邯郸2016高三第一次模拟数学(理)试题

2016届高三一模理科数学参考答案及评分标准一、选择题 1----5：DCABB 6-----10：CBACB 11-----12：DC11题 解：由题1(0)()4(0)x x e x f x e x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，函数a ax x f x g --=)()()0(>a 有唯一零点⇔()y f x =与y ax a =+)0(>a 有唯一交点. 由图可得12a a a <<， 由题可知，114a =， 因为()(0)x f x e x '=≥，设切点横坐标为m ，所以切线斜率2()m k f m e a '===，切线方程为()m m y e e x m -=-，且过点(1,0)-所以解得0m =，所以021a e == 所以114a << 12题 解：在等差数列{}n a 中，由246p q a a a a p q +=+⇒+=，因为2,4p q ==时，19p q +取最小值411，所以411m =，112b = 又由1121n n n b b b ++-⋅=可归纳出1n n b n =+，所以21(1)n b n n n =+ 所以31002122210023100101b b b b ++++=二、填空题：13. 10314. 5 15.π12 16.23 11a x a +16、解：因为222222222222222211,1111y a b a b x y a b a b b x a y a b⎧=⎪⇒==⎨+++=⎪⎩ ， 所以222221211a b OA a b =+； 由题设直线OP方程为x =，所以222222222222222211,1111x a b a b y x a b a b b x a y a b⎧=⎪⇒==⎨+++=⎪⎩ 所以222221211a b OP a b =+所以22222222111233111211OP a b e e a b e OA+-==⇒=⇒=+-三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理，C c A b B a cos 2cos cos =+，可得C C A B B A cos sin 2cos sin cos sin =+，所以sin()2sin cos A B C C +=，所以sin 2sin cos C C C =，因为π<<C 0， 所以1cos 2C =，故3π=C ； ……………………………………5分（Ⅱ）解法一：由已知1sin 2S ab C ===， 所以8ab =，又6=+b a ，解得⎩⎨⎧==42b a ，或⎩⎨⎧==24b a 当⎩⎨⎧==42b a 时，由余弦定理可知21416224122c =+-⨯⨯⨯=， 所以32=c .所以222c a b +=,ABC ∆为直角三角形，2π=∠B . 因为CD 平分ACB ∠，所以6π=∠BCD在BCD Rt ∆中，3346cos 2==πCD . ………………………………9分当⎩⎨⎧==24b a 时，同理可得3346cos 2==πCD 所以ACB ∠的角平分线为CD……………………………………12分（Ⅱ）解法二：在ABC ∆中，因为CD 平分ACB ∠，所以6π=∠=∠BCD ACD 因为BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+= ，所以6sin 216sin 213sin 21πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅CD a CD b ab ，由已知1sin 2S ab C ===8ab =， 又6=+b a ， 解得334=CD . …………………………………….12分 18解：（Ⅰ）证明：取AB 中点F ，连接EF 、DF ，………1分∴//EF PB ,∵30CBD FDB ∠=∠=∴//DF BC∵EF 、DF ⊂平面DEF ，PB 、BC ⊂平面PBC∴平面//DEF 平面PBC ,…………4分∵DE ⊂平面DEF∴//DE 平面PBC .……………………6分（Ⅱ）解：2==PA PB ∴⊥PF AB平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为ABPF ∴⊥平面ABCD ，且1PF =连接DF ,分别取,,FB FD FP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，F E A B CP Dzy xPEAF BDC如图所示.……7分则点(A，B，2,0)C ,(0,3,0)D ,(0,0,1)P,1()22E ………………………………………………8分设平面BCP的法向量为(,m x y = 则(0,2,0),(3,0,1)BC BP ==- 0,0m BC m BP ∴⋅=⋅=0,1y x ==即m =………………10分设平面BCE 的法向量为(,n a b =1)2BE =1,03a b ∴==1(3n ∴=………………………………11分 57cos ,14||||m n m n m n ∙∴〈〉==∙ 因此所求二面角的余弦值为14.…………………………12分 19解：（Ⅰ）用X 表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X 服从二项分布：k k k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==444341)(，4,3,2,1,0=k ，于是1414)(=⨯=X E .………………….4分 （Ⅱ）设X 表示n 台机器在同一时刻需用人操控的台数.①当1=n 时，X 服从两点分布：此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为30.604>. …………………6分 ②当2=n 时，2213()44k kkP X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,1,0=k .即X 的分布列为：此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为116，故一人操控的2台机器正常运行的概率为11510.93750.91616-==>.工作人员待工而闲的概率为230.56250.604⎛⎫=< ⎪⎝⎭. ………………….8分 ③当3=n 时，3313()44k k k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,2,1,0=k .即X 的分布列为：此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为23131311033444646464⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故一人操控的3台机器正常运行的概率为105410.840.96464-=≈<.工作人员待工而闲的概率为33270.4218750.60464⎛⎫==< ⎪⎝⎭. …………10分综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求. ………………….12分 20.解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12||AB y y p =++，…………2分 又∵以AB 为直径的圆M 与直线1y =-相切，∴12||2AB y y =++，故2p =，…………4分∴抛物线C 的方程为24x y =；…………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，代入24x y =中，化简整理得2440x kx --=，∴12124,4x x k x x +==-，∴21212()242y y k x x k +=++=+， ∴圆心1212(,)22x x y y M ++的坐标为2(2,21)M k k +，…………8分 ∵圆M 与直线32x =-相切于点Q ， ∴||||MQ MN =， ∴23|2||22|2k k +=+，解得12k =，…………10分 此时直线l 的方程为112y x =+，即220x y -+=， 圆心3(1,)2M ，半径52r =， 圆M 的方程为22235(1)()()22x y -+-=.…………12分 21解：（Ⅰ）因为'()ln x a f x x x+=+ ，所以'(1)11f a =+=- ，所以2a =- 又点(1,(1))f 在切线20x y +-=上，所以120b +-=，所以1b =所以()y f x =的解析式为()(2)ln 1f x x x =-+. ………………….4分 （Ⅱ令)0()(>-=x e x x g x因为'()1x g x e =-所以当0x >时，'()0g x <所以()g x 在区间(0,)+∞内单调递减，所以()(0)10g x g <=-< 所以()11()f xg x -<等价于()1()f x g x ->. ………………….6分 我们如果能够证明()11f x ->-，即()0f x >即可证明目标成立.下面证明：对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >.由（1）知'2()ln x f x x x -=+，令)0(2ln )(>-+=x x x x x h 则021)(2>+='xx x h ，所以)(x h 在(0,)+∞内单调递增， 又01)1(<-=h ，02ln )2(>=h ，所以存在0(1,2)x ∈使得0)(0=x h .当00x x <<时，0)(<x h 即'()0f x <，此时)(x f 单调递减；当0x x >时，0)(>x h 即'()0f x >，此时)(x f 单调递增；所以000()()(2)ln 1f x f x x x ≥=-+.由'0()0f x =得002ln 1x x =- 所以000000024()()(2)ln 1(2)(1)15()f x f x x x x x x x ≥=-+=--+=-+. 令4()(12)r x x x x =+<<，则'224(2)(2)()10x x r x x x+-=-=< 所以()r x 在区间(1,2)内单调递减，所以()(1)5r x r <= 所以4()5()550f x x x >-+>-=.综上，对任意(0,)x ∈+∞，()11()f xg x -<. ………………….12分 22.（Ⅰ）证明：∵EB BC =∴C BEC ∠=∠∵BED BAD ∠=∠∴C BED BAD ∠=∠=∠……………………2分∵2EBA C BEC C ∠=∠+∠=∠, AE EB =∴2EAB EBA C ∠=∠=∠,又C BAD ∠=∠∴EAD C ∠=∠∴BAD EAD ∠=∠…………………………4分∴»»DE DB =.………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EAD C FED ∠=∠=∠,又EDA EDA ∠=∠∴EAD FED ∆∆:………………8分∴DE AD DF DE= 又∵4DE =，8AD =，∴2DF =.……………………………………10分23. （Ⅰ）由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=， 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以22y x =； 根据21x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，消去t 得，30x y --=， 故曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是22y x =，30x y --=. ……….5分 （Ⅱ）将直线l的参数方程化为2212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入22y x =中，整理得260t --=.设t 1，t 2是该方程的两根，则12126t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 由参数的几何意义，可知22222121212()244PM PN t t t t t t +=+=+-=. ……….10分24. （Ⅰ）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-， ①1,22213x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-≥-⎩或②12,22213x x x ⎧≤<⎪⎨⎪--+≥-⎩或③2,2213x x x ≥⎧⎨--+≥-⎩ 解①得142x -≤<；解②得122x ≤<；解③得2x =. 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤. ………..……….5分 （Ⅱ）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立， 即32122x a x x -≤+-=+.故2222x x a x --≤-≤+，即322x a x --≤-≤+， ∴232x a x --≤≤+对[]1,3x ∈时成立.[3,5]a ∴∈-. ………………..……….10分。