高中数学第六章第3讲
人教A版高中数学必修二讲义第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解及坐标表示( 1)平面向量的正交分解□01把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解．( 2)平面向量的坐标表示知识点二平面向量加、减运算的坐标运算1．在直角坐标平面内,以原点为起点的向量OA →＝a ,点A 的位置被向量a 唯一确定,此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为( x ,y )．2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关;应把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有起点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等．3．符号( x ,y )在直角坐标系中有两重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量．为了加以区分,在叙述中,就常说点( x ,y )或向量( x ,y )．特别注意:向量a ＝( x ,y )中间用等号连接,而点的坐标A ( x ,y )中间没有等号． 4．( 1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．( 2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2,其中a ＝( x 1,y 1),b ＝( x 2,y 2)．( 3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关． ( 4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)与x 轴平行的向量的纵坐标为0;与y 轴平行的向量的横坐标为0.( ) ( 2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同．( ) ( 3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) ( 4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化．( ) 答案 ( 1)√ ( 2)× ( 3)√ ( 4)× 2．做一做( 1)已知AB →＝( －2,4),则下列说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是( －2,4) B ．B 点的坐标是( －2,4)C ．当B 是原点时,A 点的坐标是( －2,4)D ．当A 是原点时,B 点的坐标是( －2,4)( 2)已知AB →＝( 1,3),且点A ( －2,5),则点B 的坐标为( ) A ．( 1,8) B ．( －1,8) C ．( 3,－2) D ．( －3,2) ( 3)若a ＝( 2,1),b ＝( 1,0),则a ＋b 的坐标是( )A ．( 1,1)B ．( －3,－1)C ．( 3,1)D ．( 2,0)( 4)若点M ( 3,5),点N ( 2,1),用坐标表示向量MN →＝________. 答案 ( 1)D ( 2)B ( 3)C ( 4)( －1,－4)题型一 平面向量的正交分解及坐标表示例1 ( 1)已知向量i ＝( 1,0),j ＝( 0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a ＝( x ,y );②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a ＝( x 1,y 1)≠( x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2; ③若x ,y ∈R ,a ＝( x ,y ),且a ≠0,则a 的始点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是( x ,y ),则a ＝( x ,y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4( 2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标以及AB →与AD →的坐标．[详细解析] ( 1)由平面向量基本定理,知①正确;例如,a ＝( 1,0)≠( 1,3),但1＝1,故②错误;因为向量可以平移,所以a ＝( x ,y )与a 的始点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是( x ,y )时,a ＝( x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误．( 2)由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点． 设B ( x 1,y 1),D ( x 2,y 2)．由三角函数的定义,得 x 1＝cos30°＝32,y 1＝sin30°＝12,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.x 2＝cos120°＝－12,y 2＝sin120°＝32, ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[答案] ( 1)A ( 2)见详细解析求点和向量坐标的常用方法( 1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． ( 2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．( 1)如图,{e 1,e 2}是一个正交基底,且e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1),则向量a 的坐标为( )A ．( 1,3)B ．( 3,1)C ．( －1,－3)D ．( －3,－1)( 2)已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA →|＝43,∠xOA ＝60°, ①求向量OA →的坐标;②若B ( 3,－1),求BA →的坐标． 答案 ( 1)A ( 2)见详细解析详细解析 ( 1)由图可知a ＝e 1＋3e 2,又e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1), 则a ＝( 1,3)．故选A.( 2)①设点A ( x ,y ),则x ＝43cos60°＝23, y ＝43sin60°＝6,即A ( 23,6),故OA →＝( 23,6)． ②BA →＝( 23,6)－( 3,－1)＝( 3,7). 题型二 平面向量加、减运算的坐标表示例2 ( 1)已知三点A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0),则向量AB →＋CA →＝________,BC →－AB →＝________;( 2)已知向量a ,b 的坐标分别是( －1,2),( 3,－5),求a ＋b ,a －b 的坐标． [详细解析] ( 1)∵A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0), ∴AB →＝( 1,5),CA →＝( 4,－1),BC →＝( －5,－4)．∴AB →＋CA →＝( 1,5)＋( 4,－1)＝( 1＋4,5－1)＝( 5,4)．BC →－AB →＝( －5,－4)－( 1,5)＝( －5－1,－4－5)＝( －6,－9)． ( 2)a ＋b ＝( －1,2)＋( 3,－5)＝( 2,－3), a －b ＝( －1,2)－( 3,－5)＝( －4,7)．[答案] ( 1)( 5,4) ( －6,－9) ( 2)见详细解析平面向量坐标运算的技巧( 1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． ( 2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算．( 3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．( 1)已知a ＝( 1,2),b ＝( －3,4),求向量a ＋b ,a －b 的坐标;( 2)已知A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4),且CM →＝CA →,CN →＝CB →,求M ,N 及MN →的坐标．解 ( 1)a ＋b ＝( 1,2)＋( －3,4)＝( －2,6), a －b ＝( 1,2)－( －3,4)＝( 4,－2)． ( 2)由A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4), 可得CA →＝( －2,4)－( －3,－4)＝( 1,8), CB →＝( 3,－1)－( －3,－4)＝( 6,3), 设M ( x 1,y 1),N ( x 2,y 2),则CM →＝( x 1＋3,y 1＋4)＝( 1,8),x 1＝－2,y 1＝4; CN →＝( x 2＋3,y 2＋4)＝( 6,3),x 2＝3,y 2＝－1, 所以M ( －2,4),N ( 3,－1),MN →＝( 3,－1)－( －2,4)＝( 5,－5).题型三 平面向量加、减坐标运算的应用例3 如图所示,已知直角梯形ABCD ,AD ⊥AB ,AB ＝2AD ＝2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,用向量的方法证明:DE ∥BC .[证明] 如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系,设|AD →|＝1,则|DC →|＝1,|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ,而AD ＝DC , ∴四边形AECD 为正方形,∴可求得各点坐标分别为E ( 0,0),B ( 1,0),C ( 0,1),D ( －1,1)． ∵ED →＝( －1,1)－( 0,0)＝( －1,1), BC →＝( 0,1)－( 1,0)＝( －1,1),∴ED →＝BC →,∴ED →∥BC →,即DE ∥BC .通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决．已知平行四边形ABCD 的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标依次为( 3,－1),( 1,2),( m,1),( 3,n )．求m sin α＋n cos α的最大值．解 ∵四边形ABCD 为平行四边形,则AD →＝BC →,即( 3－3,n ＋1)＝( m －1,1－2),即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝0，n ＋1＝－1，得m ＝1,n ＝－2,得m sin α＋n cos α＝sin α－2cos α＝5sin( α＋φ),其中tan φ＝－2,故m sin α＋n cos α的最大值为 5.1．设平面向量a ＝( 3,5),b ＝( －2,1),则a ＋b ＝( ) A ．( 1,6) B ．( 5,4) C ．( 1,－6) D ．( －6,5)答案 A详细解析 a ＋b ＝( 3,5)＋( －2,1)＝( 3－2,5＋1)＝( 1,6)． 2．已知向量OA →＝( 1,－2),OB →＝( －3,4),则AB →＝( ) A ．( －4,6) B ．( 2,－3) C ．( 2,3) D ．( 6,4) 答案 A详细解析 AB →＝OB →－OA →＝( －3,4)－( 1,－2)＝( －4,6)． 3．如图,向量a ,b ,c 的坐标分别是________,________,________.答案 ( －4,0) ( 0,6) ( －2,－5)详细解析 将各向量分别向基底i ,j 所在直线分解,则a ＝－4i ＋0·j ,∴a ＝( －4,0);b ＝0·i ＋6j ,∴b ＝( 0,6);c ＝－2i －5j ,∴c ＝( －2,－5)．4．在平面直角坐标系中,|a |＝22,a 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为135°,则a 的坐标为________．答案 ( －2,2)详细解析 因为|a |cos135°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2,|a |·sin135°＝22×22＝2,所以a 的坐标为( －2,2)．5．在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b 的位置如图所示,已知|a |＝4,|b |＝3,且∠AOx ＝45°,∠OAB ＝105°,分别求向量a ,b 的坐标．解 设a ＝( a 1,a 2),b ＝( b 1,b 2),由于∠AOx ＝45°, 所以a 1＝|a |cos45°＝4×22＝22, a 2＝|a |sin45°＝4×22＝2 2.由已知可以求得向量b 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为120°, 所以b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32,b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332. 故a ＝( 22,22),b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.。
高三数学第六章知识点总结
高三数学第六章知识点总结数学是一门科学，也是一门艺术，它的发展和应用范围广泛，是我们生活中必不可少的一部分。
在高三阶段，学生面临着重要的高考考试，数学作为其中重要的一科，对于大部分学生来说，都是一个挑战。
而第六章是高三数学中的重要一章，包含了一些关键的概念和方法。
本文将对高三数学第六章的知识点进行总结和归纳。
一、函数的概念和性质函数是数学中的基本概念之一，是描述两个量之间关系的一种工具。
在高三数学中，我们需要了解函数的概念、性质和基本运算。
函数的概念是指对于每一个自变量，都有唯一的对应的因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，这些性质有助于我们对函数进行分析和研究。
二、指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高三数学中的重要函数类型。
指数函数是以底数大于0且不等于1的常数为底的幂的函数，对数函数则是指数函数的反函数。
对于指数函数，我们需要掌握指数函数的图像、性质和运算法则；对于对数函数，我们需要了解对数函数的图像、性质和运算法则。
熟练掌握指数函数和对数函数的特点和运算方法，对于后续的高阶数学学习非常重要。
三、幂函数和反比例函数幂函数和反比例函数也是高三数学中的重要函数类型。
幂函数是指以自变量为底数，对一个常数指数的函数，反比例函数则是指一个常数除以自变量的函数。
我们需要了解幂函数和反比例函数的图像、性质和运算法则。
特别是反比例函数，在实际问题中有着重要的应用，例如时间与速度、人口与资源等方面。
四、三角函数和三角方程三角函数是高中数学中的重要内容，也是高三数学第六章的核心内容。
在这一章节，我们需要掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、性质和运算法则，以及它们在解决实际问题中的应用。
另外，还需要学习三角方程的方法和技巧，能够熟练解决各种类型的三角方程。
五、数列和数列极限数列是由一系列有序的数所组成的数集，数列极限则是数列中的数随着项数的增加而趋近于某个数的值。
在高三数学的第六章中，我们需要了解数列的概念、性质和常见的数列类型。
高三数学第六章知识点归纳
高三数学第六章知识点归纳高中数学是学生学习的一门重要学科，不仅涉及到基本数学概念和运算，还包含了各种数学定理和解题技巧。
在高三的学习中，数学的重点是加强对基础知识的掌握和运用能力，为高考打下坚实的基础。
第六章是高三数学重点章节之一，主要涉及函数及其表示、数列与数学归纳法等内容。
本文将对高三数学第六章的知识点进行归纳和总结，以便于同学们更好地理解和掌握这些知识。
首先，我们来讨论函数及其表示这个部分的内容。
函数是现代数学的重要概念之一，也是高中数学的重点内容。
在这章中，我们需要了解函数的定义、性质以及函数的图像表示等。
函数的定义是指，给定两个非空集合A和B，如果存在一个对应关系f，使得A中的每一个元素都在B中有唯一对应的元素，则称f为从A到B的函数。
函数的性质有定义域、值域和可逆性等，这些性质对于理解函数的特点和运用非常重要。
此外，函数的图像表示是通过绘制函数的图形来直观地表示函数的变化规律，我们需要学会使用坐标系和画出函数的图像。
接下来，我们来看一下数列与数学归纳法这一部分的内容。
数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的，是数学中重要的概念之一。
在高三数学中，我们需要了解数列的定义、性质和常见的特殊数列等。
数列的定义是指，设有一列按照一定规律排列的数ai（i=1,2,3,...），则称ai为数列的第i个项。
我们需要研究数列的性质，如递增、递减、等差、等比等，这些性质能够帮助我们找到数列的规律并进行推理。
此外，高三数学中还需要了解数列的求和公式和通项公式，这些公式是计算数列和推导数列规律的有效方法。
最后，我们来讨论作为数学归纳法在高三数学中的应用。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学中也有广泛的应用。
数学归纳法通常涉及三个步骤：基本步骤、归纳假设和归纳步骤。
基本步骤是证明给定命题在某个特定条件下成立；归纳假设是假设命题对于某个正整数成立；归纳步骤是证明当命题对于某个正整数成立时，对于下一个正整数也成立。
数学一轮复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和试题2理
第六章 数 列第三讲 等比数列及其前n 项和1。
［2021陕西百校联考］已知等比数列｛a n ｝的公比为q ,前4项的和为a 1+14，且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值为（ ）A.12或2 B 。
1或12C.2D.32。
[2021安徽省四校联考]已知正项等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ,若a 4=18，S 3-a 1=34,则S 4=（ )A.116B.18C 。
3116D.1583.[2020合肥三检］[数学文化题］公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题：“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中，第一人分得玉米( ） A .70×89810-1斗 B .10×810810-710斗 C 。
10×89810-710斗 D 。
10×88810-710斗4.［2020南昌市测试］公比不为1的等比数列｛a n ｝中,若a 1a 5=a m a n ，则mn 不可能为（ ) A 。
5 B .6 C 。
8 D .95。
[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{a n }的各项均为正数,若log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，则a 6a 7=( ） A.1 B 。
3 C 。
6 D .96.［2021四省八校联考］已知等比数列{a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n =m —q n ,若a 5=—8a 2,则S 5= .7。
［2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列｛a n }中,a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= .8。
[2020全国卷Ⅲ，17,12分]设等比数列｛a n }满足a 1+a 2=4,a 3—a 1=8。
(1)求{a n ｝的通项公式；（2)记S n 为数列｛log 3a n ｝的前n 项和.若S m +S m +1=S m +3，求m.9。
高中数学教案 第3讲 圆的方程
第3讲圆的方程1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义与方程2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，设M 的坐标为(x 0，y 0).三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2□6＝r 2⇔点在圆上(x0－a )2＋(y 0－b )2□7>r2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2□8<r 2⇔点在圆内二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为＝C ≠0，＝0，2＋E 2－4AF ＞0.常用结论1.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线.2.以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(3)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(4)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0不是圆.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2.回源教材(1)当m∈时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时圆的一般方程为.解析：原方程可化为(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，它表示圆时应有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.当－m2＋2m＋3最大时，此时m＝1，故此时圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案：(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0(2)若直线2x＋y＋3＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝.解析：圆心坐标为(a，0)，由题意知点(a，0)在直线上，故2a＋0＋3＝0，得a＝－32.答案：－3 2(3)已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是.解析：圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝10，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10圆的方程例1(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为.解析：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，a＋b－1＝0，3－a）2＋b2＝r2，2＋（1－b）2＝r2，＝1，＝－1，2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M(－D2，－E2)，·（－D2）＋（－E2）－1＝0，＋3D＋F＝0，＋E＋F＝0，＝－2，＝2，＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则k AB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为(32，12)，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3(x－32)，即3x－y－4＝0.x－y－4＝0，x＋y－1＝0，＝1，＝－1，所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5反思感悟求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，基本方法有：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.训练1在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为.解析：根据题意，圆心在直线y＝2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r，又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，2n＋1）2＝r2，r，＝－1，＝2，则圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2与圆有关的最值问题利用几何性质求最值例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解：(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.反思感悟与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.利用对称性求最值例3已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－22D.17解析：A P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.反思感悟求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.(2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.建立函数关系求最值例4(2024·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA→·PB →的最大值为.解析：由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA→·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12反思感悟建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.训练2(1)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值是()A.6B.25C.26D.36解析：D (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到(5，－4)的距离的平方，∵P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x －5)2＋(y ＋4)2]max ＝[（2－5）2＋（0＋4）2＋1]2＝36.(2)若点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，则yx ＋1的最大值为.解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，yx＋1表示圆上的点(x，y)与点(－1，0)连线的斜率，设过点(－1，0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得|k－1＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝4 3，所以0≤k≤43，即yx＋1的最大值为43.答案：4 3与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN 的中点P的轨迹方程.解：(1)设圆心E(0，b)，则C(6，3)，B(3，0).由|EB|＝|EC|，得（0－3）2＋（b－0）2＝（0－6）2＋（b－3）2，解得b＝1，所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由于P 是MN 中点，由中点坐标公式，得M (2x －5，2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，化简得(x －52)2＋(y －32)2＝52即线段MN 的中点P 的轨迹方程为(x －52)2＋(y －32)2＝52反思感悟求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.训练3(2024·宜昌模拟)已知定点M (1，0)，N (2，0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知点B (6，0)，点A 在轨迹C 上运动，求线段AB 上靠近点B 的三等分点Q 的轨迹方程.解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，因为M (1，0)，N (2，0)，且|PN |＝2|PM |，所以（x －2）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点Q 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x A ，y A )，因为Q 是线段AB 上靠近点B 的三等分点，所以AQ →＝2QB →，即(x －x A ，y －y A )＝2(6－x ，－y )，A ＝3x －12，A ＝3y ，又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝2 9，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝2 9 .限时规范训练(五十九)A级基础落实练1.经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是()A.x2＋y2－2x－2y＝0B.x2＋y2－2x＋2y＝0C.x2＋y2＋2x－2y＝0D.x2＋y2＋2x＋2y＝0解析：C设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝R2，经过坐标原点(0，0)，则R2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，－4)，O(0，0)，则△AOB 外接圆的圆心坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(－2，1)解析：C由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x＝2＋02＝1，y＝0－42＝－2.故所求圆心坐标为(1，－2).3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为()A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0解析：A由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2，故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.4.(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则()A.yx－1的最大值为3B.yx－1的最小值为－3C.yx－1的最大值为3 3D.yx－1的最小值为－3 3解析：CD由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)，半径r ＝1的圆，则yx－1为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值，设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，即|－2k|1＋k2＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±33，所以yx－1∈－33，33.即yx－1的最大值为33，最小值为－33.5.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ 的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A.8x－6y－21＝0B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0D.6x－8y－21＝0解析：D由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x20＋y20＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.6.(多选)(2024·潍坊调研)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1，3)B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点(2，3)在圆M内解析：ABD设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，1＋4－D＋2E＋F＝0，4＋1＋2D＋E＋F＝0，9＋16＋3D＋4E＋F＝0，D＝－2，E＝－6，F＝5.所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是.解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径是5；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，该方程不表示圆.答案：(－2，－4)58.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为.解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).答案：x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))9.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为.解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x－4y－12＝0，圆x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，∵圆心到直线AB的距离为d＝|－4－12|5＝165，∴P到直线AB的最小值为165－1＝115，∵|AB|＝32＋42＝5，∴△ABP面积的最小值为12×5×115＝112.答案：11210.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2).所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11.已知圆心为C 的圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上.线段PQ 的端点P 的坐标是(5，0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.解：设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12).又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.－3y －3＝0，－y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝（－3－1）2＋（－2－1）2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)3＋(y ＋2)2＝25.设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0).因为点P的坐标为(5，0)，＝x0＋52，＝y0＋02，0＝2x－5，0＝2y.又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4 .B级能力提升练12.(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，－1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42解析：ACD因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C 正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D正确.13.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的一点，则（m－1）2＋n2的最小值是()A.32－2 B.32C.32＋2 D.22解析：D （m －1）2＋n 2表示圆上的点P (m ，n )到点(1，0)的距离，由x 2＋y 2－8x －6y ＋23＝0可化为(x －4)2＋(y －3)2＝2，则圆心为(4，3)，半径为2，所以点(1，0)到圆心的距离为（1－4）2＋（0－3）2＝32，所以点P (m ，n )到点(1，0)的距离的最小值为32－2＝22，即（m －1）2＋n 2的最小值是2 2.14.已知圆C 1经过点A (1，3)和B (2，4)，圆心在直线2x －y －1＝0上.(1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标.解：(1)由题意知AB 的中点坐标为(32，72)，k AB ＝4－32－1＝1，∴AB 的垂直平分线为y ＝5－x ，＝5－x ，＝2x －1，＝2，＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2，3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧，直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示.∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4，当且仅当M ，N ，P 在线段C 1C 2上时取等号，此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点，过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，＋y＝0，x－5y＋1＝0，＝－112，＝112，∴点P的坐标为(－112，112).。
高三数学第六章知识点梳理
高三数学第六章知识点梳理数学作为一门科学，具有严密的逻辑和抽象的思维方式。
对于高中生来说，数学的学习尤为重要，特别是高三学生们即将面临的高考。
第六章是高三数学的重要章节之一，主要包括数列与数学归纳法、函数基本性质和函数的应用等内容。
在这篇文章中，我们将对这些知识点进行梳理和总结。
一、数列与数学归纳法数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定的规则依次排列的一系列数的集合。
数列的概念是数学归纳法的基础，数学归纳法是一种重要的证明方法。
利用数学归纳法，可以证明一些具有递推关系的命题成立。
在数列的学习中，我们需要掌握数列的定义、通项公式和递推关系，以及数列的等差数列和等比数列的性质。
等差数列中，相邻项之间的差值是常数，而等比数列中，相邻项之间的比值是常数。
这些性质对于数列的研究和应用都具有重要的作用。
二、函数基本性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数的学习主要包括了函数的定义、函数的基本性质、函数的图像和函数的运算等方面。
在函数的学习中，我们需要掌握函数的各种性质。
例如，函数的定义域和值域，函数的奇偶性，函数的单调性，函数的图像和函数的反函数等等。
这些性质都是描述函数特点的重要依据，对于对函数进行研究和利用具有重要的意义。
三、函数的应用函数的应用是数学中一个非常重要的领域。
函数的应用范围广泛，涵盖了物理、化学、经济、生物等各个领域。
在高三数学中，我们主要学习了函数的最值、函数的模型和函数的解析几何等应用。
函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于函数的求解，我们可以通过求导的方法来求解函数的最值问题。
函数的模型是指利用函数来描述实际问题的模型，通过建立函数模型，可以对实际问题进行分析和解决。
函数的解析几何是利用函数的方法来研究几何的问题，常见的应用有直线和曲线的方程、圆的方程、参数方程等。
高三数学第六章的知识点的梳理和总结对于学生的学习和应试有着重要的意义。
掌握这些知识点，不仅可以为高考提供更多的应对策略，还可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
高中数学高考数学学习资料：专题6 第3讲 统计、统计案例
[解]
(1)当 X＝8 时， 由茎叶图可知， 乙组同学的植树棵数是： 8,8,9,10，
8＋8＋9＋10 35 － 所以(8－ )2＋(8－ )2＋(9－ )2＋ 4 4 4 4 (10－ 35 2 11 ) ]＝ . 4 16
知考情
第 3
讲 统计 、 统计 研考题
析考向
案例 战考场
高频考点 抽样方法
考情解读 多考查分层抽样
考查方式 选择题
用样本估计 样本频率分布图与茎叶图及样本数据 选择题、解 总体 回归分析 是命题热点，多与概率统计相结合 重点考查回归分析应用
zxxk
答题 选择题、填 空题 选择题
独立性检验 主要考查独立性检验的意义
[联知识
串点成面]
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽 样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但 无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等
的，都等于样本容量和总体容量的比值．zxxk
[做考题
查漏补缺]
(2011· 山东高考)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分 别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向， 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行 调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．zxxk
(2)当 X＝9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙 组同学的植树棵数是： 9,8,9,10.分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学， 共有 4×4＝16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵， 乙组 选出的同学植树 8 棵”，所以该事件有 2 种可能的结果，因此 2 1 P(Y＝17)＝ ＝ . 16 8 1 1 同理可得 P(Y＝18)＝ ；P(Y＝19)＝ ； 4 4 1 1 P(Y＝20)＝ ；P(Y＝21)＝ . 4 8
高中数学知识点顺口溜速记口诀_高考数学高频考点
高中数学知识点顺口溜速记口诀_高考数学高频考点函数学习口诀正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
正多边形诀窍歌份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前。
经过分点做切线，切线相交n个点。
n个交点做顶点，外切正n边形便出现。
正n边形很美观，它有内接、外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，如果n值为偶数，中心对称很方便。
正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。
圆中比例线段遇等积，改等比，横找竖找定相似；不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。
函数与数列数列函数子母胎，等差等比自成排。
数列求和几多法？通项递推思路开；变量分离无好坏，函数复合有内外。
同增异减定单调，区间挖隐最值来。
二项式定理二项乘方知多少，万里源头通项找；展开三定项指系，组合系数杨辉角。
整除证明底变妙，二项求和特值巧；两端对称谁最大？主峰一览众山小。
立体几何多点共线两面交，多线共面一法巧；空间三垂优弦大，球面两点劣弧小。
线线关系线面找，面面成角线线表；等积转化连射影，能割善补架通桥。
方程与不等式函数方程不等根，常使参数范围生；一正二定三相等，均值定理最值成。
参数不定比大小，两式不同三法证；等与不等无绝对，变量分离方有恒。
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所 确 定 的 区 域 内 ， 则 n－ m 的 最 大 值 为
3 ________ ．
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第六章
不等式
解析：
(1)直线 3x－5y＋ 6＝ 0 和直线 2x＋ 3y－ 15＝0 的斜率分别为 k1 3 2 ＝ ， k2＝－ .作出可行域如图所示，当且仅当直线 z＝ ax＋ y 5 3 经过点 (3,3)时， z 取得最大值，则直线 z＝ ax＋ y 的斜率－a 满 2 3 3 2 足－ <－ a< ，解得－ <a< ，故选 C. 3 5 5 3
(1)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分 )．
易知直线 z＝ 2x－ 3y 过点 C 时， z 取得最小值．
x＝3， x＝3， 由 得 x－ y＋ 1＝ 0， y＝ 4，
∴ zmin＝ 2× 3－ 3×4＝－ 6，故选 B.
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第六章
不等式
(2)如图，画出可行域，易得 A(2,4)， B(1,6)，∴它们与原点连 y y－ 0 y 线的斜率分别为 k1＝ 2，k2＝ 6，又 ＝ ，∴ k1≤ ≤ k2，即 x x －0 x y 2≤ ≤ 6. x
(1)(2013· 高 考课 标全国卷 Ⅱ ) 设 x ， y 满足 约束条 件 x－ y＋ 1≥ 0， x＋ y－ 1≥ 0， x≤3， 则 z＝ 2x－3y 的最小值是 ( B )
A．－ 7 B．－ 6 C．－5 D．－ 3 (2)(2014· 深圳市调研考试)已知变 量 x， y 满足约束条 件 x－ y＋ 2≤ 0 x≥1 2x＋ y－8≤0 y [2,6] ． ，则 的取值范围是 ________ x
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第六章
不等式
(3)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线 z＝ 2x＋ y 过交点 A 时， z 取最小值，
x＝1， 由 y＝ ax－ 3， x＝1， 得 y＝－ 2a，
∴ zmin＝ 2－ 2a＝1， 1 解得 a＝ ，故选 B. 2
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第六章
不等式
5 ． (2013· 高考陕西卷改编 ) 若点 (x ， y) 位于曲线 y ＝ |x| 与 y －6 ． ＝ 2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值是________
解析：曲线 y ＝ |x|与 y ＝ 2 所围成的封闭区域如图阴影部分
所示，当直线l：y＝2x向左平移时，(2x－y)的值在逐渐变 小，当l通过点A(－2,2)时，(2x－y)min＝－6.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第六章
不等式
4． (2014· 江苏扬州模拟 ) 点 ( － 2， t) 在直线 2x － 3y ＋ 6＝ 0的上 2 ( ，＋∞) ． 方，则t的取值范围是__________ 3
解析：因为直线 2x－ 3y＋ 6＝ 0 的上方区域可以用不等式 2x－ 3y＋6＜ 0 表示， 所以由点(－2， t)在直线 2x－ 3y＋ 6＝ 0 的上方 2 得－4－ 3t＋ 6＜ 0，解得 t＞ . 3
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第六章
不等式
2．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表 示的是 ( A )
x＋ y－ 1≥ 0 A. x－2y＋2≥0 x＋ y－ 1≥ 0 C. x－2y＋2≤0
x＋ y－ 1≤ 0 B. x－2y＋2≤0 x＋ y－ 1≤ 0 D. x－2y＋2≥0
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第六章
不等式
二元一次不等式 ( 组 ) 表示平面区域的判断方法：直线定界， 测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有 等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个， 若直线不过原点，测试点常选取原点．
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第六章
不等式
0≤x≤2 1． (2014· 山东聊城调研)设不等式组0≤ y≤ 3 x＋2y－2≥0 大值为( B ) A． 2 5 C． 3 B. 13 D. 5
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第六章
不等式
2 ． (1)(2014· 河 南三市第 二次调 研)若 x、 y 满足条 件 3x－ 5y＋ 6≥ 0， 2x＋ 3y－ 15≤0， y≥0， 当且仅当 x＝ y＝ 3 时， z＝ax＋ y 取得最
大值，则实数 a 的取值范围是( C ) 2 3 3 2 A. －3，5 B. －∞，－5 ∪ 3，＋∞ 3 2 2 3 － ， －∞，－ ，＋∞ C. 5 3 D. ∪ 3 5
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第六章
不等式
解析：两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋ 2＝ 0.将点(1,1) 代入 x＋ y－1 得 1>0，代入 x－ 2y＋2 得 1>0，即点(1,1)在 x－ 2y＋2≥0 的内部，在 x＋y－1≥0 的内部，故所求二元一次不
x＋ y－ 1≥ 0， 等式组为 x－2y＋2≥0.
第六章
不等式
(1)利用平面区域求目标函数最值的步骤： ①作出可行域； ②找到目标函数对应最优解的对应点； ③代入目标函数求最值． (2)常见的目标函数： ①形如 z＝ax＋ by 的截距型． y－ a ②形如 z＝ 的斜率型． x－b ③形如 z＝(x－ a)2＋(y－b)2 的距离型． (3)线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上 取得．
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线性规划问题
第六章
不等式
温馨提示：线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即
可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可
能有无数多个，也可能没有．
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第六章
不等式
1．不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的( C ) A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 解析：画出图形如图所示，可知该区域在直线 x－ 2y＋ 6＝0的 左上方．
1 ________ ．
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第六章
不等式
[解析 ]
(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a
＝ 0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－ 1 时， 正好增加(－ 1，－ 1)， (0，－1)， (1，－1)， (2，－1)，(3，－ 1)5 个整点，故选 C. (2)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边 界 )．易知 A 点的坐标为 (2,3)， B 点的坐标为 (1,2)，从而可知 1 图中阴影部分的面积为 × 2×1＝1. 2
所表示的
平面区域为 S，若 A、B 为区域 S 内的两个动点，则|AB|的最
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第六章
不等式
解析： 画出可行域，如图所示． 由图可知，位于该可行域内的两个动点中，其间的距离最远的 两个点是 (0,3)和 (2,0)，因此 |AB|的最大值为 13.
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第六章
不等式
求目标函数的最值(范围)
可行域 最优解
关于x，y的_______ 一次 解析式 (x，y) 满足线性约束条件的解________
可行解 组成的集合 所有________ 最大值或最小值 的可行解 使目标函数取得_______________ 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或__________ 最小值 问题 _________
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第六章
不等式
3．线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 意义 不等式(组) 由变量x，y组成的_____________ 一次 不等式(或方程)组成的不 由x，y的________ 等式(组) 解析式 ，如z＝x＋2y 关于x，y的函数_________
线性目标函数 可行解
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第六章
不等式
(3)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ ) 已知 a>0 ， x， y 满足约束条件 x≥1， x＋y≤3， y≥ax－ 3 . 1 A. 4 C． 1
若 z＝ 2x＋ y 的最小值为 1，则 a＝ ( B )
1 B. 2 D． 2
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第六章
不等式
[解析 ]
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第六章
不等式
(2)已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，而 x2＋ y2 是阴影部分内的点到原点的距离的平方， 显然其最小值为点 (2,1)到原点的距离的平方，故其答案为 5.
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第六章
不等式
(3)作出可行域， 如图中的阴影部分所示， 可行域的顶点坐标分 别为(1,3)，(2,5)， (3,4)，设目标函数为 z＝ y－x，则 y＝ x＋ z， 其纵截距为 z，由图易知点 P 的坐标为(2,5)时， n－ m 有最大 值为 3.
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第六章
不等式
线性规划的实际应用 (2013· 高考湖北卷 )某旅行社租用 A， B两种型号的客 车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36 人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要
求租车总数不超过 21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租
金最少为( C ) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元
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第六章
不等式
y≤ 2x， 3． (2013· 高考湖南卷 )若变量 x，y 满足约束条件 x＋ y≤ 1， y≥－1， 则 x＋ 2y 的最大值是( C ) 5 A．－ 2 5 C. 3 B． 0 D. 5 2
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第六章
不等式
解析：
1 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动 y＝－ x 2 1 1 2 ＋ z，可知该直线经过 y＝2x 与 x＋ y＝ 1 的交点 A( ， )时，z 2 3 3 1 4 5 有最大值为 ＋ ＝ . 3 3 3