质心 质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
解：根据题意可知，油灰球m的黏附M过程，系统动量守恒, 设黏附后，二者的速度为v
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
v2 m2
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零， 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时， 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v = ∫M0 u = u ln m M
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn = ∑ ui ln Ni
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下， 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
动量守恒定律
例 一质量m = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg， 1 的船的船头上。开始时船静止， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 。（假定水的阻力不计 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解： 设 cb 表示 船本身的质心
α = 1800 θ
v2 0 因 tgθ = =1,θ = 45 , 所以 v1
α =1350
v3及 v2都成 1350 且三者都在同一平面内 即 v1和
动量守恒定律
例题3-10 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 质量为m 的两个小孩， 例题 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们将 在何处相遇？ 在何处相遇？
(d m)(v u)
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用， 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv = (m + d m)(v + d v) + (d m)(v u)
化简
dm d v = u m dm ∫v1 d v = ∫m1 u m m v2 v1 = u ln 1 m2
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零， 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时， 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v = ∫M0 u = u ln m M
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn = ∑ ui ln Ni
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下， 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
动量守恒定律
例 一质量m = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg， 1 的船的船头上。开始时船静止， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 。（假定水的阻力不计 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解： 设 cb 表示 船本身的质心
α = 1800 θ
v2 0 因 tgθ = =1,θ = 45 , 所以 v1
α =1350
v3及 v2都成 1350 且三者都在同一平面内 即 v1和
动量守恒定律
例题3-10 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 质量为m 的两个小孩， 例题 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们将 在何处相遇？ 在何处相遇？
(d m)(v u)
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用， 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv = (m + d m)(v + d v) + (d m)(v u)
化简
dm d v = u m dm ∫v1 d v = ∫m1 u m m v2 v1 = u ln 1 m2
大学物理-质心质心运动定律
角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
3_9质心 质心运动定律
xc 0 yc0
m2 x20 1.5m m1 m2 m1 y10 1.9m m1 m2
3m
B 0 4m x
F2
3-9 质心 质心运动定律 由质心运动定律
dvx Fx F1 (m1 m2 ) dt dvy Fy F2 (m1 m2 ) dt
根据初始条件t=0时，v=0，对 上式积分得：
对质量连续分布的物体： 1 1 1 z y y d m xC x d m C C m' m' m'
zd m
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
3-9 质心 质心运动定律
二 质心运动定律
rC
n
mi ri
i 1
n
y
m2
r2
m ri i
再对时间 t 求一阶导数，得 m 'aC
n
d( pi )
i 1
n
根据质点系动量定理
d( pi )
i 1
dt
ex F
dvC m' m' aC dt
dt
ex F
作用在系统上的合外力等于系统的总 质量乘以质心的加速度——质心运动定律
3-9 质心 质心运动定律
ex F
dvC m' m' aC dt
质心运动定律与牛顿第二定律在形式上完全相同， 相当于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力 的作用下，质心以加速度运动。 说明： 1）坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； 2）对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物 体的几何中心处； 3）质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的 轴心上；
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
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mxl
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
l1 rc
l2
r2
m2
rc
m i ri m i
O
xrc
xmcmii xi i源自ycjzc kxc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
y
r
dm
O
z
x
r dm
rc
m
xdm
xc m
2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
dt
F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
xc
Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
Mx 1 mx 2 Mx1 m x 2 M x1 d m （x2l - xd2 ）
“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水
利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城
外达3年之久
3
2. 质心运动定理
rcmddrctmmmimri iivddirti
mv
c
P总m i v i
m d vc dP总
dt
1 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡 2 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾 3 在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾
4 一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变
5 相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
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m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
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xdm
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2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
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F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
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Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
Mx 1 mx 2 Mx1 m x 2 M x1 d m （x2l - xd2 ）
“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水
利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城
外达3年之久
3
2. 质心运动定理
rcmddrctmmmimri iivddirti
mv
c
P总m i v i
m d vc dP总
dt
1 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡 2 在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾 3 在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾
4 一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变
5 相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：