2.7合并排序(非递归算法)
数据排序的方法
数据排序的方法
1. 冒泡排序：通过多次遍历数组，依次比较相邻的两个元素并交换位置，将最大（或最小）的元素逐渐冒泡至数组的一端。
2. 插入排序：将数组分为已排序和未排序两部分，依次将未排序部分的元素插入到
已排序部分的合适位置，使得已排序部分一直保持有序。
3. 选择排序：每次从未排序部分选出最大（或最小）的元素，放到已排序部分的末尾，直到未排序部分为空。
4. 归并排序：将数组分为若干个小部分，对每个小部分进行排序，然后再合并这些
有序小部分，直至整个数组有序。
5. 快速排序：通过选择一个基准元素，将数组分为小于基准和大于基准的两部分，
然后递归对这两部分进行排序。
6. 堆排序：将数组看作是一个完全二叉树，通过调整树的结构使得每个节点的值都
大于等于其子节点（大顶堆）或小于等于其子节点（小顶堆），然后逐个取出根节点得到
排序结果。
7. 希尔排序：对数组进行间隔分组，对每个分组进行插入排序，然后逐渐缩小间隔
直至1，最终进行一次插入排序。
8. 计数排序：统计数组中每个元素出现的次数，然后根据元素值的顺序将元素依次
放入结果数组。
9. 桶排序：将数组划分为若干个桶，根据元素的大小把元素放入相应的桶中，然后
再对每个桶中的元素进行排序，最后将所有桶中的元素依次放入结果数组。
10. 基数排序：按照元素的每一位进行排序，从低位到高位逐步稳定。
这些排序方法有各自的优缺点，适用于不同的数据特点和应用场景。
在实际应用中需
要根据具体情况选择合适的排序方法。
两数组合并排序算法
两数组合并排序算法数组是一种常见的数据结构，它可以存储一组相同类型的元素。
在编程中，合并和排序两个数组是一项常见的任务。
本文将介绍几种常见的数组合并排序算法，并对它们的优缺点进行比较。
1. 暴力法：最简单的方法是将两个数组合并为一个新数组，然后对新数组进行排序。
该方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是两个数组的长度之和。
实现代码：```def merge_sort(arr1, arr2):merged = arr1 + arr2merged.sortreturn merged```该方法的主要缺点是需要额外的空间来存储合并后的数组，并且排序的时间复杂度较高。
2. 归并排序：归并排序是一种分治算法，它将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后将两个有序子数组合并为一个有序数组。
该方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是数组的长度。
实现代码：```def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):merged = []i,j=0,0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:merged.append(left[i])i+=1else:merged.append(right[j])j+=1while i < len(left):merged.append(left[i])i+=1while j < len(right):merged.append(right[j])j+=1return merged```归并排序的主要优点是稳定性，它保持相等元素的相对顺序。
设计两个有序单链表的合并排序算法
设计两个有序单链表的合并排序算法有序单链表的合并排序，是一种高效的排序算法，可以在较短的时间内对大量数据进行排序。
这种排序算法的核心在于将两个有序的单链表合并成一个有序的单链表，然后再对整个链表进行排序。
合并排序算法的基本原理是分治法。
将需要排序的数组不断地分解成两个子数组，直到每个子数组只包含一个元素为止。
然后再将这些子数组两两合并，直到整个数组被合并成一个有序的数组为止。
这里介绍两个有序单链表的合并排序算法，它们分别是迭代算法和递归算法。
1. 迭代算法迭代算法是一种通用的算法，它的思路是利用循环结构来重复执行一段相同或相似的代码，从而解决一类问题。
对于有序单链表的合并排序，迭代算法的基本思路是将两个有序单链表的元素依次比较，然后将较小的元素加入到新的链表中，直到两个链表中的元素全部被加入到新链表中为止。
以下是迭代算法的具体实现过程：```// 合并两个有序单链表Node* mergeList(Node* head1, Node* head2) { // 新建一个头结点Node* dummy = new Node(-1);// 定义两个指针，分别指向两个链表的头结点 Node* p = head1;Node* q = head2;// 定义一个指针，指向新链表的最后一个节点 Node* curr = dummy;// 循环比较两个链表中的元素while (p != nullptr && q != nullptr) {if (p->val <= q->val) {curr->next = p;p = p->next;} else {curr->next = q;q = q->next;}curr = curr->next;}// 将剩余的元素加入到新链表中curr->next = p != nullptr ? p : q;// 返回新链表的头结点return dummy->next;}// 归并排序Node* mergeSort(Node* head) {if (head == nullptr || head->next == nullptr) {return head;}// 定义两个指针，一个快指针每次走两步，一个慢指针每次走一步 Node* slow = head;Node* fast = head->next;while (fast != nullptr && fast->next != nullptr) {slow = slow->next;fast = fast->next->next;}// 将链表分成两部分Node* head1 = head;Node* head2 = slow->next;slow->next = nullptr;// 分别对两部分链表进行归并排序head1 = mergeSort(head1);head2 = mergeSort(head2);// 合并两个有序单链表return mergeList(head1, head2);}```2. 递归算法递归算法的思想是将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最终得到大问题的解决方案。
全排列算法非递归
非递归全排列算法的核心思路是使用迭代和交换操作。下面是一个基本的非递归全排列算法的步骤：
1.初始化一个计数器，用于追踪当前排列的位置。
2.通过循环，反复生成下一个排列，直到所有排列都被生成。
3.在每次循环中，输出当前排列，并更新计数器以获取下一个排列。
4.交换元素的位置以生成不同的排列。
while i < n:
if count[i] < i:
#输出当前排列
print(arr)
#交换元素位置
if i % 2 == 0:
arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
else:
arr[count[i]], arr[i] = arr[i], arr[count[i]]
count[i] += 1
i = 0
else:
count[i] = 0
i += 1
#测试
arr = [1, 2, 3]
non_recursive_permutation(arr)
```
在这个实现中，我们使用了一个计数器数组`count`来跟踪每个元素的位置。通过不断交换元素的位置，我们可以生成所有可能的排列。这个算法的时间复杂度是O(n!)，其中n是集合的大小。
### **算法的详细解释**
1.初始化计数器数组`count`，并将其所有元素初始化为零。
2.使用`while`循环，循环条件为`i < n`，其中n是集合的大小。
3.在循环内部，检查`count[i] < i`是否成立。如果成立，说明还有排列未生成。
4.输出当前排列。
5.根据奇偶性交换元素的位置，以生成不同的排列。
算法分析与设计实验报告合并排序快速排序
算法分析与设计实验报告：合并排序与快速排序一、引言算法是计算机科学中非常重要的一部分，它涉及到解决问题的方法和步骤。
合并排序和快速排序是两种经典而常用的排序算法。
本文将对这两种排序算法进行分析和设计实验，通过对比它们的性能和效率，以期得出最优算法。
二、合并排序合并排序是一种分治算法，它将原始数组不断分解为更小的数组，直到最后细分为单个元素。
然后，再将这些单个元素两两合并，形成一个有序数组。
合并排序的核心操作是合并两个有序的数组。
1. 算法步骤（1）将原始数组分解为更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素；（2）两两合并相邻的子数组，同时进行排序，生成新的有序数组；（3）重复步骤（2），直到生成最终的有序数组。
2. 算法性能合并排序的最优时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
无论最好情况还是最坏情况，合并排序的复杂度都相同。
合并排序需要额外的存储空间来存储临时数组，所以空间复杂度为O(n)。
三、快速排序快速排序也是一种分治算法，它将原始数组根据一个主元（pivot）分成两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元。
然后，递归地对这两个子数组进行排序，最后得到有序数组。
快速排序的核心操作是划分。
1. 算法步骤（1）选择一个主元（pivot），可以是随机选择或者固定选择第一个元素；（2）将原始数组根据主元划分为两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元；（3）递归地对这两个子数组进行快速排序；（4）重复步骤（2）和（3），直到每个子数组只有一个元素，即得到最终的有序数组。
2. 算法性能快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
最坏情况下，当每次选择的主元都是最小或最大元素时，时间复杂度为O(n^2)。
快速排序是原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为O(1)。
四、实验设计为了验证合并排序和快速排序的性能和效率，我们设计以下实验：1. 实验目的：比较合并排序和快速排序的时间复杂度和空间复杂度。
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
消去递归的合并排序算法
消去递归的合并排序算法
合并排序算法是一种常见的排序算法，但在实现时经常使用递归。
递归虽然简单易懂，但可能导致栈溢出和性能问题。
因此，我们可以使用迭代的方式来消去递归。
迭代法的基本思路是将递归转化为循环，借助一个栈来模拟递归的过程。
具体实现如下：
1. 将待排序的数组分成若干个长度为1的子数组（单独一个元
素是有序的）。
2. 将相邻的两个子数组按顺序合并，形成新的有序数组。
3. 重复步骤2，直到最后只剩下一个有序数组。
可以发现，步骤2的合并操作是比较复杂的，需要考虑多种情况。
如果直接暴力合并，时间复杂度会退化到O(n^2)，无法满足实际应
用的需求。
因此，我们可以使用一种优化的方法来合并两个有序数组。
假设有两个有序数组A和B，长度分别为m和n，我们可以定义
两个指针i和j，分别指向数组A和B的起始位置。
然后比较A[i]
和B[j]的大小，将较小的元素放入新的数组C中，同时将对应指针i 或j往后移动一位。
重复这个过程，直到其中一个指针到达了数组的末尾。
此时将另一个数组的剩余元素依次放入C中即可。
通过这种方法，我们可以将合并操作的时间复杂度降到O(n)，
同时避免了递归带来的额外开销。
由于迭代法本质上是一种非递归的算法，因此可以有效地避免栈溢出和性能问题。
- 1 -。
分冶策略(讲课稿)
分治策略(Divide and Conquer)一、算法思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题规模越小，解题所需的计算时间往往也越少，从而也越容易计算。
想解决一个较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的思想就是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。
为了解决一个大的问题，可以：1) 把它分成两个或多个更小的问题；2) 分别解决每个小问题；3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
1、解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。
分治算法时间是这样确定的：解决子问题所需的工作总量（由子问题的个数、解决每个子问题的工作量决定）合并所有子问题所需的工作量。
2、分治法是把任意大小问题尽可能地等分成两个子问题的递归算法3、分治的具体过程：begin ｛开始｝if ①问题不可分then ②返回问题解else begin③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1；④递归调用分治法过程，求出解1；⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2；⑥递归调用分治法过程，求出解2；⑦将解1、解2组合成整修问题的解；end;end; {结束}二、分治策略的应用（1）二分搜索（折半查找）算法思想：将数列按有序化(递增或递减)排列，查找过程中采用跳跃式方式查找，即先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素值小于该中点元素，则将待查序列缩小为左半部分，否则为右半部分。
通过一次比较，将查找区间缩小一半。
折半查找是一种高效的查找方法。
它可以明显减少比较次数，提高查找效率。
但是，折半查找的先决条件是查找表中的数据元素必须有序。
算法步骤描述：step1 首先确定整个查找区间的中间位置：mid = （left + right ）/ 2step2 用待查关键字值与中间位置的关键字值进行比较；●若相等，则查找成功●若大于，则在后（右）半个区域继续进行折半查找●若小于，则在前（左）半个区域继续进行折半查找Step3 对确定的缩小区域再按折半公式，重复上述步骤。
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//从分治策略的机制入手，容易消除归并排序算法中的递归，事实上，
//算法Mergesort的递归过程只是将待排序列集合一分为二，直到待排序列集合
//只剩下一个元素为止，然后不断合并两个排好序的数组段。
按此机制，可以首先
//将数组a中相邻元素两两配对。
用合并算法将它们排序，构成n/2组长度为2的排好//序的子数组段，然后再将它们排序成长度为4的排好序的子数组段，如此继续下去，//直至整个数组排好序。
这就是自然合并排序的思想。
对于n元数组已排好序情况
//自然排序算法不执行合并，而算法mergesort需执行[logn]次合并。
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#include <stdio.h>
#define MAX 7
void merge(int c[],int d[],int left,int middle,int right);
void mergePass(int x[],int y[],int s);
void mergeSort(int a[]);
void output(int a[]);
int main(void) {
int a[MAX] = {44, 12, 145, -123, -1, 0, 121};
printf("-------------------------------merge sort----------------------------\n");
output(a);
mergeSort(a);
output(a);
return 0;
}
//将两个有序的子序列c[left : middle]和c[middle+1: right]归并成一个有序序列
//并放到d[left:right]中
void merge(int c[],int d[],int left,int middle,int right) {
int i = left;
int j = middle + 1;
int k = left;
int q;
while((i <= middle) && (j <= right)) { //两子序列非空时取其小者输出到d[k]上d[k++] = (c[i] <= c[j]) ? c[i++] : c[j++];
}
if(i > middle) { //第一个子序列为空复制第二个序列剩下部分
for(q = j;q <= right;q++) d[k++] = c[q];
}
else { //第二个序列为空复制第一个序列剩下部分
for(q = i;q <= middle;q++) d[k++] = c[q];
}
}
//mergePass用于合并排好序的相邻数组段
void mergePass(int x[],int y[],int s) { //合并大小为s的相邻子数组
int i = 0;
int j;
while(i <= (MAX - 2*s)) {
//合并大小为s的相邻二段子数组
merge(x,y,i,i + s -1,i + 2*s -1);
i = i + 2*s;
}
if((i + s) < MAX) { //剩下的元素个数少于2s
merge(x,y,i,i + s -1,MAX - 1);
}
else{
//剩下元素个数少于s,复制到y
for(j = i;j < MAX;j++) y[j] = x[j];
}
}
void mergeSort(int a[]) {
int b[MAX];
int s = 1;
while(s < MAX) {
mergePass(a,b,s); //合并到数组b
s+=s;
mergePass(b,a,s); //合并到数组a
s+= s;
}
}
void output(int a[]) {
int i;
for(i = 0;i < MAX;i++) printf("%d\t",a[i]);
printf("\n");
}。