浙江工业大学2019-2020一高数期末A(无答案)

2019/2020学年第一学期《高等数学》试卷

以下内容与考试原题可能表述有所不同，但意思相同．

一、填空选择题(每空3分)

1．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0tan 1sin 0)(2

x x x x x x x k x f 在0=x 处连续，则=k ．

2．设x x y 1sin 2=，则=x

y d d ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=31e 23t y t x t ，则=

=1d d x x y ．

4．设y x xy +=e ，则

=x y d d ．5．常数a 满足条件时，方程0e =-ax x 在),0(+∞内有两个实根．

6．=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim ．7．设x 2e 是)(x f 的一个原函数，则⎰x x xf d )(．8．

=-⎰x x d 112．9．=

-⎰x x d sin 102π

．10．设)(x f 在),1[+∞上连续，且⎰=2

12e d )(x x x x xf ，则=)2(f ．

11．已知函数)(x f 连续，1)0('=f ，若0>δ，则下列说法正确的是()．

A ．)(x f 在),(δδ-内可导

B ．在)0,(δ-内，)

0()(f x f >C ．在),0(δ内，)0()(f x f >D ．0

)0(''=f 12．设⎰+=104

d 1x x

x I ，则估计I 值得大致范围为()．A ．102

0≤≤I B ．51102≤≤I C ．151<

≥I 13．设在区间],[b a 上0)(>x f ，0)('>x f ，0)(''>x f ，记⎰=b a x x f A d )(，))((a b a f B -=，))](()([21a b b f a f C -+=，则有()．

A ．C

B A >>B ．B

C A >>C ．B A C >>

D ．A B C >>二、求解下列各题(每小题6分)

1．求极限)

31ln(2cos 1lim 2x x n +-∞→．

2．已知2)('0=x f ，求极限h h x f h x f h )()2(lim

000-++→．3．求不定积分⎰+x x

x d cos 1．4．求定积分⎰--1

43

11d x x

．

三、求解下列各题(每小题8分)

1．求函数e

e e )(11-=x x

x f 的间断点及间断点的类型．2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=⎰0

0d )()(20x A x x

t t tf x F x ，其中)(x f 有连续的导函数，0)0(=f ．（1）若)(x F 在0=x 处连续，求A ；

（2）在（1）的前提下，证明)(x F 在0=x 处可导，并求)0('F ．

3．设函数c bx ax y ++=

223通过)0,0(，当]1,0[∈x 时，0≥y ，若函数)(x f y =与0,1==y x 所围成图形的面积为2，求c b a ,,使该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小．

四、(4分)设函数)(x f y =是),(+∞-∞上二阶可导的凹弧(曲线)，且当0→x 时是x 的等价无穷小，证明：),(,)(+∞-∞∈≥x x x f ．

五、(9分)设)(x f 是连续的周期函数，周期为T ，证明：

（1）证明：

⎰⎰=+T T a a x x f x x f 0d )(d )(；（2）证明：

⎰⎰=+T nT a a x x f n x x f 0d )(d )(，n 为正整数；（3）计算：⎰+π

n x x 0d 2sin 1．