鸡兔同笼——假设法
假设法解鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。
许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。
因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。
我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。
因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。
因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：大、小和尚各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。
鸡兔同笼的五种解法
鸡兔同笼的五种解法鸡兔同笼的五种解法题目示例：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。
问笼中各有多少只鸡和兔？1、假设法（1）假设全是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）兔子的只数：24÷2=12 （只）鸡的只数：35－12=23（只）（2）假设全是兔子：4×35=140（只）兔子脚比总数多：140-94=46（只）兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）鸡的只数：46÷2=23（只）兔子的只数：35-23=12（只）2、一元一次方程法：（1）解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=94 解得x=12鸡：35-12=23(只）（2）解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=94 解得x=23兔：35-23=12(只）所以兔子有12只，鸡有23只。
3、二元一次方程组解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=35 2x+4y=94解得x=23 y=12所以兔子有12只，鸡有23只。
4、抬腿法（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。
笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
（2）假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
（3）我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。
5、公式法公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数公式2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数。
小学数学鸡兔同笼题及解法
经典例题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？鸡兔同笼这道题，有这样几种解法：1、假设法假设全是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）兔：24÷(4-2)=12 （只）鸡：35－12=23（只）2、方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=1235-12=23(只）或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=352x+4y=94（x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35) x+12=35x=35-12（只）x=23（只）答：兔子有12只，鸡有23只3、抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。
笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
基础型鸡兔同笼问题的解题方法-假设法
基础型鸡兔同笼问题的解题方法-假设法解决鸡兔同笼的方法有很多，例如:枚举法、假设法、古人的抬腿法、方程法等。
今天我们就讲清其中一种方法—假设法。
例:鸡兔共100个头，240只脚，问鸡兔各多少只？分析:已知信息:鸡兔共100个头，240只脚。
隐藏信息:1只鸡2只脚，1只兔4只脚。
所求问题:鸡有多少只？兔有多少只？知道鸡和兔的总量关系，求解鸡和兔的单独只数，像这样知道多种物体的总量关系，要求其中的单独量时，可以考虑将多种物体全部假设为其中的一种来解决，这就是我们今天要讲的假设法。
（1）假设全为鸡，则有100只鸡，脚可以表示为:2 2 2……，一共100个2。
（每一个2代表一只鸡的脚数）脚的总数量:100×2=200（只）与题中总脚数240只对比，相差:240-200=40（只），即在假设情况下需要添40只脚。
所以，要在2 2 2 ……（100个2），上面一共添40只脚。
因为这里只有鸡和兔，一只动物的脚只存在2只和4只这两种情况。
所以要添的话，每只鸡只能由2只脚添到4只（成为兔）。
每只鸡可以添的脚为:4-2=2（只）一共要添40只脚，每只鸡只能添2只脚，需要添上脚的鸡只数:40÷2=20（只）即有20只鸡被添了脚成为兔，所以兔的只数为20只，鸡的只数:100-20=80只（2）假设全为兔，则有100只兔，脚可以表示为:4 4 4……一共100个4，（每一个4表示一只兔的脚数）脚的总数量:100×4=400（只）与实际总脚数240对比，相差:400-240=160（只），即在假设的情况下要去掉160只脚。
所以，要在4 4 4 ……（100个4），上面一共去掉160只脚。
因为这里只有鸡和兔，一只动物的脚只存在2只和4只这两种情况。
所以要去掉的话，每只兔只能由4只脚减少到2只（成为鸡）。
每只兔可以去掉的脚数:4-2=2（只）去掉脚的兔的只数:160÷2=80（只），即鸡为80只，兔的只数为:100-80=20只。
鸡兔同笼与假设法解题
鸡兔同笼问题与假设法解题专题简析生活中你见过鸡和兔同在一个笼子里吗？古代数学中就曾看到这样的题。
其实这只是一种假设，一种数学思想，一种解题方法。
假设法，是假设题目中的人或物全部是其中的一某种或某一类，也就是“设不同为相同”根据所做的假设，容易推导出一个与题意不相符的结果，然后通过分析假设情况与事实的差，从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整，求出另一类人或物的个数。
解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：兔数=（实际脚数－每只鸡的脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子的脚数－每只鸡的脚数）常见主要有这样的四类题型.1、有两种量分别告诉我们鸡兔的总只数和所对应的腿数，求这两种量各有多少。
2、告诉我们鸡兔的总只数和他们的腿数相差的数。
求鸡兔。
3、告诉我们鸡兔的总腿数和互换后的腿数，求鸡兔。
4、题目中有三个末知量的问题，应根据题目中数量关系的特点将三种事物归成两类，再用假设法求出这两类各是多少。
然后问题就可转化成基本的鸡兔同笼再解答。
1、有5元和10元的人民币共14张，共100元。
问5元币和10元币各多少张？2、笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。
求笼中鸡、兔各有多少只？3、一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。
问2分和5分的各有多少枚？4、营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币，求换来这两种人民币各多少张？5、五（1）班有51个同学，他们要搬51张课桌椅。
规定男生每人搬2张，女生两人搬1张。
这个班有男、女生各多少人？6、甲、乙二人共存550元钱，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己存款中的70元时，两人余下的钱正好相等。
求甲、乙原来各存多少元钱。
7、学校春游共用了10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐520人。
大、小客车各几辆？8、班级买来50张杂技票，其中一部分是1元5角一张的，另一部分是2元一张的，总共的票价是88元。
第1讲 鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题与假设法一、问题的背景“鸡兔同笼”最早出现在《孙子算经》中。
许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解。
因此很有必要学会它的解法和思路：例题：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？思考一：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244÷2=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有34只兔子.当然鸡就有54只.答：有兔子34只，鸡54只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数÷2-总头数=兔子数.上面的解法是《孙子算经》中记载的，利用化归的思想进行了转化。
做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。
可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。
思考二：我们对这类问题给出一种一般解法。
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68÷2=34（只）.说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。
利用假设法解鸡兔同笼问题
利用假设法解鸡兔同笼问题例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。
因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。
我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。
因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：大、小和尚各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。
问：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。
鸡兔同笼问题
鸡的 鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各有几何意思是说：鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有 35只, 鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只这就是著名的鸡兔同笼问题。
怎样解决这个问题呢我们通常把题中相当于“鸡”和“兔” 的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔” 这种解决问题的方法就是假设法。
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的 那部分置出来。
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：解法1:鸡的只数=（每只兔脚数X 兔总数一实际脚数）十（每只兔子脚数一每只鸡的脚数） 兔的只数=总只数一鸡的只数解法2:兔的只数=（总脚数一鸡的脚数X 总只数）十（兔的脚数一鸡的脚数） 只数=总只数一兔的只数例1、鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只分析：假设46只都是兔，一共应有 4 X 46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了 184-128=56只脚。
如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少 4-2=2 （只）脚。
那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢显然，56-2=28,只要用28只鸡去置换28只兔 就行了。
所以，鸡的只数就是 28,兔的只数是46-28=18。
例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
问：小梅家的鸡与兔各有多少只 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X 16二32 （只）脚，但实际上有44只脚，比假设 的情况多了 44-32二12 （只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
因此只要算出 12里面 有几个2,就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2 X 16）十（4-2 ） =6 （只），有鸡16-6 = 10 （只）。
答：有6只兔，10只鸡。
我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4X 16二64 （只）脚，但实际上有44只脚， 比假设的情况少了 64-44= 20 （只）脚，这是因为把鸡当作兔了。
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鸡兔同笼
1.鸡兔同笼，头共46，足128，鸡兔各几只？
2.动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，问鸵鸟和长颈
鹿各有几只？
3.一队强盗一队牛，匆匆赶路不回头，岂知草丛有人看，暗暗记下人和牛，数头
一共三百六，数脚一共九百九，请你仔细算一算，多少强盗多少牛？
4.露露有一只小篓，篓里放着螳螂和狗，数数头一十九，数数脚九十六，多少螳
螂多少狗？
5.100个人100个馒头，大人每人吃4个，小孩4人吃1个。
大人小孩各多少人？
6.有十元张和五元张人民币共175元，十元张数是五元张数的3倍，十元和五元
各有多少张？
7.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币共50张，其中2元和5
元的张数一样多，那么10元的有多少张？
8.在一次班级智力竞赛中，老师共出了20道题，规定做对一道题得5分，做错一
道扣2分，小明做了20道题，共得72分，小明答对几道？
9.一次数学测试20个题目，规定答对一道题给5分，答错一道倒扣3分，不答不
给分也不扣分，已知小华在这这次数学测试中得了61分，小华答对了几道题？
10.有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子数目计算，每只2角，
如有破损，破损1个瓶子还要倒赔1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃损坏了多少只？
11.有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有118条腿，翅膀20对（其中蜘蛛有
8条腿；蜻蜓有6条腿，2对翅膀；蝉有6条腿，1对翅膀）。
三种动物各有多少只？
12.蜘蛛、蝴蝶、蝉一共21只，共140条腿，23对翅膀，问三种动物各多少只？
13.鸡与兔共100只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡与兔各多少只？
14.鸡兔共200只，鸡的脚比兔的脚少56只，则鸡兔各有多少只？
15.王大娘养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只，问鸡兔
各几只？
16.鸡兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只，则鸡、兔各多
少只？
17.甲乙两人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，
每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中多少发？。