一类具有激波层的奇摄动非线性问题
奇异摄动理论与应用研究的简单回顾与现状.
奇异摄动理论与应用研究的简单回顾与现状唐荣荣当今科技界提出了许多新的问题，其中最突出的一个方面，就是提出了大量急需解决的非线性问题。
奇异摄动理论和方法归属于解析分析法，是微观计算和宏观分析相协调，定量、定性相结合的的一种理论和方法。
采用这种理论和方法对非线性问题进行研究具有直观性强、研究思路清晰、适应范围广等特点，因此而受到了科学工作者们的青睐。
奇异摄动问题的研究主要利用泛函分析、算子理论、同伦理论、变分理论等近代数学理论，结合多重尺度法、伸长变量法、平均化法、同伦法、微分不等式、匹配法等渐近方法来解决应用数学中的多种类型的非线性奇摄动问题。
我国在奇异摄动方向的研究工作开始得很早。
上个世纪40年代郭永怀、钱伟长等就已在力学界开始了这个方向的研究工作。
50年代江福汝先生就将此方向的研究引入到数学领域中进行。
50年代末60年代初该方向的研究就已与国际研究接轨，我国科学家钱伟长、郭永怀、钱学森、江福汝等都曾对该方向在基础理论和应用研究中做出过重大贡献。
上个世纪的六十年代，上海、吉林、福建、安徽等省市的多所大学和研究机构就已在奇异摄动方向开展了较深入的研究工作，形成了相当规模的研究团队，其成果曾多次在有关的国际会议上进行报告、发表在在国内外许多权威性文献和杂志上，从而引起了各国同行的充分关注。
后因故中断了近二十年。
直到最近二十余年，奇异摄动理论和应用的研究又得以迅速发展。
目前，北京、广东、福建、安徽、江苏、浙江等省市的多所研究机构和大学都集中了相当规模的科研队伍。
不断地尝试用各种理论和方法来处理非线性奇摄动问题，研究了多个交叉学科中的的重要模型，如全球气候问题的海-气振子的厄尔尼诺现象、地-气振子的沙灰尘暴现象、激光通道、孤子、激波、生态、种群、流行性传染病传播等。
讨论了这些重要的实际问题的发展、性态、传播、预后等情形。
从而对上述问题提出了控制、预防和疏导等方案，在许多重要学术刊物上发表了很多有影响的学术论文。
数学中的奇异摄动理论
数学中的奇异摄动理论数学一直以来都是人们追求的一个领域，它的应用涉及到许多不同的领域，包括科学、工程、金融等等。
在数学中，奇异摄动理论是一个引人注目的研究方向，它研究的是一类具有特殊形式的微分方程中的奇异摄动项。
在本文中，我们将深入探讨奇异摄动理论的基本原理、应用场景以及相关的研究成果。
一、奇异摄动理论的基本原理奇异摄动理论是一种研究在微分方程中存在的奇异摄动项的理论框架。
在传统的微分方程中，我们通常假设各项系数都是平滑的，并且它们对时间和空间都是光滑的函数。
然而，在某些实际问题中，这些系数可能会在某些特定时刻或空间点上出现极值或发生突变。
这种情况下，传统的微分方程理论无法有效描述问题的行为。
奇异摄动理论通过引入奇异摄动项，对这类问题进行分析。
奇异摄动项是系数中的一个小参数，它在微分方程中起到一个调制的作用。
当参数很小的时候，奇异摄动项在微分方程中的影响也很小，传统的解析方法可以有效逼近问题的解。
而当参数很大的时候，奇异摄动项的影响变得显著，远远超过了其他项的影响。
这时候，传统的解析方法就无法给出准确的解了。
二、奇异摄动理论的应用场景奇异摄动理论在许多科学和工程领域都有广泛的应用。
下面简要介绍几个典型的应用场景。
1. 化学动力学化学反应中经常会出现反应速率突变的情况，这时候就需要考虑奇异摄动理论。
通过引入奇异摄动项，可以更准确地描述反应的动力学行为，提供更精确的预测和控制方法。
2. 天体力学天体力学中的行星轨道问题也可以通过奇异摄动理论进行分析。
由于行星系统中存在多个天体相互作用，轨道的演化会受到很多因素的影响，包括引力、摄动等。
奇异摄动理论可以提供一种有效的方式来处理这些复杂的轨道问题。
3. 电路设计在电路设计中，电流变化可能会导致电路参数发生突变。
奇异摄动理论可以帮助我们更好地理解电路中突变参数对电流的影响，并提供更准确的电路设计方法。
三、奇异摄动理论的研究成果奇异摄动理论是一个具有挑战性和潜力的研究领域，许多学者和研究机构都在积极探索这个领域，并取得了一些重要的研究成果。
一类奇摄动拟线性边值问题的激波解
ｔｕ ０ ， Ｒ（ ）
＿ ，） ． 厂 ｚｚ （ ｄ ０
于是从 （） （０ 式推 出 ， ” （） ８ 和 １） Ｌ 和 Ｒ 可分 别 隐式地表 示 为 （）
∈＝ 和 ＝ ．
用衔 接法 ，若 令
ｖ（ ＝去ｕ（ 一札（］ （ ， ｉ（ ） Ｒ０） Ｌ ） ［ Ｏ Ｌ０ ＝一Ｒ０ Ｊ ｏ ＝心（ ， Ｏ ｎ） ） ） Ｌ一 ＋
√ Ｌ（） Ｕ ０
反之 ，从 （２，１） 推 出 由 （） 确定 的 ｏ∈ 满 足上面 校正项 所述 的性 质 于是 我们 １）（３ 式 ６式 （） 已构 造 出问题 （） （）的形 式零 次近 似 １，２
ｙ （，） ｏｔ￡ ０＜ ＜０
０ ＜ ＜ ｂ
Ｎｏ２ ．
刘树 德等 ：一类 奇摄 动拟 线性 边值 问题 的激波 解
（，） ∈ｇ
去 寻求如 下形 式 的合成 展开 式
ｙｘ ＝ Ｕ（，） （，） （，） ｘＥ ＋ ∈Ｅ 将 （） ５ 式代 入 （） １ 式得 到 ＋，∈， （￡Ｕ＋ｖ） ｖ＋ｇ厂 ， ［（ＥＵ＋Ｖ） （Ｅ ） ＋Ｅ （ＥＵ＋Ｖ） （￡ ］ ｔ ～， ， 】 ［ ， ９ 一 ∈， ＝０ ） 上式 中令 ￡ 。的系数 相等 可得 ＋ｆＯｕ（） ｏｉ ＝ ０ （，ｏｏ ＋ｖ）ｏ ， ￣
Ｉ ｍＩ ｌ ａＩｍ ｐ 托 ａ ｌ ｘ ｘ ｐ
Ｌｌ ｍａｂ ＜ ＜ Ｌ ＬＬ Ｉ ｑ＝ ｘｑ
，
ｍ ｌＩ ａｄ． ｘｐ ＜２ ６
ａ 、 ‘ Ｄ ‘ 、
则 Ｂ是 一个 Ｂ ｎｃ 间，而 Ⅳ 是 Ｂａａｈ空 间的一个 闭线性 子 空 间，故也 是一个 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空 ｎｃ ａ ａｈ 空间 ．显然 Ｆ【 ＝０ 且 Ｆ在 Ｐ＝０的 线性化为 ０ ］ ， ＋ 叭 ００ （）
一类边界层位置转移的非线性奇摄动问题
２ １ １ 忌＜ ０的情形 ． ． ． 由 （ ） 这时 伸长 变量 为 一 ｚ ￡， ９， ／ 问题 （ ） ３ 的零 次外 部解 是 由（ ） 出 的 ｙ 现 将它 与 相应 的 １ 一（ ） ８给 ？， 内层解 的零 次近 似 ， １ ） 即（ ２ 中的 相 匹配． 将 零次 外部 解 用 内 部 变 量 来 表 示 ， 对 小 的 ￡展 开 ， 到 零 次 外 部 解 的 内 展 开 式 ：（ ） 并 得
１ 引
言
在实 际应用 中 ， 出现 了大量 的非 线 性 奇异 摄 动 问题 ， 已成 为 国际 学术 界 十 分 关 注 的热 门问 题 之 它
一
［
．
近年来 ， 近方 法被 发展 和优 化 ， 渐 包括 平均 法 ， 多重 尺度 法 ， 界层 法 ， 边 匹配渐 近展 开法 ． 许多 学者 ，
Ｙ 一ｆ（ ｏ Ｏ ． ｙ ， ） （） ５
由假 设 ［ ， ＨＩ 方程 （ ） ５ 的通解 为
Ｙ ＝Ｇ（ ｏ＝ ＝ ｚ＋ ）． （） ６
由（ ） 问题 （ ） （ ） ６得 １ 一 ３ 的零次 外部 展开 式 的可 能形式 为
ｙ （ ）一 Ｇ － Ｆ（） ？ｚ ＋ ］， － ｙ （ ）： Ｇ［ Ｆ（） １ ｚ ｚ＋ 一 ］， 其中 ｙ（ ） ｙ（ ？ ｚ 与 ）分别 满 足边 界条 件 （ ） （ ） ２ 与 ３． 下 面来求 内层 解 ， 假设 ｚ 为边 界层 的位 置． 。 首先 在 Ｘ— ｚ 附近 引入 伸长 变量 。
如 Ｎｉ Ｗｅ［ 莫 嘉琪 、 阳成 等做 了大 量 的工作 ． 文在上 述 文献 的基 础上 ， 用 匹配渐 近 展开 和 ｉ ， 欧 本 利
法 进一 步研 究 非线性 奇 摄动 边值 问题 ， 推广 并 改进 了文献 ［ ］ ５ 的结 果．
一类高阶方程的非线性边界条件的奇摄动问题
（Ｅ ） ， ∑ （ ，
且其 具有性质
收稿 日期 ： ０ ２０ —２ ２ １ —３ １ 通 讯 作 者 ：姚 静 荪 修 回 日期 ： ０ ２０ — １ ２ １ —４ ２
（） ５
（） ６
基金项 目：国家 自 然科 学基金 （００ ０３； １９ １０ ）安徽高校 省级 自 然科学￣ ： Ｊ ０ １ ３ １ （ ２ １Ａ１５ Ｋ
Ｅ ｍａｌ ｊｙ ｏ － ｉ ｓ ａ ＠ｍａｌ ｈ ｕｅ ｕｃ ： ｉａ ｎ ． ．ｎ ． ｄ
的 形 式 渐 进 解 ， 运 用 了微 分 不 等 式理 论 证 明 了原 问题 解 的 存 在 性 及 所 得 形 式渐 近 解 并
的一致有效性 ， 最后给 出了一个例子说 明结果的意义． 关键词 ： 奇摄动； 线性； 非 高阶微分 方程； 微分 不等 式理论 中图分类号 ： ７ ． ０１５１ ４
１６ ７
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第２ ７ 期
ｇｙ（－） ） 一 （）０ ＝０ （ｏ ２（ ， ｎ ０ ０，）
显然， ０ Ｓ 是系统 若 ， Ｏ
（） ７
ｆＯ ０ ０ … ， ， ｏ８） （，， ， ０ Ａ ，０ ＝０
ｇＡ ， ０ ０ ＝０ （ｏ ８， ）
的一组根 ，则初值问题
２
枷
。
［２ ｏ ｓ是（） （ 的一组根， Ｈ ］ ， ｏ ８， ９ Ａ ） 问题（０ （２在［ １ １） １） ０ ］ 一 ， 上存在充分光滑的解ｙ ：Ｙ （） ０ ｏｘ ［３ Ｈ】 存在正常数１ １ １ ２ ， 使得
ｇ（一） ，ｙ －） ｙ １＜０ ｇ（ ２（ ｎ ｎ ｎ一２！ １， ｙ 一） ， ｙ） ０（＝０ １ ’ 礼一３ ） １ｈ （ ＞０ ｈ（ ｎ ｉ ， ， 一， ）
一类非线性奇摄动问题的渐近解
非线性 奇摄 动 问题是 近 年来 国际学 术界 十分活跃 的研究 对象 ． 匹 配渐 近展 开法 是研 究非 线 性奇 摄动 边 值 问题 的一 种较好 的方法 ｌ １ ］ ． 利用 这种 方法 ， 不仅 可 以处 理有 限 区域上 非 线性 奇摄 动边 值 问题 ， 还可 以处 理 无 限长区域 上非线 性奇摄 动边 值 问题 ． 文献［ ２ —４ ］ 在 文献 ［ １ ］ 的基 础上 ， 研 究 了一般 的具 有无 限长 区域 的非 线性奇 摄动边 值 问题 ， 并得 到 了相关 问题 的一些 有意 义 的结果 ． 文献 ［ ５ ］ 研究 了一 个 特殊 的无 限 长 区域 上 的
Ｖ０ 】 ． ３ ６ Ｎｏ ． １
Ｊ ａ ｎ． ２ ０ １ ３
一
类 非线 性 奇摄 动 问题 的渐 近解
方 静， 欧 阳成
（ 湖州师范学 院 数学 系， 浙江 湖州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ）
摘
要： 利 用 匹配渐近展 开法 ， 研 究 了一类无 限长 区域 上 的非 线性 奇摄 动 边值 问题 ， 给 出了解 的一
非线性 奇摄 动边值 问题 ， 除 了仍 用 匹配渐 近展开 法之 外 ， 还运 用 广义 积分 的收敛 性 ， Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 展 开等 有效 地解
决 了该 问题 ． 这为 研究无 限长 区域上 的非 线性 奇摄动 边值 问题 提供 了有 价值 的思想 方法 ． 文献 ［ ６ ］ 利 用文 献 ［ ５ ］ 的思想 ， 讨 论 了另一个 无 限长 区域上 的非线 性奇摄 动边值 问题 ．
第３ ６卷 １期 ２ ０１ ３ 年１ 月
安 徽 师 范 大 学 学ｉ 报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
源于流体边界层理论的一类奇异非线性边值问题
单调递减 ； （） ｈ ｔ 为定义在 ［ ， １ 上的非负 Ｌｂｇｅ ０ ］ ｅｅｕ 可积函数 ， 并满足 ］ｃ （）＋ ｔ ｝ ｛ ｔ （） ≥０。 ｐ （ ｔ ） Ⅲ） ， 为定义在区间 ［ ， ）×（ ， ｇ ０１ ０ ＋∞）
维普资讯
１８ ２４
科
学
技
术
与
工
程
７卷
上 的一个非 负连 续 函数 ， 于几 乎 所 有 ｔＥ （ ，） 对 ０ １
关于 ｇ 单调递减 ， 并且对每一确定 的 ｇ ｔ （）＞０， 在 区间 ｔ ［ ，］ Ｌｂｇｅ ０ １ 上 ｅｅｕ 可积。 Ｅ
（ Ⅳ）￣ （，） ＝＋∞，ｌ ｉ ｔｇ ｍｆ ｉ ｔｇ ＝０。 ｍ ，） 称一个 函数 ｇ ｔ （）为两 点 边 值 问题 式 （ ） 一 １的
－
Ｐｆ 川 ） 、 一 Ｐｆ 、］ ０ ｓ ｆ １ ｆ
－
Байду номын сангаас
－
：
个解 ， 指 ｇ ｔ Ｅ ｃ ｏ １ ０ １ 在 区间 是 （） ［ ，］ｎ Ｃ ［ ，］，
［ ，）上 ， （）＞０， 且满 足式 （ ） ０１ ｇｔ 并 １。 研 究如 下带参 数形 式 的两点边 值 问题 ：
边值问题式（ ） １ 满足如下假定条件。 （Ｉ） 为 给定 的常数 ； （）为定 义在 上 的 函 ｃ ｑｔ 数 ， 区间 ｔ∈［ ，］上 ｑ ｔ 单调递增 （ 在 ０１ （） 或递减 ） ， 并且 ｑ ｔ （）≥ ０但 不处处 为零 。
（Ｉ 在区 间 ｔ∈ ［ ， １ 上 ， （）＞０， 严格 Ｉ） ０ ］ ｐｔ 并
（ ｔｇ （） ＋ｑ ｔ ｔｇ Ｐ（） ｔ ） （ ， ）＋ｈ ｔ ＝０， （） ０ ＜ｔ＜ １
受扰奇异摄动系统的最优容错控制
受扰奇异摄动系统的最优容错控制摘要：受扰奇异摄动系统是一类具有非线性、不连续和奇异特性的复杂系统。
由于其特殊性质，这类系统在实际应用中容易受到各种扰动的干扰，从而导致系统性能下降甚至失效。
因此，研究如何设计一种最优容错控制策略，以提高受扰奇异摄动系统的鲁棒性和稳定性，具有重要的理论与实际意义。
关键词：受扰奇异摄动系统；最优容错控制；鲁棒性；稳定性一、引言受扰奇异摄动系统是一类具有非线性、不连续和奇异特性的复杂系统，广泛应用于机器人、航天器、自动驾驶等领域。
然而，由于其特殊的性质，这类系统往往容易受到外界扰动的影响，从而导致系统输出产生偏差或者失效。
因此，如何设计一种最优容错控制策略，以提高系统的鲁棒性和稳定性，成为了当前研究的热点问题。
二、受扰奇异摄动系统的数学模型受扰奇异摄动系统的数学模型可以表示为：$\dot{x}(t)=f(x(t))+g(x(t))u(t)+d(t)$其中，$x(t)$为系统状态，$f(x(t))$为非线性函数，$g(x(t))$为控制增益，$u(t)$为控制输入，$d(t)$为外界扰动。
三、最优容错控制策略的设计在受扰奇异摄动系统中，最优容错控制策略的设计目标是通过调整控制输入$u(t)$，使系统输出能够在扰动的干扰下尽可能逼近期望值，并保持系统的稳定性。
为了实现这一目标，可以采用最优控制理论中的方法，将问题转化为求解一个优化问题。
具体而言，可以引入一个性能指标，如系统输出与期望值之间的误差平方和，作为优化目标函数。
然后，通过对目标函数进行求导并进行优化，得到最优的控制输入$u^*(t)$。
最终，将最优控制输入应用于受扰奇异摄动系统中，即可实现最优容错控制。
四、实例分析为了验证最优容错控制策略的有效性，我们以一个具体的受扰奇异摄动系统为例进行仿真分析。
通过对比使用最优容错控制策略和常规容错控制策略的结果，可以发现最优容错控制策略能够在扰动的干扰下更好地保持系统的稳定性和性能。
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2010年8月第16卷第3期安庆师范学院学报(自然科学版)J cM m al af A nqi ng T eac her s C ol lege(N at u r al Sci ence Edi t ion)A ug．2010V O I．16N o．3一类具有激波层的奇摄动非线性问题史娟荣1’2，刘树德1(1．安徽师范大学数学计算机科学学院。
2．安徽机电职业技术学院，安徽芜湖241000)摘要：本文研究了一类具有内激波层现象的奇摄动拟线性边值问题，在适当的条件下，用合成展开法构造出该问题的一阶渐近表达式，并利用不动点原理证明了解的存在性及其当c一0时的渐近性质。
关键词：奇摄动；边值问题；激波层；合成展开法}不动点原理中图分类号：0175．14文献标识码：A文章编号：1007--4260(2010)03一O008一040引言在形式为殴”+船7+g(t，z)=o，o<e《1，x(o，e)=a，z(1，￡)=卢的问题中，小摄动作用于一个非常窄的区域，越过这一区域时，因变量经受非常急剧的变化，尤其在流体和固体力学中，这种急剧的变化往往会发生在感兴趣的区域内部，人们习惯上把这种现象称为激波。
一些作者已对上述问题做了广泛而深入的研究n-71。
本文讨论一个具体的例子，所得结果可以推广到更一般的情形。
1激波层现象考虑奇摄动两点边值问题缸”+船7一艄=0，0<￡<1(1)x(O，e)=a，x(1，e)=卢(2)其中e>0是小参数，口<0<卢，∞>1。
由于边界层的位置取决于X7的系数z的符号，而函数X= x(t，￡)在两端点的值异号，因此至少存在一点t。
∈(o，1)，使x(t。
，e)=0，于是在t。
处可能会出现内层(例如内激波层)现象。
下面我们采用合成展开法嗍来寻求该问题的一阶一致有效的渐近展开式。
先求如下形式的外展开式。
U(t，e)=≥：“』(￡)一(3)‘。
=——使它满足(2)中的左边界或右边界的条件，把(3)代入(1)和x(O，e)=口，并令￡o的系数相等可得U o“7o一洲o=0，U o(O)=口(4)其解(称为退化问题的左解)为“5(￡)=以+口。
类似地，由‰“7。
一洲。
=0，‰(1)=卢，求出退化问题的右解为M；(￡)=口一∞+aJt。
记口=J9一口一∞，若在t。
处出现激波层，必须“；(％)一“6(％)=口≠0。
因为已假设口<0<卢，故应有口>O o我们在￡。
附近引入伸长变量e=￡≥，并构造内层校正项V(e，e)=∑Ⅵ(e)一‘j=0去寻求(1)，(2)的如下形式的合成展开式x(t，￡)=U(t，e)+V(搴，e)(5)将(5)代人(1)可得矿+W+呻+e(U7一c￡，)V=0(6)这里V，矿分别表示V对e的一阶导数和二阶导数，比较上式￡o的系数得到vo+"00"0。
o+“6(t o)诜=0(7)*收稿日期：2010—01—20基金项目：教育部科学技术研究重点项目(207047)资助。
作者简介：史娟荣，女，安徽宜城人，安徽机电职业技术学院讲师。
第3期史娟荣，刘树德：一类具有激波屡的奇摄动非线性问题9注意到"O o(})作为校正项的主项，应满足l i m V 0(})=0，l i r a ‰(拿)=“；(t o)～U ：(t 。
)=口，l i m vo(搴)=0，卜一“}t 十”p 。
1利用l i m 矾({)=l i m 氓(e)=0，从(7)推出云。
十“：(￡。
)砺+妻碥=0(8)卜一o}+一。
厶11再利用l i 田‰(e )=口，l i m 丢。
(搴)=0，在(8)中令拿一+co 便得“6(岛)口+告cr2=0，即“：(％)=一寺d 。
“；(￡o)+M ：(￡o)=0(9)=丢蛾由于激波集中出现在t =t 。
(即e=o)处，故上式两边对e 从0到e 积分可得vo=号-E1+tanh(4搴)]一午[1+ta 以(牛拿)]，至此我们求得问题(1)，(2)的一阶形式渐近式z(￡，￡)：以+口+臣等[1+ta 以(垡!_[弓照必]+…，注1若在方程(6)中用“；(f 。
)代替砧6(％)，则相应的校正项(仍记作V O (e))应满足l i m V o(手)=0，l i m V o(S)=一盯，l i m vo(e)=0}一十。
卜一“}+o 注2与(9)相等价的说法是方程l ∞dr —l c odr =口+卢(10)在区间(o ，1)内有实根f =f 。
，即0<坠三}型<l 。
2激波解的存在性及解的渐近估计如果问题(1)，(2)的解x(t ，￡)在t =t 。
出现激波层现象，则称它为激波解。
我们将导出激波解的存在性，并给出解的一阶渐近表达式。
令z(￡，e)一“6(￡。
)+矾(t--t o)+R (￡，e)(11)e将(11)代人(1)，(2)并从(6)知诜+"00V ‘。
+“：(f )诜=0(￡)，可得￡2警+￡(㈣+‰+R)警hR=o(e)，R(o ，e)一Vo(-t eo)，R(1’e)一--V0(半)h由l i m V o(e )=0，l i m 'o 。
(e )一0推出存在￡o>0，使当0<￡≤￡o 时有R (O ，￡)一o(￡)，R (1，e)=O (￡)，再令R (t ，e)=R (t ，e)一R (O ，￡)一JR(1，￡)一R (0，e)]9(z)其中P(z)∈C2[o ，13，满足妒(￡)=o ，0≤￡≤专及9(￡)=1，}≤￡≤1，就有￡2警+￡(引蚪矾+两警h 瓦=o(￡)(12)夏(O ，￡)=一R(1，e)=0(13)下面我们应用不动点原理来证明，对于给定方程(12)右端的连续函数g(t ，e)=0(e)，问题(12)，(13)在[o ，1]上存在唯一解R (t ，e)，且满足R (t ，e)=o(￡)。
引理(不动点原理)‘11设(N ，I f 『J ，)是赋范线性空间，(B ，}f i f )是Banach 空间，F 是N 到B 的非线性映射，F[o]=0，且F 可分解为FE p]一L E p]+9[p]．P ∈N ，其中L 是F 在P=0的线性化，算子L 和9满足如下两条件：(i )L 是双射，其L -1连续，即存在常数l >0，使I |Lq[q]I I ，≤l 叫|l q I l ，V q ∈B ；(i i )存在；>0，使当0≤P ≤石时，Il ?[夕z]一9[户。
]l I 。
≤re(p)||Pz ～P ，l l -，V P 。
，P ：∈以N (p)，其中nN (1D )={夕l P ∈N ，l I P I l -≤l D )，优(10)当P 一0时单调减少且l i e m (I D )一0。
记』D 0一sup{p 0≤JD ≤石，优(1D )≤告}，则对满足I I g I |≤譬的任意g ∈B ，总存在P ∈N ，使得≯二砉万为写改可鼬是或于10安庆师范学院学报(自然科学版)2010年F[-p]=g，且满足I I P II。
≤2l_1|l g I I≤』00。
现在我们定义映射F：N—B如下：F[户]。
￡2警+e(“5(￡)+‰+户)警+云。
夕，其中N={P P∈C2[o，1]，P(o)=P(1)=0)，B={q q∈c[o，1])，其范数分别为II pI I=m[o'a。
x]I户。
)I+e m[0．a州x dQp。
I+￡|m[o，a州x ddz￡p。
l，II q I I=m【0，a。
x]I q(x)I，则B是一个B ana ch空Jh-]，而N是B anach空间c2[o，1]的一个闭线性子空间，故也是一个B anach空间，显然F[o]=o，且F在P=o的线性化为LEP3一e2磐+e(“，。
(￡)+‰)面dp+。
夕，于是缈[户]=FE p3--L i p]=印i dp。
注意到，LE p3=0的两个线性无关的解可表示为‘93Pl(￡，￡)=A(t，e)，P2(￡，e)=B(t，e)exp(一上I‘[“5(s)+％(s--t o)]ds)，E JEt o其中A(￡，e)～∑q(t)一，A(t。
，e)=1，B(￡，e)～∑岛(￡)一，B(t。
，e)=1。
由于夕(o，e)P2(1，e)一Pl(1，e)户2(o，￡)≠0，故齐次线性边值问题L i p]=0，p(O，￡)=p(1，e)=0只有零解，换句话说，对V g∈B，半齐次线性边值问题Li p]=q，p(o，e)=p(1，e)=0有唯一解，也就是说L是双射，又因为I|LEp3“=船l e2磐+￡(引卅‰)警h如)I≤M(e2m ax da辔]+e黼㈦+船I p(t巾=M II P II。
，其中M=1+m，ax、I“6(￡)+矾I+m ax I诜I)，所以L是线性有界算子。
根据逆算子定理m1，L_1存在，且L．1也是线性有界的，即存在常数l>0，使l I r1Eq3l I。
≤1_10q0，条件(i)成立。
任取P1，P2∈nN(p)(O<P≤1)，有№[蝴一蚍钔onm l a州x z警一ep。
警l≤搿k。
咱)dp2+m ax cp，(dp2dpl-)l 从而存在常数f>0，使条件(i i)也成立，其中r e(p)=印，不难算出p=s up{p0≤I D≤1，m(I D)≤专}=m ax{1，去)(只要取f足够大)由于l I g l l=o(e)≤警，故gLY l理推出，存在夏∈N，使F[夏]=g，且II夏II，≤21叫Il g I I=o(￡)。
综合上述讨论，我们得到如下定理定理假设条件：(H1)0<O)--。
崖--U<1；(H2)函数“5(岛)和“；(岛)在区间[o，1]上分别满足退化问题(3)和(4)，且口=乱；(t。
)一”6(岛)>0成立，则存在充分小的￡。
(>O)，使对每个￡l0<e<￡。
，问题(1)，(2)在区间[o，1]上都有一个解x(t，e)，且表示为z(t，￡)=“6(f)+导[1+tanh丛三三盟]+o(e)(e—o)，其中口=J9一口一∞。
注3进一步可以证明，对每一个0<e<e。
，问题(1)，(2)的解x(t，E)是唯一的。
详细的讨论可参看文献[1]第十章“不动点定理的证明”。
参考文献：[1]Jage r E M D e，J i an g F R The t heor y of s ingul ar per t ur b at i o n[M]．N or t h H ol l and P u N，A m st e r da m，1996．第3期史娟荣，刘树德：一类具有激波层的奇摄动非线性问题[2]N ayfe h A H．I nt r oduct i on t o pe r tur ba ti on t e chni ques[M]．W i l ey，N e w Y ork，1981．[3]H o w es F A．Boundar y--i nt er i or l ayer i n t e ra c t i on s i n nonl inear s ingul ar pe r tur ba ti on t heor y[J]．M e r e．A m er．M at h．S oc，1978(203)：1—108．[4]O'M al l e y R E Jr．O n t h e as ym pt ot i c s o l ut i o n o f t h e s i n gula r pe r tur ba ti on bou nda r y va lue pr o bl em pos ed by B oh’{e}[J]．M at h．A n al．A pp l，2000(242)：18—38．[5]M o J Q，H an x L．A s ym pt ot i c s hock s olut ion f or nonl inear equat i on[J]．A ct a M at h．Sci，2004，24(2)：164—167．[6]M o J Q．S h oc k s o l ut i o n f or a c l as s o f s ingu l a r ly per t ur bed nonl i near equat i ons[J]．Sys．Sci，2006。