2014年高考带电粒子在磁场中的运动专练

带电粒子在磁场中的运动(限时：60分钟)1． (2013·福建·22)如图1甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .让质量为m 、电量为q (q ＞0)的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．图1(1)若粒子以初速度v 1沿y 轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A (a,0)点，求v 1的大小； (2)已知一粒子的初速度大小为v (v ＞v 1)，为使该粒子能经过A (a,0)点，其入射角θ(粒子初速度与x 轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin θ值；(3)如图乙，若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v 0沿y 轴正向入射．研究表明：粒子在xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x 分量v x 与其所在位置的y 坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关．求该粒子运动过程中的最大速度值v m . 答案 (1)qBa 2m (2)2个 aqB 2m v (3)EB＋(EB)2＋v 20 解析 (1)带电粒子以速率v 在匀强磁场B 中做匀速圆周运动，半径为R ，有 q v B ＝m v 2R①当粒子沿y 轴正向入射，转过半个圆周至A 点，该圆周半径为R 1，有： R 1＝a 2②将②代入①式得 v 1＝qBa 2m③(2)如图，O 、A 两点处于同一圆周上，且圆心在x ＝a2的直线上，半径为R .当给定一个初速率v 时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有sin θ′＝sin θ＝a2R④由①④式解得 sin θ＝aqB 2m v⑤(3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用y m 表示其y 坐标，由动能定理有 qEy m ＝12m v 2m －12m v 20 ⑥由题知，有 v m ＝ky m⑦若E ＝0时，粒子以初速度v 0沿y 轴正向入射，有 q v 0B ＝m v 20R 0⑧ v 0＝kR 0⑨由⑥⑦⑧⑨式解得 v m ＝E B＋(E B)2＋v 20 2． 匀强磁场区域由一个半径为R 的半圆和一个长为2R ，宽为R2的矩形组成，磁场的方向如图2所示．一束质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v 从边界AN 的中点P 垂直于AN 和磁场方向射入磁场中．问：图2(1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A 点射出？(2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？ 答案 (1)2m vqR(2)见解析解析 (1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从P A 、AC 和CD 三段边界射出，如图所示．当粒子从A 点射出时，运 动半径r 1＝R2由qB 1v ＝m v 2r 1得B 1＝2m vqR(2)当粒子从C 点射出时，由△PO 2C 和△P AC 可看出 PC ＝R 2＋(R 2)2＝5R 2r 2＝PC 2cos ∠APC ＝58R由qB 2v ＝m v 2r 2得B 2＝8m v5qR据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断 当B ≥2m v qR 时，粒子从P A 段射出当2m v qR ≥B ≥8m v5qR时，粒子从AC 段射出 当0<B ≤8m v 5qR时，粒子从CD 段射出．3． 如图3所示，在边长L ＝8 cm 的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 0＝0.1 T ．距AB 、AD 边均为d ＝1 cm 的P 点有一粒子源，能在纸面内向各个方向发射出速率不同的带正电的粒子，粒子的质量m ＝1.0×10－14kg ，电荷的电荷量q＝1.0×10－5 C ，粒子的重力可忽略不计，不考虑带电粒子之间的相互作用．(计算结果可保留根号)图3(1)速度在什么范围内的粒子将不可能射出磁场，被完全约束在正方形内？ (2)速度大小为5.0×106m/s 的粒子将从BC 边的什么范围内射出？ 答案 (1)速度小于或等于5×105 m/s 的微粒将不可能射出磁场 (2)见解析 解析 (1)如图所示，当微粒运动轨迹为Ⅰ时，微粒运动半径r 1＝d2由牛顿第二定律得q v 1B 0＝m v 21r 1解得v 1＝5.0×105 m/s速度小于或等于5.0×105 m/s 的微粒将不可能射出磁场．(2)设速度大小为v 2＝5.0×106 m/s 的微粒运动的轨道半径为r 2，由牛顿第二定律得 q v 2B 0＝m v 22r 2解得r 2＝5 cm当微粒运动沿轨迹Ⅱ与AB 边相切于E 点时，微粒将从BC 边F 点出射，为最低出射点．由几何关系r 22＝(r 2－d )2＋PH 2解得PH ＝3 cm所以，FI ＝L －d －PH ＝4 cm在△O 1FI 中r 22＝(r 2－EI )2＋FI 2解得EI ＝2 cm则出射点F 距下边界高BF ＝EI ＝2 cm当微粒运动沿轨迹Ⅲ与BC 边相切于G 点时，微粒将从BC 边G 点出射，为最高出射点．由几何关系r 22＝(L －r 2－d )2＋O 2J 2解得O 2J ＝21 cm则出射点G 距下边界高BG ＝O 2J ＋d ＝(1＋21) cm 综上，出射点距B 的距离s 满足2 cm ≤s ≤(1＋21) cm.4． 如图4所示的直角坐标系第Ⅰ、Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B ＝0.5 T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷qm ＝4×106 C/kg 的正离子，不计离子的重力及离子间的相互作用．图4(1)求离子在匀强磁场中的运动周期；(2)若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过π6×10－6 s 时间这些离子所在位置构成的函数方程；(3)若离子自原点O 以相同的速率v 0＝2.0×106 m/s 沿不同方向射入第Ⅰ象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能沿平行于y 轴且指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整(画图说明即可)，并求出调整后磁场区域的最小面积． 答案 (1)π×10－6 s (2)y ＝33x (3)见解析 解析 (1)根据牛顿第二定律有q v B ＝m v 2R(2分)离子做圆周运动的周期T ＝2πR v ＝2πm qB ＝π×10－6 s(2)离子运动时间t ＝π6×10－6 s ＝16T根据左手定则，离子沿逆时针方向做半径不同的圆周运动， 转过的角度均为θ＝16×2π＝π3这些离子所处位置均在过坐标原点的同一条直线上． 该直线方程y ＝x tan θ2＝33x(3)离子自原点O 以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限磁场，均做逆时针方向的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 q v 0B ＝m v 20RR ＝m v 0qB＝1 m如图甲所示，这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点O ′(1,0)为圆心，半径R ＝1 m 的四分之一圆弧OB 上．由此可知，磁场区域至少为两个四分之一圆的交集，如图乙所示．则调整后磁场区域的最小面积S min ＝2×(πR 24－R 22)＝π－22m 2【必考模型3】 带电粒子在磁场中的临界、极值问题1．模型特点：一群粒子在磁场中做圆周运动或一个粒子在磁场中做圆周运动，不论是一群粒子，还是一个粒子，研究的问题往往都是粒子的速度的大小、方向或磁感应强度变化时的极值问题或临界问题或边界问题．2．表现形式：(1)同源粒子发射问题．此形式常有两类情况，一类是粒子的速率相同，发射方向各异，另一类是速率不同，但发射方向唯一．(2)自某一边界射入磁场．这种形式也常有两类情况：一类是射入磁场的位置不同，但速度的大小、方向唯一；另一类是位置相同，速度大小一定，但速度方向各异．3．应对模式：不论哪种模型，都是研究一系列的圆周运动问题，这时要抓住不变量采用动态圆的方法找到临界点或极值，还要注意以下三个基本问题和几个常用结论．(1)三个基本问题 ①找“圆心”的三个依据依据一：如图a 在圆轨迹上任一点作速度的垂线必过圆心； 依据二：如图b 在圆轨迹上任一弦长的中垂线必过圆心；依据三：如图c ，在某位置上作速度的垂线，在垂线上距位置R 处的点为圆心．②求半径的两个方法法一，由物理方程求，半径r ＝m vqB ；法二，由几何关系求．例如：弦长d ＝2r sin θ(θ为弦长对的圆心角的一半)．③计算“时间”的两个方法法一，由圆心角求，t ＝α2πT ；法二，由弧长求，t ＝sv .在此要注意几个角度关系：速度偏向角φ＝圆弧所对应的圆心角(回旋角)α＝弦切角θ的2倍，如图d.d(2)对于直线边界和圆形边界磁场，常用的结论有：①直线边界的对称性：从同一直线边界射入的粒子，又从同一直线边界射出时，速度方向与边界的夹角相等．如图e.e②圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域，射出磁场时速度方向也一定沿圆形磁场的半径方向．如图f.f③磁发散和磁聚焦：当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象．即当粒子由圆形磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图g；当粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图h.g h。