【配套K12】高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版
二、内容要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直. (4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、
所以方程的解为x=-4或x=2.
(2)|x+3|+|x-1|=4; (3)|x+3|+|x-1|=3.
解 : (2) 因为 |x+3|+|x-1| 表示数轴上点到 A(-3) 与 B(1) 的距离之和 , 而
A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3≤x≤1,
2 2
(3)当x≥0时,|x|=x,
则A(|x|)和B(x)为同一个点. 当x<0时,|x|>x,则A(|x|)位于B(x)的右侧.
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A). 解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b;
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点
C(3).
变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=6;
解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,
人教高中数学B版必修2 平面直角坐标系中的基本公式 精讲精析
第二章直线与方程2·1 平面直角坐标系中的基本公式2·1·1.数轴上的基本公式数轴的定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系.向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量向量的表示：（1）几何法：用有向线段表示有向线段：规定了起点、方向、长度的线段.（2）代数法：用字母表示向量的坐标或数量表示为AB=a向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，可以自由移动.（2）有向线段：起点、大小和方向三个要素，向量的有关概念1.向量的长度（模）：向量的长度表示：表示向量的大小，也叫做的长（或模）.记作 .两个特殊向量：零向量：长度为零的向量（没有确定方向）.表示：0|0|0=，单位向量：长度为1个单位长度的向量.向量的关系与坐标：相等向量：长度相等且方向相同的向量.表示：AB=CD或ba=等长同向依轴上点的坐标定义.OB= x2,OA= x1，有：对数轴上任意三点A,B,C,都具有关系：2·1·2.平面直角坐标系中的基本公式两点的距离公式：在数轴上，设点A的坐标为，点B的坐标为，则AB=－.1x2x2x1x,,AB||a a||a数轴上两点A，B的距离为d（A，B）==计算A，B两点之间的距离公式d（A，B）==初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值. 现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离.如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，QP2＝N1N2＝｜y2－y1｜.由勾股定理，可得P1P2＝P1Q2＋QP2＝｜x2－x1｜2＋｜y2－y1｜2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2由此得到平面内P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式中点公式：已知A(x1,y1)、B（x2,y2）,设点M(x,y)是线段AB的中点.过点A、B、M分别向x轴、y轴座垂线AA1、AA2，BB1、BB2，MM1、MM2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1),B1(x2，0)、B2(0,y2),M1(x,0)、M2(0,y).因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，则 A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以 x-x1=x2-x,y-y1=y2-y.即222121yyyxxx+=+=，这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.1. 求平面上两点A（1，-2），B（3，5）之间的距离.【解析】()()53251322=++-=AB2.有一线段AB，它的中点坐标是（4，2），端点A坐标是（-2，3），求另一端点的坐标.AB12xx-),(11yx),(22yxAB212212)()(yyxx-+-【解析】设另一端点B坐标为()y x,，由中点坐标公式可知232,224yx+=+-=解之得1,10= =yx所以端点坐标为()1,10.。
高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式教案新人教B版必修2
2.1.1 数轴上的基本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被忽视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础．教师一定要下些工夫，让学生牢固掌握．首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系．然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导．也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础．值得注意的是本节内容比较容易接受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀的学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴的复习，理解实数与数轴上点的对应关系，提高学生的应用能力．2．理解实数运算在数轴上的几何意义．掌握用数轴上两点的坐标计算两点距离的公式，掌握数轴上向量加法的坐标运算，提高学生的运算能力，培养数形结合的思想． 重点难点教学重点：直线坐标系和数轴上两点间的距离公式应用．教学难点：理解向量的有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.在初中，我们学习了数轴上两点间的距离公式，今天，我们从向量的角度来分析数轴上两点间的距离公式，教师点出课题．设计 2.从本节开始，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节的第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1 什么叫做数轴？如下图所示，在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是什么呢？(2)阅读教材，给出向量的有关概念．(3)相等的向量的坐标相等吗？坐标相等的向量相等吗？(4)试讨论AB →＋BC →.(5)对于数轴上的任意一个向量，怎样用它的起点坐标和终点的坐标来计算它的坐标．(6)写出数轴上两点间的距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 的对应法则是：在数轴上，点P 与实数x 的对应法则是：如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离．原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应．若点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)．(2)如下图所示．如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上做了一次位移，点不动则说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB →，读作向量AB.点A 叫做向量AB →的起点，点B 叫做向量AB→的终点，线段AB 的长叫做向量AB →的长度，记作|AB →|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．例如图中的AB →＝BC →.我们可用实数表示数轴上的一个向量．例如上图中的向量AB →，即从点A 沿x 轴的正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点的向量，3和－3分别叫做向量AB →和BA →的坐标或数量．一般地，轴上向量AB →的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取正数；反之取负数．向量坐标的绝对值等于向量的长度．起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0.向量AB →的坐标，在本书中用AB 表示．(3)例如在下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等的向量，它们的坐标相等；反之，如果数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，则位移AC→叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.由数轴上向量坐标的定义和有理数的运算法则，容易归纳出，对数轴上任意三点A 、B 、C ，都具有关系：AC ＝AB ＋BC.(5)设AB →是数轴上的任一个向量，例如下图O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则OB ＝OA ＋AB ，或AB ＝OB －OA. 依轴上点的坐标的定义，OB ＝x 2，OA ＝x 1，所以AB ＝x 2－x 1.(6)用d(A ，B)表示A 、B 两点的距离，根据这个公式可以得到，数轴上两点A 、B 的距离公式是d(A ，B)＝|x 2－x 1|.应用示例思路1例1已知点A(1)，B(3)，求AD ＋DB 和|AB|(D 是数轴上的任一点)．解：AD ＋DB ＝AB ＝3－1＝2.|AB|＝|2|＝2.变式训练A 、B 是数轴上两点，已知B(－1)，且|AB|＝2，则点A 的坐标是______．答案：1或－3思路2例2设A 、B 、C 、D 是同一直线上四个不同点，求证AB·CD＋BC·AD＋CA －BD ＝0. 证明：设A(a)，B(b)，C(c)，D(d)．AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝(b －a)(d －c)＋(c －b)(d －a)＋(a －c)(d －b)＝bd －bc －ad ＋ac ＋cd －ac －bd ＋ab ＋ad －ab －cd ＋bc＝0.则AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝0.变式训练设线段AB 的中点为M ，点P 为直线AB 上任意一点．求证：PA ＋PB ＝2PM.证明：设A(a)，B(b)，P(x)，则M(a ＋b 2)，PA ＋PB ＝a －x ＋b －x ＝2(a ＋b 2－x)＝2PM ，即PA ＋PB ＝2PM.知能训练1．关于位移向量说法正确的是( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D.AB →的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值答案：B2．化简AB →－AC →－BC →等于( )A ．2BC →B ．零位移C ．－2BC →D ．2AC →解析：AB →－AC →－BC →＝(AC →＋CB →)－AC →－BC →＝－2BC →.答案：C3．若A(x)，B(x 2)(其中x∈R )，|AB|的最小值为( )A.12 B ．0 C.14 D ．－14解析：|AB|＝|x 2－x|＝|(x －12)2－14|≥0，当x ＝0时取等号． 答案：B4．数轴上到A(1)，B(2)两点距离之和等于1的点的集合为( )A ．{0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{x|1≤x≤2} 解析：画出数轴可知，满足条件的点在线段AB 上．答案：D拓展提升已知对x∈R 总有|x －1|＋|x －2|≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．分析：对|x －1|和|x －2|赋予几何意义，利用数形结合解决．解：设A(1)，B(2)，P(x)，则|x －1|＋|x －2|＝|PA|＋|PB|.如下图所示：则|PA|＋|PB|≥|AB|＝1，则m≤1，即实数m 的取值范围是[1，＋∞)．课堂小结本节课学习了：1．直线坐标系及其两点间距离公式；2．直线坐标系中的向量及其坐标．作业本节练习A 5题，练习B 3,4题.设计感想本节教学设计首先通过对数轴的温故知新，学习一维坐标系，沟通实数及其运算与数轴上的点及两点间的相对位置之间的关系．创建直线坐标系中基本计算公式．按本节教学设计讲解效果很好．备课资料备选习题1．下列说法中正确的是( )A ．零向量有确定的方向B ．数轴上等长的向量叫做相等的向量C ．AB ＝－BAD ．|AB|＝BA答案：C2．已知1在数轴上的对应点是A ，在数轴上把A 向左平移4个单位长度得到点B ，再向右平移3个单位长度，所得的点C 对应的数是什么？向量AB →和向量BC →的坐标分别是什么？向量AC →的坐标为多少？答案：C 对应的数是0，向量AB →和向量BC →的坐标分别是－4、3，向量AC →的坐标为－1.3．数轴上A 、B 两点的坐标为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，分别求AB 、BA 、d(A ，B)、d(B ，A)． 解：AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b.BA ＝－AB ＝2b.d(A ，B)＝|x 2－x 1|＝|－2b|＝2|b|，d(B ，A)＝d(A ，B)＝2|b|.。
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
数轴上的基本公式
§2.1.1 数轴上的基本公式§2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率§2.2.2 直线方程的几种形式【教学目的】1. 通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义。
掌握数轴上两点间距离公式，掌握数轴上的向量加法的坐标运算。
通过探讨得出平面上两点间距离公式及线段中点坐标公式。
2. 在平面直角坐标系中，结合图形，探索确定直线位置的几何要素。
理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握公式的应用。
3. 理解并掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化。
了解在直角坐标系中，平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系。
二、重点、难点：1. 重点：理解和掌握数轴上的基本公式；平面上两点间距离公式和中点坐标公式、坐标法的应用；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握两点的连线的斜率公式；几种形式直线方程的推导，其中点斜式是重点中的重点；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程。
2. 难点：对各个概念的正确理解及基本公式的探索；平面上两点间距离公式和中点坐标公式的推导；使用坐标法证明几何问题时坐标系的建立；斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导；清楚各种形式直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性，运用数形结合的思想。
三. 教学过程：（一）数轴上的基本公式1. 基础概念：（1）数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
实数集和数轴上的点之间是一一对应关系。
如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作。
（2）向量：既有大小又有方向的量通常叫做位移向量，本书简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作，点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点。
（3）向量的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作。
（4）向量的坐标或数量：向量的坐标，用AB表示。
2.1.1数轴上的基本公式
原点的距离 ___________.
绝对值 等 (2)点P在原点朝负向的一侧，则x为负数，其_______ 于点P到原点的距离.
(3)原点表示实数0. (4)如果点P与实数x对应，即称点P的坐标为x，记作
P(x).
3.位移向量(向量)的定义 大小又有方向 的量，通常叫做位移向量，简称为 既有_____________
AB 的起点A的坐标.
4.代数式|x1-x2|的数学含义 (1)表示实数x1-x2的绝对值.(2)表示数轴上两点的距 离. 特别提醒： AB与AB表示的意义
AB 表示从点A到点B的向量，AB表示向量 AB 的坐标或
数量.
类型一
数轴上的点与实数间的关系
【典例】1.若点P(x)位于点M(-2)，N(3)之间，则x的 取值范围是________. 2.试确定点A(x2+x+1)与点 B( 3 ) 的位置关系？
2 4 4
所以，A(m)位于B(m2+1)的左侧.
(3)当a≥0时，|a|=a，则A(|a|)和B(a)为同一个点；
当a<0时，|a|>a，则A(|a|)位于B(a)的右侧.
类型二
数轴上的向量
【典例】1.已知AB=3，CD=-2，下列说法： ① AB ＞AC ； ②|AB|>|CD|； ③AB=3表示数轴上的向量 AB 的坐标为3，CD=-2表示数 轴上的向量 CD 的坐标为-2；
且点P(x)位于点M(-2)，N(3)之间，所以-2<x<3. 答案：-2<x<3
2.因为x2+x+A，B两点重合；
2
当x≠- 1 时，x2+x+1> 3 ，
2 4
高中数学必修二平面直角坐标系中的基本公式
相等，则M点的坐标是（
）D
（A）(－2，0) （B）(1，0)
（C）(1.5，0) （D）(3.4，0)
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)
等距离，则M点的坐标是
. (0, 1 ) 2
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距
离相等，则x+y的值等于
.7
距离公式和中点公式的应用
（3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2
y3
3
y
B( x 2,y 2)
A( x 1,y 1)
M(x ,y) x
O
C( x 3,y 3)
例2.13：求下列两点间距离及线 段中点的坐标
A（-1，-2），B（-4，2） P48-例2.14
P44-例2.2
知识点四：数轴上的基本公式
设AB是数轴上任意一个向量，点A的坐标为 x1，点B的坐标为x2，则AB=x2-x1。
d（A，B）=丨x2-x1丨=丨x1-x2丨，表示两点 间的距离。
P44-例2.3
知识点五：绝对值不等式
借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等 式问题。
P44-例2.4
P48-例2.15～2.18
谢谢观赏
P45-例2.9，10， P46-例2.11
2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
知识点一：两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上 时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为A1(x1， 0中)，直A线2(yB1B，1 0和)，ABA12(相0，交x于2)，点BC2(。0B，2 yy 2)，B其(x2,y2)
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2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式自主广场我夯基 我达标1.已知A(3)、B(-2)两点，则AB=_____________，|AB|=_____________.思路解析：由于AB 是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量AB 的长度，因此一定要求向量AB 的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5. 答案：-5 5 2.已知点M(2，2)平分线段AB ，且A(x ，3)、B(3，y)，则x=_____________,y=_____________. 思路解析：“点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M 是线段AB 的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解.∵点M(2，2)平分线段AB ，∴223,223=+=+yx ，解得x=1，y=1.答案：1 13.已知点A(5，12)，在x 轴上求一点P ，使点P 与点A 的距离等于13，则满足条件的点为___________________.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解.设点P 的坐标为(x ，0)，根据题意，得22)012()5(-+-x =13，解得x 1=0，x 2=10. 答案:(0,0)或(10,0)4.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是_______________.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长.∵|AB|=22)12()03(-+-=2,|AC|=22)32()03(-+-=2,|BC|=22)31()00(-+-=2,∴△ABC 为等边三角形. 答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_____________.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考查三边的长度是否满足勾股定理,从而判定三角形的形状. ∵|AB|=22)31()11(-+-=2,|AC|=2)21()21(22=-+-, |BC|=2)23()21(22=-+-,∴|AC|=|BC|.又∵AB 2=4,AC 2+BC 2=4,∴AB 2=AC 2+BC 2. ∴三角形是等腰直角三角形. 答案：等腰直角三角形6.已知ABCD 的三个顶点A(0，0)、B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则顶点C 的坐标为___________. 思路解析：由于ABCD 的各顶点的顺序已经确定，因此点C 的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点C 的坐标. 设顶点C 的坐标为(m,n)，AC 与BD 的交点为O ，则O 为AC 和BD 的中点，根据题意，得点O 的坐标为(212x x +,212y y +). 又∵点O 为AC 的中点，∴20+m =212x x +,20+n =212y y +. 解得m=x 2+x 1,n=y 2+y 1,∴点C 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2).答案：(x 1+x 2,y 1+y 2)7.判定下列各组点中，哪一个点一定位于另一个点的右侧.(1)M(2x)、N(x)；(2)A(c)、B(c+2)；(3)C(x)、D(x-a)；(4)E(x)、F(x 2).思路解析：∵(1)中的2x 与x 、(3)中的x 与x-a 、(4)中的x 与x 2都无法确定两个数的大小关系，而(2)中的c 与c+2大小关系容易确定:c ＜c+2，∴B(c+2)一定在A(c)的右侧. 答案：(2).8.在数轴上求一点的坐标，使它到点A(-9)的距离等于它到点B(-3)的距离的2倍.思路解析：设所求点为C(x)，则由题意得|x-(-9)|=2·|x -(-3)|，解得x=3或x=-5.∴符合条件的点有两个:C 1(3)、C 2(-5). 答案：C 1(3)或C 2(-5).9.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=5；(2)|x+3|+|x-1|=4；(3)|x+3|+|x-1|=3. 思路分析：本题中的三个小题实质上是一道题，即在数轴上求到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和分别等于5、4、3的点的坐标.解：(1)∵-3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于5的点为C(1.5)或C(-3.5)，图2-1-(1,2)-6∴x=-3.5或x=1.5.(2)如图所示，在线段AB 上的任意一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和都等于4，∴-3≤x≤1.(3)在数轴上找不到一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于3，∴方程|x+3|+|x-1|=3无解.综上，(1)x=-3.5或x=1.5;(2)x∈{x|-3≤x≤1};(3)x∈∅.图2-1-(1,2)-710.如图2-1-(1,2)-7，等边△ABC 的顶点A 的坐标为(3-，0)，B 、C 在y 轴上， (1)写出B 、C 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用两点间距离公式求边长,从而求出顶点B 和C 的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题(2).解：(1)如图2-1-(1,2)-4，∵△ABC 为等边三角形，|AO|=3,∴|OC|=1,|OB|=1, 即B 、C 两点的坐标分别为B(0,-1)、C(0,1). (2)由(1)得|BC|=2,∴△ABC 的周长为6,面积为21×2×3=3. 我综合 我发展11.|x+2|+|x-3|≤a 恒成立，则a 的取值是________________.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(-2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=5. 答案：512.如图2-1-(1,2)-8所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是____________.图2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离分别为1和2的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图2-1-(1,2)-9答案：413.函数y=1342222+-++-x x x x 的最小值为______________，此时相应的x 值为______________.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在x 轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值. y=222222)30()2()10()1(13422-+-+-+-=+-++-x x x x x x ,在x 轴上求一点，使这个点到两定点A(1，1)、B(2，3)的距离之和最小.作点A(1，1)关于x 轴的对称点C(1，-1)，则线段BC 的长度为所求最小值，即y min =|BC|=17)31()21(22=--+-，线段BC 与x 轴的交点即为所求的x 值.直线BC 的函数关系式为y=4x-5,它与x 轴的交点为(45，0)，∴x=45. 答案：17 4514.如图2-1-(1,2)-10，梯形ABCD 在平面直角坐标系中，AD∥BC ，∠ADC=90°，|AB|=|DA|+|CB|，腰DC 在x 轴上，O 是线段DC 的中点，|BO|=4，且∠BOC=60°. 求:(1)A 、B 、C 、D 各点的坐标； (2)梯形ABCD 的面积.图2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点B 、C 、D 的坐标并不困难，难点在于求点A 的坐标，此时需要作一条辅助线，即过点A 作AE 垂直BC 于E ，然后用方程的思想求出线段AD 的长. 解：(1)如图所示，过点A 作AE⊥BC 于E ，图2-1-(1,2)-11设点A 的纵坐标为y ，根据题意，得A(0,y). ∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°. 又∵|BO|=4，且∠BOC=60°， ∴|OC|=2，|BC|=32.∴点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(2,32). 又∵O 为线段DC 的中点，∴|DO|=2. ∴点D 的坐标为(-2,0).∴|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y ，|BE|=|BC|-|EC|=32-y. ∵|AB|=|DA|+|CB|=y+32,又∵∠BCD=90°,∴AB 2=AE 2+BE 2, 即(y+32)2=42+(32-y)2.解得y=332， ∴点A 的坐标为(-2，332). (2)S 梯形ABCD =21×(332+32)×4=3316.综上，(1)B(2,23)、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2,332);(2) 3316. 15.已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C 点的坐标； (2)△ABC 的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点C 的坐标，再根据面积公式求出△ABC 的面积.解：(1)如图所示，设点C 的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图2-1-(1,2)-12∵△ABC 为等边三角形，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--.6)2(,6)4(2222y x y x解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=.33,1,33,12211y x y x 因此，点C 的坐标为(-1,33)或(-1,-33). (2)S △ABC =21×6×33=39. 综上，(1)C(-1, 33)或C(-1,-33);(2)39.。