参照评分建议酌情给分。
2007绵阳东辰国际学校2007年高中新生综合素质测试数学试题及答案[1]
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2007绵阳东⾠国际学校2007年⾼中新⽣综合素质测试数学试题及答案[1]绵阳东⾠国际学校2007年⾼中新⽣综合素质测试数学试卷（时间：120分钟，总分：150分）⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）（温馨提⽰：每⼩题选出答案后，把答案填在后⾯的选择题答题卡⾥） 1、定义图形A ※B 是由图形A 与图形B 组成的图形,已知：A ※B B ※C C ※D B ※D则A ※D 是下图中的（）A B C D2、已知c b a +=c a b +=ba c +=k ，则直线y =kx +2k ⼀定经过（） A 、第1、2象限 B 、第2，3象限 C 、第3、4象限 D 、第1、4象限 3、已知⼆次函数y =mx 2-7x -7的图象和x 轴有交点，则m 的取值范围是（）A 、m >-47 B 、m >-47且m ≠0 C 、m ≥-47 D 、m ≥-47且m ≠04、如图，直线l 交两坐标轴于A 、B ，点C 在线段AB 上，若∠AOC=a ,OA=OB ，那么S ⊿OBC :S ⊿OAC =（）A 、sin αB 、cos αC 、tan αD 、cot α 5、已知⼀组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，⽅差是31,那么另⼀数据3x 1—2, 3x 2—2, 3x 3—2, 3x 4—2, 3x 5—2的平均数和⽅差分别是（） A 、4，3 B 、2，31 C 、4，32D 、2，3 6、越来越多的商品房空置是⽬前⽐较突出的问题，据国家有关部门统计：2006年第⼀季度全国商品房空置⾯积为1.23亿m 2，⽐2005年第⼀季度增长23.8%，下列说法：①2005年第⼀季度全国商品房空置⾯积为亿㎡；②2005年第⼀季度全国商品房空置⾯积为%8.23123.1-亿㎡；③若按相同增长率计算，2007年第⼀季度全国商品房空置⾯积将达到1.23×(1+23.8%)亿㎡；④如果2007年第⼀季度全国商品房空置⾯积⽐2006年第⼀季度减少23.8%，那么2007年第⼀季度全国商品空置⾯积与2005年第⼀季度相同，其中正确的是（）A 、①，④B 、②，④C 、②，③D 、①，③7、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°AB=5，BC=3，点P 从点D 出发沿DC ，CB 向终点B 匀速运动，设点P 所⾛的路程为x ，点P 所经过的线段与AD，AP 所围成的图形⾯积为y ，y 随x 的变化⽽变化，在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（）8、如图，△ABC 是锐⾓三⾓形，正⽅形DEFG 的⼀边在BC 上，其余两个定点在 AB ，AC 上，记△ABC 的⾯积为S 1，正⽅形的⾯积为S 2则（） A 、S 1≥2S 2 B 、S 1≤2S 2 C 、S 1>2S 2 D 、S 1<2S 29、若关于x 的⼀元⼆次⽅程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满⾜x 1+x 2=x 1x 2.则k 的值为（）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在10、有⼀边长为2的正⽅形纸⽚ABCD ，先将正⽅形ABCD 对折，设折痕为EF （如图(1)）；再沿过点D 的折痕将⾓A 反折，使得点A 落在EF 的H 上（如图(2)），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（）A、6 B、3 C、8- D、4-F （1）ABCDE FGH（2）%8.23123.1+⼆、填空题（每⼩题4分，共32分） 11、分解因式：3269x x x -+= ．12、已知分式122+x x ，当x =1时，分式的值记为f （1），当x =2时，分式的值记为f （2），依此计算: f （1）+f （21）= . 13、⽤边长是1cm 的⼩正⽅形搭成如下塔形图形，则第n 次所搭图形的周长为 cm. 第⼀次第⼆次第三次 …… 14、从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为⼀次函数y kx b =+的系数k ，b ，则⼀次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率是________．15、某电视台在黄⾦时段有2min ⼴告时间，计划插播长度为15s 和30s 的两种⼴告，15s ⼴告每播⼀次收费0.6万元，30s ⼴告每播⼀次收费1万元，若要求每种⼴告播放不少于2次，那么该电视台在这段时间内最多可收⼴告费万元.16、如图，菱形ABCD 的对⾓线的长度分别为4，5，P 是对⾓线AC 上的⼀点，PE//BC 交AB 于E ，PF//CD 交AD 于Ｆ，则图中阴影部分的⾯积是 .17、某城市为避免⽣活污⽔排⼊河流，需修建⼀条2400⽶长的封闭式污⽔处理管道，为了尽量减少施⼯对市民⽣活的影响，实际施⼯⽐原计划每天多修10⽶，结果提前了20天完成任务，实际每天修多少⽶？设实际每天修x ⽶，则可列⽅程为 . 18、如果⼀个数等于它的不包括⾃⾝的所有因数之和，那么这个数就叫完全数。
2015-2016年四川绵阳东辰国际学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2015-2016年四川绵阳东辰国际学校高一下学期第一次月考数学试题一、选择题1．下列各式中，值为2的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+ 【答案】B【解析】试题分析：A 选项0012sin15cos15sin 302==，不合题意；选项2020cos 15sin 15cos302-==适合题意；C选项202sin 151cos302-=-=-，也不合题意；D 选项2020sin 15cos 151+=，故选B.【考点】二倍角公式.2．设向量,a b满足1,()a b a a b ==⊥+ ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π【答案】C【解析】试题分析：由于()a a b ⊥+，所以()20a a b a a b ⋅+=+⋅= ，根据向量数量积的定义可知2cos ,2a a b a b a ba b⋅==-=-a 与b 的夹角为34π，故选C. 【考点】向量的数量积运算.3．若4tan 3,tan 3αβ==，则tan()αβ-等于（ ） A ．-3 B ．13- C ．3 D ．13【答案】D【解析】试题分析：由两角差的正切公式可得tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ--==+，故选D.【考点】两角差的正切公式.4．若(2,3),(4,7)a b ==-，则a 在b 方向上的投影为（ ）AC【答案】C【解析】试题分析：a 在b方向上的投影为cos ,5a b a a b b⋅===故选C.【考点】向量正投影的定义.5．ABC ∆中，若060,A a ==ABC ∆的外接圆半径等于（ ）A．1 C．2 【答案】B【解析】试题分析：设ABC ∆的外接圆半径R ，由正弦定理可得22sin aR A===,所以半径为1，故选B.【考点】正弦定理在解三角形中的应用.6．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b + 与2a b -共线，则m 的值为（ ）A ．12 B ．2 C ．12- D ．-2 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知()424,38ma b m m +=-+ ，()24,1a b -=-，根据向量共线的坐标表示可知()()4382414200,2,m m m m ++-=+=∴=-故选D. 【考点】向量共线的坐标表示. 71sin170-=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-4 【答案】D【解析】0011sin170sin10=-== ()2sin10cos30cos10sin 301sin 202-()()4sin 10304sin 204,sin 20sin 20--===- 故选D. 【考点】三角函数的诱导公式与三角函数式的化简. 8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ∆的面积S =，则c =（ ）A ．5B ．6C ．7 【答案】D【解析】试题分析：因为13sin sin120,52244S ab C b b b ====∴= ，根据余弦定理可得2222cos 49,7,c a b ab C c =+-=∴=故选D.【考点】根据三角形的面积公式和余弦定理解三角形.9．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及ABC ∆所在平面内一点P ，若0P A P B P C ++=，若实数λ满足AB AC AP λ+=，则λ=（ ） A ．32B ．3C ．-1D ．2 【答案】B【解析】试题分析：根据向量减法的运算法则可得()(),PB PA PC PA PA λ-+-=-所以()20PA PB PC λ-++= ,又因为0PA PB PC ++=，所以3λ=，故选B.【考点】平面向量的线性运算.10．若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 8θθ=-，则sin cos θθ-的值为（ ）A ． C ．【答案】D【解析】试题分析：由1sin cos 08θθ=-<且θ是ABC ∆的一个内角，所以sin 0,cos 0,θθ><所以s i n cos cos ,2θθ-=故选D.【考点】同角三角函数基本关系式.【方法点晴】本题属于给条件求值的问题，主要考查了同角三角函数基本关系式中平方关系，属于基础题.解答本题的关键点有两点：一是找到同角三角函数正余弦的差与积之间的关系——()2sin cos 12sin cos ,θθθθ-=-二是根据积的符号和给出的范围确定sin ,cos θθ的符号，从而确定sin cos θθ-的符号为最后取值创造条件.11．已知函数2()2sin ()cos 21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）A ．12 B ．1 CD ．2 【答案】B 【解析】试题分析：21cos 22()2sin ()2122142x f x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+-=⋅--sin 2x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22633x πππ≤-≤，所以当236x ππ-=，即4x π=时，()f x 取得最小值1，故选B.【考点】三角恒等变化与三角函数的性质.【方法点晴】本题结合三角恒等变换考查了三角函数的图象和性质，属于基础题.本题解答的关键是通过三角恒等变换把函数()f x 化简成“一角一名一次式”形式的三角函数，化简的过程中要对平方进行降幂处理，变成“sin cos a x b x +”的形式，提取()sin y A x k ωϕ=++，最后结合正弦函数的图象找到最值点.12．在ABC ∆中，2,3,5==⋅=AB AC AB AC ，则BC =（ ）A．【答案】A 【解析】试题分析：因为5⋅=AB AC ，所以5c o s ,c o s 6c o s 5,c o s6A B A C A BA C AB BC A A A ===∴=,由正弦定理可得22252cos 9422336a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以BC =故选A.【考点】平面向量的数量积及余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了平面向量在三角形中的应用及利用余弦定理解三角形问题，属于基础题.解答的关键是根据平面向量的数量积求得内角A ，要注意向量的夹角与三角形内角的关系，通过向量的方向判断向量的夹角为三角形的内角还是补角，从而求得角A ，最后根据余弦定理求出边a 的值.二、填空题13．函数22cos 2sin 2y x x =-的最小正周期是________． 【答案】2π【解析】试题分析：221cos 41cos 4cos 2sin 2cos 4,22x xy x x x +-=-=-=所以最小正周期为242ππ=. 【考点】二倍角公式与三角函数的周期性.14．已知向量(6,2)a = 与(3,)b k =-的夹角是钝角，则k 的取值范围是________．【答案】()(),11,9-∞--【解析】试题分析：因为向量(6,2)a = 与(3,)b k =-的夹角是钝角，所以2180,9a b k k ⋅=-<∴<，当//a b 时，660,1k k +=∴=-，所以k 的取值范围是()(),11,9-∞-- .【考点】向量数量积坐标表示的应用. 15．000cos 20cos 40cos80⋅⋅=________． 【答案】18【解析】试题分析：原式=000000sin 20cos 20cos 40cos80sin 40cos 40cos80sin80cos80sin 202sin 204sin 20⋅⋅⋅⋅⋅⋅==sin160sin 201.8sin 208sin 208==【考点】二倍角公式及诱导公式.【方法点晴】本题以三角函数式化简的形式考查了二倍角的正弦公式和诱导公式，属于基础题.对于三角函数的化简通常需要分析题目中出现的角的关系和涉及到的函数名称，本题中涉及到三个角20,40,80它们依次是两倍关系，且以余弦形式出现，这是本题最大的特点，这样就容易去联想二倍角的正弦公式，为保证恒等变换，分子、分母同乘以sin 20，把角从小到大依次消去，最后用诱导公式约去sin 20，达到化简的目的.16．关于函数()cos2cos f x x x x =-，给出下列命题 ①对任意的12,x x ，当12x x π-=时，12()()f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图象关于点(,0)12π成中心对称；④将函数()f x 的图象向左平移512π个单位后将与sin 2y x =的图象重合． 其中正确的命题的序号是________．【答案】①③ 【解析】试题分析：()cos 2cos cos 222cos 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭，对于①当12x x π-=时，12x x π=-，所以()()()1222cos 2cos 2233f x f x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，()22cos 23x f x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以①正确；②当,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，[]20,3t x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，显然cos y t =在[]0,π上单调递减，所以②错误；③cos 0122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点(,0)12π成中心对称，所以③正确；④将函数()f x 的图象向左平移512π个单位后得到557co s 21212f x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以④错误，故正确的命题序号是①③.【考点】三角函数的图象与性质的综合应用. 【方法点晴】本以多选题的形式考查了三角函数的图象与性质及三角恒等变换及诱导公式等基础知识，综合性较强，属于中档题.解答本题的入手点是把函数化成“一角一名一次式”形式的正弦函数或余弦函数，结合所学的性质逐个进行判断，命题①本质就是考查诱导公式，命题②③考查了给定区间上的最值和单调性，把握好整体代换，结合图象求解；命题④考查了函数图象的平移变换，注意()f x 的图象向左平移512π个单位后得到的是512f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象.三、解答题17．（1）在直角坐标系中，已知三点(5,4),(,10),(12,2)A B k C -，当k 为何值时，向量AB 与BC共线？（2）在直角坐标系中，已知O 为坐标原点，(7,6),(3,)OA OB k =-= ，(5,7)OC =，当k 为何值时，向量AB 与BC垂直？【答案】（1）2k =-；（2）211k k ==或.【解析】试题分析：首先根据向量减法的线性运算得到向量AB 与BC 的坐标，当AB与BC 共线时坐标交叉积的差等于零，当AB 与BC垂直是数量积等于零，从而列出k的方程，即可求得满足条件的k 的值.试题解析：（1）∵(5,6),(12,12)AB k BC k =-=--，又向量AB 与BC 共线，∴(5)(12)(12)60k k -⨯---⨯=,解得2k =-（2）()()10,6,2,7AB OB OA k BC OC OB k =-=-=-=- ,当向量AB 与BC垂直时，()()2207613220⋅=+--=-+-=AB BC k k k k ，即213220k k -+=，解得211k k ==或【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示. 18．已知5()cos(2)cos(2)66f x x x ππ=-+-． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）π；（2）最大值为1，最小值为1-.【解析】试题分析：（1）根据两角和与差的余弦公式先把5cos(2),cos(2)66x x ππ--展开，合并同类项后再根据和角公式把()f x 化成()sin y A x ωϕ=+的形式，（1）周期2T πω=；（2）根据x 的范围得到x ωϕ+的范围，结合图象和单调性找到最值点，即可求出其最大值和最小值. 试题解析：∵5313()c os (26622f x x xππ=-+-=++s x =，∴()f x 的最小正周期22T ππ= （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴[]()sin 21,1f x x =-， ∴函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为1- 【考点】两角和与差的正余弦公式及三角函数的性质.19．已知A BC 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）23A π=；（2 【解析】试题分析：（1）由已知条件和两角和的余弦公式可得角B C +的值，根据内角和定理即可求得角A ；（2）利用余弦定理表示出2a 并对,b c 配方，代入4a b c =+=即可求得bc 的值，由面积公式即可得其面积.试题解析：（1）∵1cos cos sin sin 2B C B C -=， ∴1cos()2B C +=又∵0B C π<+<，∴3B C π+=，∵A B C π++=，∴23A π=（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：(()22222cos3=+--⋅b c bc bc π 即1121622()2=--⋅-bc bc ，∴4bc =∴11sin 4222∆=⋅=⋅⋅=ABC S bc A 【考点】两角和的余弦公式及利用正余弦定理解三角形.【方法点睛】本结合两角和的余弦公式和两个定理解三角形，属于基础题.本题解答的关键是分析题目给出的条件1cos cos sin sin 2B C B C -=的结构特点得到B C +的值，由三角形内角和定理求出角A ；第二问是以第一问为基础，考虑余弦定理表示出2a ，通过配方求得bc 的值，这是经常用到的处理方法.20．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()=⋅ f x m n ．（1）若()1f x =，求2cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．【答案】（1）12-；（2）12⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）根据向量数量积的坐标表示化简()f x 解析式，由()1f x =可得1sin()262xπ+=，根据二倍角公式可得cos()3x π+的值，再由诱导公式即可求得2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）根据正弦定理把条件(2)cos cos a c B b C -=中的边化成角，可求得内角B 的值，结合三角形的性质可得角A 的取值范围，根据正弦函数的图象即可找到最值点，求出最值. 试题解析：（1）2111()cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+++=++ ⎪⎝⎭因为()f x =，所以1sin()262x π+=，2121cos()12sin (),cos()cos()3262332x x x x ππππ+=-+=∴-=-+=-（2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 所以2sin cos sin()A B B C =+，因为A B C π++=，所以sin()sin B C A ++，且sin 0A ≠， 所以1cos ,23B B π==， 因为ABC ∆为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴542612A πππ<+<，sin 226A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭又因为1()sin 262x f x m n π⎛⎫=⋅⋅++ ⎪⎝⎭， 所以1()sin()262A f A π=++， 故函数()f A的取值范围是⎝⎭【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式及正弦定理及三角函数的性质.【方法点睛】本题是一道三角函数知识的综合问题，综合考查了三角恒等变换、三角求值、正弦定理及三角函数的图象与性质，属于中档题.本题解答的突破口是三角恒等变换，把函数()f x 化简成()sin y A x k ωϕ=++的形式，第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的，第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数()f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<,实在可惜.。
2007四川省绵阳市第三次诊断性考试数学(文)
绵阳市高中2007级第三次诊断性考试数学（文科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．BBDCB AACDC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．27 14．43=ω 15．②④ 16．3.2 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）由0)4cos(21≠-+πx 得 22)4cos(-≠-πx ， ∴424ππππ±+≠-k x ，得 x ∈R ，且x ≠2k π +π，232ππ+≠k x ，k ∈Z 为函数f （x ）的定义域． ……………………3分又 xx x x x x x f sin cos 1cos sin cos sin 21)(+++++=x x x x x x sin cos 1)cos (sin )cos (sin 2+++++= x x x x x x sin cos 1)cos sin 1)(cos (sin +++++==)4sin(2cos sin π+=+x x x ， 所以，函数f （x ）的周期是2π． ……………………8分 （Ⅱ）在]7,[ππ-上取值列表为：（此题源于课本第一册下101页第5题）18．（Ⅰ）显然由题意知，游戏者的最低总积分为－6分，其概率为33331⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C =271． ……………………6分 （Ⅱ）要使积分恰好为0，珠子必有一次是滚入2号盒中，另两次是滚入1号或3号盒中，即每弹一次得－2分的概率为31，得1分的概率为32，因此游戏者玩一局总积分恰好为0的概率是 943132223=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C ． ……………………12分19．（Ⅰ）取A 1C 1的中点F ，连结DF ，则 DF ∥AA 1，DF =121AA ． ∵ ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ B 1E ∥AA 1，而E 是BB 1的中点，∴ B 1E =121AA ，∴ DF ∥B 1E 且 DF = B 1E ， ∴ 四边形DEB 1F 是平行四边形， 从而 DE ∥B 1F ，注意到 B 1F 在平面A 1B 1C 1内，所以 DE ∥平面A 1B 1C 1． ……………………6分（Ⅱ）假设存在点E 使平面EAC 1⊥平面ACC 1A 1，则过E 作EM ⊥AC 1于M ，过B 作BN ⊥AC 于N ，连结MN ．∵ 二面角E ―AC 1―C 是直二面角，即平面EAC 1⊥ACC 1A ， ∴ EM ⊥平面ACC 1A ．同理可证 BN ⊥平面ACC 1A ．∴ EM ∥BN ． ……………………8分由B 1B ∥平面ACC 1A 1，得 EM = BN ，∴ 四边形EMNB 是平行四边形，得 MN ∥BE ，且MN = BE ，MN ∥CC 1． 在△ABC 中，cos ∠BAC =222222=⋅-+AB AC BC AB AC ， ∴ ∠BAC = 45︒．在Rt △ABN 中，得 AN = 1．∵ MN ∥CC 1，∴ 3111===BB BE CC MN AC AN ， 即在棱BB 1上存在点E ，当311=BB BE 时，二面角E ―AC 1―C 是直二面角． ……………………12分F A B C E DC 1 B 1 A 1 N A BC E C 1 B 1 A 1 M（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系．则三角形ABC 的面积为45sin 2321=︒⨯⨯∴ 点A 到BC 所在直线的距离AD 满足 2321=⋅⋅AD BC ，而BC =5，得53=AD ∴5659922=-=-=AD AC CD ． 设BE = m ，BB 1 = λm （m ，λ≠0），则)0,56,53(A ，)0,5,0(B ，),5,0(m E ， C 1(0，0，λm )．在此坐标系下，很容易得到平面ACC 1A 1的一个法向量n =（2，－1，0）．),56,53(1m AC λ--=，),51,53(m AE --=． 设平面EAC 1的一个法向量为n 0 =（x 0，y 0，z 0）． 由 n 0 ·00015653mz y x AC λ+--== 0 和 n 0 ·0005153mz y x +--== 0 得 即 0563000=-+mz y x λ，053000=-+mz y x ．取 z 0 =5，可得 x 0 = 2m －m λ31，y 0 =λm －m ．当二面角E ―AC 1―C 是直二面角时，有n · n 0 =（2，－1，0）·（x 0，y 0，z 0）= 0，∴ 2（2m －m λ31）－（λm －m ）= 0，解得 λ = 3，即在棱BB 1上存在点E ，当311=BB BE 时，二面角E ―AC 1―C 是直二面角． ………………12分20．（Ⅰ）因为y = f (x )的图象关于原点对称，所以函数y = f (x )是奇函数，由此得 f (x ) + f (－x ) = 0，进而得a = c = e = 0． ………………2分又因为x =－1时，f (x )有极大值，所以x = 1时，f (x )有极小值．从而 f (x ) = bx 3 + dx ． ……………………4分 ∴ f ′(x ) = 3bx 2 + d = 3b （x + 1）（x －1）= 3bx 2－3b ，得 d =－3b ．又由 f （－1）=32 得 －b －d =32． 解得 b =31，d =－1， ∴ f （x ）=31x 3－x ． ……………………6分 （Ⅱ） ∵ f ′(x ) = x 2－1，∴ 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0．即 f (x )的单调增区间为（－∞，－1）和（1，+∞），单调减区间为（－1，1）． ……………………8分∵ t ＜0， ∴ x =1－2t ∈(0，1)，因此 f (1)＜ f (x )＜ f (0)，即 －32＜f (x )＜0，故 32|)(|<x f ． ……………………10分 又因)13(2-=t y ∈(－2,0)，f (－2) =32，f (0) = 0，f (－1) =32， 则 0＜f (y )＜32．故︱f (x )－f (y )︱＜︱f (x )︱+︱f (y )︱＜32+32＜34． ……………………12分21．（Ⅰ）由2 a n +1 = 3a n －a n －1（n ≥2），得 2（a n +1－a n ）= a n －a n －1，∴1112n n n n a a a a +--=-，因此数列{ a n －a n －1 }是以a 2－a 1 = 1为首项，12为公比的等比数列， ∴ 211()2n n n a a ---=， ……………………4分 于是 a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+ … +（a 2－a 1）+ a 1=132121)21()21(a n n +++++-- =n n 2442211)21(11-=+---． ………6分 （Ⅱ）由不等式321<--+m a m a n n ，得 322442441<----+m m n n ， ∴ 03222)4(42)4(<--⋅--⋅-n n m m ，即 0]22)4[(382)4(<-⋅--⋅-n n m m ， ………………8分 所以 2＜（4－m ）· 2n ＜8．∵ 2n 为正偶数，4－m 为整数，∴ （4－m ）· 2n = 4，或 （4－m ）· 2n = 6，∴ ⎩⎨⎧=-=,24,22m n 或 ⎩⎨⎧=-=,14,42m n 或 ⎩⎨⎧=-=,34,22m n 或 ⎩⎨⎧=-=.14,62m n解得 ⎩⎨⎧==,2,1m n 或 ⎩⎨⎧==,3,2m n 或 ⎩⎨⎧==,1,1m n 或 ⎩⎨⎧==.3,6log 2m n 经检验使不等式321<--+m a m a n n成立的所有正整数m 、n 的值为（m ，n ）=（1，1）或（2，1）或（3，2）． ……………………12分说明 问题（1）的归纳做法是：由已知可得)3(2111-+-=n n n a a a ， ∴ 21227)233(2133-==-⨯=a ，244212415)3273(21-==-⨯=a ，355212831)274154(21-==-⨯=a ，……，于是 n n n n a 2442122-=-=-．22．法一 由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2 =b 2 +c 2，a c e =． 设点P 的坐标为P （x 0，y 0），则),(00y x a ---=，),(00y x c --=，∵ 0=⋅，∴ P A ⊥PF ，表明△P AF于是 ,0))((2000=+---=⋅y x c x a PF PA ∴ 2000020)())((x x a c ac x c x a y --+=-+=． （1）……………………4分∵ P 是椭圆C 上在第一象限内的点，∴ 1220220=+by a x ， 即 22202202b a y a x b =+． （2） 将（1）代入（2）得 ,])([222002202b a x x a c ac a x b =--++即 0)()()(22022022=-+-+-b ac a x a c a x a b ，∴ 0)]())[((20220=-+-+b ac a x a b a x ，由于x 0 + a ＞0，∴ 只有 0)()(2022=-+-b ac a x a b ，得 .)(2220ba b ac a x --= ……………………7分 ∵ c = ea ，b 2 = a 2 – c 2，∴ 222220)1()(e e e a c a c ac a x -+=-+=． （3） ……………………9分 根据椭圆的定义，有 002)(||ex a x ca e PF -=-=，而 c a AF +=||， ∴ 在Rt △P AF 中，有 ca ex a AF PF +-==0||||sin θ．（4） …………………11分 将（3）代入（4）得,1)1(1)()1(sin 2222ee e e e e ae a a ae ae ae c a e e e a e a -=+-=++--=+-+⋅-=θ 因此 ee -=1arcsin θ． ……………………14分法二 由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2 = b 2 + c 2，ac e =．则直线P A 的方程为 y =（x + a ）tan θ，20πθ<<． （*）将直线P A 的方程与椭圆方程联立，消去y 后，得（b 2 + a 2 tan 2θ）x 2 + 2a 3 tan 2θ · x + a 4 tan 2θ－a 2b 2 = 0． （**）……………………4分因为点A （－a ，0）和P （x 0，y 0）的坐标满足方程（*）和（**），所以，有 θθ222230tan tan 2)(a b a a x +-=-+，即θθ2222220tan )tan (a b a b a x +-=， y 0 =（x 0 + a ）tan θ =θθ2222tan tan 2a b ab +． ……………………6分 若0=⋅PF PA ，则P A ⊥PF ，表明△P AF 是直角三角形， 从而有 ︱P A ︱2 +︱PF ︱2 =︱AF ︱2，∴ （x 0 + a ）2 + y 02 +（x 0－c ）2 + y 02 =（a + c ）2，∴ x 0 2 + y 02 +（a －c ）x 0 = ac ． ……………………8分 将x 0、y 0代入上式，得222222222)tan ()tan (θθa b a b a +-+2222242)tan (tan 4θθa b b a ++θθ222222tan )tan )((a b a b c a a +--= ac ． 去分母，整理，得)2())(()2()(tan 22222222ac a c a c a c a ac b a a c a b +---=+--=θ=2222)()2)(())((a ac c a a c c a a c a c a --=-+-+， ……………………12分将 c = ea 代入，得12)1(tan 22--=e e θ ⇔ 12)1(sin 1sin 222--=-e e θθ ⇔ 222)1(sin e e -=θ，于是 e e -=1sin θ，e e -=1arcsin θ为所求．…………14分。
2024-2025学年四川省绵阳市东辰国际学校九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】
2024-2025学年四川省绵阳市东辰国际学校九年级数学第一学期开学达标检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）对于一组统计数据1，1，6，5，1．下列说法错误的是（）A ．众数是1B ．平均数是4C ．方差是1.6D ．中位数是62、（4分）在平行四边形ABCD 中，数据如图，则∠D 的度数为（）A ．20°B ．80°C ．100°D ．120°3、（4分）如图，点P 是等边△ABC 的边上的一个做匀速运动的动点，其由点A 开始沿AB 边运动到B 再沿BC 边运动到C 为止，设运动时间为t ，△ACP 的面积为S ，则S 与t 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）如图，△ABC 中，AC ＝BC ，点P 为AB 上的动点（不与A ，B 重合）过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F 设AP 的长度为x ，PE 与PF 的长度和为y ，则能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（）A ．3，4，5B C ．0.3，0.4，0.5D ．30，40，506、（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A ．606030(125%)x x-=+B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-=7、（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，AD BD =，若3AC =，4BC =，则CD 的长是（）A ．125B ．512C ．52D ．258、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G ，若EF =EG ，则CD 的长为（）A ．3.6B ．4C ．4.8D ．5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图所示，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30°，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度i=1∶0.5，则山的高度为____________米.10、（4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6，BC=16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间________秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．11、（4分）若□ABCD 中，∠A =50°，则∠C =_______°．12、（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，H ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°，EF ＝1．则GH 的长为__________．13、（4分）在代数式53a ，710，221b -，12y -，8yx +中，是分式的有______个.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知△ABC ，分别以BC ，AB ，AC 为边作等边三角形BCE ，ACF ，ABD (1)若存在四边形ADEF ，判断它的形状，并说明理由．(2)存在四边形ADEF 的条件下，请你给△ABC 添个条件，使得四边形ADEF 成为矩形，并说明理由．(3)当△ABC 满足什么条件时四边形ADEF 不存在．15、（8分）某花卉基地出售文竹和发财树两种盆栽，其单价为：文竹盆栽12元/盆，发财树盆栽15元/盆。
绵阳东辰国际学校高中招生参考答案
绵阳东辰国际学校高中招生 数学测试题参考答案一、选择题1、C2、A3、B4、C5、D6、A7、A8、B9、D 10、B 二、填空题 11、—4；12、()()y x y x +--+33；13、1或0；14、43；15、32≤<-x ； 16、14a 2；17、OC ；18、①②④；19、173720、25：，21。
三、解答题 21、（1）（满分10分）计算： 解：原式=1+4—（）5-33+2+2-3…………………………4分=5—33+5+2+（3-2）…………………………8分 =14-34…………………………10分 （2）（满分10分） 解：原式=))(())(2y x y x yy x y x x -+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+（…………………………3分 =y y x y x y x y x x ))(())((2-+⨯-+…………………………5分=yx2…………………………6分2690x x +=．()0132=+-++∴y x x …………………………8分 ⎩⎨⎧-=-=∴23y x …………………………9分 3=∴原式…………………………10分22、（满分12分）23、（满分12分）解：(1) 1或—7；…………………………2分；（2） 3和—4的距离为7，满足不等式的解对应的点在3与—4的两侧。
当x 在3的右边时（画图略）可得x ≥4 当x 在—4的左边时（画图略）可得x ≤5∴原不等式的解集为x ≥4或x ≤5…………………………7分（3）原问题转化为：a 大于或等于43+--x x 的最大值………………………8分 当x ≥3时，43+--x x =—7<0，当—4<x<3时，43+--x x =—2x —1随x 的增大而减小， 当x ≤—4时，43+--x x =7…………………………11分即43+--x x 的最大值为7，故a ≥7…………………………12分4分6分8分12分24、（满分12分）（1）证明：∵C D ⊥AB ，∠ABC=45° ∴⊿BCD 是等腰直角三角形， ∴BD=CD 。
四川绵阳市东辰国际学校高一下学期第一学月考试数学试题含答案1)
绵阳东辰国际学校2015级高一下期第一学月考试数学试题（2A 层）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.1. ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15 C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+2.设向量,a b 满足1,2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π 3.若4tan 3,tan 3αβ=-=，则tan()αβ-等于（ ） A ．-3 B ．13- C ．3 D ．134.若(2,3),(4,7)a b ==-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A C5. ABC ∆中，若060,A a ==ABC ∆的外接圆半径等于（ ）A ．1 C ．27. 001cos10sin170-=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-48.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ∆的面积S =，则c =（ ）A ．5B ．6C ．79.已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及ABC ∆所在平面内一点P ，若0P A P B P C ++=，若实数λ满足AB AC AP λ+=，则λ=（ ）A ．32B ．3C ．-1D ．2 10.若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 8θθ=-，则sin cos θθ-的值为（ ）A ．．11.已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．2 12.在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ===，则BC =（ ）A ．二、填空题:本大题4个小题，每小题3分，共12分．13.函数22cos 2sin 2y x x =-的最小正周期是________．14.已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿．15. 000cos 20cos 40cos80=________．16.关于函数()cos2cos f x x x x =-，给出下列命题中正确的命题序号是 ①对任意的12,x x ，当12x x π=时，12()()f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图象关于点(,0)12π成中心对称； ④将函数()f x 的图象向左平移512π个单位后将与sin 2y x =的图象重合． 其次正确的命题的序号是________．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）在直角坐标系中，已知三点(5,4),(,10),(12,2)A B k C -，当k 为何值时，向量AB 与BC 共线？（2）在直角坐标系中，已知O 为坐标原点，(7,6),(3,)OA OB k =-=，(5,7)OC =，当k 为何值时，向量AB 与BC 垂直？18.已知5()cos(2)cos(2)66f x x x ππ=-+-，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 19.已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 20.已知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求2cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．参考答案1---12 BCDCB DDDBD BA13．2π 14．()(),11,9-∞-- 15．18 16．①③ 17．解：（1）∵(5,6),(12,12)AB k BC k =-=--，又向量AB 与BC 共线，∴(5)(12)(12)60k k -⨯---⨯=解得211k k ==或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）∵511()cos(2)cos(2)2sin 22sin 2sin 26622f x x x x x x x x ππ=-+-=++=，．．．．4分∴()f x 的最小正周期22T ππ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴[]()sin 21,1f x x =-，∴函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为1-．．．．．．．．．．．．．．10分 19．（1）∵1cos cos sin sin 2B C B C -=， ∴1cos()2B C +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又∵0B C π<+<，∴3B C π+=， ∵A B C π++=，∴23A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：(()22222cos3b c bc bc π=+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即1121622()2bc bc =---，∴4bc =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴113sin 43222ABC S bc A ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 20．解：（1）2111()3sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫=-+++=++ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．2分因为()1f x =，所以1sin()262x π+=， 212cos()12sin ()cos()cos()326233x x x x ππππ+=-+=-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以2sin cos sin()A B B C =+，因为A B C π++=，所以sin()sin B C A ++，且sin 0A ≠，所以1cos ,23B B π==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为ABC ∆为锐角三角形，∴62A ππ<<， ∴542612A πππ<+<，sin 226A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因为1()sin 262x f x m n π⎛⎫=++⎪⎝⎭， 所以1()sin()262A f A π=++，故函数()f A 的取值范围是⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
2007年绵阳市高级中等教育学校招生统一考试数学试题 (含答案)
绵阳市2007年高级中等教育学校招生统一考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．－31的相反数是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．保护水资源，人人有责．我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为899000亿米3，用科学记数法表示这个数为A ．8.99×105亿米3B ．0.899×106亿米3C ．8.99×104亿米3D ．89.9×103亿米33．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．下列说法错误的是A ．必然发生的事件发生的概率为1B ．不可能发生的事件发生的概率为0C ．随机事件发生的概率大于0且小于1D ．不确定事件发生的概率为05．学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则甲票、乙票的票价分别是A ．甲票10元∕张，乙票8元∕张B ．甲票8元∕张，乙票10元∕张C ．甲票12元∕张，乙票10元∕张D ．甲票10元∕张，乙票12元∕张6．下列三视图所对应的直观图是A ．B ．C ．D ．7．若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数x y 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是A ．b 1＜b 2B ．b 1 = b 2C ．b 1＞b 2D ．大小不确定8．初三·一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12，x ，8，如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是A ．12B ．10C ．9D ．89．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，BE 、CE 分别交AD 于G 、H ，设△CDH 、△GHE 的面积分别为S 1、S 2，则A ．3S 1 = 2S 2B ．2S 1 = 3S 2C ．2S 1 =3S 2D ．3S 1 = 2S 210．将一块弧长为π 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为A ．3B ．23C ．5D ．2511．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：A B CD（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF 交AD于F．则∠AFE =A．60︒B．67.5︒C．72︒D．75︒12．已知一次函数y = ax + b的图象过点（－2，1），则关于抛物线y = ax2－bx + 3的三条叙述：①过定点（2，1），②对称轴可以是x = 1，③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中所有正确叙述的个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．因式分解：2m2－8n2 = ．14．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD= CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1 = 35︒，则∠D = ．15．如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速度为____________千米∕小时．16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应的点的坐标为 ．17．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 ．18．若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：① 以a 2，b 2，c 2 的长为边的三条线段能组成一个三角形② 以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形③ 以a + b ，c + h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形④ 以a 1，b 1，c 1的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本题共2小题，每小题8分，共16分）（1）计算：|345tan |32)31()21(10-︒-⨯+--．（2）化简：1)2)(1(31-+---x x x x ，并指出x 的取值范围．20．（本题满分12分）小明对本班同学上学的交通方式进行了一次调查，他根据采集的数据，绘制了下面的统计图1和图2．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：图1 图2（1）计算本班骑自行车上学的人数，补全图1的统计图；（2）在图2中，求出“乘公共汽车”部分所对应的圆心角的度数，补全图2的统计图（要求写出各部分所占的百分比）；（3）观察图1和图2，你能得出哪些结论？（只要求写出一条）．21．（本题满分12分）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？22．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC= 60 ，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．23．（本题满分12分）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．24．（本题满分12分）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．25．（本题满分14分）如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．绵阳市2007年高级中等教育学校招生统一考试数学试题参考答案及评分意见说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应给分．2．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确地做到这一步应得的累加分数． 一、选择题：1．C 2．A 3．D 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题：13．2（m + 2n ）（m －2n ） 14．110︒ 15．6 16．（2，23）或（－2，－23） 17．277 18．②③④三、解答题： 19．（1）32+（2）11+x ，x 的取值范围是x ≠－2且x ≠1的实数．20．（1）∵ 小明所在的全班学生人数为14÷28% = 50人，∴ 骑自行车上学的人数为50－14－12－8 = 16人；其统计图如图1． （2）乘公共汽车、骑自行车、步行、其它所占全班的比分别为 14÷50，16÷50，12÷50，8÷50即28%，32%，24%，16%，它们所对应的圆心角分别是100.8︒，115.2︒，86.4︒，57.6︒，其统计图如图2．（3）小明所在的班的同学上学情况是：骑自行车的学生最多；通宿生占全班的绝大多数；住校或家长用车送的占少数．图1 图221．（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12，解此不等式组，得x≥2，且x≤4，即2≤x≤4．∵x是正整数， ∴x可取的值为2，3，4．因此安排甲、乙两种货车有三种方案：（2）方案一所需运费300×2 + 240×6 = 2040元；方案二所需运费300×3 + 240×5 = 2100元；方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元．所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．22．（1）由已知得∠ACB = 90︒，∠ABC = 30︒，∴ ∠Q = 30︒，∠BCO = ∠ABC = 30︒． ∵ CD 是⊙O 的切线，CO 是半径， ∴ CD ⊥CO ，∴ ∠DCQ =∠BCO = 30︒，∴ ∠DCQ =∠Q ，故△CDQ 是等腰三角形．（2）设⊙O 的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB ∕2 = 1，BC =3． ∵ 等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴ CQ = BC =3． 于是 AQ = AC + CQ = 1 +3，进而 AP = AQ ∕2 =（1 +3）∕2， ∴ BP = AB －AP = 2－（1 +3）∕2 =（3－3）∕2， PO = AP －AO =（1 +3）∕2－1 =（3－1）∕2， ∴ BP :PO =3．23．（1） 原方程变为：x 2－（m + 2）x + 2m = p 2－（m + 2）p + 2m ，∴ x 2－p 2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0， （x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0， 即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0， ∴ x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ． （2）∵ 直角三角形的面积为)2(212121p m p x x -+==p m p)2(21212++-=)]4)2(()22()2([21222+-+++--m m p m p=8)2()22(2122+++--m m p ，∴ 当22+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2+m 或221p ．24．（1）①② ⇒ ③，正确；①③ ⇒ ②，错误；②③ ⇒ ①，正确．（2）先证 ①② ⇒ ③．如图1．∵ AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，而AD = AD ， ∴ Rt △ADE ≌Rt △ADF ，∴ DE =DF ，∠ADE =∠ADF ．设AD 与EF 交于G ，则△DEG ≌△DFG ， 因此∠DGE =∠DGF ，进而有∠DGE =∠DGF = 90︒，故AD ⊥EF ． 再证 ②③ ⇒ ①．如图2， 设AD 的中点为O ，连结OE ，OF ． ∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线， ∴AD OE 21=，AD OF 21=，即点O 到A 、E 、D 、F 的距离相等，因此四点A 、E 、D 、F 在以O 为圆心，AD 21为半径的圆上，AD 是直径．于是EF 是⊙O 的弦，而EF ⊥AD ，∴ AD 平分，即，故∠DAE =∠DAF ，即AD 平分∠BAC ．25．（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab ，∴ 抛物线的解析式为y = ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN = 1，5=CM ，∴ CN = 2，于是m =－1． 同理可求得B （3，0），∴ a ×32－2－2a ×3－3 = 0，得 a = 1， ∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3．（2）由（1）得 A （－1，0），E （1，－4），D （0，1）．∴ 在Rt △BCE 中，23=BC ，2=CE ， ∴ 313==ODOB ，3223==CEBC ，∴ CEBC ODOB =，即 CEOD BCOB =，∴ Rt △BOD ∽Rt △BCE ，得 ∠CBE =∠OBD =β， 因此 sin （α－β）= sin （∠DBC －∠OBD ）= sin ∠OBC =22=BCCO ．（3）显然 Rt △COA ∽Rt △BCE ，此时点P 1（0，0）．过A 作AP 2⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得)31,0(2P ．过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）． 故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCE 相似．。
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绵阳东辰国际学校2007年高中新生综合素质测试数学试卷（时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题3分，共30分）（温馨提示：每小题选出答案后，把答案填在后面的选择题答题卡里） 1、定义图形A ※B 是由图形A 与图形B 组成的图形,已知：A ※B B ※C C ※D B ※D则A ※D 是下图中的（ ）A B C D2、已知c b a +=c a b+=ba c +=k ，则直线y =kx +2k 一定经过（ ） A 、第1、2象限 B 、第2，3象限 C 、第3、4象限 D 、第1、4象限 3、已知二次函数y =mx 2-7x -7的图象和x 轴有交点，则m 的取值范围是（ ）A 、m >-47 B 、m >-47且m ≠0 C 、m ≥-47 D 、m ≥-47且m ≠04、如图，直线l 交两坐标轴于A 、B ，点C 在线段AB 上，若∠AOC=a ,OA=OB ，那么S ⊿OBC :S ⊿OAC =（ ）A 、sin αB 、cos αC 、tan αD 、cot α 5、已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是31,那么另一数据3x 1—2, 3x 2—2, 3x 3—2, 3x 4—2, 3x 5—2的平均数和方差分别是（ ） A 、4，3 B 、2，31 C 、4，32D 、2，3 6、越来越多的商品房空置是目前比较突出的问题，据国家有关部门统计：2006年第一季度全国商品房空置面积为1.23亿m 2，比2005年第一季度增长23.8%，下列说法：①2005年第一%8.23123.1+季度全国商品房空置面积为亿㎡；②2005年第一季度全国商品房空置面积为%8.23123.1-亿㎡；③若按相同增长率计算，2007年第一季度全国商品房空置面积将达到1.23×(1+23.8%)亿㎡；④如果2007年第一季度全国商品房空置面积比2006年第一季度减少23.8%，那么2007年第一季度全国商品空置面积与2005年第一季度相同，其中正确的是（） A 、①，④ B 、②，④ C 、②，③ D 、①，③7、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°AB=5，BC=3，点P 从点D 出发沿DC ，CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走的路程为x ，点P 所经过的线段与AD ，AP 所围成的图形面积为y ，y 随x 的变化而变化，在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（ ）8、如图，△ABC 是锐角三角形，正方形DEFG 的一边在BC 上，其余两个定点在 AB ，AC 上，记△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2则（ ） A 、S 1≥2S 2 B 、S 1≤2S 2 C 、S 1>2S 2 D 、S 1<2S 29、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足x 1+x 2=x 1x 2.则k 的值为（ ）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在10、有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF （如图(1)）；再沿过点D 的折痕将角A 反折，使得点A 落在EF 的H 上（如图(2)），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（ ）A 、6B 、3C 、8-D 、4-F （1）ABCDE FGH（2）二、填空题 （每小题4分，共32分） 11、分解因式：3269x x x -+= ．12、已知分式122+x x ，当x =1时，分式的值记为f （1），当x =2时，分式的值记为f （2），依此计算: f （1）+f （21）= . 13、用边长是1cm 的小正方形搭成如下塔形图形，则第n 次所搭图形的周长为 cm. 第一次 第二次 第三次 …… 14、从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k ，b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率是________．15、某电视台在黄金时段有2min 广告时间，计划插播长度为15s 和30s 的两种广告，15s 广告每播一次收费0.6万元，30s 广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，那么该电视台在这段时间内最多可收广告费 万元.16、如图，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4，5，P 是对角线AC 上的一点，PE//BC 交AB 于E ，PF//CD 交AD 于Ｆ，则图中阴影部分的面积是 .17、某城市为避免生活污水排入河流，需修建一条2400米长的封闭式污水处理管道，为了尽量减少施工对市民生活的影响，实际施工比原计划每天多修10米，结果提前了20天完成任务，实际每天修多少米？设实际每天修x 米，则可列方程为 . 18、如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数。
例如，6的不包括自身的所有因数为1、2、3，而且6＝1＋2＋3，所以6是完全数。
大约2200多年前，欧几里德提出：如果2n－1是质数，那么2n －1·(2n －1)是一个完全数。
请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数是__________________。
三、解答题 （共88分）19．（1）（本题满分8分）计算: (12-)0+ ︳1- 2 ︳- (12-)2007(12+)2008-(-1)3-（2）(本题满分8分) 先化简,再求值 (1-33+-x x )÷922-x x其中x=420．（本题满分10分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10。
(1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积。
21．（本题满分12分）为了鼓励市民节约用水,市政府制定了新的收费标准:设用水量为x吨,需付水费为y元, y与x的函数图象如图.(1)写出y与x的函数关系.(2)小华家今年5月交水费17元,则这月小华家用水多少吨?(3)已知某住宅小区100户居民5月份共付水费1682元,且该月每户用水量均不超过15吨,求该月用水量不超过10吨的居民最多可能有多少户?22．（本题满分12分）2006年房价上涨，2007年初某房地产开发公司计划扩大房地产开发——建A、B两种户型的住房共100套，该公司所筹资金不少于2400万元，但不多于2420万元，（1）按预计，该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）该公司在修建时建筑成本上涨10%（售价不变），该公司该采用哪种方案建房才获得最大利润？（3）在（2）的条件下，根据市场调查每套B型住房的售价不会变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所修建的两种住房可以全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？23．（本题满分12分）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。
OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值；(2)求直线BC的解析式；(3)设P A－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤54时，试求出m的取值范围；②当t＞54时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？24. （本题满分13分） 如图1，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。
(1)在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。
①证明DM ＝DN ；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
A AA BBCC D D D NN NEEE FFM M M图1图2图325.(本题满分13分) 如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
祝贺你做完了我校高中新生综合素质测试数学试题,请再仔细检查一遍,看看有没有错的、漏的,别留下什么遗憾哦!参考答案及评分标准：一、选择题（每小题3分，共30分）1 、C 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、A 8、A 9、C 10、B二、填空题（每小题4分，共32分）11 x （x —3）21210713 n 4 14 61 15 4.4万 16 5 17202400102400=--xx 18 28 三、解答题（共88分）。