第六章刚体体系的虚功原理与位移计算

FNDC
1 4
FNFE
5 16
运用位移计算公式有：
1 5 7 C (2) 3 （ ） 4 16 16
结 束
作业：P162 7-4、7-5 、7-7
λ= -2cm
C

C
Fp=1 a
2
CH ( 2) (2)
得：
B
A
B
A
a
真实的位移状态 虚设的力状态
CH 2 2cm（
）
[例4] 图示桁架DC杆短了2cm,FE杆长了3cm,求C点的竖向位移。 D -2 A
C
F
4m
D
F
+3
E
3× 4=12m
B
A
C
E Fp=1
B
解：在C点作用一竖向单位力，求出DC杆、FE杆的轴力：
解：1）虚设相应的力状态——在A点作用一单位力偶 2）运用刚体的虚功原理求解 A
虚设的力状态上的所有外力在真实 位移状态上所做的虚功之和为零。 有： 1
B C
A
L
1 A ( C ) 0 L C 得： A L
（真实的位移状态）
M=1
（虚设的力状态）
FR=1/L
支座移动引起的位移计算公式：
A
B
W M A M B M ( A B ) M
4. 制造误差产生的位移计算
——用刚体的虚力原理计算
FN
正负号选定： 长为＋、短为－。 虚内力 F N 拉＋、压－，误差
[例3] 图示桁架AC杆比要求的短了2cm,求由此产生的C点水平位移。 解：建立相应的虚力状态，求出AC杆的内力。
Fp=1 C
M=1
Fp=1
B
C
求C点竖向位移 A Fp=1
求B点水平位移 Fp=1
求C点转角位移
B
A
Fp=1
B
Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
M=1
C
C
Fp=1/L
L
Fp=1/L
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
单位荷载法计算位移 一个力系作的总虚功 W=P×
第六章 结构位移计算
§1 刚体体系的虚功原理与位移计算 §2 结构位移计算的一般公式 §3 荷载作用下的位移计算
§4 荷载作用下的位移计算举例
§5 图乘法 §6 温度变化时的位移计算
▲ 结构位移计算概述
1. 结构力学的两类基本问题 内力计算问题，即强度问题
位移计算问题，即刚度问题
2. 结构位移计算目的 （1）结构刚度验算——验算结构的位移是否超过允许的限制； ●在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； ●高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 ●高层建筑的最大层间位移< 1/800 层高。 ●铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁 和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度。
1. 刚体体系虚功原理
所有外力所做的虚功之和等于零，即： W外虚 2. 静定结构位移的类型
0
支座移动产生的位移——刚体位移
制造误差产生的位移——刚体位移 荷载作用产生的位移——变形体位移 温度改变产生的位移——变形体位移
用刚体体系的 虚力原理计算
用变形体系的 虚力原理计算
3.支座移动产生的位移计算 [例1] 图示简支梁B支座往下移动了 C ，求A点转角 A 。
A
C
B
b
a
（形变位移段） （刚体位移段）
（BC段为牵连位移—无内力和 变形，只是位置发生了改变）
6. 实功与虚功
（1）实功——力在其作用方向上所做的功 P
荷载缓慢地由0逐渐增加到最终值。 所谓实功是指力在其自身引起的位移 上所做的功。其值是⊿的面积。
1 W= 2 PΔ
△
A
（2）虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功
C
真实位移状态
FYA
FXB
由 Y 0
由
MC 0
A
B L/2 L/2
FYA 0
FXB
1 （） L
b
a
支座移动引起的位移计算公式：
1
C
虚设力状态
FRi Ci
C 1 a ( a ) L L
A
B
结果为正则位移与虚设力方向一致； 结果为负则位移与虚设力方向相反。

A
FP
A
y
C
C
C D
FP
D
D
x
线位移

相对角位移


4.变形——杆件受荷载后发生的尺寸和形状的改变 三种基本变形：
d
d
d
dx
(1) 轴向：d
(2) 剪切：d
(3) 弯曲：d
5.刚体位移与形变位移 A B
P
Δ
支座移动Δ—梁为刚体位移 （静定结构的支座移动Δ不引起变形和内力， 只有位置的改变）
P

P---广义力; ---广义位移
M
1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
W P
W M

3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
P
A B
P
M
M
W P A P B P( A B ) P
（2）为超静定的内力计算打下基础——解超静定结构，除了 考虑平衡条件，还要考虑变形条件。
结构的变形与位移 一、结构的位移 （1）线位移： A （2）角位移：A
A
A
Ax
Ay
A
二、产生变形与位移的原因 （1）荷载作用； （2）温度改变和材料胀缩； （3）支座沉降和制造误差等。
三、结构位移计算的目的 （1）验算结构的刚度； （2）为超静定结构的内力分析打基础； （3）建筑起拱。
B
1 A
其中：
Fp1
Fp2 2 B
所谓“虚”，就是位移与做功的力无关。 在做虚功时，力不随位移而变化，是常 力。其值为矩形面积，因此没有系数1/2。
△11 △12
—— 虚功
T FP1 12
7.两种体系的虚功原理 （1）刚体体系虚功原理 体系保持平衡的充要条件： 所有外力所做的虚功之和等于零，即： W （2）变形体系虚功原理 所有外力做的虚功 = 所有内力做的虚功，即：
为什么要计算 位移?
建筑起拱
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 （可减小荷载作用下跨中挠度）
3. 广义荷载与广义位移
（1）广义荷载 ——荷载、温度变化、支座移动、制造误差等； （2）广义位移 —— 线位移、转角位移、相对位移的统称。 相对线位移 角位移
FYA
L
FXB
▲ 力的虚设方法
力的大小— 一般虚设单位力 。 力的位置— 作用在所求位移的点及方向上。 力的方向— 可随意假设； 若求出位移为正，则位移与假设的方向一致； 若求出位移为负，则位移与假设的方向相反。 力的性质— 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；
求二点的相对线位移加一对相反的单位集中力； 求二截面的相对转角要加一对单位力矩。
外虚
0
W外虚 W内虚
（外力×位移） （内力×变形）
8.虚功原理的两种情况 （虚功原理的两种不同的形式） （1）虚力原理——位移是真实的，力是虚设的。 用虚设力的办法来求真实的位移。
（2）虚位移原理——力是真实的，位移是虚设的。 用虚设位移的办法来求真实的力。
§1 刚体体系的虚功原理与位移计算
F Ri Ci
C —真实的支座移动
其中： F R —由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力
解：（1）求C点的竖向位移 CV
在C点作用一个竖向单位力， 求出 F 和 FXB 。
YA
真实位移状态
A
B L/2
1
b
L/2
a
1 FYA 2
FXB
1 4
C
支座移动引起的位移计算公式：
பைடு நூலகம்FRi Ci
CV 1 1 b a ( b a ) （ ） 2 4 2 4
A
虚设力状态
B
FXB
FYA
L
[例2] 图示三铰刚架A支座往下位移了b， B支座往右移动了a，求C点的竖向位移 CV 和C点的相对转角 C 。
C
（2）求C点的相对转角 C 在C点作用一对单位力矩， 求出 和 。