实验二分治法归并排序
分治算法及其典型应用
分治算法及其典型应用
分治算法是一种重要的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题，下面将介绍一些典型的应用。
1. 排序算法。
分治算法在排序算法中有着重要的应用。
其中最著名的就是归并排序和快速排序。
在归并排序中，算法将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后合并这两个有序的子数组。
而在快速排序中，算法选择一个基准值，将数组分成两个子数组，分别小于和大于基准值，然后递归地对这两个子数组进行排序。
2. 搜索算法。
分治算法也可以用于搜索问题，例如二分搜索算法。
在这种算法中，将搜索区间分成两个子区间，然后递归地在其中一个子区间中进行搜索，直到找到目标元素或者子区间为空。
3. 求解最大子数组问题。
最大子数组问题是一个经典的动态规划问题，也可以用分治算法来解决。
算法将数组分成两个子数组，分别求解左右子数组的最大子数组，然后再考虑跨越中点的最大子数组，最后将这三种情况的最大值作为整个数组的最大子数组。
4. 矩阵乘法。
分治算法也可以用于矩阵乘法。
在矩阵乘法中，算法将两个矩阵分成四个子矩阵，然后递归地进行矩阵乘法，最后将四个子矩阵的结果合并成一个矩阵。
总的来说，分治算法是一种非常重要的算法设计策略，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
通过将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，我们可以高效地解决许多复杂的问题。
分治法解决问题的步骤
分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
二路归并算法步骤
二路归并算法步骤在计算机科学中，归并排序是一种常用的排序算法，它的核心思想是将一个大问题分解为多个小问题，然后逐步解决这些小问题，最终得到整体的解决方案。
二路归并算法是归并排序的一种特殊实现方式，它通过将两个有序序列合并为一个有序序列来完成排序操作。
下面我们来详细介绍二路归并算法的步骤。
步骤一：将序列划分为若干子序列首先，我们将待排序的序列划分为若干个长度为1的子序列。
每个子序列都可以看作是一个已排序的序列。
步骤二：两两合并子序列接下来，我们将这些长度为1的子序列两两合并为长度为2的子序列。
在合并的过程中，我们需要比较两个子序列的元素大小，并按照从小到大的顺序将它们合并为一个新的有序子序列。
步骤三：再次两两合并子序列继续进行上述的合并操作，将长度为2的子序列两两合并为长度为4的子序列。
在每次合并的过程中，我们始终保持将两个子序列合并为一个有序子序列的原则。
步骤四：重复合并操作重复进行上述的合并操作，直到所有的子序列都合并为一个完整的有序序列为止。
这个过程可以看作是一个二叉树的构建过程，每次合并操作都会生成一个新的子节点，直到根节点为止。
步骤五：完成排序最终，我们得到的根节点就是一个已排序的序列，这个序列就是我们要求解的排序结果。
总结：二路归并算法通过将序列划分为若干个子序列，并逐步合并这些子序列来完成排序操作。
它的核心思想是利用已排序的子序列，通过比较和合并操作来生成一个更大的有序序列。
这个过程可以看作是一个逐层合并的过程，直到最终得到完整的有序序列。
二路归并算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n表示待排序序列的长度。
这是因为在每次合并操作中，我们需要比较和移动每个元素一次，而合并的次数为logn。
因此，总的时间复杂度为O(nlogn)。
与其他排序算法相比，二路归并算法具有较好的稳定性和可扩展性，适用于各种规模的数据集。
总之，二路归并算法是一种高效的排序算法，它通过将待排序序列划分为若干个子序列，并逐步合并这些子序列来完成排序操作。
分治法-合并排序和快速排序
分治法-合并排序和快速排序分治法是按照以下⽅案⼯作的：将问题的实例划分为同⼀个问题的⼏个较⼩的实例，最好拥有同样的规模对这些较⼩的实例求解（⼀般使⽤递归⽅法，但在问题规模⾜够⼩的时候，有时会利⽤另⼀种算法以提⾼效率）如果必要的话，合并较⼩问题的解，以得到原始问题的解分治法的流程：4.1 合并排序合并排序是成功应⽤分治技术的⼀个完美例⼦（书上说的）。
对于⼀个需要排序的数组，合并排序把它⼀分为⼆，并对每个⼦数组递归排序，然后把这两个排好序的⼦数组合并为⼀个有序数组。
代码实现：/*** 合并排序* @author xiaofeig* @since 2015.9.16* @param array 要排序的数组* @return返回排好序的数组* */public static int[] mergeSort(int[] array){if(array.length>1){int[] subArray1=subArray(array,0,array.length/2);int[] subArray2=subArray(array,array.length/2,array.length);subArray1=mergeSort(subArray1);subArray2=mergeSort(subArray2);return merge(subArray1,subArray2);}return array;}/*** 返回指定数组的⼦数组* @author xiaofeig* @since 2015.9.16* @param array 指定的数组* @param beginIndex ⼦数组的开始下标* @param endIndex ⼦数组的结束位置（不包括该元素）* @return返回⼦数组* */public static int[] subArray(int[] array,int beginIndex,int endIndex){int[] result=new int[endIndex-beginIndex];for(int i=beginIndex;i<endIndex;i++){result[i-beginIndex]=array[i];}return result;}/*** 根据数值⼤⼩合并两个数组* @author xiaofeig* @since 2015.9.16* @param subArray1 待合并的数组* @param subArray2 待合并的数组* @return返回合并好的数组* */public static int[] merge(int[] subArray1,int[] subArray2){int[] result=new int[subArray1.length+subArray2.length];int i=0,j=0;while(i<subArray1.length&&j<subArray2.length){if(subArray1[i]>subArray2[j]){result[i+j]=subArray2[j];j++;}else{result[i+j]=subArray1[i];i++;}}if(i==subArray1.length){while(j<subArray2.length){result[i+j]=subArray2[j];}}else{while(i<subArray1.length){result[i+j]=subArray1[i];i++;}}return result;}算法分析：当n>1时，C(n)=2C(n-2)+C merge(n)，C(1)=0C merge(n)表⽰合并阶段进⾏键值⽐较的次数。
分治法
顾铁成
1
引例：称硬币
如果给你一个装有16枚硬币的袋子，其中有一
枚是假的，并且其重与真硬币不同。你能不能 用最少的比较次数，找出这个假币？
为了帮助你完成这个任务，将提供一台可用来 比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可
以知道两组硬币的重量是否相同。
2
引例：称硬币
常规的解决方法是先将这些硬币分成两
15
当 k = 1 时，各种可能的残缺棋盘
16
三格板的四个不同方向
17
【输入】
第一行输入棋盘 的总行数，第二 行输入残缺棋盘 的格子坐标。
【样例输入】 4
4 1
【样例输出】 2 2 3 3 2 1 1 3 4 4 1 5
【输出】
覆盖的矩阵图。
0 4 5 5
18
问题分析
很明显，当K=0时，是不需要三格板的，而当
24
【样例输入】 5 3 23 8 91 56 4 【样例输出】 1
25
问题分析
对于一组混乱无序的数来说，要找到第k
小的元素，通常要经过两个步骤才能实 现：
第一步：将所有的数进行排序； 第二步：确定第k个位置上的数。
26
问题分析
传统的排序算法（插入排序、选择排序
、冒泡排序等）大家都已经很熟悉了， 但已学过的排序方法无论从速度上பைடு நூலகம்还 是从稳定性方面，都不是最佳的。
将7作为一个参照数；
将这个数组中比7大的数放在7的左边； 比7大的数放在7的右边；
这样，我们就可以得到第一次数组的调整：
[ 4 2 6 6 1 ] 7 [ 10 22 9 8 ]
29
c语言分治法实现合并排序算法
c语言分治法实现合并排序算法在计算机科学中，分治算法是一种将问题划分为较小子问题，然后将结果合并以解决原始问题的算法。
其中，合并排序算法就是一种常见的分治算法。
C语言可以使用分治法实现合并排序算法。
该算法的基本思想是将原始数组递归地分成两半，直到每个部分只有一个元素，然后将这些部分合并起来，直到形成一个完整的已排序的数组。
具体实现过程如下：1.首先，定义一个函数merge，该函数将两个已排序的数组合并成一个已排序的数组。
2.然后，定义一个函数merge_sort，该函数使用递归的方式将原始数组分成两个部分，并对每个部分调用merge_sort函数以进行排序。
3.最后，将已排序的两个数组合并到一起，使用merge函数。
以下是C语言代码：void merge(int arr[], int left[], int left_count, int right[], int right_count) {int i = 0, j = 0, k = 0;while (i < left_count && j < right_count) {if (left[i] < right[j]) {arr[k++] = left[i++];} else {arr[k++] = right[j++];}}while (i < left_count) {arr[k++] = left[i++];}while (j < right_count) {arr[k++] = right[j++];}}void merge_sort(int arr[], int size) { if (size < 2) {return;}int mid = size / 2;int left[mid];int right[size - mid];for (int i = 0; i < mid; i++) {left[i] = arr[i];}for (int i = mid; i < size; i++) {right[i - mid] = arr[i];}merge_sort(left, mid);merge_sort(right, size - mid);merge(arr, left, mid, right, size - mid);}int main() {int arr[] = {3, 8, 1, 6, 9, 4, 5, 7, 2};int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);merge_sort(arr, size);for (int i = 0; i < size; i++) {printf('%d ', arr[i]);}return 0;}以上代码可以将数组{3, 8, 1, 6, 9, 4, 5, 7, 2}排序成{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
常见算法设计实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的通过本次实验，掌握常见算法的设计原理、实现方法以及性能分析。
通过实际编程，加深对算法的理解，提高编程能力，并学会运用算法解决实际问题。
二、实验内容本次实验选择了以下常见算法进行设计和实现：1. 排序算法：冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序、堆排序。
2. 查找算法：顺序查找、二分查找。
3. 图算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
4. 动态规划算法：0-1背包问题。
三、实验原理1. 排序算法：排序算法的主要目的是将一组数据按照一定的顺序排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序和堆排序等。
2. 查找算法：查找算法用于在数据集中查找特定的元素。
常见的查找算法包括顺序查找和二分查找。
3. 图算法：图算法用于处理图结构的数据。
常见的图算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）等。
4. 动态规划算法：动态规划算法是一种将复杂问题分解为子问题，通过求解子问题来求解原问题的算法。
常见的动态规划算法包括0-1背包问题。
四、实验过程1. 排序算法（1）冒泡排序：通过比较相邻元素，如果顺序错误则交换，重复此过程，直到没有需要交换的元素。
（2）选择排序：每次从剩余元素中选取最小（或最大）的元素，放到已排序序列的末尾。
（3）插入排序：将未排序的数据插入到已排序序列中适当的位置。
（4）快速排序：选择一个枢纽元素，将序列分为两部分，使左侧不大于枢纽，右侧不小于枢纽，然后递归地对两部分进行快速排序。
（5）归并排序：将序列分为两半，分别对两半进行归并排序，然后将排序好的两半合并。
（6）堆排序：将序列构建成最大堆，然后重复取出堆顶元素，并调整剩余元素，使剩余元素仍满足最大堆的性质。
2. 查找算法（1）顺序查找：从序列的第一个元素开始，依次比较，直到找到目标元素或遍历完整个序列。
二分归并排序的时间复杂度以及递推式
一、简介二分归并排序是一种常见的排序算法，它通过将问题分解为子问题，并将子问题的解合并来解决原始问题。
该算法的时间复杂度非常重要，因为它直接影响算法的效率和性能。
在本文中，我们将深入探讨二分归并排序的时间复杂度，并通过递推式来进一步分析算法的性能。
二、二分归并排序的时间复杂度1. 分析在二分归并排序中，时间复杂度可以通过以下三个步骤来分析：- 分解：将原始数组分解为较小的子数组。
- 解决：通过递归调用来对子数组进行排序。
- 合并：将排好序的子数组合并为一个整体有序的数组。
2. 时间复杂度在最坏情况下，二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这是因为在每一层递归中，都需要将数组分解为两个规模近似相等的子数组，并且在每一层递归的最后都需要将这两个子数组合并起来。
可以通过递推式来进一步证明算法的时间复杂度。
3. 递推式分析我们可以通过递推式来分析二分归并排序的时间复杂度。
假设对规模为n的数组进行排序所需的时间为T(n)，则可以得到以下递推式：T(n) = 2T(n/2) +其中，T(n/2)表示对规模为n/2的子数组进行排序所需的时间表示将两个子数组合并所需的时间。
根据递推式的定义，我们可以得到二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
三、结论与个人观点通过以上分析，我们可以得出二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这意味着该算法在最坏情况下也能保持较好的性能，适用于大规模数据的排序。
我个人认为，二分归并排序作为一种经典的排序算法，其时间复杂度的分析对于理解算法的工作原理和性能至关重要。
通过深入研究递推式，可以更加直观地理解算法的性能表现，为进一步优化算法提供了重要的参考依据。
四、总结在本文中，我们探讨了二分归并排序的时间复杂度，通过分析和递推式的方式深入理解了该算法的性能表现。
通过对时间复杂度的分析，我们对算法的性能有了更深入的认识，并且能够更好地理解算法在实际应用中的表现。
相信通过本文的阅读，读者能够对二分归并排序有更全面、深刻和灵活的理解。
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课程
学院
专业
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姓名 学号 日期 年 月 日 2、算法分析： 设待排序记录个数为n ，
该算法的基本语句是 归并算法的 循环体的 比较语句 “if (b[i]<=b[j]) temp[k++]=b[i++]; else temp[k++]=b[j++]; ”，
其执行次数为： ,即执行一趟 归并算法 的时间复杂度为 。
则 归并排序算法存在以下推式：
所以，归并排序算法 的时间复杂度为 。
另外，归并排序算法递归调用次数为 。
3、结果如下：
n=5
n=8
成绩：
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课程学院
专业
(班级)
姓名学号日期年月日
由n = 5,6,…,10等数据的运行结果可知，
随着问题规模n的增加，其时间复杂度（比较次数的执行）也增加，
所以，该算法分析的判断正确。
4、与选择排序的对比（时间复杂度）
平均情况最好情况最坏情况选择排序
归并排序
从时间复杂度上看，归并排序的要小于选择排序，
并且实际上，
在问题规模相同而待排序记录顺序的整齐程度有所差异的情况下，
选择排序是不论待排序记录顺序的整齐程度如何，其时间复杂度都是固定的；
n=10
成绩：。