2013年全国高考试题分类汇编：不等式选讲
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编6：不等式
2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编6：不等式一、选择题x y8,1 ．（ 2013 年高考四川卷（文））2 y x4, 且z 5 y x 的最大值为 a ,最小值为b,若变量 x, y 知足拘束条件x 0,y0,则 a b 的值是（）A．48B．30C．24D．16【答案】 Cx y22 ．（ 2013 年高考福建卷（文））若变量x, y知足拘束条件x1, 则z 2 x y 的最大值和最小值分别为y0（）A．4和3B．4和 2C．3和 2D．2和0【答案】 B3 ．（ 2013 年高考课标Ⅱ卷（文））设x,y知足拘束条件, 则 z=2x-3y的最小值是（）A ．B． -6C．D． -3【答案】 B4 ．（ 201 3 年高考福建卷（文））若2x2y1,则 x y 的取值范围是（）A．[0,2]B．[ 2,0]C．[2,)D．(,2]【答案】 D5 ．（ 2013 年高考江西卷（文））以下选项中,使不等式x<1<x2建立的 x 的取值范围是（）xA ． (,-1)B． (-1,0)C． 0,1)D． (1,+)【答案】 A6 （． 2013 年高考山东卷（文））设正实数x, y, z知足340 ,则当2 y z x2xy y2z z获得最大值时 , xxy的最大值为（）A ． 0B ．9C． 2D．984[ 根源 : 学+科+]【答案】 C7 ．（ 2013 年高考课标Ⅱ卷（文））若存在正数x使2x(x-a)<1建立 , 则 a 的取值范围是（）A．(- ∞ ,+ ∞)B．(- 2, + ∞)C． (0, +∞)D． (- 1,+ ∞)[ 根源 :ZXXK]【答案】 D3 x y60,8 ．（ 2013 年高考天津卷（文））设变量x,y 知足拘束条件x y20,则目标函数 z y2x 的最小值为y30,（）A．-7B．-4C． 1 D ．2[ 根源 :Z 。
xx 。
k.]【答案】 A9 ．（ 2013 年高考湖北卷（文））某旅游社租用 A 、 B 两种型的客车安排900 名客人旅游 , A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人 , 租金分别为1600 元 / 辆和 2400 元/ 辆 , 旅游社要求租车总数不超出21辆,且B型车不多于 A 型车7辆.则租金最少为（）A ． 31200 元B． 36000 元C． 36800 元D． 38400 元【答案】 C10．（ 2013 年高考陕西卷（文））若点(x,y)位于曲线y= |x|与 y =2所围成的关闭地区 ,则 2x- y的最小值为（）A．-6B． -2C． 0D． 2【答案】 A11．（ 2013 年高考重庆卷（文））x 22ax8a20 (a0 )的解集为( x1, x2),且:x2x1 15 ,对于 x 的不等式则 a（）A ．5B．7C．15D．15 2242【答案】 A12．（ 2013 年高考课标Ⅱ卷（文））352,c=log2则（）设 a=log 2,b=log3,A ． a>c>b B． b>c>a C． c>b>a D． c>a>b【答案】 D13．（ 2013 年高考北京卷（文））设a,b,c R ,且a b ,则（）A．ac bc B．1 1C．a2b2D．a3b3[根源:学_科_Z_X_X_K] a b【答案】 D[ 根源 :ZXXK]二、填空题x0,14．（ 2013 年高考纲领卷（文））若x、y知足拘束条件x 3 y4, 则 zx y的最小值为____________.3x y4,【答案】 015．（ 2013 年高考浙江卷（文））设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2, 则ab等于 ______________.【答案】 1 [根源 :ZXXK]x 2 y8,16．（ 2013 年高考湖南（文））若变量x,y知足拘束条件0 x4,0 y3,则 x+y 的最大值为 ______【答案】 617．（ 2013 年高考重庆卷（文））设0, 不等式8x2(8sin ) x cos 20 对x R 恒建立,则a的取值范围为 ____________.【答案】 [0,][5,]662x 3y6 018．（ 2013 年高考山东卷（文） ）在平面直角坐标系xOy 中 , M 为不等式组 xy 2 0 所表示的地区上一y 0动点 , 则直线 OM 的最小值为 _______【答案】219 ．（ 2013 年 高 考 四 川 卷 （ 文 ）） 已 知 函 数f ( x ) 4x a(x 0,a 0在) x 3 时 取 得 最 小 值 ,则xa __________.[ 根源 : 学 . 科 .]【答案】 361 x 3, 20．（ 2013 年高考课标 Ⅰ卷（文））设 x, y 知足拘束条件, 则 z 2x y 的最大值为 ______.1 x y 0【答案】 3x 221．（ 2013 年高考浙江卷（文） ）设 zkx y , 此中实数 x, y 知足 x 2 y 4 0 , 若 z 的最大值为 12, 则 实2x y 4数 k ________ .【答案】 222．（ 2013 年上海高考数学试题（文科））不等式x0 的解为 _________.2x 1【答案】 (0,1)2x 023．（ 2013 年高考北京卷（文） ）设 D 为不等式组2xy0 , 表示的平面区 域 , 地区 D 上的点与点 (1,0) 之xy 3 0间的距离的最小值为 ___________.【答案】2 5 [ 根源 :ZXXK]524．（ 2013 年高考陕西卷（文） ）在如下图的锐角三角形空地中 , 欲建一个面积最大的内接矩形花园( 暗影部分 ), 则其边长 x 为 ___( m ).[根源 :]【答案】 2025．（ 2013 年高考天津卷（文） ） 设 a + b = 2,b >0, 则1| a |的最小值为 ______.2 | a |b【答案】 3426．（ 2013 年上海高考数学试题（文科）） 设常数 a0 , 若 9x a 2 a 1对全部正实数 x 建立 , 则 a 的取值范x围为 ________.【答案】 [1,)5x y 3 027．（ 2013 年高考广东卷（文） ） 已知变量 x, y 知足拘束条件1 x 1 , 则 z xy 的最大值是 ___.y 1【答案】 528．（ 2013 年高考安徽（文） ） 若非负数变量 x, y 知足拘束条件 x y 1 y 的最大值为 __________.x 2y, 则 x4【答案】 4三、解答题29．（ 2013 年上海高考数学试题（文科）） 此题共有 2 个小题 . 第 1 小题满分 6分,第 2小题满分 8分.甲厂以 x 千米 / 小时的速度匀速生产某种产品( 生产条件要求1 x 10 ), 每小时可获取的收益是100(5x 1 3)元.x1 3 (1) 求证 : 生产 a 千克该产品所获取的收益为100a(5 xx2 ) ;(2) 要使生产 900 千克该产品获取的收益最大, 问: 甲厂应当怎样选用何种生产速度 ?并求此最大收益 .【答案】 解 :(1) 每小时生产 x 克产品 , 赢利100 5x 1 3 , [ 根源 :]x生产 a 千克该产品用时间为a , 所获收益为 100 5x 1 3 a 100a 5 13 .xxxx x 2(2) 生产 900 千克该产品 , 所获收益为 90000 51 3900003 1 161x x 2x 612因此x 6 , 最大收益为61 元 .9000045750012。
专题22 不等式选讲【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ；
【答案】解析：证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
(2)若 成立，证明： 或 ．
【答案】【答案】(1) ；(2)见详解．
【官方解析】(1)由于
故由已知得 ，当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
(2)由于
故由已知得 ，当且仅当 时等号成立．
因此 的最小值为
由题设知 ，解得 或 ．
【解法2】柯西不等式法
(1) ，
故 ，当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
(2)若 ，求a的取值范围．
【答案】(1)图像见解析；(2)
解析：(1)可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
(2) ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 (舍去)，
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 ．
(2) (当且仅当 时取等号)，
，解得： 或 ，
的取值范围为 ．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)
. AE D CBO第15题图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1. (2013北京理)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝ 9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.2．(2013广东文) 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠=，21DE ==【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.3. (2013广东理) 如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB=,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.4、(2013湖北理) 如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。
若3AB AD =，则CEEO的值为 。
【解析与答案】由射影定理知()()2222812AD AB AD CE CD AD BDEO OD OA AD AB AD -====-⎛⎫- ⎪⎝⎭【相关知识点】射影定理，圆幂定理图3OD EBA第15题图C5. (2013湖南理) 如图2的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点 1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】23 【解析】 ，由相交弦定理得5,4==⇒⋅=⋅DC PC PC DP PB AP23)2(22=-=PC r d CD 的距离圆心到6． (2013陕西文) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = . B 【答案】.6 【解析】 ..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 7．(2013陕西理) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则 .【解析】.//BAD BCD PED BCD PE BC ⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 8． (2013天津文) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 . 【答案】152【解析】连结AC,则EAB ACB ADB ABD DCA ∠=∠=∠=∠=∠，所以梯形ABCD 为等腰梯形，所以5BC AD ==，所以24936AE BE CE =⋅=⨯=，所以6AE =,所以2222226543cos 22654AE AB BE EAB AE AB ++-===⋅⨯⨯.又2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅,即222355254BD BD =+-⨯⋅⨯，整理得21502BD BD -=，解得152BD =。
(4年真题推荐)2010-2013年全国高考数学 试题分类汇编 不等式选讲
2010不等式选讲1（2010·某某高考理科·Ｔ24）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++c b a c b a ， 并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式。
【思路点拨】把222111a b c a b c++++分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式。
【规X 解答】（证法一）∵,,a b c 均为正数，由均值不等式得 222233()a b c abc ++≥…………………………①131113()abc a b c-++≥， ∴223111()9()abc a b c-++≥……………………② 22222233111()3()9()a b c abc abc a b c -∴+++++≥+22333()9()abc abc -+≥=又∴原不等式成立。
当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当22333()9()abc abc -=时，③式等号成立。
即当a=b=c ＝143时原式等号成立。
（证法二）∵a,b,c 都是正数，由基本不等式得 222222222a b abb c bc c a ac+≥+≥+≥∴222a b c ab bc ac ++≥++………………………………① 同理111111a b c ab bc ac++≥++………………………………② ∴2222111()111333a b c a b c ab bc ac ab bc ac+++++≥+++++≥∴原不等式成立当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c,222()()()3ab bc ac ===时，③式等号成立。
即当a=b=c ＝143时原式等号成立。
2.（2010·某某高考理科·Ｔ21）已知函数f (x )=x a -．(Ⅰ)若不等式f (x )≤3的解集为｛x -1≤x ≤5｝，某某数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f (x )+f (5x +)≥m 对一切实数x 恒成立，某某数m 的取值X 围。
【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编16 不等式选讲 理
备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编16：不等式选讲一、解答题 1 ．（云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲设函数()211f x x x =-++. (Ⅰ)解不等式()5f x x ≥;(Ⅱ)若函数()1f x ax ≥+的解集为R ,求实数a 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-⎩⎨⎧≥--<⇔≥x x x x x x x x x x x f 5321522115315或或⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤-⎩⎨⎧≤-<021*******x x x x x x 或或1113x x ⇒<--≤≤或 31≤⇒x ,即解集为.31,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-(Ⅱ)()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤---<-=++-=21,3211,21,3112x x x x x x x x x f如图,1,2=-=PB PA k k , 故依题知,.12≤≤-a即实数a 的取值范围为[]1,2-2 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （1）当1,()a f x =时求函数的最小值； （2）若4()1f x a≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】解：（1）当1a =时，()22,1,1414,14,24,4.x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++--=-<<⎨⎪-≥⎩-----------3分()min 4f x ∴=-----------5分 （2）()41f x a ≥+对任意的实数x 恒成立⇔4141x x a a++--≥+对任意的实数x 恒成立⇔44a a+≤---------------6分 当a <时，上式成立；----------7分 当0a >时，44a a +≥= 当且仅当4a a =即2a =时上式取等号，此时44a a+≤成立. ----------9分 综上，实数a的取值范围为(){},02-∞⋃--------------10分3 ．（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数()|21||23|f x x x =++-.（Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）原不等式等价于313,,222(21)(23)6,(21)(23)6,x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或1,2(21)(23) 6.x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解之得31312,12222x x x <≤-≤≤-≤<-或,或. 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x . ………………5分 （Ⅱ）()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f .41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或. (10)分（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）4 ．（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称,且2()2f x x x =+. (Ⅰ)解关于x 的不等式()()1g x f x x ≥--;(Ⅱ)如果对x R ∀∈,不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立,求实数c 的取值范围. 【答案】5 ．（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））【选修4-5:不等式选讲】已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--. (1)当5a =时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的值域为R ,求实数a 的取值范围. 【答案】【选修4−5:不等式选讲】解:(Ⅰ) 当5a =时,要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义, 需|1||5|50x x -+-->恒成立.1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或,所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅱ)函数()f x 的值域为R,需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数, 即min ()0g x ≤.由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥,故min ()40g x a =-≤,得4a ≥,所以实数a 的取值范围为4a ≥.6 ．（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲已知函数f （x ）=log 2（|x +1|+|x －2|－m ）． （I ）当m=7时，求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 【答案】7 ．（甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学（理）试题）设函数()2123f x x x =-+-（1）解不等式()51f x x ≤+, （2）若()g x =R ,求实数m 的取值范围.【答案】解：(1)原不等式等价于：1133222293155x x x x x x ⎧⎧⎧<≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪≥≤≥-⎩⎩⎩或或因此不等式的解集为13x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭(2)由于()g x =R∴()0f x m +=在R 上无解又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+-≥--+= 即min ()2f x = ∴-m <2, 即m >-28 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲（1）已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求实数a 的最小值； （2）已知1||,1||<<y x ，求证：|||1|y x xy ->-．【答案】【解】 （1）722≤-+a x x ，427272)(2≥+⇒+≤-+-∴a a a x a x23≥∴a（2）因为2222|1|||(1)(1)0xy x y x y ---=-->，所以|1|||xy x y ->- 9 ．（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word 版含答案）选修4-5:不等式选讲已知函数()25f x x x =---. (I)证明: 3()3f x -≤≤;(II)求不等式2()815f x x x ≥-+的解集.【答案】解:(Ⅰ)3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩≤≥当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当22,()815x f x x x -+≤时≥的解集为空集;当225,()815{|55}x f x x x x x <<-+<时≥的解集为; 当25,()815{|56}x f x x x x x -+≥时≥的解集为≤≤. 综上,不等式2()815{|56}.f x x x x x -+≥的解集为≤10．（贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）（满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数()|2||5|f x x x =---． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥2815x x -+的解集．【答案】解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分 11．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数()|2||1|f x x x =+--（I ）画出函数()y f x =的图象；（II ）若关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解，求实数m 的取值范围． 【答案】解：（I ）函数()f x 可化为3,2()21,213,2x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩························· 3'其图象如下：1xO ······················ 5'（II ）关于x 的不等式()+4|12|f x m ≥-有解等价于()max ()+4|12|f x m ≥- ··· 6' 由（I ）可知max ()3f x =，（也可由()()()|2||1|21|3,f x x x x x =+--≤+--=得max ()3f x =） ······························· 8' 于是 |12|7m -≤，解得 [3,4]m ∈- ···························· 10' 12．（【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）已知函数()25f x x x =---．（I ）证明：3()3f x -≤≤；（II ）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集． 【答案】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ………5分 （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815|536}.f x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分 13．（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲设函数212)(--+=x x x f . (Ⅰ)求不等式2)(>x f 的解集; (Ⅱ)若R x ∈∀,t t x f 211)(2-≥恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】 .当21,1,213,221<<∴>>-<≤-x x x x 当2,1,23,2≥∴->>+≥x x x x 综上所述 {}51|-<>x x x 或 (2)易得25)(min -=x f ,若R x ∈∀,t t x f 211)(2-≥恒成立, 则只需5210511221125)(22min ≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f ,综上所述521≤≤t 14．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x －3|． （I ）求不等式f （x ）≤6的解集；（Ⅱ）若奖于关的不等式f （x ）< |a －1 |的解集非空，求实数a 的取值范围 【答案】（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-+--⎩⎩，≤≤，或≤≤或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩，≤，解之得3131212222x x x <--<-≤或≤≤或≤， 即不等式的解集为{|12}x x -≤≤.……………………………………………………（5分） （Ⅱ）()2123(21)(23)4f x x x x x =++-+--= ≥，14a ∴->，解此不等式得35a a <->或.…………………………………………（10分）15．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--． （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 【答案】（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）函数的定义域满足：150x x a -+-->， 即15x x a -+->， 设()15g x x x =-+-，则()15g x x x =-+-=26,5,4,15,62,1,x x x x x -⎧⎪<<⎨⎪-⎩≥≤g (x )min = 4，f (x )min = log 2 (4−2)=1. ………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()15g x x x =-+-的最小值为4.150x x a -+-->，∴a <4，∴a 的取值范围是(−∞，4). ………………………………………………（10分）16．（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）选修4-5：不等式选讲 已知函数2()log (12)f x x x m =++--。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））若对于实数x 的不等式 x 5 x 3 a 无解,则实数a的取值范围是_________【答案】,82．（ 2013 年高考陕西卷（理））(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则( am+bn)( bm+an) 的最小值为 _______.【答案】 23 ．（ 2013 年高考江西卷（理））(不等式选做题) 在实数范围内, 不等式x 2 1 1 的解集为_________【答案】0,44 ．（ 2013 年高考湖北卷（理））设x, y, z R ,且知足:x2y2z21,x 2 y 3z 14,则 x y z _______.【答案】二、解答题314 75 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—5;不等式选讲设 a,b,c 均为正数,且a b c1,证明:1a2b2c2 ( Ⅰ)ab bc ca;( Ⅱ)c 1.3b a 【答案】6 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式选讲已知函数 f x x a ,此中 a 1 .(I)当 a=2 时,求不等式 f x4x4的解集 ;(II)已知对于 x 的不等式f2x a 2 f x2 的解集为x |1 x 2 ,求a的值 .【答案】7 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））不等式选讲:设不等式 x 2a(a N * ) 的解集为A,且3A ,1A . 22(1)求 a 的值;(2) 求函数f ( x)x a x 2 的最小值.【答案】解:( Ⅰ) 由于3A ,且1A,所以32 a ,且12a 2222解得1a3,又由于 a N *,所以 a1 22( Ⅱ) 由于| x 1| | x 2 | |( x 1) ( x 2) | 3当且仅当 ( x 1)(x2) 0,即1x 2 时获得等,所以f (x)的最小值为 38 ．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD版含附带题））D.[ 选修 4-5: 不定式选讲 ] 本小题满分10 分.已知 a b>0,求证:2a3b32ab 2 a 2 b[ 必做题 ] 第 22、23 题, 每题 10分, 共 20 分. 请在相应的答题地区内作答, 若多做 , 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D证明: ∵2a3b3ab 2a2 b2a32ab22b3) 2( a b2a a 2 b 2b(a 2b2 )a 2b 2 ( 2a b)(a b)(a b)(2a b)又∵ a b>0,∴ a b >0,a b0 2a b0 ,∴ (a b)( a b)(2a b)0∴ 2332220a b ab a b∴2a3b3ab 2a2 b29．（ 2013 年高考新课标 1（理））选修4—5:不等式选讲已知函数 f ( x) =| 2x 1|| 2x a | , g (x) =x 3.( Ⅰ ) 当a =2 时 , 求不等式f (x)< g( x)的解集 ;( Ⅱ ) 设a >-1, 且当x∈ [a,1) 时, f ( x)≤g( x) , 求a的取值范围 .22【答案】当 a =-2时,不等式 f (x) < g (x) 化为 | 2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ,5x,x12设函数 y = | 2x 1| | 2x 2 | x 3 , y = x 2, 1x 1 ,23x 6, x 1其图像如下图从图像可知 , 当且仅当 x (0,2) 时 , y <0, ∴原不等式解集是 { x | 0 x2} .( Ⅱ ) 当 x ∈ [a , 1 ) 时, f ( x) =1 a , 不等式 f (x) ≤ g( x) 化为 1 ax 3 ,2 2∴ x a 2对 x ∈ [a , 1)都建立 ,故 a a 2 , 即 a ≤ 4 ,2 223∴ a 的取值范围为 (-1,4].310．（ 2013 年高考湖南卷（理） ）在平面直角坐标系 xOy 中 , 将从点 M 出发沿纵、横方向抵达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径” . 如图 6 所示的路径MM 1M 2 M 3 N 与路径 MN 1N 都是 M 到 N 的“L 路径” . 某地有三个新建的居民区 , 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20), B( 10,0), C (14,0) 处 . 现计划在 x 轴上方地区 ( 包括 x 轴 )内的某一点 P 处修筑一个文化中心 .(I) 写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式 ( 不要求证明 );(II) 若以原点 O 为圆心 , 半径为 1 的圆的内部是保护区 , “L 路径”不可以进入保护区 , 请确立点 P 的地点 , 使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小 .【答案】解 : 设点P(x, y),且y 0.( Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离 d ,等于水平距离垂直距离，即 d| x - 3| + | y - 20 | ,此中 y 0, x R.( Ⅱ) 本问考察剖析解决应用问题的能力, 以及绝对值的基本知识 .点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d = 水平距离之和的最小值h +垂直距离之和的最小值 v. 且h 和 v 互不影响 .显然当 y=1时 ,v=20+1=21; 明显当x [ 10,14]时 , 水平距离之和 h=x – (-10)+ 14 – x + |x-3|24 ,且当 x=3 时 , h=24.所以 , 当 P(3,1) 时 ,d=21+24=45.所以 , 当点 P(x,y)知足 P(3,1) 时 , 点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.。
全国高考数学试题分类汇编：不等式选讲( 文科)(教师版)
全国高考数学试题分类汇编：不等式选讲( 文科)【2013年高考试题】1．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________【答案】(],8-∞2．（2013年高考陕西卷) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______【答案】2 【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2 3．（2013年高考江西卷)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.【答案】5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学）已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】6．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学）设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为37．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223bb a aba ())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--= 又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a ,∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-8．（2013年高考新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].【2012年高考试题】1.【2012高考真题新课标】已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.2.【2012高考真题陕西】若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .3.【2012高考真题辽宁】已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。
2013年高考试题分类汇编(不等式选讲)
2013年高考试题选（不等式选讲）1.（2013·全国卷Ⅰ）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 2.（2013·全国卷Ⅱ）设,,abc 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 3.（2013·山东卷理科）在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为____.4.（2013·福建卷理科）设不等式2()x a a N +-<∈的解集为A 且A A ∉∈21,23（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()2f x x a x =-+-的最小值.5.（2013·辽宁卷）已知函数()f x x a =-，其中1a >.（Ⅰ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值.6.（2013·陕西卷理科）已知,,,a b m n 均为正数, 且1a b +=,2mn =, 则 ()()am bn bm an ++的最小值为 .7.（2013·湖南卷理科）已知,,,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为 .8.（2013·陕西卷文科）设,a b R ∈,2a b ->, 则关于实数x 的不等式2x a x b -+->的解集是 .9.（2013·重庆卷理科）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 ．10. （2013·湖北卷理科）设,,x y z R ∈，且满足2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++= .。
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第十七章不等式选讲
考点不等式的解法及证明
1.(2013陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是. 答案(-∞,+∞)
2.(2013课标全国Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解析(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则
y=
其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈时, f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈都成立.
故-≥a-2,即a≤.
从而a的取值范围是.
3.(2013课标全国Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
解析(1)由a2+b2≥2a b,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.
4.(2013辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
解析(1)当a=2时, f(x)+|x-4|=
当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;
当2<x<4时, f(x)≥4-|x-4|无解;
当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5,
所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(4分)
(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),
则h(x)=
由|h(x)|≤2,解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},
所以解得a=3.(10分)。