2 质心 质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
高中二物理竞赛质心,质心运动定理课件
质点系的动量
v p
=
v m1v1v+
v m2v 2
+ v
L
+
v mnv n
v
= =
m1 d dt
dr1 + dt v (m1r1
m2
dr2 dvt
+ m2r2
+L+ +L+
mnvddrtn mnrn )
y
m1
m2
mi
质点系的总质量
O
x
m = m1 + m2 + L + mn
z
3
设想质点系的全部质量和动量都集中在一个点C
m'vC = mivi = pi
nv
再对时间
t
i =1
i =1
求一阶导数，得
v m'aC
=
d( pi )
i =1
dt
14
根据质点系动量定理
nv
n
v dpi
i=1 dt
=
nv Fi e x
i =1
（因质点系内 Fiin = 0 ）
v F ex
i =1v = m' dvC
dt
v = m'aC
n
mi xi
xC
=
i =1
m'
n
mi yi
yC
=
i =1
m'
n
mizi
zC
=
i =1
m'
➢对质量连续分布的物体：
xC
=
1 m'
xdm，yC
=
1 m'
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
解：根据题意可知，油灰球m的黏附M过程，系统动量守恒, 设黏附后，二者的速度为v
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
高二物理竞赛质心与质心运动定理课件
5003
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
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将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4