高考数学(文)一轮课件【第6讲】函数的奇偶性与周期性

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第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案

第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案第6讲：《函数的奇偶性与周期性》教案一、教学目标1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．二、知识梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f(x)的定义域为A.假如关于任意的x ∈A ，都有__________，则称f(x)为奇函数；假如关于任意的x ∈A 都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T ，使得关于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T )＝______，则称f(x)为______函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质： ①f(x ＋T )＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T 2)．②假如T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT )＝f(x)．③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x 都有f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f x 或f(x ＋a)＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．三、题型突破题型一函数奇偶性的判定例1 判定下列函数的奇偶性． (1)1()(1)1x f x x x -=++； (2)11()()212x f x x =+-； (3) 22()log (1)f x x x =++；(4) 22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 变式迁移1 判定下列函数的奇偶性．(1) 23()f x x x =-；(2) 22()11f x x x =-+-；(3) 24()33x f x x -=+-. 题型二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范畴是________．变式迁移2 已知函数3()f x x x =+，对任意的[]2,2m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范畴为________．题型三函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[－8,8]上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝________.四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]1．已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +的值为________．2．已知定义域为{}0x x ≠的函数()f x 为偶函数，且()f x 在区间(),0-∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x x <的解集为________________． 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当1≤x ≤2时，()2f x x =-，则(6.5)f = ________.4．设()f x 为定义在R 上的奇函数．当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -＝________.5．设函数()f x 满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则(1)f -与(2)f 大小关系为____________________．6．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)1f >，23(2)1m f m -=+，则m 的取值范畴为________________． 8．函数3()812f x x x =+-在区间[]3,3-上的最大值与最小值之和是．二、解答题(共42分)9．(14分)已知()f x 是定义在[－6,6]上的奇函数，且()f x 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，()f x ≤(5)f ＝3，(6)f ＝2，求()f x 的表达式．10．(14分)设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤，(1)证明()f x 是偶函数；(2)画出那个函数的图象；(3)指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数依旧减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)已知函数2()a f x x x=+ (x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范畴．五、参考答案二、知识梳理1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期最小正周期 (2)③2a三、题型突破例1 解题导引判定函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判定．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)为偶函数．(3)差不多函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x 1＋x≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12) ＝－x(2x 1－2x ＋12)＝x(2x 2x －1－12) ＝x(12x －1＋12)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x ＋x2＋1)＝log21x ＋x2＋1＝－log2(x ＋x2＋1)＝－f(x)，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称，又f(x)＝4－x2x ，f(－x)＝－4－x2x ，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解偶函数满足f(x)＝f(|x|)，依照那个结论，有f(2x －1)< f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔ f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，进而转化为不等式|2x －1|<13，解那个不等式即得x 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 变式迁移2 (－2，23)解析易知f(x)在R 上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0，等价于f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx ＋x －2，现在，只需⎩⎪⎨⎪⎧ h －2<0h 2<0即可，解得x ∈(－2，23)．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，依照函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案－8解析因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，因此函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，因此f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.四、针对训练 1.13 解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13. 2．(－3,0)∪(3，＋∞) 解析由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f x x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5[来源:学,科,网Z,X,X,K]解析由f(x ＋2)＝－1f x ，得f(x ＋4)＝－1f x ＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x ≤2时，f(x)＝x －2，∴f(1.5)＝－0.5.综上知，f(6.5)＝－0.5.4．－3解析因为奇函数f(x)在x ＝0有定义，因此f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.因此f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.5．f(－1)>f(2)解析由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．6．132 解析由()(2)13f x f x +=，得(4)(2)13f x f x ++=，因此(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数且周期为4，因此1313(99)(4243)(3)(1)2f f f f =⨯+===． 7．(－1，23)解析 ∵f(x ＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m<23.8．16解析设在区间[]3,3-上()x f 的最大值为M,最小值为m ，再设()()()x g x f x g ,8-=的最大值为M-8,最小值为m-8,又()312x x x g -=是奇函数，因此在区间[]3,3-上()(),0min max =+x g x g 即()()16m 08-m 8=+=+-M M ，.9．解由题意，当3≤x ≤6时，设f(x)＝a(x －5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f(x)＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－13x(0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.∴f(x)＝－13x(－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)[来源:ZXX K]当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f(－x)＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋52－3，－6≤x ≤－3，－13x －3<x<3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f(x)＝x2－2x －1＝(x －1)2－2，[来源:学+科+网Z+X+X +K]当x<0时，f(x)＝x2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x<0. 依照二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f(x)＝x2＋a x (x ≠0，常数a ∈R)，若x ＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－a x2 ＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a 的取值范畴为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．➢考点1 函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C.2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（）A ．()2f x x =，()4g x x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21x g x =+D ．()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数.故选：D [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（） A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点，若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点，故选：B.2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．y =x -1和y =211x x -+B ．y =x 0和y =1C ．f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D ．f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ，函数y =x -1定义域是R ，函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，A 不是；对于B ，0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数y =1定义域是R ，B 不是；对于C ，()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同，C 不是；对于D ，f (x和g (x (0,)+∞，并且对应法则相同，D 是.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．1y =与0y x =B ．y x =与2y =C ．22log y x =与22log y x =D ．1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A ：1y =定义域为R ，0y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y x =定义域为R ，2y =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：22log y x =的定义域为{}|0x x >，22log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由101xx +>-可得()()110x x +-<，解得：11x -<<，所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<，所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确，故选：D.➢考点2 函数的定义域[典例]1．（2022·北京·模拟预测）函数()()=-的定义域是_______．lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2-2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[0,8]，则函数()g x =义域是（）A ．(1,32)B ．(1,2)C ．(1,32]D ．(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8]，所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(12,0)-B ．(12,0]-C ．1(,)3+∞D ．1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ，∴只需分母不为0即可，即230ax ax +-≠恒成立，（1）当0a =时，30恒成立，满足题意，（2）当0a ≠时，24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得120a -<<，综上可得120a -<≤. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =13x -的定义域为（） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义，则所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞). 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是（）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D ．,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意，得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，∴[,0]2x π∈-.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈，所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈．故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985]，则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（）A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知，21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得21198520182021x，所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是（）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩，解得：12m -<≤，综上：1,2m ，故选：C .6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞7．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________．【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4．故答案为：[)0,4.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则a的范围是________．【答案】[1,5) 【解析】当1a =时，()1f x =，即定义域为R ；当1a ≠，要使()f x 的定义域为R ，则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立，∴()()210{1410a a a ->∆=---<，解得15a <<，综上，有15a ≤<，故答案为：[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. 所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ，所以f (x )＝2x .2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f (x )的解析式．（1）f (x )是一次函数，且满足f (f (x ))=4x －3；（2）已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ，求f (x )的函数解析式．（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)．【解】（1）因为f (x )是一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++，又因为f (f (x ))=4x －3，所以243k x kb b x ++=-，故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩，所以()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y=()()21y y -+-+，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（） A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+D ．()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+ ，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()()2211xf x x x =≠-+，故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3，则f （x ）＝（） A ．x 2+4x B ．x 2+4C ．x 2+4x ﹣6D ．x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-，所以()24f x x x =+.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x+D ．23x x +【答案】D【解析】令x 为x -，则2()2()f x f x x x -+=+，与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得，2()3x f x x =+．故选：D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =- C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选：AD.5．（2022·山东济南·二模）已知函数2()23f x x x =--+，则(1)f x +=______．【答案】24x x -- 【解析】解：因为2()23f x x x =--+，所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-，(1)f x +=24x x --.故答案为：24x x --.6．（2022·全国·高三专题练习）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦，因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以()2149k x b k x ++=+恒成立，所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--，故答案为：23x +或29x --.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=，则2t ≥，且()22x t =-，所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+，()2t ≥所以()()212f x x x =+≥，故答案为：()()212f x x x =+≥.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f (2020x)＝3x ，则f (x )＝_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得4040()f x x x=-. 故答案为：4040()f x x x=-. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=，则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=，所以()()323f x f x x --=-，同除以2得()()31322f x f x x --=-，两式相加可得()33322f x x =，即()3f x x =.故答案为：3x .10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ；（2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x .【解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2，∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-， ∴f （x ）12=x 232-x +2．（2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①，∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-， ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1．（2022·广东梅州·二模）设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（） A ．2B ．6C ．8D ．10 【答案】B 【解析】解：因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====，所以()()22log 66f f -+=. 故选：B.2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（）A ．10B ．9C ．7D ．6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C.3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知[]1,1∈-a ，函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ，则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时，()()0sin 21π=-=f a ，得14a k =--，故34a =；当10a -≤<时，()201f a ==，故1a =-.故答案为：34a =或1a =-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()12f f -=，则=a ___________，()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知，()()()()121log 212a f f f a a ---==+=，则2221a a -=+，即4220a a --=，解得22a =，故a =②当0x 时，())2214f x x=+，解得602x；当0x <时，()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =（） A ．2B ．9C ．65D ．513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选：A2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（）A ．13B ．6-C ．16D ．3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，故选：A.3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =，则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（） A．1-．1-．1．1【答案】A【解析】∵()1102a f ==，∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：-25．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增， ()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立； ③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-； ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-， ()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<；综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =，解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为：14； 67．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则()()1f f =___________；方程()1f x =的解集为___________．【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====，()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=， ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=， {}0,e .x ∴∈故答案为：1；{}0,e .8．（2022·浙江·高三专题练习）已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______；若()1f x <，则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=， ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===，当1x <时，()31f x x =-<，得11x -<<，当1≥x 时，()2log 1f x x =<，得12x ≤<，故x 的取值范围是()1,2-故答案为：3；()1,2-.9．（2022·浙江浙江·二模）设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________．【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+。

高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】

f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0，则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数．答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1

高三数学函数的奇偶性(201911整理)

法2：图象法（数形结合）： y轴对称偶函数；原点对称奇函数
常见函数的奇偶性：
①y=kx+b②y=ax2+bx+c ③y=k/x ④y=ax⑤y=logax ⑥y=sinx⑦y=conx ⑧y=tanx⑨y=x3⑩y=x+a/x(a>0)
1、函数 y lg( 2 1) 的图象关于（） 1 x
A.x轴成轴对称图形 B.y轴成轴对称图形 C.直线y=x成轴对称图形 D.原点成中心对称图形
变：下列函数与1中函数奇偶性相同的是( )
A.y=|x+1|+|x－1|
B.y 20 1 3x
C.y (x 1) 1 x 1 x
D.y 1 1 2x 1 2
2、对于定义域是R的任意奇函数f(x) 都有（）
A.f(x)―f(―x)＞0(x∈R B.f(x)―f(―x)≤0(x∈R) C.f(x)•f(―x)≤0(x∈R) D.f(x)•f(―x)＞0(x∈R)
3、函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定
义域R，且定义域中任何x都有
f(x)+f(－x)=0,g(x)•g(－x)=1，
若g(x)=1的解是x＝0，
1）求f(x) 的解析式
f(x)在R上是奇函数，
2）函数g(x)是定义域R上则的f奇(0函)=数0(?，)
当x>0时，g(x)=f(x),求g(x)的解析式
3）若方程g(x)=k有且仅有一解，求k 的范围
1
例3：函数
y

3x
1
a
在定义域上是奇函数，则a=___
变1：定义在（－1,1）上的奇函
等价式：
___________________________

2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性

(1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( × )
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象

数学函数的奇偶性与周期性课件

数学知识点：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1 x ；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎨⎧1－x≠01＋x1－x ≥0⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数． 2.奇偶性的应用例3.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数（2）由，及是奇函数，得例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为（2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（）例5设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2， ∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f(x)＝x 2－6x ＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0. 4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．①求a 、b 的值；②若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2.②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2，即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13.一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选A.∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴f (1＋x )＝f (1－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选B.f (a )＝a 3＋sin a ＋1，①f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－a 3－sin a ＋1，② ①＋②得f (a )＋f (－a )＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x(x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1，∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )．又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析：选B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)， ∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)．二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x，∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2. 答案：－2 三、解答题9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0，－x 2－2x －3x <0.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )． ②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )． ③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选B.令f (x )＝x 3－x ＝0，即x (x ＋1)(x －1)＝0，所以x ＝0,1，－1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2. 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x ＜4,4≤x ＜6上也分别有两个零点，由f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，知x ＝6也是函数的零点，所以函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 二、填空题3．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，得：2a ＝1，a ＝12.答案：124．(2013·长春质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图象关于x ＝1对称； ④f (x )的图象关于x ＝2对称．解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4，②正确．∵f (x )为奇函数，∴f (4)＝f (0)＝0，即①正确．又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，∴③正确，又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图象不关于x ＝2对称，∴④错误．答案：①②③ 三、解答题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34，∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34，∵a≥－12，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.综上得，当－12≤a≤12时，函数f(x)的最小值为a2＋1.。

2014版高考数学一轮总复习第6讲函数的性质(二)奇偶性、周期性、对称性课件理新人教A版

【分析】 (1)用赋值法； (2)依题设构造 f(－x)与 f(x)的关系； (3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
【解析】 (1)证明：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2f2(0)．又 f(0)≠0，所以 f(0)＝1. (2)令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以 f(y)＝f(－y)，即 f(x)＝f(－x)，又 x∈R，所以 f(x)为偶函数．
二
函数奇偶性的应用
【例 2】 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 在(0，若＋∞)上的
最大值是 8，求 f(x)在(－∞，0)上的最小值．
【分析】注意到 g(x)＝x5＋ax3＋bx 是奇函数，则 g(－x)＋g(x)＝0.
【解析】当 x>0 时，f(x)≤8，则当 x<0 时，－x>0， f(－x)≤8，设 x∈(－∞，0)，则 f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3 ＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6 ＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2. 所以 f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.
(4)当 x>0 时，－x<0，则 f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当 x＝0 时，f(x)＝0＝－f(－x)．综上有，对一切实数 x，f(－x)＝－f(x)恒成立，
C C (3)①证明：用 x＋ 2 ， 2 (C>0)替换 x，y， C C C C C C 则 f(x＋ 2 ＋ 2 )＋f(x＋ 2 － 2 )＝2f(x＋ 2 )· 2 )． f( C 又 f( 2 )＝0，所以 f(x＋C)＋f(x)＝0，即 f(x＋C)＝－f(x)； ② 由 ① 的结论知 f(x ＋ 2C) ＝－ f(x ＋ C) ＝ f(x)(C>0)，所以 f(x)是周期函数，2C 就是它的一个周期．

高三数学第一轮复习课件(ppt)目录

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目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚

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第6讲
双向固基础
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
[答案] (2)①√
②×
[解析] ①根据偶函数的定义可以判断结论正确．② 函数|f(x)|± g(x)既不满足奇函数的定义，又不满足偶函数的定义，故函数|f(x)|± g(x)是非奇非偶函数．
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双向固基础
函数的奇偶性与周期性
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
3．[教材改编] 若奇函数f(x)在区间(－2，－1)上是增函数，则在区间(1，2)上是________函数．
[答案] 增
[解析] 根据奇函数的对称关系知，若奇函数f(x)在区间(－2，－1)上是增函数，则在区间(1，2)上也是增函数．
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
1．函数奇偶性的定义
定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函 ______________ 数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函 ______________ 数f(x)是奇函数图像特点
偶函数
y轴关于_________ 对称
奇函数
关于原点 ______对称
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
2.利用定义判断函数奇偶性的步骤 (1)首先确定函数的________ 定义域，并判断其是否关于原点 ________ 对称； f(x) f(－ x) (2)确定________ 与________ 的关系； (3)作出相应结论：在定义域关于原点对称的条件下，若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)数的奇偶性与周期性
—— 疑难辨析 ——
1．判断函数奇偶性的方法 (1)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，则 ①当a＝0时，f(x)为偶函数．( ) ②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．( ) ③F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数．( ) (2)设f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则 ①f(x)±|g(x)|是偶函数．( ) ②|f(x)|±g(x)是奇函数．( ) x (3)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2.( （x－2）（x＋a） (4)函数y＝lg|x|在定义域上既是偶函数又是增函数．(
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
3．奇偶函数的简单性质原点 (1)奇函数的图像关于________ 对称；偶函数的图像关于 y轴 ________ 对称． (2)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为偶函数；一奇一偶函偶函数 ________；两个偶函数之积(商)也是________ 奇函数注：取商时应使分母不为0)．数之积(商)为________( (3)奇(偶)函数有关定义的等价形式 f（－x） f(－x)＝± f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔ ＝± 1(f(x)≠0)． f（x） (4)若函数y＝f(x)是奇函数，且0是定义域内的值，则f(0) 0 ＝________ ． (5)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
2．[教材改编] 已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2，则当x≤0时，f(x)＝________．
[答案] －x2
[解析] 当x<0时，－x>0.因为f(x)为奇函数，所以f(x) ＝－f(－x)＝－(－x)2＝－x2.又当x＝0时，f(x)＝0，所以当 x≤0时，f(x)＝－x2.
双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题
第6讲函数的奇偶性与周期性
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考试说明
1．结合具体函数，理解函数奇偶性的含义． 2．掌握奇函数与偶函数图像的对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
[答案] (3)√
x [解析] 将a＝2代入函数表达式，得f(x)＝ 2 ，所以 x －4 f(x)在定义域上是奇函数．
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
[答案] (4)×
[解析] 函数y＝lg|x|在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，但只在区间(0，＋∞)上是增函数．
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第6讲
双向固基础
函数的奇偶性与周期性
4．周期函数非零常数T 对于函数y＝f(x)，如果存在一个____________ ，使得当 f(x＋T)＝f(x)都成立，那么f(x) x取定义域内的每一个值时，___________ 是周期函数，T是它的一个周期．若T是函数的一个周期，则 nT(n∈N，n≠0)也是函数的周期．如果在周期函数f(x)的所最小的正数，那么这个数就叫作f(x)的最有周期中存在一个___________ 小正周期．
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函数的奇偶性与周期性
—— 链接教材 ——
x2－1 1．[教材改编] 函数f(x)＝ x 是________(填“奇函数”或“偶函数”)．
[答案] 奇函数
[解析] 易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．因为f(－x) （－x）2－1 x2－1 ＝＝－ x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．－x
) )
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函数的奇偶性与周期性
[答案] (1)①√
②√
③√
[解析] ①f(x)＝x2＋1满足偶函数的定义，故f(x)＝x2＋ 1是偶函数．②当a≠0时，f(x)＝x2－2ax＋1既不满足偶函数的定义，也不满足奇函数的定义，故函数f(x)是非奇非偶函数．③F(x)＝f(x)－f(－x)＝－4ax.当a≠0时，F(x)是奇函数；当a＝0时，F(x)既是奇函数又是偶函数．所以 “F(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数”正确．