刚体的动量和质心运动定理

② 如果刚体不是匀质的，但其质量分布和几何形状具有 相同的对称轴，则其质心必在此对称轴上； ③ 如果刚体不是匀质的，且其质量分布和几何形状具有 几条对称轴，则其质心必位于对称轴的交点上；
质量元表达式：
dm dV， ds， dl.
例：
① P218例1：求匀质实心半球的质心（体分布） . 2 体积元
xc
mi ric
m

mi ric m
， zc
i
i icy
m x
m
i icx
， yc
m x
m
m x
m
i icz
例：P219 例2.
[例题] 在半径为R的均质等厚度的大圆板的一侧挖掉半径为 R/2 的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。 y [解] 建立如图所示的坐标系，考虑对 称性，余下部分质心一定在 x 轴上， 即 yc 0 . 考虑：整体=阴影+小圆，得
§7.2 刚体的动量和质心运动定理
一、刚体的质心：
1. 质点系的质心公式：
rc
mi ri
i 1 N
N
rc xci yc j zc k
直角坐标系中的分量式：
m
i 1

mi ri
i 1
N
m
i
xc
m x
i
i i
m
， yc
m y
i i
i
m
， zc
m z
i
i i
m
2. 刚体是不变质点系，质心相对刚体的位置不变：
（1）如果刚体的质量分布是连续的，可用积分法求其质心：
rc

M
rdm
m
直角坐标系中的分量式：
xc
xdm ，y ydm ，z zdm
M
c
M
c
M
（2）根据对称性判断刚体的质心：
① 如果刚体匀质，且形状具有对称性，则其质心必在对 称轴上；
dV r dz
2
② 求匀质半球壳的质心（面分布）. 面积元 求得质心坐标为
ds 2 ( R - z ） Rd
2 12
R zc 2
③ 求匀质半圆线的质心（线分布）.
线元
dl Rd
（3） 如果刚体有几部分组成，可先求出不同部分的 质心坐标，然后再按照刚性质点系处理：
rc
O x
3 2 R 1 2 xc R R 4 2 4 0 R2
R xc 6
[例题]
半圆形均匀薄板（半径为R），试求其质心所在。 y [解] 建立如图所示的坐标系，由对称 性可知 xc=0, yc=? 将半圆划分为许多平行 于 x 轴的窄条，每一窄条中各点具有相 y R 同的 y ，阴影部分面积 2 R 2 y 2 d

y(2 R 2 y 2 )dy
dm
2

2 y R 2 y 2 dy
0
R
R 2
2

令y R sin
2R
3

1
0
cos d (cos )
2
R
2
2R 3 4R 2 R 2 3
3
二、刚体的动量与质心运动定理： 1. 动量：
例：P220 例3.
作 业： 7.2.2 练 习： 7.2.3
dri d p mi vi mi mi ri dt dt drc d mi ri m ( )m mvc dt m dt
2. 质心运动定理：
将质点系的质心运动定理应用于刚体，得：
dvc dp F合外 m mac dt dt