第4节 质心与质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
解：根据题意可知，油灰球m的黏附M过程，系统动量守恒, 设黏附后，二者的速度为v
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
质心 质心运动定理
mxl
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
l1 rc
l2
r2
m2
rc
m i ri m i
O
xrc
xmcmii xi i源自ycjzc kxc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
y
r
dm
O
z
x
r dm
rc
m
xdm
xc m
2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
dt
F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
xc
Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
d 1M m = 0.8m
x
r r r
人人地
人人船
船地
r x x
人地
2
2
r l
人船
r d
船地
x2 x2 l d 返回2 5
第 2章
质点和质点系动力学
1. 牛顿运动定律 惯性系 质心运动定理 2. 动量定理 动量守恒定律 3. 角动量定理 角动量守恒定律 4. 功能原理和机械能守恒定律
1
三、质心运动定理 1. 质心位置
m 1 r1
l1 rc
l2
r2
m2
rc
m i ri m i
O
xrc
xmcmii xi i源自ycjzc kxc
m1 x1 m2 x2 m1 m2
m1 xc x1 m2 x2 xc
m1l1 m2l2 杠杆原理
y
r
dm
O
z
x
r dm
rc
m
xdm
xc m
2
杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm
古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！” 阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理 他把杠杆实际应用中的一些经验知识 当作“不证自明的公理” 逻辑论证杠杆原理：
dt
F 外ma cmaFc
质心的运动只与系统所受的合外力相关。
4
例题
已知：质量m=50kg的人从质量 M=200kg 长 l = 4m 的船头行至船 尾 问：船行d =？
0
x2 x1 xcx1 x2
xc
Mx1 mx2 M m
M x 1 m x 2 M m
大学物理-质心质心运动定律
角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
高二物理竞赛质心与质心运动定理课件
5003
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
质心运动定律
质心运动定律
质心运动定律指的是质点系统的质心在受到外力的作用下运动
的规律。
根据牛顿第二定律，质心所受的合外力等于质点系统的总质量乘以质心的加速度。
因此，质心的运动可以看做是一个单独的质点在受力下的运动。
质心运动定律有以下几个特点：
1.质心的运动是质点系统中所有质点运动的平均化结果。
2.质心的运动状态与质点系统中的相对位置、互相作用力等无关。
3.质心的运动方向与受力方向相同或相反，具体取决于系统所受的合外力方向。
质心运动定律在工程、物理、天文学等领域有着广泛的应用。
例如，在火箭发射时，需要控制火箭的质心位置以保证火箭的稳定性。
在天文学中，质心运动定律常常被用于研究行星、恒星等天体的运动规律。
- 1 -。
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
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在系统运动与外力的关系中才体现出来.因此,质
心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动
力学概念． 2.体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选 取无关．
3.作用在体系上的诸外力一般作用在不同的质点
上，就其作用效果而言不能等效为一个合力.但对质
心运动而言,这些外力犹如都作用在质心上． 4.将坐标原点取在质心上的平动参照系称作质心 坐标系或质心系．对于外力的矢量和为零或不受外 力作用的体系的质心参照系为惯性系，否则为非惯 性系．惯性系情况下质心的动量守恒．质心的动量 Pc MVc P m v 也就是系统的总动量 系 i i
质心位置的计算:
质点组:
mi xi x i C mi i mi ri mi yi i rC yC i mi mi i i mi zi z i C mi i
连续分布:
xdm xC dm rdm ydm rC yC dm dm zdm zC dm
即
F矢量和 MaC
称作 质心运动定理
其中
F矢量和 F 1 F 2
m1 r1 m2 r 2 rc m1 m2
加权平均值
推广：对n个质量组成的系统
rC
mi ri
m
i
i
mi ri
i
i
M
n F矢量和 F i i 1
x dx
0
l
2 ax dx
0
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上， 用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x <l） 。
x
F
v0
N
x dx
o
解法一：利用物体系的动量定理
在t
x 设t时刻提起x时，体系的总动量为 P m v0 l
质心与质心运动定理
1. 质心的计算
以两质点系统为例
F 1 m1
d F矢量和＝ （m1 v1 m2 v 2 ) dt d2 ＝ 2 (m1 r1 m2 r 2 ) dt
2
r1
O
rc
m2
r2
F2
d m1 r1 m2 r 2 (m1 m2 ) 2 ( ) dt m1 m2 2 d rc d Pc M M ac 2 dt dt
以绳子(体系)为研究对象，提起x时，绳 子的质心坐标为
xc
x x l x m0 m l l
x2 m 2 2l
x
2 0
dxc x dx x d 2 xc v0 2 v0 , 2 dt l dt l dt l
F
d xc v x F m g m 2 m l dt l
质心运动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
F矢量和 MaC
几点说明：
1.质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平
均值，而是它们的加权平均值.质心的性质只有
i
例: 不规则细杆质心位置的计算:
长为l 的细杆的质量分布不均匀，设线密度 ax
x为离杆的一端之距离，a为常量，求杆的质心坐
标。
解：显然
x
0lBiblioteka dxc xyc zc 0
ax
1 3 al 2 3 0 0 xc l l l 1 2 3 al dx axdx 2
t 时刻，提起
P' m l
x＋dx，体系的总动量为 F ( x dx) x
v0
由体系的动量定理：
x m ( F m g )dt P P v0 dx l l
dx m x 2 而v F v0 mg 0 l l dt
v0
N
x dx
o
解法二：利用质心运动定理
m 2 x F v0 mg l l
2
v0
N
x dx
o
心并不是一个几何学或运动学概念，而是一个动
力学概念． 2.体系质心的坐标与坐标的选取有关，但质心 与体系内各个质点(质元)的相对位置与坐标的选 取无关．
3.作用在体系上的诸外力一般作用在不同的质点
上，就其作用效果而言不能等效为一个合力.但对质
心运动而言,这些外力犹如都作用在质心上． 4.将坐标原点取在质心上的平动参照系称作质心 坐标系或质心系．对于外力的矢量和为零或不受外 力作用的体系的质心参照系为惯性系，否则为非惯 性系．惯性系情况下质心的动量守恒．质心的动量 Pc MVc P m v 也就是系统的总动量 系 i i
质心位置的计算:
质点组:
mi xi x i C mi i mi ri mi yi i rC yC i mi mi i i mi zi z i C mi i
连续分布:
xdm xC dm rdm ydm rC yC dm dm zdm zC dm
即
F矢量和 MaC
称作 质心运动定理
其中
F矢量和 F 1 F 2
m1 r1 m2 r 2 rc m1 m2
加权平均值
推广：对n个质量组成的系统
rC
mi ri
m
i
i
mi ri
i
i
M
n F矢量和 F i i 1
x dx
0
l
2 ax dx
0
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上， 用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x <l） 。
x
F
v0
N
x dx
o
解法一：利用物体系的动量定理
在t
x 设t时刻提起x时，体系的总动量为 P m v0 l
质心与质心运动定理
1. 质心的计算
以两质点系统为例
F 1 m1
d F矢量和＝ （m1 v1 m2 v 2 ) dt d2 ＝ 2 (m1 r1 m2 r 2 ) dt
2
r1
O
rc
m2
r2
F2
d m1 r1 m2 r 2 (m1 m2 ) 2 ( ) dt m1 m2 2 d rc d Pc M M ac 2 dt dt
以绳子(体系)为研究对象，提起x时，绳 子的质心坐标为
xc
x x l x m0 m l l
x2 m 2 2l
x
2 0
dxc x dx x d 2 xc v0 2 v0 , 2 dt l dt l dt l
F
d xc v x F m g m 2 m l dt l
质心运动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
F矢量和 MaC
几点说明：
1.质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平
均值，而是它们的加权平均值.质心的性质只有
i
例: 不规则细杆质心位置的计算:
长为l 的细杆的质量分布不均匀，设线密度 ax
x为离杆的一端之距离，a为常量，求杆的质心坐
标。
解：显然
x
0lBiblioteka dxc xyc zc 0
ax
1 3 al 2 3 0 0 xc l l l 1 2 3 al dx axdx 2
t 时刻，提起
P' m l
x＋dx，体系的总动量为 F ( x dx) x
v0
由体系的动量定理：
x m ( F m g )dt P P v0 dx l l
dx m x 2 而v F v0 mg 0 l l dt
v0
N
x dx
o
解法二：利用质心运动定理
m 2 x F v0 mg l l
2
v0
N
x dx
o