坐标中的图形变换(PPT)3-2
北师大版初中数学八年级(上)3-2 平面直角坐标系(第1课时)教学课件
第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系
第一课时 平面直角坐标系的相关概念
北师大版数学八年级上册
学习目标
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标 等概念；（重点） 2.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐 标.（难点）
知识回顾
在平面内，确定物体位置方式主要有两种： (方向角＋距离） (横 ＋ 纵）
x
C（3，-3）
-1
D（4，0）
-2
E（3，3）
-3 B
C
F（0，3）
知识讲解
练一练
在直角坐标系中描出下列各点： y
A（4，3） B（-2，3）
5
C（-4，-1） D（2，-2）
4Байду номын сангаас
A
· B
3
·
2
1
·-4 -3 -2 -1 0
C
-1
-2
-3
12345
·D
x
知识讲解
总结
平面上的点与有序数对的关系： 在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一 的一个有序数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任 意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应.
一般记作（a ，b） 在平面内，确定物体位置,需 两个 数据
思考：（a ，b）从何而来呢？
知识讲解
1.认识平面直角坐标系与平面内点的坐标
问题：如图是某城市旅游景点的示意图：
.y
(1) 你是怎样确定各个景点
. . 位置的？
雁塔（－2，1）
.中心广场
.大成殿
碑林 （3，1）
x
.. . （－2，－1） 影月楼（－1，－3）
北师大版八年级数学上册《3-2 平面直角坐标系(第3课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
北师大版 数学 八年级 上册A B CD如图，有一个长为10，宽为8的长方形，你能说出四个顶点的坐标吗？请进入我们今天的知识海洋，遨游吧！导入新知素养目标2.能根据几个点的坐标确定直角坐标系.1.能根据图形建立适当的平面直角坐标系，并能准确求出图形上点的坐标 .如图,长方形ABCD 的长与宽分别是6和4，建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.（1）你是如何建立的直角坐标系?（2）各顶点坐标如何求得?BC D A知识点例1思考46xy B C D A o4（0，4）（6，0）（0，0）（6，4）（1）确定坐标原点；（2）确定x 轴和y 轴，建立直角坐标系；（3）根据条件中线段长度表示各顶点的坐标.交流探究B C DA 解:如图,以点C 为坐标原点, 分别以CD , CB 所在的直线为x 轴,y 轴建立直角坐标系. 此时C 点坐标为( 0 , 0 ).xy 0(0 , 0 )( 0 , 4 )( 6 , 4 )( 6 , 0)由CD 长为6, CB 长为4, 可得D , B , A 的坐标分别为D ( 6 , 0 ), B ( 0 , 4 ),A ( 6 , 4 ) . 46还可以建立其他平面直角坐标系，表示长方形的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标吗？46y（C ）DAB O 思考探究xy o（0，0） （6，-4）（ 0，-4 ）（6，0）B C D A 成果交流B C DAx yo （-6，4）（0，0）（-6，0）（0，4）成果交流x yo B C D A （0，0）（-6，0）（ 0，-4 ）（-6，-4）成果交流BC D Axy （-3，2） （3，-2）（-3，-2）（3，2）O 成果交流B C D Ax y（-3，4） （3，0）（ -3，0 ）（3，4）12成果交流0y x 0y x 0xy 0y x y 0x (5)y 0x (6)1.选原点;2.画x ，y 坐标轴;3.建立平面直角坐标系.根据图形的特点，建立简单直角坐标系.建立直角坐标系的步骤：成果交流汇展 (1) (2) (3) (4)探究新知思考由前面得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？小结：建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标容易确定，例如以长方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系,又如以长方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但图形的形状和性质不会改变．正方形ABCD 的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D 在这个平面直角坐标系中的坐标.A BC D44yx （A ）BC D 解：如图，以顶点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，正方形四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标分别为：A (0，0),B (4，0),C (4，4),D (0，4).OA BC D A (0，-4), B (4，-4),C (4，0), D (0，0).yxO 讨论 还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标吗？A (-4，0),B (0，0),C (0，4),D (-4，4).A (-4，-4), B (0，-4),C (0，0), D (-4，0).A (-2，-2), B (2，-2),C (2，2), D (-2，2)...等xy A BCDxyA BC DxyA BCDyA BCD巩固练习x巩固练习归纳总结（1）选取的坐标系不同，同一点的坐标不同；（2）为使计算简化，证明方便，需要恰当地选取坐标系；（3）“恰当”意味着要充分利用图形的特点：垂直关系、对称关系、平行关系、中点等.解: 如图,以边AB所在的直线为x 轴,以边AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.由正三角形的性质可知A O = 23,正三角形ABC 各个顶点A ,B ,C 的坐标分别为A (0, 23 );B ( -2 , 0 );C ( 2 , 0).例2 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .A B Cxy．32224O想一想，还有其他方法吗？CABxyD 32224A （2， ）C （4 ， 0）B （ 0， 0 ）32如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .不同解法展示CAByD 32如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .224A （-2， ） C （0， 0）B （ -4， 0 ）32不同解法展示ABCxy o2243232-D EA （0，C （2 ， ）B （ -2，）32-32-不同解法展示如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .O 东北5050单位：m 张明李强同学家在学校以东100m 再往北150m 处，张明同学家在学校以西100m 再往南50m 处，王玲同学家在学校以南150m 处，如图，在坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来.李强王玲(100,150)(-100,-50)(0,-150)巩固练习学校解：如图所示中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点___________ ．（﹣1，1）连接中考1.如图所示，小明在与同伴玩“找宝”游戏，他们准备到A 、B 、C 三个点去找宝，现已知点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（3，2），则点C 的坐标是___________.（5，1）课堂检测基础巩固题x y A B C 2．(1)已知A (1,4), B (-4,0),C (2,0). △ABC 的面积是＿＿＿．(2)若BC 的坐标不变, △ABC 的面积为6,点A 的横坐标为-1,那么点A 的坐标为 ．12O(1,4)(-4,0)(2,0)Cx yAB(-4,0)(2,0)(-1,2)或(-1,-2)O课堂检测基础巩固题3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？·12345-4-3-2-131425-2-1-3y ·O（3，-2）x（3，2）··（4，4）解：如图所示基础巩固题4.长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(-2，-3)．请你写出另外三个顶点的坐标．解：如图, 建立直角坐标系,因为长方形的一个顶点的坐标为A (-2，-3)，所以长方形的另外三个顶点的坐标分别为B (2，-3)，C (2，3)，D (-2，3)．基础巩固题·仙鹤（2，1）·大树（8，2）已知仙鹤的坐标为（2，1）大树的坐标为（8，2）而狮子的坐标为（6，6）你能在图中标出狮子的位置吗？（向上、向右为正）12845673xy12634578狮子（6，6）·提示：由仙鹤和大树的坐标确定原点位置和单位长度解：如右图所示：课堂检测能力提升题在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有( )A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 解析：如图所示，当以OP 为腰时，分别以O 、P 为圆心OP 为半径画弧，与y 轴有三个交点Q 2，Q 4，Q 3，当以OP 为底时，OP 的垂直平分线与y 轴有一个交点Q 1.B 课堂检测拓广探索题建立适当的平面直角坐标系表示位置：(1)建立坐标系,选择一个适当的点为原点、确定x 轴、 y 轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点、写出各点的坐标和各个地点的名称.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
中考数学复习 第六章图形与变换 第35课 用坐标表示图形变换课件
关系着手，尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化．
基础自测
1．(2011·河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象
限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它
向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对
探究提高 在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以
填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形 分割成易求解面积的图形，即构图法．
知能迁移4 已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的 面积是___2_.5___．
解析：如图：S△ABC＝5×5－ 1×2×3＝25－22.5＝2.5
显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：
点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [ , 45°]． 2
若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为( A )
A．(2, 2 3 )
B．(2,－2 3)
C．(2 3 , 2 )
D．(2,2)
题型三 求轴对称、旋转对称对应点的坐标
【例 3】 如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两
12×2a、×2a－
1 2
a×、42a＝3a2.
(m>0，
n>0且m≠n)，试运用构图m法2＋求1出6n这2 三9m角2＋形4的n2 面积．m2＋n2
解：构造△ABC如图(3)所示(未在试卷上画出相应图形 不1×扣2分m)×，2Sn△＝AB1C2＝mn3m－×2m4nn－－312×mnm－×24mnn－＝125×m3nm. ×2n－ 2
探究提高 本题利用数形结合的方法确定点P的坐标，在阅读理解的
北师大版初中数学八年级(上)第三章位置与坐标3-2平面直角坐标系(第2课时)教学详案
第三章位置与坐标2 平面直角坐标系第2课时平面直角坐标系中点的坐标特征教学目标1.在给定的坐标系下，会根据坐标描出点的位置.2.结合平面直角坐标系，知道不同象限中点的坐标的特征．3.通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状，能进一步掌握平面直角坐标系的基本内容.教学重难点重点：平面直角坐标系中点的坐标特征.难点：会根据点的坐标特征判断点在哪个象限或哪条坐标轴上．教学过程导入新课在上节课中我们学习了平面直角坐标系的相关概念，练习了在平面直角坐标系中由点写坐标以及由坐标找点，利用上节课的知识来解决下列问题.B(-6, -3).设计意图：先回顾上节课的内容，让学生加深理解平面直角坐标系的知识，为学好本节课做铺垫.探究新知一、预习新知请同学们拿出准备好的坐标纸，然后按照给出的坐标，尝试在直角坐标系中描点，并依此用线段连接起来.①D（-3，5），E（-7，3），C（1，3）；②F（-6，3），G（-6，0），A（0，0），B（0，3）；观察所描出的图形，它像什么？学生独立认真地连线.师：(展示学生的作品)，画出的图形是这样的吗？这幅图画得很美，你们觉得它像什么？生：这个图形像一座房子.师：要想准确地作出图形，我们应该注意什么问题呢？生1：看点的坐标时容易看错符号，所以就找错了点所位于的象限.生2：连线时没有用直尺或三角尺连线，画图不规范，另外点的顺序也容易出错.设计意图：通过在坐标系中描点、连线，很好地体现了数学的趣味性，数与形的结合完美地展现出来，大大激发了学生的学习热情.二、合作探究观察上面画出的图形，回答下列问题：师：图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？生：线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标等于0，线段AB上的点都在y轴上，它们的横坐标等于0．师：线段EC与x轴有什么位置关系？点E和点C的坐标有什么特点？线段EC 上其他点的坐标呢？生：线段EC平行于x轴，点E和点C的纵坐标相同，线段EC上其他点的纵坐标相同，都是3．师：点F和G的横坐标有什么共同特点，线段FG与y轴有怎样的位置关系？生：点F和G的横坐标相同，线段FG与y轴平行.学生总结，教师点评：由上面的探究过程可以得到“平行于两轴的直线上的点”的坐标特征：(1) 平行于x轴的直线上的点：纵坐标相同；(2) 平行于y轴的直线上的点：横坐标相同.做一做:师：在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有.教师总结：第一象限内的点的横、纵坐标符号都为“+”.师：在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点？学生分小组讨论，然后找代表说出本小组的答案.学生总结，教师点评得到“四个象限内点”的坐标特征：各象限内的点的坐标特点：点P(x，y)分别在：第一象限内，则x＞0，y＞0；第二象限内，则x＜0，y＞0；第三象限内，则x＜0，y＜0；第四象限内，则x＞0，y＜0.巩固练习已知在平面直角坐标系中，点P(m，m-2)在第一象限内，则m的取值范围是________．解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组{m＞0，m−2＞0，解得m＞2.答案：m＞2典型例题【例1】观察图形，并回答以下问题：(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)计算多边形ABCDEF的面积．点的坐标？【解】(1)A(-2,0)，B(0，-3)，C(3，-3)，D(4,0)，E(3,3)，F(0,3)．(2)线段BC平行于x轴(或线段BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x轴(或线段CE平行于y轴)．(3)S多边形ABCDEF＝S△ABF+S长方形BCEF+S△CDE ＝12×6×2+3×6+12×6×1＝6+18+3＝27.【总结】纵坐标相同的点所在直线平行(重合)于x轴；横坐标相同的点所在直线平行(重合)于y轴．【例2】已知点P(a-2,2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点Q的坐标为(1,5)，直线PQ∥y轴；(4)点P到x轴、y轴的距离相等．【问题探索】在x轴上、y轴上的点的坐标各有什么特征？平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标又有什么特征？【解】(1)因为点P(a-2,2a+8)在x轴上，所以2a+8＝0，解得a＝-4，故a-2＝-4-2＝-6，则P(-6,0)．(2)因为点P(a-2,2a+8)在y轴上，所以a-2＝0，解得a＝2，故2a+8＝2×2+8＝12，则P(0,12)．(3)因为点Q的坐标为(1,5)，直线PQ∥y轴，所以a-2＝1，解得a＝3，故2a+8＝14，则P(1,14)．(4)因为点P到x轴、y轴的距离相等，所以a-2＝2a+8或a-2+2a+8＝0，解得a＝-10或a＝-2.当a＝-10时，a-2＝-12,2a+8＝-12，则P(-12，-12)；当a＝-2时，a-2＝-4,2a+8＝4，则P(-4,4)．综上所述，点P的坐标为(-12，-12)或(-4,4)．【总结】横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0.平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．课堂练习1.在平面直角坐标系中，点P（m，1）在第二象限,则点Q（-m，0）在()A．x轴的负半轴上B．x轴的正半轴上C．y轴的负半轴上D．y轴的正半轴上2.点B的坐标为（3，-4），而直线AB平行于x轴，那么点A的坐标可能为()A．（3，-2）B．（2，4）C．（-3，2）D．（-3，-4）3.如果点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与y轴的关系为()A．平行B．垂直C．相交D．以上均不对4.设点M(a，b)为平面直角坐标系内的点．（1）当a>0，b<0时，点M位于第几象限？（2）当ab>0时，点M位于第几象限？（3）当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？参考答案1.B2.D3.A4.解：(1)点M在第四象限.(2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0).(3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上(a=0，b<0)．课堂小结1.“平行于两坐标轴的直线上的点”的坐标特征：(1) 平行于x轴的直线上的点：纵坐标相同；(2) 平行于y轴的直线上的点：横坐标相同.2.“两坐标轴上的点”的坐标特征：(1)x轴上的点的坐标：纵坐标为0(2)y轴上的点的坐标：横坐标为0.3.“四个象限内的点”的坐标特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）.布置作业习题3.3第1，2题板书设计2 平面直角坐标系第2课时平面直角坐标系中点的坐标特征1.“平行于两坐标轴的直线上的点”的坐标特征.2.“两坐标轴上的点”的坐标特征．3.“四个象限内的点”的坐标特征.。
平面直角坐标系下的图形变换
平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。
在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。
析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。
图形变换的三种方式课件
实例2
在平面几何中，将三角形ABC沿垂直 方向向上平移2个单位，得到三角形 A'B'C'。
03
旋转变换
旋转变换的定义
01
旋转变换是指通过旋转一定角度 ，将图形从一个位置移动到另一 个位置的变换方式。
02
旋转变换通常以一个点为中心， 将图形围绕该点进行旋转。
旋转变换的性质
旋转变换不改变图形 的大小和形状，只改 变其方向和位置。
在计算机图形学中，旋转变换是常用的图形变换手段之一，用于实现图形的旋转动画、旋转 视图等效果。
04
缩放变换
缩放变换的定义
缩放变换是指通过改变图形中所有点的坐标值，使其在x轴或y轴方向上扩大或缩 小，从而改变图形的大小。
缩放变换可以分为两种类型：均匀缩放和非均匀缩放。均匀缩放是指图形在x轴 和y轴方向上同时扩大或缩小，而非均匀缩放是指图形在x轴和y轴方向上缩放的 比例不同。
旋转变换可以应用于 平面图形和三维图形 。
旋转变换具有旋转不 变性，即旋转前后图 形的性质保持不变。
旋转变换的实例
• 以直角坐标系为例，旋转变换可以用矩阵表示，例如绕原点逆 时针旋转θ角度的变换矩阵为
旋转变换的实例
``` [ cosθ sinθ
sinθ cosθ ]
旋转变换的实例
```
在几何图形中，旋转变换可以用于旋转三角形、矩形、圆形等基本图形，以及旋转复杂的组 合图形。
状和大小变化。
在计算机图形学中，缩放变换被 广泛应用于图像处理和动画制作 等领域，例如调整图片大小、改
变视频的播放速度等。
在建筑设计领域，通过缩放变换 可以模拟建筑物的实际尺寸和比 例，以便更好地进行设计和规划
。
3-2 线性空间的坐标表示(temp)
注记 定理11.2表明任意非零元素组一 定有极大无 关组, 且可按证明方法找到一 组极大无关组. 定义11.2 称非零元素组的任一极 大无关组中元素 个数为该元素组的秩 . 零元素组的秩规定为 0. 定理11.3 设元素组 1 ,, s线性无关且能由元素组 1 ,, t 线性表示,即存在kij , i 1,, t , j 1,, s j k1 j 1 k2 j 2 ktj t . ( 2) 记A ( kij )ts , 那么r ( A) s t .
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直至某个r使得 {i : s i nr 且 n1 ,, nr , i线性无关} . (1) 注意到nk nk 1以及s有限, r必然存在且r s. 由nk定义表达式以及 1 ,, t 线性无关性可知 n1 1, n2 2,, nt t . 因此r t , 且 n1 , n2 ,, nr 确由 1 ,, t 扩充所得. 再由nr定义表达式可知 n1 , n2 ,, nr 线性无关 此时在1 ,, s除去 n1 ,, nr 后剩下的元素中任 取一个 k , 则存在t i r使得 ni k ni 1 (其中nr 1规定为s ) 由ni 1的定义 或(1)式可知 n1 ,, ni , k线性相关, 进而 n1 ,, nr , k 线性相关. 即 n1 ,, nr 为极大 无关组.
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命题11.1 若 1 , 2 , , n为线性空间 V的一组基 , 那么 对任意 V存在唯一线性表示 k1 1 k 2 2 k n n , k1 , k 2 , , k n K 进而V L{ 1 , , n }. 证明 已知 1 , , n为空间 V的一组基 ,因此 1 , , n 线性无关 , 但对任意 V , 元素 1 , , n ,线性相关 . 由定理10.2知,可由 1 , , n线性表示唯一 . 即存在唯 一一组数k1 , k 2 , , k n K 使得 k1 1 k 2 2 k n n . 由此可得 V {k1 1 k n n | k1 , , k n K } 显然, 反向包含由加法与数乘 运算封闭性可得 . 所以 V {k1 1 k m n | k1 , , k n K } L{ 1 , , n }.
6.3坐标平面内的图形变换(1)
B
(－4,0)
(4,0) x
(-2,－3)
这一过程，可以看成一 个什么变换？
比一比：看谁反应快
已知点B(1,- 3 已知点Ｄ(0,1.5)关 ) 已知点C(-２,3)关 已知点Ｅ(8,0),关于y 已知 点A(-1,2)， 于x轴的对称点是 轴的对称点是 于y轴的对称点是 关于x轴的对称点 关于y轴的对称 _________ (0,-1.5) 是( -1,-2 3) (-8,0) (-1, 点是＿＿＿＿ ＿＿＿＿ ) （２，３） ＿＿＿＿＿
一般地把一个轴 对称图形画在直 角坐标系中，怎 样画才简便呢？
F D' E' B'
C'
F' E D C
B
O O' A A'
1、使对称轴与坐标轴重合 2、画出一半的图形，确定关键点坐标
3、利用坐标关系，求另一半图形关键点坐标
4、描点、连线，得到另一半图形．
y
(-1,2)
（1）求出∆ABC各顶点的坐标， (-2,1) 以及它们关于y轴的对称点的 坐标并描点。 B (1,2) A
3、点（-3，m）与点（n-2，4）关于x轴对称，则 m= ________，n=_______
4、已知P(a+2,b+a)与Q(2a-b,2a-4)关于y轴对称， 则a= ,b=
例1(1)求出图形轮廓线 F F' 上各转折点A,O,B,C,D, D' E' E D E,F的坐标 A(0,-2) A'(0,-2) C' B' C B 1 O(0,0) O'(0,0) B(3,2) B'(-3,2) -4 -3 -2 -1 O O' 2 3 4 1 -1 C(2,2) C'(-2,2) A A' D(2,3) D'(-2,3) E(1,3) E'(-1,3) F(0,5) F'(0,5) （2）利用坐标关系，求出它们关于y轴对称点的 坐标。 （3）在同一坐标系中，描点A′,O′,B′,C′, D′,E′,F′,并用线段依次将它们连接起来。
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例1、在平面直角坐标系中，A，B，C三点的 坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2）， 以A，B，C三个顶点画平行四边形，则第四个 点不可能在第几象限？
1、两种坐标表示方法
（1）在平面直角坐标系中，用横坐标和纵坐标 表示点的位置，通常用M（x，y）的形式表示
（2）以某点为中心建立方位图，用角度和距 离表水层的发现非常重要，因为我们希望能理解甲烷是如何被存储在土卫六内部的，以及这些储存的甲烷又是如何被释放出 来的。”他说：“这一点非常重要，因为土卫六所有的不同寻常之处都和丰富的甲烷含量有关，但是其大气中的甲烷气体早就应该在地质学意义上的短时间 内被破坏了。”设想一个液态水构成的地下海洋，其中充满了氨，这些氨水沿着裂隙和孔隙上升到地表层，释放出冰层中的甲烷气体。与此同时这样一个地 下海洋也可以作为甲烷储备池。[9]发现巨型高温穹窿构造年月日消息，根据美国宇航局卡西尼号探测器发回的最新图像，科学家们在土星最大的卫星土卫六 上辨认出一些巨大的高温穹窿形构造。这很像烘烤面包时看到的情况，当进行烘烤时，面包的表皮会凸起并开裂。现在科学家们认为在这颗土星最大的卫星 上，正在发生相类似的情形。开裂穹窿构造开裂穹窿构造此前科学家们在金星表面观测到过相似的地形，在金星表面一座名为库纳皮皮(Kunapipi)的火山山顶， 探测器拍摄到一个；h5手游 / h5手游 ；直径大约英里(约合公里)的穹窿状凸起。研究人员也相信，在土卫六表面观测到的一条长约7公里 的狭长裂谷也是由于下部物质受热上涌引起的地表开裂，这种上涌的物质有可能是岩浆。美国宇航局喷气推进实验室(JPL)卡西尼项目组雷达设备科学家罗斯 里·罗普斯(RosalyLopes)表示：“这种穹窿形构造是此前我们从未在土卫六上观测到过的，这显示，即便是在长达8年的探测之后，这颗星球仍在持续地给我 们带来惊喜。”这种独特的构造地形可能和地球上的岩盖相类似，所谓岩盖就是指上升入侵的熔岩冷凝形成的。美国犹他州境内的亨利山便是这种地貌的典 型代表。而这张显示穹窿构造的图像是由卡西尼号探测器在年月日使用雷达设备拍摄的。另外一个由艾伦·斯托芬(EllenStofan)领衔的卡西尼科学家小组对土 卫六南半球的雷达图像进行了仔细审视，并在这里发现了古代海岸线的痕迹。土卫六是除了地球之外唯一一个被确认拥有稳定液体存在其表面的星球，尽管 这些液体并不是水，而是碳氢化合物。人们还只在土卫六的北半球观测到广阔海洋的存在。但对卡西尼探测器在8~年之间所收集探测数据的分析显示在土卫 六南极附近也曾一度存在广阔的浅海区域。斯托芬博士和她的同事们在土卫六南半球识别出两个已经干涸或大部已经干涸的海洋的痕迹。其中一个这样已经 干涸海洋的面积可能曾一度达到7x8公里的大小，深度可能达到数百英尺。土卫六南半球面积最大的湖泊安大略湖(OntarioLacus)