2017-2018学年湖北省潜江市高一(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年湖北省潜江市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合M＝{x|﹣2≤x＜2}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}2．（5分）函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．3．（5分）已知函数y＝f（x）+sin x为偶函数，若f（）＝，则f（）＝（）A．B．C．D．4．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝．且b＜c，则b＝（）A．B．2C．2D．35．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）A．B．C．D．6．（5分）若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）＝2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C．D．7．（5分）登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10B．﹣8C．﹣4D．﹣68．（5分）若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．49．（5分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则＝（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5）D．（2，4）10．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．11．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）＝4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．（5分）计算：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）＝．14．（5分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是．15．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝2，则不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g （x）＝f（x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知α，β都是锐角，tanα＝，sinβ＝，求tan（α+2β）的值．18．（12分）现从某校高三年级随机抽50名考生2015年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；（Ⅱ）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数．19．（12分）下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？20．（12分）设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，试证明：S n＝；（Ⅱ）若a1＝1，q≠0，且对所有的正整数n，有S n＝，判断{a n}是否为等比数列．21．（12分）锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量＝（2，c），＝（cos C﹣sin A，cos B），已知b＝，且⊥．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．22．（12分）已知a是实数，函数f（x）＝2ax2+2x﹣3，如果函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．2017-2018学年湖北省潜江市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：由M＝{x|﹣2≤x＜2}，N＝{0，1，2}，得M∩N＝{x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}＝{0，1}．故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．【考点】H1：三角函数的周期性．【解答】解：函数f（x）＝cos2x＝的最小正周期为＝π，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，利用了函数y＝A cos（ωx+φ）+b的周期为，属于基础题．3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵函数y＝f（x）+sin x为偶函数，∴f（﹣x）﹣sin x＝f（x）+sin x，∴f（x）﹣f（﹣x）＝﹣2sin x．∵f（）＝f（2）＝，f（）＝f（﹣2），∴﹣f（﹣2）＝﹣2•＝﹣，∴f（﹣2）＝2，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：a＝2，c＝2，cos A＝．且b＜c，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即有4＝b2+12﹣4×b，解得b＝2或4，由b＜c，可得b＝2．故选：B．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．5．【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A＝1，i＝1A＝，i＝2满足条件i≤10，A＝，i＝3满足条件i≤10，A＝，i＝4满足条件i≤10，A＝，i＝5满足条件i≤10，A＝，i＝6满足条件i≤10，A＝，i＝7满足条件i≤10，A＝，i＝8满足条件i≤10，A＝，i＝9满足条件i≤10，A＝，i＝10满足条件i≤10，A＝，i＝11不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为，故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵（2+）•（﹣2+3）＝2﹣1，∴﹣4+3+4＝2﹣1．∵＝＝1，∴＝．∴cos＜，＞＝＝．∴＜，＞＝．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．7．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：由题意，，，代入到线性回归方程，可得a＝60，∴y＝﹣2x+60，由﹣2x+60＝72，可得x＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．8．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵+＝，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b＝2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题9．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【解答】解：∵，故选B．【点评】由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．10．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．11．【考点】CF：几何概型．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P＝故选：A．【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．12．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：设t＝2x，∵x1+x2＞0，x1x2＞0，∴t＞1，∴函数f（t）＝t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，∴，∴m＞6，故选：B．【点评】本题考查函数的零点，考查方程根的讨论，正确转化是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）＝cos（α+30°﹣α+30°）＝cos60°＝；故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的求值，考查计算能力．14．【考点】CF：几何概型．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x、y，将（x，y）以及事件A 在平面直角坐标系中表示出来，属于中档题．15．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：因为f（x）是在R上的奇函数，f（﹣1）＝2，所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x﹣1）+2≤0为：f（x﹣1）≤﹣2＝f（1），所以0＜x﹣1≤1，解得1＜x≤2，所以不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及转化思想，属于基础题．16．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：函数f（x）＝sin2ωx﹣cos2ωx+＝2sin（2ωx﹣）+（其中ω为常数，且ω＞0），根据函数g（x）＝f（x）﹣的部分图象，可得＝•＝﹣，∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣）+，则当x∈[﹣]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）的取值范围是[﹣，+1]，故答案为：．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：α，β都是锐角，tanα＝，sinβ＝，∴cosβ＝，∴tanβ＝＝．那么：tan2β＝＝．故得tan（α+2β）＝＝＝1【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．18．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，该校这50名考生听力成绩的众数为…（2分）中位数为…（6分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为（0.03+0.02）×4＝0.2人数为0.2×50＝10，即该校这50名考生听力成绩在[22，30]的人数为10人．…（12分）【点评】本题考查众数、中位数、频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：在游戏1中，取两球同色的概率为：＝，取两球异色的概率为：＝．因此游戏1中规则不公平．游戏2中，取两球同色的概率为：＝，取两球异色的概率为：＝，因此游戏2中规则是公平的．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【解答】（Ⅰ）证明：设{a n}的公差为d，则S n＝a1+a2+…+a n＝a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n﹣1）d]，又S n＝a n+（a n﹣d）+（a n﹣2d）+…+[a n﹣（n﹣1）d]，∴2S n＝n（a1+a n）∴．（Ⅱ）解：{a n}是等比数列．证明如下：∵∴，∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有．因此，{a n}是以1为首项，且公比为q的等比数列．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、递推关系、倒序相加法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【解答】解：（1）∵∴即b cos C+c cos B＝2sin A2R sin B cos C+2R sin C cos B＝2sin A2R sin（B+C）＝2sin A2R sin A＝2sin A∴2R＝2∵∴∵∴（2）S＝═＝＝＝＝∵三角形为锐角三角形∴即∴；此时∴．【点评】本题考查了正弦定理和三角函数化一求最值．22．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝2x﹣3，令f（x）＝0得x＝∉（﹣1，1），不符合题意，故a≠0．②当a＞0时，由于f（0）＝﹣3＜0，∴y＝f（x）在（﹣1，1）上可有两个不同零点或一个零点，依题意需满足或；即或；解之得．③当a＜0时，f（x）在（﹣1，1）有零点需满足或；无解，故a＜0时，不符合题意由（1）（2）（3）可知f（x）在（﹣1，1）上有零点，a的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查函数的零点，不等式组的解法，二次函数的性质．考查计算能力．。