第七章二次型

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工程数学第七章二次型

第七章
工
程
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f = a11x2 + a22y2 + a33z2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
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λ −2
解： | λE − A |=
0
0 −2 , λ −3
0 0
λ −3
−2
= (λ − 2)(λ2 − 6λ + 5 ) = 0 A 的特征值为 λ1=1, λ2=2, λ3 = 5.
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λ1=1时, 由 (E−A)X=0, 即
0 x1 − 1 0 0 − 2 − 2 ⋅ x = 0, 2 0 − 2 − 2 x 3
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二、n元二次型及其矩阵表示
定义称 n 元实二次齐次式
f ( x1 , x 2 ,L , x n ) = a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + L + 2a1n x1 x n
2 + a 22 x 2 + L + 2a 2 n x 2 x n
+L

第七章二次型分析

第七章二次型二次型是型论的内容之一，是非线性的.二次型的研究源于解析几何中对有心二次曲线和二次曲面方程的化简.由于实二次型的讨论,可以转化为对实对称矩阵的讨论,所以将它纳入线性代数的内容,本章内容可以看作矩阵化简理论一个方面的应用.本章的重点是实二次型化标准形及正定二次型.7.1 二次型及其矩阵定义1 数域F 上的一个二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(+++=ΛΛn n x x a x a x x a 2222221221++++Λ++Λ22211n nn n n n n x a x x a x x a +++Λ∑∑===n i nj j i ij x x a 11, (1)称为F 上的一个n 元二次型.),,2,1,(n j i F a ij Λ=∈称二次型),,,(21n x x x f Λ的系数.由于i j j i x x x x =,令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211, 其中n j i a a ji ij ,,2,1,,Λ==.即A 为对称矩阵:A A T=.那么(1)可表为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x x x x f M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212122221112112121),,,(),,,( AX X T=, (2)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X M 21.(2)称为(1)的矩阵表示式,称A 为二次型),,,(21n x x x f Λ的矩阵. A 的秩称为该二次型的秩.显然,每一个n 元二次型都对应一个n 阶对称矩阵.例1 三元二次型23322121321232),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=20010112323A .下面我们主要讨论实数域R 上的二次型,即对实对称矩阵进行讨论.我们的目的是化实对称矩阵为对角形矩阵.实对称矩阵有如下性质:性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.证设A 是n 阶实对称矩阵,λ为A 的特征值,Tn x x x ),,,(21Λ=α是属于特征值λ的特征向量.即有.λαα=A (3)令α为α的共轭向量,A 为A 的共轭矩阵（由A 的元素ij a 的共轭数ij a 构成）.由(3)两边取共轭有λαα=A ,即αλα=A .因A A =,所以αλα=A . (4)对(4)两边取转置,得T T T A αλα=. (5)用α右乘(5)两边,得ααλααααααλTT T T T A A ===.于是0)(=-ααλλT .由222212211||||||n n T x x x x x x x x x +++=+++=ΛΛαα,而0≠α,则有ααT＞0.因此0=-λλ,即λλ=,故λ为实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.证设21,λλ是实对称矩阵A 的两个不同的特征值,21,αα是分别属于21,λλ的特征向量（实n 元列向量）,即有111αλα=A , 222αλα=A ,那么><>=>=<<21121121,,,ααλααλααA .又><====>=<21221221212121,)(,ααλααλααααααααT T T T T A A A A . 于是0,)(2121>=<-ααλλ.而021≠-λλ,故0,21>=<αα,即21,αα正交.性质3 n 阶实对称矩阵相似于n 阶对角形矩阵. 证对n 采用归纳法. 2=n ,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b b a A .若0=b ,A 已是对角形矩阵.若0≠b ,由22)(||b ac c a cb ba A E -++-=----=-λλλλλ. (6)(6)式右端为λ的二次三项式,其判别式22224)()(4)(b c a b ac c a +-=--+=∆＞0.因而A 有两个不同的特征值,由定理6.3.1的推论,A 可对角化.设对1-n 阶实对称矩阵,结论成立.当A 为n 阶实对称矩阵时,设111αλα=A .由于0≠k ,1αk 也属于1λ的特征向量,于是可取1α为单位向量.令),,,(211n p αααΛ=为正交矩阵,则有),,,(212111111n T n T T TA A A AP p AP p ααααααΛM ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-,212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T n T n T nn TT T n T T T A A A A A A A A A ααααααααααααααααααΛΛΛΛΛΛΛ 该矩阵仍为对称矩阵.而.1,1,0,,111111≠=⎩⎨⎧>=<==j j A j Tj T j λααλαλααα 于是.00001111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-BAp p M Λλ 其中B 为1-n 阶对称矩阵.由归纳假设,有(1-n )阶可逆矩阵Q ,使得.321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BQ Q λλλO令,0012⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q p且令21p p p =,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----Q B Q p Ap p p Ap p 00100001112111121λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n λλλO 21. (7)实对称矩阵的讨论可以放在欧氏空间中进行.一个实对称矩阵A 化对角形矩阵,先求出A 的全部特征值(它即为对角矩阵中的元素)及相应的特征向量.将A 的属于同一特征值的特征向量正交化,单位化,仍为A 的属于该特征值的特征向量.由于属于不同特征值的特征向量正交,那么,此时A 的这n 个特征向量均为单位向量,且两两正交.以它们为列构成(7)式中的p ,则p 为正交矩阵.于是有定理7.1.1 A 是n 阶实对称矩阵,则一定存在n 阶正交矩阵U ,使得AU U T为对角形矩阵.定义2 设A ,B 是数域F 上两个n 阶矩阵,如果存在F 上的一个n 阶可逆矩阵p ,使得B AP P T = (8)那么就称A 与B 合同,记为A ≈B .矩阵的合同关系具有以下性质:1°自反性: A ≈A . 在(8)中取E P =即可.2°对称性: 若A ≈B ,则有可逆矩阵P ,使B AP P T =.于是11)(--BPP TTP )(1-=A BP =-1.即有B ≈A .3°传递性: 若A ≈B ,B ≈C ,则有可逆矩阵P ,Q ,使得B AP P T =, C BQ Q T=.于是C BQ Q APQ P Q PQ A PQ TT T T ===)()(,即有A ≈C .若A ≈B ,显然秩(A )=秩(B ).定理7.1.1说明,任意一个实对称矩阵都合同于一个对角形矩阵.例2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A求正交矩阵U ,使AU U T为对角形.解 A 的特征多项式)2)(4)(1(20212022+--=--=-λλλλλλλA E , 特征值为:2,4,1-===λλλ. 对,1=λ求得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-0202202323121x x x x x x 的基础解系T)2,1,2(1--=α.对应,42=λ23-=λ的齐次线性方程组分别求得基础解系: T )1,2,2(2-=α,T )2,2,1(3=α.将321,,ααα单位化得:T )32,31,32(1--=η, T )31,32,32(2-=η, T )32,32,31(3=η.于是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21222112231U ,而 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=241AU U T .习题1.写出下列实二次型的矩阵.(1) ;4232),,(233222312121321x x x x x x x x x x x x f --+-+=(2) 433241312143216532),,,(x x x x x x x x x x x x x x g +-+-=;(3) 232221321432),,(x x x x x x h +-=.2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=320222021A ,求可逆矩阵AP P P T使,为对角形.3.设A 是一个可逆对称矩阵.证明,1-A ≈A .4.A 为四阶实对称矩阵,秩(A )2=,问与A 合同的对角形矩阵有哪几种情况?*5. 设σ是欧氏空间V 的一个线性变换,若V ∈∀ηξ,有>>=<<)(,),(ησξηξσ,则称σ是一个对称变换.证明对称变换σ在V 的任一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵.7.2 实二次型的标准形我们已经知道,如果A 是n 阶实对称矩阵,秩r A =)(≤n ,那么,总存在n 阶可逆矩阵P ,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0021OOrTd d d AP P . (1) 显然,与(1)中这个对角形矩阵相应的二次型只含有变量的平方项,即为.2222211r r y d y d y d +++Λ称此二次型为与A 相应的二次型的标准形.如何将一个二次型化为标准形,定理7.1.1已经给出了一个方法.事实上,设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21Λ.其中,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X M TA A =.由定理7.1.1,则有正交矩阵P ,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T AP P λλλO21. 令,PY X =,),,,(21Tn y y y Y Λ=那么)()(),,,(21PY A PY AX X x x x f TT n ==Λ),,,()(21n TT y y y Y AP P Y Λ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y M 21. (2) (2)中A n 为λλλ,,,21Λ的全部特征值.P 的第j 列为属于j λ的特征向量正交化、单位化后所得的特征向量.上述这种化二次型为标准形的方法,称为正交变换法.如果不考虑求正交矩阵P ,那么,求出实二次型矩阵的全部特征值后,便可得到该二次型的标准形.在正交变换法中,PY X =( P 为正交矩阵),称为坐标的正交变换.解析几何中.就是通过这种坐标的正交变换,将有心二次曲线或二次曲面方程化为标准形式的.正交变换法中,如果要求出正交矩阵P ,显然是比较麻烦的.下面我们再给出两种化二次型为标准形的方法.1.初等变换法设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T d d d AP P O21, 由P 可逆,令s p p p P Λ21=,),,2,1(s i p i Λ=为初等矩阵,那么有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s S TT T s d d d P P AP P P P OΛΛ212112. (3) 又P P P EP s =Λ21. (4)(3)与 (4)说明,对A 施行某一类行初等变换后,同时施行相应的列的初等变换,并且对单位矩阵A E 随施行同样的列变换,当A 化成对角矩阵时,那么E 化为可逆矩阵P .综合(3)、(4),可表成如下形式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P D E A ,其中D 为对角形矩阵.这种化实二次型为标准形的方法称为初等变换法.例1 用初等变换法化下列二次型为标准形32312123222132142224),,(x x x x x x x x x x x x f +++---=.解 ),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221241111A .−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++)1()3()1()2(100010001221241111E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100010111130330001−−→−+)2()3(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100110211200030001. 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110211P ,而经可逆变量替换PY X =,23222132123),,(y y y x x x f +--=.2.配方法.配方法是将二次型的一些项,配成全完平方项,逐步通过可逆的变量替换,最后化成只含新变量的平方项的二次型例2 用配方法化下列二次型为标准形2332312122213214642),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.解 3223213212)]2([),,(x x x x x x x x f +++=令32112x x x y ++=, 32112y y y x --=, 22x y =,或22y x =,33x y =.33y x =.经变量替换Y p X 1=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000102111p ,有 32213212),,(y y y x x x f +=.再令11z y =, 2y = 32z z +,=3y 32z z -.经变量替换 ,2Z P Y =其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101100012p , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321z z z Z ,有 3322212121222z z z y y y -+=+.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==11011013121p p p ,那么,经可逆变量替换PZ X =有23222132122),,(z z z x x x f -+=.采用初等变换法或配方法化二次型为标准形,由于变换过程不同,或者选择配方的变量不一样,所化得的标准形可能不同,但标准形中,所含变量的平方项的个数都是一样的,这是因为两个相似或合同的矩阵有相同的秩.一个二次型经过变量的替换后,化成一个含新变量的二次型,那么,称这两个二次型是等价的.于是可以说,一个实二次型与它的标准形等价.为了避免实二次型的标准形可能出现的不唯一性,我们需要将它的标准形作进一步的规范.设n A 是阶实对称矩阵,秩)(A =r (0＜r ＜n ),P 为实可逆矩阵,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0021OOr Td d d AP P .必要时,交换对角矩阵中的两列和两行(相当于对它右乘以ij R 左乘以Tij R ),因而,总可以假定p d d ,,1Λ＞0; r p d d ,,1Λ+＜0, 0≤p ≤r .令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11||1||11OO r d d Q , 则有.0000000⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-Pr PT T E E APQ P Q 于是我们得到定理7.2.1 任意一个秩为r 的实n 元二次型,都与如下一个二次型等价:.221221r P P y y y y ---+++ΛΛ (5)二次型(5)称为实二次型的规范形.下面我们进一步证明(5)中的P 也是唯一确定的,即有定理7.2.2(惯性定理) 实二次型的规范形是唯一的.证设实二次型),,,(21n x x x f Λ的秩为r ，且经过可逆变量替换BY X =和CZ X =分别化为22122121),,(r p p n y y y y x x x f ---++=+ΛΛΛ 和22122121),,(r q q n z z z z x x x f ---++=+ΛΛΛ. 即经 BY C Z 1-=,有221221221221r p p r q q y y y y z z z z ---++=---++++ΛΛΛΛ (6)假设p ＞q ,令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-nn n n n n t t tt t tt t t B C ΛΛΛΛΛΛΛ2122221112111. 那么,BY C Z 1-= 即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.22112222121212121111n nn n n n nn nn y t y t y t z y t y t y t z y t y t y t z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (7)考虑齐次线性方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+++=++++,0000122111212111n p n qn q q n n y y y t y t y t y t y t y t ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (8)(8)中方程个数为 )()(q p n p n q --=-+＜n ,因而有非零解:),,,,,(11n p p k k k k ΛΛ+，其中,01===+n p k k Λ.将它代入(6)的右端得221p k k ++Λ＞0,又代入(8)的前q 个方程知(7)中有01===q z z Λ,于是(6)的左端221r q z z ---+Λ≤0,矛盾.因而p ≤q ,同法可得q ≤p ,从而q p =.规范形(5)中的p 称实二次型的正惯性指数,p r -称为负惯性指数,r p p r p -=--2)(称为二次型的符号差,记为s ,即r p s -=2.由惯性定理得,推论两个实二次型等价,当且仅当它们有相同的秩和符号差.习题1.用正交变换法,化二次型为标准形31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=.2.分别用初等变换法和配方法,将二次型2332222121321242),,(x x x x x x x x x x f -+-+=化为标准形.3.求下列二次型的秩、正惯性指数和符号差. (1);262),,(313221321x x x x x x x x x f +-=(2).4242),,(3221232221321x x x x x x x x x x f ++++=4.将等价的二次型作为一类,证明,所有的n 元实二次型共有)2)(1(21++n n 个类.7.3 正定二次型一个n 元实二次型AX X x x x f Tn =),,,(21Λ,实际上可以看成定义在实数域R 上的一个n 元实函数.用Tn c c c X ),,,(210Λ=取代X ,得到一个唯一确定的实数0021),,,(AX X c c c f Tn =Λ,称该实数为),,(1n x x f Λ在0X X =时的值.定义 1 设有n 元实二次型AX X x x x f Tn =),,,(21Λ,如果对于任何一组不全为零的实数n c c c ,,,21Λ,都有),,,(21n c c c f Λ＞0,那么称),,,(21n x x x f Λ是正定二次型.正定二次型的矩阵A 称为正定矩阵(A 是正定矩阵简称A 正定).定理7.3.1 n 元实二次型AX X x x x f Tn =),,,(21Λ正定的充分必要条件是它的正惯性指数n p =.证若),,,(21n x x x f Λ的正惯性指数n p =,则经可逆变量替换PY X =,可化为规范形2222121),,,(n n y y y x x x f +++=ΛΛ. (1)任取0),,,(210≠=Tn c c c X Λ,代入X PY =,得线性方程组0X PY =.由p 可逆及00≠X ,可得唯一非零解010X p Y -=.令.0),,,(210≠=T n b b b Y Λ得2222121),,,(n n b b b c c c f +++=ΛΛ＞0.故),,,(21n x x x f Λ是正定二次型.反之,若AX X x x x f Tn =),,,(21Λ正定,而正惯性指数p ＜n .1＝.设秩p A =)(,则该二次型经可逆变量替换Z Q X 1=,化为规范形:.),,,(221222121n n n z z z z x x x f -+++=-ΛΛ (2)取Tp n p Z )1,,1,0,,0(0876Λ876Λ个个-=,得010Z Q X =.由00≠Z 且1Q 可逆,知00≠X .令0),,,(210≠=T n k k k X Λ,代入(2),得0),,,(21=n k k k f Λ,与),,,(21n x x x f Λ正定矛盾.2).设秩()p r A >=,则该二次型经可逆变量替换W Q X 2=化为规范形:.),,,(22122121r p p n w w w w x x x f ---++=+ΛΛΛ取Tp n p W )1,,1,0,,0(0876Λ876Λ个个-=.同样可得.0),,,(210≠=T n t t t X Λ而,0)(),,,(21<--=p r t t t f n Λ必与),,,(21n x x x f Λ正定矛盾.故.n p =由定理7.3.1,可得推论1 n A 是阶实对称矩阵,A 正定的充分必要条件是A 的所有特征值都大于零. 推论2 n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 合同于单位矩阵n E . 由推论1,2可知, A 是正定矩阵,那么A 对应的二次型是正定二次型.这样,对正定二次型的讨论可以转化为对正定矩阵的讨论,下面给出正定矩阵的几个性质.性质1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆的实矩阵Q ,使得Q Q A T=.事实上,若A 正定,那么有可逆矩阵p ,使n T E AP P =.于是.)()(1111----==P P PP A T T令1-=P Q ,则有Q Q A T =.反过来,若Q Q A T=,且Q 可逆,那么.)()(1111E AQ Q AQ Q T T==----令1-=Q P ,便有E AP p T=,由定理7.3.1的推论2知,A 正定.性质2 实对称矩阵A 正定,则||A ＞0事实上,在性质1中,对Q Q A T=两边取行列式即得.为了直接从A 来判定A 是否正定,我们先给出定义2 设n a A ij 是)(=阶实对称矩阵,由A 的前k 行,前k 列的元构成的k 阶子式kkk k kk a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211, 称为A 的k 阶主子式(或称k 阶顺序主子式).取,,,2,1n k Λ=便得到A 的所有主子式.定理7.3.2 A 是n 阶实对称矩阵, A 正定的充分必要条件是A 的所有主子式都大于零.证设),,,(21k k x x x f Λ为k 元二次型,其矩阵为k k ij k a A ⨯=)(.任取0),,,(210≠=T k c c c X Λ代入k f ,有∑==kj i jiij k k c c a c c c f 1,21.),,,(Λ令Tk n k c c X )0,,0,,,(11876ΛΛ个-=,则01≠X .由),,,(21n x x x f Λ正定,有),,,()0,,0,,,(211k k k c c c f c c f ΛΛΛ=＞0,因此),,,(21k k x x x f Λ正定,从而k A 正定,由性质2, |k A |＞0,.,,2,1n k Λ=反之，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211. A 的所有主子式||k A ＞0,n k ,,2,1Λ=.从第二行起,逐步对A 的第i 行,第i 列施行同样的第三类初等变换,首先有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000111B a A M Λ, 其中11a ＞0,1B 仍为对称矩阵(因为122112)(P P P P P AP P P P s T T S T T s ΛΛΛ=TT P AP 21 i T S P P ,Λ为第三类初等矩阵).如此下去,最后得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→n d d a A O211. (3) 由行列式的性质得知||111A a =＞0,||2211A d a =＞0,…,||211A d d a n =Λ＞0,因此11a ＞0,i d ＞0,n i ,,2Λ=.而(3)相当于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T d d a AP P O211, 其中p 为第三类初等矩阵的乘积,而A 对应的二次型经可逆变量替换PY X =,有.),,(222221111n n n y d y d y a x x f +++=ΛΛ),,,(21n x x x f Λ的正惯性指数n p =,因而),,(1n x x fΛ正定,故A 正定.例1 证明A 是正定矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=521241111A . 证由于A 的主子式1||1=A ＞0,34111||2==A ＞0,1||=A ＞0.所以A 正定.例2 λ为何值时,二次型3231212322213214225),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ是正定二次型.解 ),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5212111λλA .A 的主子式11=A , 22111λλλ-==A ,.45521211123λλλλ--=--=A由⎩⎨⎧---λλλ45122 ＞0＞0解得54-＜λ＜0.即当54-＜λ＜0时,所给二次型为正定二次型. 与正定二次型相仿,我们可以定义负定二次型,半正定二次型.即对任意的0),,(2,1≠=T n x x x X Λ,若AX X x x x f T n =),,,(21Λ＜0,那么称),,(2,1n x x x f Λ为负定二次型;若有AX X x x x f T n =),,,(21Λ≥0,那么称),,(2,1n x x x f Λ为半正定二次型.习题1.下列矩阵中,哪些是正定矩阵(1) ;5221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (2);4331⎪⎪⎭⎫⎝⎛ (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛510142022.2.下列二次型中,哪些是正定二次型(1) 3121232221443210x x x x x x x +++-; (2) 32312123222148455x x x x x x x x x --+++.3.λ取何值时,下列二次型是正定的.313221232221222)(x x x x x x x x x --+++λ.4.证明:如果A 正定,那么1-A 、)0(>k kA 、*A 也正定.5.如果n B A 为,阶正定矩阵,证明B A +也是正定矩阵.。

天津大学线性代数教材第七章

记 B = STAS, 知 B 是对称矩阵, 是二次型 g(Y ) 的矩阵.
7.2 化二次型为标准形
· 149 ·
如果所作的线性替换 X = SY 是满秩的, 则 S 是可逆矩阵, 线性替换 Y = S−1X 可把 g(Y ) 还原到 f (X), 此时的二次型 f 与 g 是等价的.
定义 7.1.4 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 S 使得
津数因此, 一个二次型能否化成标准形, 用矩阵的语言来说, 就是对称矩阵 A 能否与一个对学角矩阵合同. 由于 S 是可逆矩阵, 所以 r(A) = r(STAS) = r(B). 因此, 二次型 f 的标准形天大中不为零的平方项的项数等于二次型 f 的秩.
津 7.2.1 正交线性替换法
天实二次型的矩阵为实对称矩阵. 由定理 6.3.4 知, 对于实对称矩阵 A, 必存在 n 阶正交矩
阵 Q, 使得 QTAQ = Q−1AQ = diag(λ1, λ2, . . . , λn), 其中 λ1, λ2, . . . , λn 为矩阵 A 的全部
特征值, 即一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. 因此, 一个实二次型一定能化为标准形.
版所 f (x1, x2, . . . , xn) =a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn 院 + a22x22 + 2a23x2x3 + · · · + 2a2nx2xn + · · · + annx2n
(7.1)
学权称为数域 P 上的 (n 元) 二次型. 当 P = R 时称之为实二次型. 版令 aij = aji(i > j), 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi(i > j), 于是 (7.1) 式可写成

第七讲二次型

f
x x1 , x 2 , , x n
因为 r A n ，故 A 可逆，且 T 1 1 T 知 A A A 1 。
A
1

1 A
A

，由 A 的对称
故 A 1也是实对称矩阵，因此二次型 f x 的矩阵为 A 1 。 T 1 1 1 T （2）因为 A A A A E A 1，所以 A 与 A 1 合同。于是 g x
一、二次型的基本概念形如
f
x1 , x 2 , x n
i 1 j 1
n
n
a ij x i x j
a
ij
a ji , i , j 1, 2 , , n
a1 1 a 21 x1 , x 2 , , x n a n1
1 2 0 1 2 0 1 0
1
2 1 2 r1 0 r2 c1 c 2 0 0 1
1 1 2 1 r2 r1 2 r3 r1 0 c 1 c1 2 2 c 3 c1 0 0 1
第三步：可逆线性变换 x
T 2
P y 化二次型为标准形
2 2
f y D y d 1 y1 d 2 y 2 d n y n
例1 化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换：
1 2
f f
x1 , x 2 , x 3 x1 , x 2 , x 3
即
y1 z1 z 3 z2 y2 y z3 3
x1 z 1 z 2 z 3 x 2 z1 z 2 z 3 z3 x3

二次型定理

二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。

本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。

一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。

设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。

二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。

二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。

三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。

具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。

进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。

《线性代数及其应用》第七章对称矩阵和二次型

故
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵；（2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，

线性代数-二次型

二次型也用于描述平面或三维空间中的曲面，如椭球面、抛物面、双曲面等。这些曲面也可以通过调整二次型的系数来改变其形状和大小。
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
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在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。例如，在微观经济学中，二次型可以用来描述消费者的效用函数，通过求解这个二次型的最大值，可以得到消费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描述一个国家的生产函数，通过求解这个二次型的最大值，可以得到一个国家最优的产出水平。此外，二次型也用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。

二次型及其矩阵表示

二次型的标准型的意义
标准型在二次型的理论和应用中具有重要意义。例如，通过研究标准型，我们可以更好地了解二次型的性质和特点。此外，标准型也常常用于求解二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方法
二次型的标准化方法包括将二次型转化为标准型的过程。这个过程可以通过正交变换来实现，具体来说就是通过一系列可逆变换将二次型转化为其同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为其同类中最为简单的一种形式。通过作可逆变换，任何一个二次型都可以化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种方法可以用于计算二次型的值。

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§1 二次型与合同变换
一. 二次型的定义和矩阵表示定义7.1 n个变量x1, x2,…, xn的二次齐次函数
ƒ(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+
2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn.
称为一个n元二次型, 简称二次型. 当系数aij均为实数时称
2 3 1 A 1 3 2 2 2 0
A的特征多项式为
3
1 2
1
2
3
2
4 1 2 4 1 2 2 4 3 2 0 2 4 0 2 0 2
=(-4)(2-2-8)=(-4)2(+2) 所以, 矩阵A的特征值为1=2=4, 3=-2. 由于
a12 a22 an 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn y1 y2 kn yn
化为标准形:
y y y1 , y2 ,
T
k2
只要可逆线性变换x=Py, 满足=P-1AP.
1 3 1 3 2 6
y2 y2 y3
1 6 1 6
y3 y3
二次型ƒ(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x3–4x2x3变为
ƒ(x1, x2, x3)=4y12+4y22–2y32
若取正交矩阵Q=(1, 3, 2), 作正交变换x=Qy, 则有
ƒ(x1, x2, x3)=4y12 – 2y22+4y32
而且, 合同矩阵不一定是相似的; 相似矩阵也不一定
是合同的. 但正交相似的矩阵一定是合同的. 进一步相似
的实对称矩阵一定是合同的.
§2 用正交变换化二次型为标准形
若使n元二次型
x Ax x1 , x2 ,
T
a11 a21 , xn an1 k1 , yn
1 3
, 13 )T
又由于
5 1 2 1 1 0 2E - A 1 5 2 0 2 1 2 2 2 0 0 0
所以得属于3=-2的单位特征向量 ξ 3 故可取正交矩阵
(

1 6 1 6 2 6
一. 惯性定理与正定二次型虽然将二次型化为标准形可采用不同的变换, 所化成
的标准形也不唯一. 但是, 由于R(A)=R(), 所以标准形中非零项数是唯一的, 它等于二次型的秩, 也等于二次型矩
阵非零特征值的个数。同时, 标准形中系数为正数的项的
个数也是相同的。
定理7.3(惯性定理) 设实二次型ƒ=xTAx, 其秩为r, 在不同的可逆线性变换x=Cy和x=Dz下化为标准形
a11 a 21 A a n1
a12 a 22 an 2
a1n x1 a2 n x2 , x a nn x n
则有Leabharlann f x1, x2 ,, xn x Ax
由于矩阵C可逆,记C=P1P2…Ps(P1,P2,…,Ps为初等方阵),
则有: B=PsTPs-1T…P1TAP1P2…Ps.
可见, 若A与B是合同的, 则A可经过一系列初等行变换
和完全相同的初等列变换变成矩阵B.
所以, 若A与B合同, 则A与B等价, 而且它们的秩相等.
但是等价矩阵不一定是合同的.
时, x=Cy称为可逆线性变换, 这时y=C-1x为x=Cy的逆变换, 当C为正交矩阵时, x=Cy称为正交变换.
对n元二次型ƒ=xTAx作变换x=Cy, 则有
ƒ=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy
即, ƒ成为y1, y2, …, yn的n元二次型, 其矩阵为B=CTAC.
定理7.1 线性变换下, 二次型仍变为二次型. 可逆线
性变换下, 二次型的秩不变. 实际上, R(B)=R(CTAC)R(A), R(A)=R(CT)-1BC-1)R(B),
所以R(A)=R(B). 二. 方阵的合同变换经可逆线性变换x=Cy, f的矩阵A变为B=CTAC. 定义7.4 设A, B为同阶方阵, 如果存在可逆矩阵C, 使得B=CTAC, 则称A与B是合同的, 记为AB. 对方阵A的运算CTAC, 称为对A的合同变换, 并称C为把A变为B的合同变矩阵的合同关系具有性质: 换矩阵. (ⅰ)反身性: AA ; (ⅱ)对称性: 若AB, 则BA ; (ⅲ)传递性: 若AB, BC , 则AC .
由于矩阵A是实对称矩阵, 所以有: 定理7.2 任意二次型ƒ=xTAx都可经正交变换x=Py 化为标准形ƒ=yTy, 其中的对角线元素恰是A的特征值.
可见, 用正交变换化二次型为标准形与实对称矩阵对
角化的步骤几乎是一致的.
例1 用正交变换化二次型
ƒ(x1, x2, x3)=3x12+3x22 +2x1x2+4x1x3–4x2x3 为标准形, 并给出所用的正交变换. 解二次型的矩阵为

i , j 1
a
n
ij
xi x j
或写成矩阵乘法形式
f x1 , x2 ,
若记
, xn x1 , x2 ,
a11 a21 , xn an1
a12 a22 an 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn
为n元实二次型. 以下仅讨论实二次型. 把2aijxixj写成aijxixj+ajixjxi ,其中aij=aji , 则有 ƒ(x1,x2,…,xn)=a11x12+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+ …+a2nx2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2
定理7.5
n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A
的所有顺序主子式都大于0. A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0, 偶数阶顺序主子式都大于0.
例2 判断下列二次型的正定性. (1) ƒ(x1, x2, x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3 (2) ƒ(x1, x2, x3)=-5x12-6x22 -4x32 +4x1x2+4x1x3 解 (1)用特征值法二次型ƒ(x1, x2, x3)的矩阵是:
1 6
,
1 6
, ) .
2 T 6
1 2 Q (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) 12 0
作正交变换: x=Qy , 即
1 3

1 3 1 3

x1 x2 x 3
1 2 1 2 1 3
y1 y1 y2
2 5 2 A 2 6 0 2 0 4 则矩阵A的各阶顺序主子式为:
5 2 D1=－5<0, D2 26 0, 2 6 5 2 2 5 2 2 D3 2 6 0 2 6 0 =2(8－48)=－80<0 2 0 4 8 4 0
ƒ=1y12+ 2y22+…+ryr2 (i0)
ƒ=1z12+2z22+…+rzr2 (i0) 则1, 2, …, r中正数个数与1, 2,…, r中正数个数相同.
定义7.5 ƒ的标准形中的正系数的个数称为ƒ的正惯性
指数, 负系数的个数称为ƒ的负惯性指数.
定义7.6 如果x0, 都有ƒ=xTAx>0(<0), 则称ƒ是正定(负定)二次型, A称为正定(负定)矩阵, 记为A>0(A<0). 二. 正定二次型(正定矩阵)的判定定理7.4 n元实二次型ƒ=xTAx为正定(负定)二次型的
定义7.3 仅含平方项的二次型
f=d1x12+d2x22+…+dnxn2 称为标准形. 可见, 标准形的矩阵为对角矩阵. 若记x=(x1, x2, …, xn)T, y=(y1, y2, …, yn)T, C=(cij)nn, 则称: x=Cy, 即
x1 c11 y1 c12 y2 ... c1n yn x c y c y ... c y 2 21 1 22 2 2n n ...................................... xn cn1 y1 cn 2 y2 ... cnn yn 为从x1, x2, …, xn到y1, y2, …, yn的线性变换. 其中cij为线性变换的系数, C称为线性变换的系数矩阵. 当C为可逆矩阵
T
定义7.2 ƒ=xTAx称为n元二次型ƒ的矩阵表示式, 实对称矩阵A称为二次型ƒ的矩阵, ƒ称为实对称矩阵A的二次型. 矩阵A的秩也称为二次型ƒ的秩.
例如, 二次型ƒ=2x2+3y2-z2+4xy-6xz 的矩阵为
22 2 2 3 A 22 3 3 0 1 3 0 1
充分必要条件是ƒ的正(负)惯性指数等于n. 推论 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是
A的n个特征值都是正数(负数).
定义7.7 设A=(aij)nn, 则行列式
a11 Di = a 21 a i1
a12 a 22 a i2
a1i a 2i a ii
称为矩阵A的第i个顺序主子式.
显然, D1=a11, Dn=detA.
例4 设A是正定矩阵, 证明det(A+E)>1. 解由于A是正定矩阵, 所以A的特征值i(i＝1,2,…,n)