数字三角形
数字三角形 问题
数字三角形一：问题描述73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5上图给出了一个数字三角形。
从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。
对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，和最大的路径称为最佳路径。
你的任务就是求出最佳路径上的数字之和。
注意：路径上的每一步只能从一个数走到下一层上和它最近的左边的数或者右边的数。
输入数据：输入的第一行是一个整数 N (1 < N <= 100)，给出三角形的行数。
下面的 N 行给出数字三角形。
数字三角形上的数的范围都在 0和 100之间。
输出要求输出最大的和。
输入样例573 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5输出样例30解题思路这道题目可以用递归的方法解决。
基本思路是：以 D( r, j)表示第 r行第 j 个数字(r，j都从 1开始算 )以 MaxSum(r, j) 代表从第 r 行的第 j 个数字到底边的最佳路径的数字之和，则本题是要求 MaxSum(1, 1) 。
从某个 D(r, j)出发，显然下一步只能走 D(r+1, j)或者 D(r+1, j+1)。
如果走 D(r+1, j)，那么得到的 MaxSum(r, j)就是 MaxSum(r+1, j) + D(r, j)；如果走 D(r+1, j+1)，那得到的 MaxSum(r, j)就是 MaxSum(r+1, j+1) + D(r, j)。
所以，选择往哪里走，就看 MaxSum(r+1, j)和 MaxSum(r+1, j+1)哪个更大了。
程序如下：上面的程序，效率非常低，在 N值并不大，比如 N=100的时候，就慢得几乎永远算不出结果了。
为什么会这样呢？是因为过多的重复计算。
我们不妨将对 MaxSum函数的一次调用称为一次计算。
那么，每次计算 MaxSum(r, j)的时候，都要计算一次 MaxSum(r+1, j)，而每次计算 MaxSum(r, j+1)的时候，也要计算一次 MaxSum(r+1, j)。
8字形三角形公式
8字形三角形公式在数学的奇妙世界里，有一种特别的图形——三角形。
而今天咱们要聊的是跟三角形有关的一个有趣公式——8 字形三角形公式。
说起三角形，我想起了之前在课堂上发生的一件小事。
那是一个阳光明媚的上午，我正在给学生们讲解三角形的相关知识。
当讲到这个 8 字形三角形公式时，班上的一个小调皮鬼举起了手，眨巴着大眼睛问我：“老师，这个公式有啥用啊？难道能让我变成数学天才吗？”这突如其来的问题，把全班同学都逗乐了。
咱们先来说说啥是 8 字形三角形。
其实就是两个三角形交叉组成的形状，看起来像个数字 8。
那这个 8 字形三角形公式到底是啥呢？它就是：在 8 字形中，左右两个三角形对应角的外角等于与之不相邻的两个内角之和。
听起来是不是有点绕？别着急，咱们来举个例子。
比如说有一个 8 字形，左边三角形的三个角分别是∠A、∠B、∠C，右边三角形的三个角是∠D、∠E、∠F。
那么根据这个公式，∠A 的外角等于∠E +∠F，∠D 的外角等于∠B + ∠C。
为了让大家更好地理解这个公式，咱们来做几道题试试。
比如说，有这样一个 8 字形，已知∠A = 50°，∠B = 60°，∠D = 70°，求∠E 的度数。
这时候咱们就可以用 8 字形三角形公式啦，因为∠A 的外角等于∠E + ∠D，∠A 的外角是 180° - 50° = 130°，所以 130° = ∠E + 70°，那么∠E 就等于 60°。
再比如说，在另一个 8 字形中，∠C = 80°，∠F = 90°，∠B = 40°，求∠D 的度数。
还是用公式，∠D 的外角等于∠B + ∠C，∠D 的外角是 180° - ∠D，所以 180° - ∠D = 40° + 80°，解得∠D = 60°。
这个 8 字形三角形公式在解决很多几何问题的时候可管用啦！就像上次考试，有一道题是这样的：在一个 8 字形中，给出了两个角的度数，让求另外两个角的和。
数字三角形c语言
数字三角形c语言
数字三角形是指由数字组成的一种特殊的图形，它遵循一定的规律。
我们可以使用C语言编写程序来打印数字三角形。
下面是一个使用C语言编写的打印数字三角形的示例代码：
```c
#include <stdio.h>
int main() {
int rows, i, j, number = 1;
printf("请输入行数：");
scanf("%d", &rows);
for(i = 1; i <= rows; i++) {
for(j = 1; j <= i; j++) {
printf("%d ", number);
number++;
}
printf("\n");
}
return 0;
}
```
以上代码首先通过`scanf`函数获取用户输入的行数，然后通过
两个嵌套的`for`循环来打印数字三角形。
外层循环控制行数，从1递增到用户输入的行数。
内层循环控制每行中数字的数量，从1递增到当前行数。
在每次循环迭代时，使用`printf`函数打印数字，并将`number`变量递增。
运行以上代码，用户输入行数后，就可以在控制台中看到打印出的数字三角形。
这就是一个使用C语言编写的简单数字三角形打印程序。
希望对你有所帮助！。
有正实数构成的数字三角形排列形式
有正实数构成的数字三角形排列形式有正实数构成的数字三角形排列形式是一个非常有趣的数学研究，令人惊叹的是它涉及到了非常复杂的数学模型。
三角形排列形式是一种极具景观价值的数字排列方式，它不仅可以让人们在休闲时间获得乐趣，而且还可以在真正的科学研究中发挥重要作用。
首先，从最简单的数学原理出发，有正实数构成的数字三角形排列形式可以分解为三个部分：三角形的行数、单元格的正实数值和正实数的位数。
正实数的位数决定了三角形的线条数，而单元格的正实数值决定了三角形的大小。
例如，如果正实数的位数为5，单元格的正实数值为10，那么就可以得到一个5行10列的三角形。
如果每一行的第一个正实数的位数和单元格的正实数值一样，那么就会得到一个完整的三角形。
此外，有正实数构成的数字三角形排列形式还可以用来解决一些有趣的实际问题。
例如，人们可以利用它来计算各种围绕组合、图论和优化问题的答案。
例如，根据数字三角形的不同排列形式，可以确定最优路径，以及最小成本等。
数字三角形也可以用来计算复杂的优化问题。
此外，数字三角形还可以用来解决一些更复杂的高等数学问题，例如椭圆方程。
但是，研究有正实数构成的数字三角形排列形式也存在一定的困难。
首先，在无穷大范围内，有正实数构成的数字三角形排列形式难以验证。
其次，数字三角形排列形式的求解过程很复杂，任何一种给定的排列方式都可能存在无穷多种解决方案，这会使得解决问题的过程变得非常困难。
最后，数字三角形排列形式还可能遇到因不同正实数值而产生的数学矛盾。
综上所述，有正实数构成的数字三角形排列形式是一个有趣而富有景观价值的数学工具，尽管它有许多极为复杂的数学知识与技巧，但也可以用来解决一些实际问题，而且也可以在日常生活中带来乐趣。
因此，值得深入研究有正实数构成的数字三角形排列形式。
三角形数阵公式
三角形数阵公式三角形数阵是一种数学形式。
它是有规律地排列的数字，呈现出一个由逐行逐列递增的三角形形状。
在三角形数阵中，每行的数字都是上一行的数字相邻两个数之和。
以下是对三角形数阵的公式和相关参考内容的阐述。
首先，让我们从三角形数阵的第一行开始。
第一行只有一个数字1，这个1既是三角形数阵的首项，也是三角形数阵每一行的首个数。
第二行由两个数字组成，分别是1和1，第三行由三个数字组成，分别是1、2和1，以此类推。
基于上述规律，我们可以得出三角形数阵的计算公式。
假设n 表示第n行，m表示第n行的第m个数字（m≤n），则三角形数阵的公式如下：m=1时：T(n,m) = 1m=n时：T(n,m) = 1m>1且m<n时：T(n,m) = T(n-1,m-1) + T(n-1,m)根据这个公式，我们可以计算出三角形数阵的任意一个数字。
例如，根据公式计算第6行第3个数字的值：T(6,3) = T(5,2) + T(5,3)= (T(4,1) + T(4,2)) + (T(4,2) + T(4,3))= (1 + 1) + (1 + 2)= 5通过这个公式，我们可以方便地计算出三角形数阵中的任意一个数字。
此外，三角形数阵还有许多有趣的性质和应用。
例如，三角形数阵中每一行的数字之和都是一个特殊的数列，该数列被称为"三角形数列"。
三角形数列的公式如下：S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2这个公式可以用来计算三角形数阵中第n行数字之和。
相比于逐个相加，使用这个公式可以更快地得出结果。
此外，三角形数阵还与组合数学、概率和图论等数学领域有关。
它与帕斯卡三角形、二项式系数等概念密切相关。
三角形数阵也在数学教学中被广泛应用，用来帮助学生理解数学概念、展示数学规律等。
总而言之，三角形数阵是一种具有规律的数字排列形式，其中每一行的数字都是上一行数字相邻两数之和。
6个数三角形使每条边相加和一样
数学上有一种有趣的问题，即通过给定的一组数字，找出所有可能的三角形，使得每个三角形的三条边相加和相等。
在这里，我将介绍六个不同的数字，它们可以构成六个这样的三角形。
让我们一起来看看吧！1. 我们有三个数字：3、4和5。
这三个数字可以构成一个三角形，因为它们满足三角形的边长要求，即任意两边之和大于第三边。
三角形的边长可以是3、4、5。
2. 接下来，我们考虑另外三个数字：6、8和10。
同样地，这三个数字也满足构成三角形的条件，因此它们可以构成一个边长为6、8、10的三角形。
3. 现在，我们来看看数字2、12和14。
这三个数字同样可以构成一个三角形，它的边长为2、12、14。
4. 我们还有数字5、5和10。
这三个数字也可以构成一个三角形，它的边长为5、5、10。
5. 我们考虑数字8、7和5。
同样地，这三个数字也可以构成一个三角形，它的边长为8、7、5。
6. 我们来看看数字9、12和15。
这三个数字同样可以构成一个三角形，它的边长为9、12、15。
通过以上的分析，可以看到我们已经找到了六个不同的数字组合，它们分别可以构成六个不同的三角形，而且每个三角形的三条边相加和都是相等的。
这个问题通过我们的分析，得到了一组数字来解决。
数学问题的探索与解决需要我们对问题做深入的分析与探讨，希望我们的分析能够为这类问题的解决提供一些启发。
在数学上，寻找一组数字，使得它们可以构成多个三角形且每个三角形的三条边相加和相等，是一个充满挑战性的问题。
以上我们已经找到了六个这样的数字组合，它们分别可以构成六个不同的三角形。
但是，我们可以进一步扩展这个问题，思考更多可能的数字组合以及所构成的三角形。
我们可以观察到找出这样的数字组合并不是一件容易的事情。
因为不是所有的数字组合都能够构成三角形，更别说是每个三角形的三条边相加和都相等。
其中一个关键的约束是三角形任意两边之和必须大于第三边。
另一个约束是我们需要找出的数字组合的和必须是偶数，因为三角形的三条边相加和必须是偶数才能够相等。
14 28 18 18三角形规律题
14 28 18 18三角形规律题三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和规律。
在这篇文章中，我们将探讨一个关于三角形的规律题，即14 28 18 18三角形规律题。
我们将从不同角度入手，逐步揭示其规律。
1. 对角线长度的规律我们首先观察给定的三角形序列，其中的数字分别是14、28、18、18。
我们可以观察到一个规律，即前两个数字分别是后两个数字的一半。
这意味着，对角线的长度成等比数列，比例为1/2。
可以表示为14 : 28 = 28 : 18 = 18 : 18。
2. 角度的规律除了对角线长度的规律，我们还可以关注三角形的角度。
对于任意一个三角形，其内角和为180度。
因此，我们可以计算给定三角形序列的角度和。
首先，我们可以假设第一个三角形的三个角度分别为x、y、z。
根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到以下等式：x + y + z = 180 (公式1)我们可以将这个等式应用在每一个给定的三角形上，从而推算出每个三角形中各个角度的取值。
对于第一个三角形，根据公式1，我们可以得到：x + y + z = 18014 + 28 + x = 180x = 138因此，第一个三角形的角度分别为14度、28度、138度。
我们可以继续按照这个方法计算后面的三角形的角度。
3. 形状的规律除了对角线长度和角度的规律外，我们还可以探索三角形形状的规律。
从给定的序列中，我们可以看出三角形之间的相似性。
具体来说，根据前面的计算结果，我们可以推测第一个三角形为一个锐角三角形。
进一步观察后面的三角形，它们的角度可能是类似的，形状也可能是类似的。
综上所述，14 28 18 18的三角形规律题包含了对角线长度、角度和形状的规律。
通过观察并应用数学原理，我们可以推测出这个三角形序列的规律。
然而，我们不能仅仅依靠有限的数据点来得出绝对的结论，因此进一步的研究还有待进行。
三角形是一个有趣且复杂的几何图形，通过研究其规律，我们可以加深对几何学的理解和应用。
三角填数字的题目窍门
三角填数字的题目窍门数学是一个普及和重要的学科，它能够教我们解决生活中的各种实际问题，如时间管理和财务规划。
然而，对于一些孩子和成年人来说，数学可能是一件可怕的事情。
其中一个常见的挑战是三角填数字的题目。
三角填数字的题目是一种数学谜题，该谜题以三角形的形状呈现，其中某些数字已被填写，而其他数字则需要找到方案来填写。
三角形的顶部是唯一的未填写数字。
目标是在保持每个数字等于其相邻数字之和的条件下，找到缺少的数字。
为了解决三角填数字题目，以下是一些技巧和窍门：1. 从底部开始填写数字这是填写三角数字谜题的最基本的技巧。
由于每个数字等于其下面两个数字之和，因此填写三角底部的数字不会造成困难。
然后，在上一行中，填写数字将依赖于下一行中填写的数字。
递归进行此操作，直到填写出顶部的数字。
2. 寻找规律在大多数三角数字谜题中，一个模式或规律可以帮助您找到数字。
例如，在以下三角形中：11 11 2 11 ? ? 1第四行中的数字必须是3和2，因为只有3 + 2 = 5，5 + 1 = 6，6 + 1 = 7。
此规律可以扩展到所有行，并为所有数字提供确定答案的方法。
3. 利用对称性许多三角数字谜题都具有对称性。
因此，如果您确定了三角形中纵轴的一侧，您还可以了解其他一侧中的数字。
例如，在以下三角形中：59 64 ? 73 8 2 4如果我们知道中心数字是6，那么左侧的数字总和应该与右侧的数字总和相等。
这意味着，如果左侧的数字总和是16，那么右侧的数字总和也必须是16.所以那个空缺的位置就是5。
4. 试错法在某些情况下，没有规律或模式可以发现。
因此，试错法可以成为一个解决三角填数字谜题的有效工具。
通过假设一些可能的数字并检查它们是否符合相邻数字的要求，可以逐步找出正确答案。
这可能会比其他方法需要更多时间和耐心。
总结三角填数字的题目可能会让人感到疑惑或困扰，但通过使用上面的技巧和窍门，您将能够快速和准确地找到正确的答案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为什么超时？
7 3 8 1 8 0
回答：重复计算
2 7 4 4 4 5 2 6 5
如果采用递归的方法，深度遍历每条路径，存在大 量重复计算。则时间复杂度为 2n,对于 n = 100， 肯定超时。
改进思想：从下往上计算，对于每一点，只需要保 留从下面来的路径中和最大的路径的和即可。因为 在它上面的点只关心到达它的最大路径和，不关心 它从那条路经上来的。
数字三角形的递归程序：
#include <iostream.h> #define MAX 101 int triangle[MAX][MAX]; int n; int longestPath(int i, int j); void main(){ int i,j; cin >> n; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<=i;j++) cin >> triangle[i][j]; cout << longestPath(0,0) << endl; }
解法1：
如果每算出一个MaxSum( r,j)就保存起来，则可以用 o(n2)时间完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2 此时需要的存储空间是： int D[100][100]; //用于存储三角形中的数字 int aMaxSum [100][100]; //用于存储每个MaxSum(r,j)
解法2:
没必要用二维Sum数组存储每一个MaxSum(r,j),只 要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组 Sum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值间复杂度不 变
#define MAX_NUM 100 int D[MAX_NUM + 10][MAX_NUM + 10]; int N; int aMaxSum[MAX_NUM + 10]; main() { int i, j; scanf("%d", & N); for( i = 1; i <= N; i ++ ) for( j = 1; j <= i; j ++ ) scanf("%d", &D[i][j]); for( j = 1; j <= N; j ++ ) aMaxSum[j] = D[N][j]; for( i = N ; i > 1 ; i -- ) for( j = 1; j < i ; j ++ ) { if( aMaxSum[j] > aMaxSum[j+1] ) aMaxSum[j] = aMaxSum[j] + D[i-1][j]; else aMaxSum[j] = aMaxSum[j+1] + D[i-1][j]; } printf("%d", aMaxSum[1]); }
f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) 1 f(2) f(2) f(3) f(1) 1
f(1) f(1) f(0) f(1) f(0) 0 0 1 0
f(0) 1
冗余计算
0
去除冗余： int f[n+1]; f[1]=f[2]=1; int i; for(i=3;i<=n;i++) f[i] = f[i-1]+f[i-2]; cout << f[n] <<endl;
输入格式： 5 //三角形行数。下面是三角形 7 38 810 2744 45265 要求输出最大和
解题思路：
以D( r, j)表示第r行第 j 个数字，以MaxSum(r, j) 代表从第 r 行的第 j 个数字到底边的各条路径中， 数字之和最大的那条路径的数字之和，则本题是 要求 MaxSum(0,0) 。（假设行编号和一行内数字 编号都从0开始)。 典型的动态规划问题。从某个D(r, j)出发，显 然下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)，所以， 对于N行的三角形： if ( r == N-1 ) MaxSum(r,j) = D(N-1,j) else MaxSum( r, j) = Max(MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) ) + D(r,j),
#define MAX_NUM 100 int D[MAX_NUM + 10][MAX_NUM + 10]; int N; int aMaxSum[MAX_NUM + 10][MAX_NUM + 10]; main() { int i, j; scanf("%d", & N); for( i = 1; i <= N; i ++ ) for( j = 1; j <= i; j ++ ) scanf("%d", &D[i][j]); for( j = 1; j <= N; j ++ ) aMaxSum[N][j] = D[N][j]; for( i = N ; i > 1 ; i -- ) for( j = 1; j < i ; j ++ ) { if( aMaxSum[i][j] > aMaxSum[i][j+1] ) aMaxSum[i-1][j] = aMaxSum[i][j] + D[i-1][j]; else aMaxSum[i-1][j] = aMaxSum[i][j+1] + D[i-1][j]; } printf("%d", aMaxSum[1][1]); }
程序设计II
第八讲 动态规划
树形递归存在冗余计算
例1：POJ 2753 Fibonacci数列 求 Fibonacci数列的第n项
int f(int n){ if(n==0 || n==1) return n; return f(n-1)+f(n-2); }
树形递归存在冗余计算
计算过程中存在冗余计算，为了除去冗余计算 可以从已知条件开始计算，并记录计算过程中 的中间结果。
数字三角形的递归程序：
int longestPath(int i, int j){ if(i==n) return 0; int x = longestPath(i+1,j); int y = longestPath(i+1,j+1); if(x<y) x=y; return x+triangle[i][j]; } 超时！！
用空间换时间 -> 动态规划
例2
POJ1163 数字三角形
7
3 8 2 4 5 7 2 1 4 6 8 0 4 5
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得 路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往 左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具 体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99