北师大版初一数学(下)认识三角形练习题
专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ； （2）5cm 、6cm 、11cm ； （3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=； ）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为 （用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为 ；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为 ；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==， 故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
北师大版数学七年级下《认识三角形》习题
初中数学试卷金戈铁骑整理制作《认识三角形》习题一、选择题1．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是() A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判定2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm3．一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是()A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞34．作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()5．若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( ) A.24° B.34° C.44° D.46°6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A.120°B.90°C.60°D.30°二、填空题7．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.8．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．10．如图，AB∥CD，CE与AB交于点A，BE⊥CE，垂足为E．若∠C=37°，则∠B= .三、解答题11．已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．12．如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．13．若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．15．在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．参考答案一、选择题1．答案：A解析：【解答】设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.【分析】判断三角形的形状，可从角的大小来判断，根据三角形的内角和及角之间的关系列出相关方程式求解即可．2．答案：B解析：【解答】选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.【分析】判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．3．答案：A解析：【解答】∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A. 【分析】判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．4．答案：D解析：【解答】从三角形的顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．过点C作边AB的垂线段，即作AB边上的高CD，所以作法正确的是D.故选D．【分析】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．5．答案：B解析：【解答】∵两个锐角和是90°，∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，设一个锐角为x，则另一个锐角为90°-x，得：90°-x-x=22°，得：x=34°．故选B ．【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x ，则另一个为90°-x ，即可求出最小的锐角度数．6．答案：D解析：【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°．故选：D ．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．二、填空题7．答案：7cm解析：【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°．故选：D ． 【分析】通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．8．答案：2解析：【解答】∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比，进行分析可得答案．9．答案：245解析：【解答】根据“垂线段最短”，当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245. 【分析】解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．10．答案：53°解析：【解答】∵AB ∥CD ，∴∠C=∠BAE=37°，∵BE⊥CE，∴∠BAE=90°，∴∠B=90°-∠BAE=90°-37°=53°．【分析】先根据平行线的性质得出∠BAE的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．三、解答题11．答案：94°．解析：【解答】在△DFB中，∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【分析】在△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．12．答案：50°、100°．解析：【解答】∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，又∵∠CDB＝∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后求解即可．13．答案：见解答过程．解析：【解答】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算．14．答案：100°．解析：【解答】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE 是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°．【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°.再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．15．答案：15°．解析：【解答】∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15° 【分析】根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可．。
2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章 4.1认识三角形 同步练习题
4.【知识点】1 由____________________的三条线段____________相接所组成的图形叫做三角形，三角形有____________条边、____________个内角和____________个顶点. “三角形”用符号“____________”表示，顶点是A，B，C的三角形，可记作“____________”.2 三角形按内角大小分类，可分为________________、____________________、________________________.3 三角形任意两边之和____________第三边；三角形任意两边之差____________第三边.4 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作____________，顶点和____________之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形三条高所在的直线____________.5 在三角形中，连接一个顶点与它对边____________的线段，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线____________，这一点称为三角形的____________.6 在三角形中，一个内角的________________与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线__________________.【例题讲解】1如图4-1-2，图中有几个三角形？把它们表示出来，并写出∠B的对边.2 如图4-1-4所示的图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．3 在△ABC中，∠A=21°，∠B=34°，则△ABC是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形4 一个三角形的两边b=4，c=7，试确定第三边a的范围. 当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少？5 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）6 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 都有可能7 如图4-1-15，已知△ABC 的周长为24 cm ，AD 是BC 边上的中线，AD=85AB ，AD=5 cm ，△ABD 的周长是18 cm ，求AC 的长．8 如图4-1-17，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多5 cm ，AB 与AC 的和为13 cm ，求AC 的长．9 如图4-1-19，在△ABC 中，∠B=60°，∠C=30°，AD 和AE 分别是△ABC 的高和角平分线，求∠DAE 的度数．10 如图4-1-21，△ABC 中，AD,AE 分别是△ABC 的高和角平分线，BF 是∠ABC 的平分线，BF 与AE 交于点O ，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠AEC ，∠BOE 的度数．【举一反三】1 如图4-1-3所示的图形中共有三角形( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 8个2 如图4-1-5，三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3 下列说法正确的是()A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形4 三角形按边分类，可分为（）A．不等边三角形、等边三角形B．等腰三角形、等边三角形C．不等边三角形、等腰三角形、等边三角形D．不等边三角形、等腰三角形5 若三角形中的两边长分别为9和2，第三边长为偶数，求三角形的周长.6 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）7 如图4-1-14，△ABC中BC边上的高是（）A．BDB．AEC．BED．CF8 如图4-1-16，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．9 如图4-1-18，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长多3 cm，BC=8 cm，求边AC的长．10 如图4-1-20，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．11如图4-1-22，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD,AC于点F,E，试说明：∠CFE=∠CEF．【知识操练】1 在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC 内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（）2 至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形3 下列说法正确的是（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.A．①②B．①③④C．③④D．①②④4 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1 cm，2 cm，3 cmB．2 cm，5 cm，8 cmC．3 cm，4 cm，5 cmD．4 cm，5 cm，10 cm5 如图4-1-23，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是()A. 2B. 3C. 6D. 不能确定6 如图4-1-24，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F.下列关于高的说法错误的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高7 如图4-1-25，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10 cm2，则△ABD的面积是()A. 5 cm2B. 6 cm2C. 7 cm2D. 8 cm28 如图4-1-26，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是（）A．AB B．AE C．AD D．AF9 如图4-1-27，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列正确的结论有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1个B．2个C．3个D．4个10 如图4-1-28，在△ABC中，∠C=90°，D，E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（）A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中线C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE=∠EBD=∠DBC11 如图4-1-29，在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，则AB的长为____________.12 一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边的边长是___________．13 一副三角尺如图4-1-9所示叠放在一起，则图中∠α的度数是____________.14 如图4-1-30，已知AE是△ABC的边BC上的高，AD是∠EAC的平分线，交BC于点D．若∠ACB=40°，则∠DAE=__________．15 已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足（b-2）2+|c-3|=0，且a为方程|a-4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．16 如图4-1-10，点O是△ABC内的一点，试说明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）.17 如图4-1-31，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．。
北师大版七年级数学认识三角形练习题
北师大数学七年级下册课堂达标测试题一、填空（每空3分，共60分）1．三角形的三边关系：①三角形任意两边之和 第三边；②三角形任意两边之差 第三边.2．下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗（填“能”或“不能”）：（1）3㎝，4㎝，5㎝（ ） （2）8㎝，7㎝，15㎝ （ ）（3）13㎝，12㎝，20㎝（ ） （4）5㎝，5㎝，11㎝ （ ）（5）6cm, 8cm, 10cm （ ）（6）7cm, 7cm, 14cm （ ） 3．在△ABC 中，∠A =10°，∠B =30°，则∠C =．在△ABC 中，∠A =90°，∠B =∠C ，则∠B =_________.5．（1）一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 _____________cm.（2）一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是_____________cm.…6．如果∠B ＋∠C ＝∠A ，那么△ABC 是 三角形. 7．在△ABC 中，AB =6 cm ，AC =8 cm 那么BC 长的取值范围是 .8．ABC ∆中，AD 是ABC ∆的中线，且cm BC 10=，则BD= cm. 9．在ABC ∆中，︒=∠80A ，AD 为A ∠的平分线，则BAD ∠=10．如果一个三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，则此三角形是 _____________三角形.11．判断具备下面条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形：（1）如果4:3:1::=∠∠∠C B A ，那么ABC ∆是 三角形；（2）如果B A ∠=∠，︒=∠30C ，那么ABC ∆是 三角形；（3）如果C B A ∠=∠=∠51，那么ABC ∆是 三角形.二、选择（每题3分，共27 分）1．在△ABC 中，∠A 是锐角，那么△ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形D 、不能确定2．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，则△ABC 的形状是（ ）￥A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不确定3．以下是由四位同学描述三角形的三种不同的说法，正确的是( ) A 、由三个角组成的图形叫三角形 B 、由三条线段组成的图形叫三角形 C 、由三条直线组成的图形叫三角形 D 、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形 4．△AB C 中，已知a =8, b =5，则c 为( ) A 、c =3 B 、c =13C 、c 可以是任意正整数D 、c 可以是大于3小于13的任意数值5. 下面说法中正确的是：（ ）A 、三角形的角平分线,中线,高都在三角形内 B 、直角三角形的高只有一条C 、钝角三角形的三条高都在三角形外 D 、三角形至少有一条高在三角形内 6. 如果一个三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定；7．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、以上都不对8．三角形的高线是 （ ） A 、线段 B 、垂线 C 、射线 D 、直线 9.在Rt △中，两个锐角关系是（ ）A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、以上都不对 三、解答题1．如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD 是△ABC 的一条角平分线求∠ADB 的度数. （7分）—2．在下列图中，分别画出三角形的三条高。
专题4.6 认识三角形-三角形的三条重要线段(专项练习)七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.6 认识三角形-三角形的三条重要线段（专项练习）一、单选题1．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图，在下列图形中，最具有稳定性的是（）A．B．C．D．的高是（）2．（2021·宁夏固原市·八年级期末）下列图形中，线段BE是ABCA．B．C．D．3．（2020·湖北孝感市·八年级月考）如图，在ABC中，AB边上的高为（）A．CG B．BF C．BE D．AD 4．（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（）A．2B．3C．4D．5 5．（2020·安岳县石羊镇初级中学七年级期中）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 6．（2020·辽宁抚顺市·）如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，若30B ∠=︒，50ACE ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒7．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知点G 是ABC 的重心，如果连接AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A ．BD CD =B ．AG GD =C ．2AG GD = D ．2BC BD = 8．（2020·安徽阜阳市·八年级月考）如图，在ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC 的面积是40，则四边形BDEF 的面积是（ ）A ．10B ．12.5C ．15D ．209．（2019·山东临沂市·八年级期中）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，若S △ABC =16，则S △BEF 的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．810．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）如图所示，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，E 是BC 边上的一点，连结AE ，则线段AD 是（ ）个三角形的高A．3B．4C．5D．6 11．（2020·广西八年级月考）如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短B．长方形的对称性C．长方形四个角都是直角D．三角形的稳定性的边AC上的高是（）12．（2021·北京丰台区·八年级期末）如图所示，ABCA．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA 13．（2021·湖南娄底市·八年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD 中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是( )A．25B．20C．15D．10 14．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条EF来固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A ．两点之间线段最短B ．长方形的四个角都是直角C ．长方形是轴对称图形D ．三角形具有稳定性15．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且23S cm =阴影，则△ABC 的面积为（ ）平方厘米A ．9B ．12C ．15D ．18二、填空题 16．（2020·广西柳州市·八年级期中）如图，BE 、CF 是ABC 的角平分线，80,60ABC ACB ︒︒∠=∠=，BE 、CF 相交于D ，则CDE ∠的度数是_____________．17．（2020·安徽合肥市五十中学西校八年级期中）如图所示，AD 、CE 、BF 是△ABC 的三条高，AB ＝6，BC ＝5，AD ＝4，则CE ＝_____．18．（2020·湖北孝感市·八年级月考）如图所示，则α=__________．19．（2021·全国九年级专题练习）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积________．20．（2020·甘州中学七年级月考）OB是△AOC内部的一条射线，把三角形的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分△AOB，三角尺的另一边OE也正好平分△BOC，则△AOC的度数为________21．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，在ABC中，AD、AE分AE=，ABC的面积为25，则CD的长为________．别是边BC上的中线与高，522．（2021·肥东县第四中学七年级期末）如图，已知AD 是ABC 的中线，CE 是ADC 的中线，ABC 的面积为8，则CDE △的面积为______．23．（2020·吉林吉林市·八年级期末）大桥钢架、索道支架等为了坚固，都采用三角形结构．这样做的根据是__________________．24．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在△ABC 中，△ABC 和△ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与△ACB 的外角平分线交于点D ，若△BOC ＝130°，则△D ＝_____25．（2021·上海九年级专题练习）已知点G 是ABC ∆的重心，连接BG 、GC ，那么BGC ABCS S ∆∆=_________． 26．（2021·全国九年级专题练习）如图，、、A B C 分别是线段1A B 、1B C 、1C A 的中点，若ABC 的面积是1，那么111A B C △的面积为____．27．（2020·东营市实验中学七年级月考）如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．28．（2020·宁津县育新中学八年级期中）如图，在△ABC 中，△A=64°，△ABC 与△ACD 的平分线交于点A 1，△A 1BC 与△A 1CD 的平分线相交于点A 2，得△A 2；…；△A n -1BC 与△A n -1CD 的平分线相交于点A n ，要使△A n 的度数为整数，则n 的值最大为______．29．（2020·天津市河西区新华圣功学校八年级月考）如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．30．（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．31．（2021·全国八年级）如图，在ABC 中，点,,D E F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，,,AD BE CF 交于一点,283BGD AGE G BD DC S S ===，，，则ABC 的面积是________．32．（2021·全国八年级）如图，ABC 的三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且21AG GD =：：．若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是________．33．（2020·上海宝山区·九年级月考）如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．34．（2021·菏泽市定陶区第一实验中学八年级月考）如图，在△ABC 中，△A ＝θ，△ABC 和△ACD 的平分线交于点A 1，得△A 1，△A 1BC 和△A 1CD 的平分线交于点A 2，得△A 2；…；△A 2020BC 和△A 2020CD 的平分线交于点A 2021，则△A 2021＝________．（用θ表示）35．（2021·庆云县第二中学八年级期末）如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．36．（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图，点D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若图中阴影部分的面积为3，则ABC的面积是________．37．（2020·龙湾区永中中学九年级月考）如图1，ABC纸片面积为24，G为ABC纸片）连结CG，DG，并将纸片剪去GDC，的重心，D为BC边上的一个四等分点（BD CD则剩下纸片（如图2）的面积为__________．38．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D 是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．三、解答题39．（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图，在△ABC中，BE△AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm．（1）求△ABC的面积；（2）画出△ABC中BC边上的高AD，并求出AD的长．40．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在△ABC中，△A＝30°，△ACB＝80°，△ABC 的外角△CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求△CBE的度数；DF BE，交AC的延长线于点F，求△F的度数．（2）过点D作//41．（2021·全国八年级）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．（1）求证：点D在BE的垂直平分线上；（2）若△ABE＝20°，请求出△BEC的度数．42．（2021·山东济南市·八年级期末）△ABC中，AD是△BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若△B＝40°，△C=60°，求△DAE的度数；（2）如图2，△B＜△C，则DAE、△B，△C之间的数量关系为___________；（3）如图3，延长AC到点F，△CAE和△BCF的角平分线交于点G，求△G的度数．43．（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图△放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD 均可绕点P逆时针旋转（1）试说明△DPC=90°；（2）如图△，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF 平分△APD，PE平分△CPD，求△EPF；（3）如图△．在图△基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．参考答案1．D【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．【详解】解：根据三角形具有稳定性可得选项D具有稳定性，其余的都具有不稳定性，故选：D．【点拨】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．2．D【分析】根据三角形高的定义可得结论【详解】在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．故选：D【点拨】熟记三角形高的定义是解决本题的关键．3．A【分析】在ABC中，过C点向AB所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB上的高，由此可得答案．【详解】CG解：ABC中，AB边上的高为：.故选：.A【点拨】本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．4．B【分析】根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可【详解】解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条故选：B【点拨】本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键5．C【分析】直接根据钝角三角形的三条高线交于三角形的外部解答即可．【详解】解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部，故选：C ．【点拨】本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系，即：锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部．6．D【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，即可求解．【详解】△CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，50ACE ∠=︒，△△ACD =2△ACE=100°，△△A=△ACD -△B=100°-30°=70°，故选D【点拨】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握“三角形的外角等于不相邻的两个内角之和”是解题的关键．7．B【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可．【详解】解：△点G 是ABC 的重心，△BD CD =，2AG GD =，2BC BD =，△A 、C 、D 正确，B 错误，故选B ．【点拨】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．8．C【分析】要求四边形面积，可以转化为两个三角形面积之和，把三角形面积计算中的底与高转化为大三角形ABC 的底与高即可求解．【详解】△ABC 的面积是40， △1402BC h ⨯⨯=， △D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，△EF 平行且等于12CD ，CD BD =， 以BD 为底，设BDF 的高为h '，以EF 为底，DEF 的高为h ''， △//BC EF ，△h h '''=， 11=22BDF DEF BDEF S S S BD h EF h ''+=⨯⨯+⨯⨯四边形， △F 是AD 的中点，△12h h '=， △111111=10515222422BDEF S BC h BC h ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=四边形， 故选：C ．【点拨】本题主要考查的是三角形中线的性质求面积问题，熟练掌握三角形中线求面积的性质是解答本题的关键．9．B【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两部分可以得解．【详解】解：由题意可得：BEC BED DEC SS S =+=()12ABD ACD S S + =12ABC S =8， △142BEF BEC S S ==， 故选：B ．【点拨】本题考查三角形中线的应用，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两部分的性质是解题关键 ．10．D【分析】由AD BC ⊥，结合线段BC （包括端点）共有4个已知点，从而可得线段AD 是三角形以,,,,,BE BD BC ED EC DC 为边上的高，于是可得答案．【详解】解：,AD BE ⊥AD ∴是ABE △的高，,AD BD ⊥AD ∴是ABD △的高，AD BC ⊥，AD ∴是ABC 的高，AD DE ⊥,AD ∴是ADE 的高，,AD CE ⊥AD ∴是ACE △的高，,AD CD ⊥AD ∴是ACD △的高，∴ 线段AD 是6个三角形的高故选：.D【点拨】本题考查的是三角形高的含义，分类讨论的数学思想，掌握以上要点是解题的关键． 11．D【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．【详解】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确．故答案选D ．【点拨】本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．12．C【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．A.线段AE是△ABC的边BC上的高，故不符合题意；B.线段BA不是任何边上的高，故不符合题意；C.线段BD是△ABC的边AC边上的高，故符合题意；D.线段DA是△ABD的边BD上的高，故不符合题意；故选C．【点拨】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．13．D【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【详解】解：△AD是BC上的中线，△12ABD ACD ABCS S S==△△△，△BE是△ABD中AD边上的中线，△12ABE BED ABDS S S==△△△，△14ABE ABCS S=△△，△△ABC的面积是40，△144010ABES，故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．14．D【分析】根据三角形具有稳定性解答．用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：D ．【点拨】此题考查三角形的稳定性，正确理解题意即可解决实际问题．15．B【分析】由点D 为BC 的中点，可得△ABD 、△ACD 与△ABC 的面积之比，继而由点E 为AD 的中点，可得△ABC 与△BCE 的面积之比，同理可得△BCE 和△EFB 的面积之比，据此可解答．【详解】解：如图，△D 为BC 的中点，△S △ABD = S △ACD = 12S △ABC ， △E 为AD 的中点， △S △BDE =12 S △ABD ，S △CDE = 12S △ACD ， △S △BDE + S △CDE = 12S △ABD + 12 S △ACD = 12 S △ABC ， △S △BEC = 12 S △ABC ， △F 为EC 的中点，△S △BEF = 12 S △BEC = 14S △ABC ， △S △BEF =3，△S △ABC =12．故选：B ．【点拨】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．16．70【分析】利用角平分线的定义求得CBE FCB ∠∠、的度数，然后利用三角形外角的性质求解【详解】解：△BE 、CF 是ABC 的角平分线，80,60ABCACB ∠=∠=， △1140,3022CBE ABC FCB ACB ∠=∠=∠=∠=， △70CDE CBE FCB ∠=∠+∠=． 故答案为：70．【点拨】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关键． 17．103【分析】 利用三角形面积公式得到12×AB ×CE ＝12×BC ×AD ，然后将已知条件代入求解即可． 【详解】解：△S △ABC ＝12×AB ×CE ＝12×BC ×AD ， △CE ＝BC AD AB⨯＝546⨯＝103． 故答案为103． 【点拨】本题主要考查了三角形面积公式，利用三角形的面积公式列出方程是解答本题的关键． 18．114︒【分析】根据三角形外角性质解答即可．【详解】如图所示:由三角形外角性质可得:1245882︒︒∠=+︒=1328232114α︒︒︒︒=∠+=+=故答案为: 114︒．【点拨】此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．19．6【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．【详解】解：△AD是BC上的中线，△ABC的面积是24，△S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12，△BE是△ABD中AD边上的中线，△S△ABE=S△BED=12S△ABD=6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．20．120°【分析】根据角平分线是定义得到△BOD=12△AOB，△BOE=12△COB,则△DOE=12△AOB+12△COB=12△AOC，然后把△DOE=60°代入计算即可．【详解】△OD平分△AOB，OE平分△COB，△△BOD1=2△AOB，△BOE=12△COB，△△DOE=12△AOB+12△COB=12△AOC，△△DOE=60°，△△AOC=260=120⨯．故答案为：120°【点拨】本题主要考查了角之间的和差关系及角平分线的定义．正确理解角的和差倍分关系是解题的关键．21．5.【分析】由三角形的面积为：25，求解,BC 再利用三角形的中线的概念求解CD 即可得到答案． 【详解】 解： AD 、AE 分别是边BC 上的中线与高，1,,2BD CD BC AE BC ∴==⊥ 1252BC AE ∴=， 5AE =，550BC ∴=，10BC ∴=，152CD BC ∴==， 故答案为：5.【点拨】本题考查的是三角形的中线，高的含义，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键． 22．2【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可．【详解】 解：AD 是ABC 的中线，ABC 的面积为8， ∴142ADC ABC S S ==△△， CE 是ADC 的中线， ∴122CDE ADC S S △△；故答案为：2．【点拨】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．23．三角形具有稳定性【分析】三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性，利用三角形的稳定性即可解释．【详解】△三角形具有稳定性，△大桥钢架、索道支架等为了坚固，都采用三角形结构．这样做的根据是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点拨】本题考查三角形的稳定性，掌握三角形是固定不变的，不会变形，即三角形的稳定性，生活中需要稳定的东西一般都制成三角形的形状．24．40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：△△ABC和△ACB的角平分线交于点O，△△ACO=12△ACB，△CD平分△ACE，△△ACD=12△ACE，△△ACB+△ACE=180°，△△OCD=△ACO+△ACD=12（△ACB+△ACE）=12×180°=90°，△△BOC＝130°，△△D=△BOC-△OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．25．13【分析】直接根据三角形重心的性质进行解答即可．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于D△点G 为△ABC 的重心，△AG=2DG ，△△DGC 的面积等于△ADC 面积的13， △DGB 的面积等于△ADB 面积的13， △△DGC 的面积+△DGB 的面积=13（△ADC 的面积+△ADB 的面积） △△BCG 的面积=13△ABC 的面积 △13∆∆=BGC ABC S S 故答案为：13【点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答此题的关键．26．7【分析】连接111,,AB BC CA ，根据等底等高的三角形的面积相等求出1ABB △，11A AB △的面积，从而求出11A BB 的面积，同理可求11B CC 的面积，11A AC △的面积，然后相加即可得解．【详解】解：如下图，连接111,,AC B A C B ，△B 是线段1B C 的中点，△1B B BC =， ABC 和1AB B 等底同高，△根据等底同高的两个三角形面积相等可得11B AB ABC S S ==△△；同理可得：1111A B A AB B S S ==△△；△11111112A B B A B A AB B S S S =+=+=；同理可得112C CB S =△，112C AA S =△，△11111111122217A B C A BB C CB C AA ABC S S S S S =+++=+++=．故答案为：7．【点拨】本题考查了与三角形中线有关的面积计算，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．27．45°【分析】如图，作射线BF 与射线BE ，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得△ABE +△EDC ＝90°，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案．【详解】解：如图，作射线BF 与射线BE ，△AB △CD ，△△ABE ＝△4，△1＝△2，△△BED＝90°，△BED＝△4+△EDC，△△ABE+△EDC＝90°，△BF平分△ABE，DF平分△CDE，△△1+△3＝12△ABE+12△EDC＝45°，△△5＝△2+△3，△△5＝△1+△3＝45°，即△BFD＝45°，故答案为：45°．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．28．6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到△A＝2△A1，同理可得△A1＝2△A2，即△A＝22△A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，△ACD＝△A＋△ABC，△A1CD＝△A1＋△A1BC，△△ABC的平分线与△ACD的平分线交于点A1，△△A1BC＝12△ABC，△A1CD＝12△ACD，△△A1＋△A1BC＝12（△A＋△ABC）＝12△A＋△A1BC，△A1B、A1C分别平分△ABC和△ACD，△△ACD＝2△A1CD，△ABC＝2△A1BC，而△A1CD＝△A1＋△A1BC，△ACD＝△ABC＋△A，△△A＝2△A1，△△A1＝12△A，同理可得△A1＝2△A2，△△A2＝14△A，△△A＝2n△A n，△△A n＝（12）n△A＝642n，△△A n的度数为整数，△n＝6．故答案为：6．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．29．10【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB 的周长多2cm，即可得到AC的长．【详解】解：△AE是△ABC的边BC上的中线，△CE=BE，又△AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，△AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，△AC=10cm，故答案为：10；【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．30．3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：△BD=DC ，△S △ABD =S △ADC =12×6=3（cm 2）， △AE=DE ，△S △AEB =S △AEC =12×3=32（cm 2）， △S △BEC =6-3=3（cm 2），△EF=FC ，△S △BEF =12×3=32（cm 2）， 故答案为32． 【点拨】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31．30【分析】根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC 的面积．【详解】解：在BDG 和GDC 中，△2BD DC =,△2BDG GDC SS =，8BGD S =△， △4GDC S =,△点E 是AC 的中点，3AGE S = △ 3.GEC AGE SS == △84315BEC BDG GDC GEC SS S S =++=++=， △230.ABC BEC S S ==故答案为：30．【点拨】本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC的面积是解题关键．32．4【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【详解】解：△△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD=2：1，△AE=CE，△S△CGE=S△AGE=13S△ACF，S△BGF=S△BGD=13S△BCF，△S△ACF=S△BCF=12S△ABC=12×12=6，△S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF=13×6=2，△S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故阴影部分的面积为4．故答案为：4．【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．33．6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD ＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：△△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，△2GD＝AG，△S△ABG＝2，△S△ABD＝3，△AD是△ABC的中线，△S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．34．20212θ【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得ACD A ABC ∠=∠+∠，111ACD A A BC ∠=∠+∠，根据角平分线的定义可得112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠，然后整理得到112A A ∠=∠，同理可得2112A A ∠=∠，⋯从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出n A ∠即可．【详解】解：1A B 平分ABC ∠，1A C 平分ACD ∠，112A BC ABC ∴∠=∠，112ACA ACD ∠=∠， 111ACD A A BC ∠=∠+∠， ∴11122ACD A ABC ∠=∠+∠， 11()2A ACD ABC ∴∠=∠-∠， A ABC ACD ∠+∠=∠，A ACD ABC ∴∠=∠-∠，112A A ∴∠=∠， 1221122A A A ∠=∠=∠，⋯， 以此类推，12n n A A ∠=∠， 202120212021122A A θ∴∠=∠=． 故答案为：20202θ．本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．35．4θ 2n θ 【分析】根据三角形的外角性质可得△ACD=△A+△ABC ，△A 1CD=△A 1+△A 1BC ，根据角平分线的定义可得△A 1BC=12△ABC ，△A 1CD=12△ACD ，整理得到△A 1=12△A ，同理可得△A 2=12△A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12，然后表示出△A n 即可得答案． 【详解】△ACD ∠是ABC 的外角，△A 1CD 是△A 1BC 的外角，△△ACD=△A+△ABC ，△A 1CD=△A 1+△A 1BC ，△ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，△△A 1BC=12△ABC ，△A 1CD=12△ACD ， △△A 1=12△A ， 同理可得△A 2=12△A 1=14△A ， △△A=θ，△△A 2=4θ， 同理：△A 3=12△A 2=382θθ=， △A 4=12△A 3=4162θθ= ……△△A n =2n θ． 故答案为：4θ，2nθ 【点拨】 本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．36．8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=S△ACD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，S△ADF=12S△ADC，再得到S△BDE=14S△ABC，S△DEF=18S△ABC，所以S△ABC=83S阴影部分．【详解】解：△D为BC的中点，△12ABD ACD ABCS S S==△△△，△E，F分别是边,AD AC上的中点，△111,,222 BDE ABD ADF ADC DEF ADFS S S S S S===，△111,448 BDE ABC DEF ADC ABCS S S S S===，△113488BDE DEF ABC ABC ABCS S S S S S=+=+=阴影部分，△888333ABCS S⨯===阴影部分，故答案为：8．【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．37．18【分析】连接BG，根据重心的性质得到△BGC的面积，再根据D点是BC的四等分点得到△GDC的面积，故可求解．【详解】连接BG，△G为ABC纸片的重心，△S△BGC=13S△ABC=8△D为BC边上的一个四等分点（BD CD）△S△DGC=34S△BGC=6△剪去GDC，则剩下纸片的面积为24-6=18故答案为：18．【点拨】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．38．2【分析】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为BC=3BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE 的面积．【详解】解：△点D是AC的中点，△AD=12 AC，△S△ABC=12，△S△ABD=12S△ABC=12×12=6．△BC=3BE，△S△ABE=13S△ABC=13×12=4，△S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2，故答案为：2．【点拨】本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．39．（1）212cm ；（2）作图见解析，245cm 【分析】（1）结合题意，根据三角形面积计算公式分析，即可得到答案；（2）过点A 作AD BC ⊥交BC 于点D ，结合三角形面积公式计算，即可得到答案．【详解】（1）△BE△AC ， AC ＝8cm ，BE ＝3cm △211=831222ABC S AC BE cm ⨯=⨯⨯=△ （2）如图，过点A 作AD BC ⊥交BC 于点D△211=1222ABC S AC BE BC AD cm ⨯=⨯=△ △22122455ABC S AD BC ⨯===△cm ． 【点拨】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解． 40．（1）55CBE ∠=︒；（2）25.F ∠=︒【分析】（1）由30,80,A ACB ∠=︒∠=︒ 利用三角形的外角的性质求解,CBD ∠ 再利用角平分线的含义求解CBE ∠即可得到答案；（2）先由三角形的外角的性质求解,CEB ∠ 再利用平行线的性质求解F ∠即可得到答案．【详解】解：（1）30,80,A ACB ∠=︒∠=︒3080110,CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ BE 平分,CBD ∠1111055.22CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒ （2）80,55,ACB CBE ∠=︒∠=︒805525,CEB ACB CBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//,BE DF25.F CEB ∴∠=∠=︒【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．41．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）连接DE ，根据垂直定义得到△ADC ＝△BDC ＝90°，根据直角三角形的性质可得DE ＝CE ，根据线段垂直平分线的性质可得结论；（2）根据等边对等角的性质和三角形外角的性质及角的和差倍数关系即可求证结论．【详解】（1）证明：连接DE ，△CD 是AB 边上的高，△△ADC ＝△BDC ＝90°，△BE 是AC 边上的中线，△AE ＝CE ，△DE ＝CE ，△BD ＝CE ，△BD ＝DE ，△点D 在BE 的垂直平分线上；（2）解：△DE ＝AE ，△△A ＝△ADE ，△△ADE ＝△DBE+△DEB ，△BD ＝DE ，△△DBE ＝△DEB ，△△A ＝△ADE ＝2△ABE ，△△BEC ＝△A+△ABE ，△△BEC＝3△ABE，△△ABE＝20°，△△BEC＝60°．【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、等边对等角的性质、三角形外角和性质，解题的关键是熟练掌握上述所学知识．42．（1）10°；（2）△DAE＝12(△C−△B)；（3）45°．【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得△BAC＝80°，由角平分线的定义可得△CAD 的度数，利用三角形的高线可求△CAE得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解△DAE、△B、△C的数量关系；（3）设△ACB＝α，根据角平分线的定义得△CAG＝12△EAC＝12（90°−α）＝45°−12α，△FCG＝12△BCF＝12（180°−α）＝90°−12α，再利用三角形外角的性质即可求得结果．【详解】解：（1）△△B＝40°，△C＝60°，△BAC＋△B＋△C＝180°，△△BAC＝80°，△AD平分△BAC，△△CAD＝△BAD＝12△BAC＝40°，△AE是△ABC的高，△△AEC＝90°，△△C＝60°，△△CAE＝90°−60°＝30°，△△DAE＝△CAD−△CAE＝10°；（2）△△BAC＋△B＋△C＝180°，△△BAC＝180°−△B−△C，△AD平分△BAC，。
数学北师大版七年级下册认识三角形练习题
数学北师大版七年级下册认识三角形练习题例1在△ABC中, 已知∠A=12∠B=13∠C请你判断三角形的形状.例2. 已知在△ABC中,∠A=62°, BO,CO分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,且BO. CO 相交于O, 求∠BOC的度数.C例3画一画如图,在△ABC中:(1).画出∠C的平分线CD(2).画出BC边上的中线AE(3).画出△ABC 的边AC 上的高 BF例4如图4, ∠1+∠2+∠3+∠4=度;例5.如图：ABCD 是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条,现量得AB=80cn. BC=60cm.CD=40cm,AD=50cm,试问所需的木条长度至少要多长?例6A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、以上都不对④下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A.3cm. 4cm. 8cmB.5cm, 6cm, 11cmC.5cm. 6cm. 10cmD.3cm. Born. 12cm⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是 .⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形.那么他选的三根木棒的长度分别是 .例7.已知△ABC为等腰三角形.① 当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为 .② 如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为 .练一练一、填空题1、在△ABC中, ∠A=40° , ∠B=∠C, 则∠C= .2、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形。
那么他选的三根木棒的长度分别是3、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是( ).4、三角形的一边为5cm，一边为7cm，则第三边的取值范围是6、三角形三个内角中，最多有( )个直角，最多有( )个钝角，最多有( )个锐角，至少有( )个锐角。
北师大版初中数学七年级下册《4.1 认识三角形》同步练习卷(9)
北师大新版七年级下学期《4.1 认识三角形》同步练习卷一．选择题（共26小题）1．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．05．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN6．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．C．D．7．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．8．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BF A的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．2：310．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．811．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（）A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，312．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则下列线段中，能与a、b组成三角形的是（）A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm13．若三角形的两边长为2和3，则第三边长可以是（）A．1B．3C．5D．714．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．4，5，9B．5，5，11C．1，2，3D．5，6，10 15．下列各组数可做为一个三角形三边长的是（）A．4，6，8B．4，5，9C．1，2，4D．5，5，11 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（）A．100°B．125°C．135°D．130°17．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120°B．60°C．140°D．无法确定18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE的度数为（）A．26°B．30°C．34°D．52°19．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°20．如图，∠C＝50°，∠B＝30°，则∠CAD的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°21．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°22．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°23．在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．8024．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（）A．2B．3C．2D．525．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．65°C．55°D．45°26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5B．4C．3D．2二．填空题（共4小题）27．如图，△ABC中，点O是重心，过点O的两条线段BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为．28．如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为．29．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．30．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝．北师大新版七年级下学期《4.1 认识三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【解答】解：三角形根据边分类，∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．2．图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，根据图示得出三角形个数即可．【解答】解：图中三角形由△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC，故选：C．【点评】此题考查三角形，在数三角形的个数时，注意不要忽略一些大的三角形．3．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键．4．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．0【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论2个．故选：B．【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．5．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段MN【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，逐一判断各选项即可．【解答】解：由图可得，F是BC的中点，根据三角形中线的定义，可知线段AF是△ABC的中线，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．6．在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A．B．C．D．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．故选：D．【点评】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．7．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC 的高．【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．8．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：过点B作AC边上的高，垂足为E，则线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BF A的面积之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．2：3【分析】利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵CE＝AE，CD＝DB，∴ED∥AB，DE＝AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝（）2＝，故选：B．【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；∴S△BEF＝S△BEC，同理得，S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，∴S△BEF＝4，即阴影部分的面积为4．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．11．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（）A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【解答】解：A、7+8＞9，能构成三角形；B、5+6＞7，能构成三角形；C、3+4＞5，能构成三角形；D、1+2＝3，不能构成三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．12．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则下列线段中，能与a、b组成三角形的是（）A．2cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．【解答】解：设三角形的第三边为m．由题意：8﹣6＜m＜6+8，即2＜m＜14，故选：B．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．若三角形的两边长为2和3，则第三边长可以是（）A．1B．3C．5D．7【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，即可解答．【解答】解：∵三角形的两边长为3和2，∴第三边x的长度范围是3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．14．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．4，5，9B．5，5，11C．1，2，3D．5，6，10【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，4+5＝9，不能组成三角形；B中，5+5＝10＜11，不能组成三角形；C中，1+2＝3，不能够组成三角形；D中，5+6＝11＞8，能组成三角形．故选：D．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．15．下列各组数可做为一个三角形三边长的是（）A．4，6，8B．4，5，9C．1，2，4D．5，5，11【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得答案．【解答】解：A、4+6＞8，能组成三角形；B、4+5＝9，不能组成三角形；C、1+2＜4，不能组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（）A．100°B．125°C．135°D．130°【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠ABO和∠BAO的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠AOB的度数．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∠ABO＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵∠C＝90°，∴∠BAC＝30°，∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠BAC＝15°，∴△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝135°，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．17．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120°B．60°C．140°D．无法确定【分析】以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，故选：C．【点评】此题考查三角形的内角和，角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE的度数为（）A．26°B．30°C．34°D．52°【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠ABD的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝86°﹣60°＝26°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝26°，又∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝26°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，以及两直线平行，内错角相等的性质，准确识图是解题的关键．19．如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，若∠BDC＝110°，那么∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】求出∠ABC+∠ACB的度数即可解决问题．【解答】解：∵∠BDC＝110°，∴∠DBC+∠DCB＝70°，∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°，∴∠A＝180°﹣140°＝40°，故选：A．【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，∠C＝50°，∠B＝30°，则∠CAD的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C，∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠CAD＝80°，故选：A．【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，而∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠ACD＝80°+40°＝120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝60°，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．22．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°【分析】根据图形求出∠1，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣45°＝45°，则∠α＝60°+45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．23．在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．80【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【解答】解：∵与∠ABC相邻的外角＝∠A+∠C，∴x+65＝x﹣5+x，解得x＝70．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（）A．2B．3C．2D．5【分析】设BE＝EC＝x，CF＝F A＝y，构建方程组求出x2，y2，再根据AB＝计算即可．【解答】解：设BE＝EC＝x，CF＝F A＝y，∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，则有，解得x2＝，y2＝，∴AB＝＝＝2，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．25．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，∴另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5B．4C．3D．2【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线进行分析．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴AB与AC互相垂直；故①正确；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，故②正确；点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；线段AB的长度是点B到AC的距离；故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，关键时注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．二．填空题（共4小题）27．如图，△ABC中，点O是重心，过点O的两条线段BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为12．【分析】先根据勾股定理得到OD的长，再根据重心的性质即可得到AO的长．【解答】解：∵BE⊥AD，BD＝10，BO＝8，∴OD＝＝6，∵AC、BC上的中线交于点O，∴AO＝2OD＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之间的关系进而求出是解题关键．28．如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为．【分析】根据三角形重心的性质即可求解．【解答】解：∵△ABC的中线BE、CD交于点G，∴CG：DG＝2：1，∴＝＝．故答案为：．【点评】考查了三角形的重心，重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．29．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD＝AB＝5，∵G为△ABC的重心，∴CG ＝CD ＝，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．30．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝20°．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．第21页（共21页）。
七年级数学下册 3.1.1 三边关系试题(基础巩固提优+课外拓展提优+开放探究提优,pdf) (新版)北师大版
第三章㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三 角 形１㊀认识三角形第１课时㊀三边关系㊀㊀１．认识三角形的概念及基本要素．２．掌握三角形三边之间的关系．１．若三角形两条边分别是２c m和７c m,则第三边c的范围是㊀㊀㊀㊀,当周长为偶数时,第三边长为㊀㊀㊀㊀,若周长为５的倍数时,第三边长为㊀㊀㊀㊀．２．若等腰三角形的腰长为６,则它的底边长a的取值范围是㊀㊀㊀㊀;若等腰三角形的底边长为４,则它的腰长b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．３．一个木工师傅现有两根木条,它们的长分别为３０c m和５０c m,他要选择第三根木条,将它们钉成一个三角形木架,设第三根木条为x c m,则x的取值范围是㊀㊀㊀㊀,若第三根木条是整十数,则第三根木条可以有㊀㊀㊀㊀种选择．４．认识三角形后,勤于探索的贝贝和晶晶又用玩游戏的方式探索起来．贝贝:给出下列四组线段,请你找出能构成三角形的一组．晶晶略一思考,就正确地找了出来是(㊀㊀)．A．２c m,４c m,６c mB．３c m,８c m,４c mC．７c m,７c m,３c mD．９c m,５c m,３c m５．若三角形的两边长分别为３和５,则其周长l的取值范围是(㊀㊀)．A．６＜l＜１５B．６＜l＜１６C．１０＜l＜１６D．１１＜l＜１３６．以长度为５,７,９,１３中的三条线段为边,能组成一个三角形的情况有(㊀㊀)．A．１种B．２种C．３种D．４种７．在下列各题中给出的三条线段不一定能组成三角形的是(㊀㊀)．A．a＋１,a＋２,a＋３(a＞０)B．三条线段的比是４ʒ６ʒ８C．３c m,８c m,１０c mD．３a,５a,２a－１(a＞０)８．在周长为p的三角形中,最长边m的取值范围是(㊀㊀)．A．p３ɤm＜p２B．p３＜m＜p２C．p３＜mɤp２D．p３ɤmɤp２９．已知әA B C的周长为４８c m,最大边与最小边之差为１４c m,另一边与最小边之和为２５c m,求әA B C各边的长．１０．已知在әA B C中,A B＝A C,点D在A C的延长线上．求证:B D－B C＜A D－A B．(第１０题)１１．若三角形的三边长都是正整数,一边长为４,但它不是最短边,写出８种满足所有条件的三角形的三边长．１２．如图,A C㊁B D相交于点O,试说明:A C＋B D＞１２(A B＋B C＋C D＋D A)．(第１２题)惟有真才能血性,须从本色见英雄. 黄㊀兴受人者,常畏人;与人者,常骄人.皇甫谧１３．әA B C 的三边a ,b ,c 都是正整数,且满足a ɤb ɤc ,如果b ＝４,那么这样的三角形共有(㊀㊀)．A．４个B ．６个C ．８个D．１０个１４．各边长均为整数且各边均不相等的三角形的周长小于１３,这样的三角形有(㊀㊀)．A．１个B ．２个C ．３个D．４个１５．如果三角形的两边长分别为２和４,且第三边的长为奇数,试讨论三角形的第三边应为多少?若第三边为偶数,求这个三角形的周长．１６．已知a ,b ,c 是三角形三条边的长,试判断代数式a ２－２a b－c ２＋b２值的正负．１７．已知a ,b ,c 是әA B C 的三边,化简:|a －b －c |＋|a ＋b －c |－|b －c －a |＋|c －a －b |．１８．如图,草原上有４口油井,位于四边形A B C D 的４个顶点处,现在要建立一个维修站H ,试问维修站H 建在何处,才能使它到４口油井的距离之和HA ＋H B ＋H C ＋HD 为最小?说明理由．(第１８题)１９．(２０１２ 广东)已知三角形两边的长分别是４和１０,则此三角形第三边的长可能是(㊀㊀)．A．５B ．６C ．１１D．１６２０．(２０１２ 湖南长沙)现有３c m ,４c m ,７c m ,９c m 长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(㊀㊀)．A．１B ．２C ．３D．４２１．(２０１２ 湖南郴州)以下列各组线段为边,能组成三角形的是(㊀㊀)．A．１c m ,２c m ,４c m B ．４c m ,６c m ,８c m C ．５c m ,６c m ,１２c m D．２c m ,３c m ,５c m２２．(２０１２ 浙江义乌)如果三角形的两边长分别为３和５,第三边长是偶数,则第三边长可以是(㊀㊀)．A．２B ．３C ．４D．８２３．(２０１２ 广东茂名)如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答:㊀．(第２３题)４８,则a ＝２３c m ,b ＝１６c m ,c ＝９c m ．１０．ȵ㊀A D －A B ＝A C ＋C D －A C ＝C D ,又㊀B D －B C ＜C D ,ʑ㊀B D －B C ＜A D －A B ．１１．如:１,４,４;２,４,４;２,３,４;２,４,５;３,３,４;３,４,４;３,４,５;３,４,６等１２．在әA O D 中,A O ＋D O ＞A D ;在әA O B 中,A O ＋B O ＞A B ;在әB O C 中,B O ＋C O ＞B C ;在әC O D 中,C O ＋D O ＞C D ．四个不等式两边分别相加,并化简,得２A C ＋２B D ＞A B ＋B C ＋C D ＋D A ,所以A C ＋B D ＞１２(A B ＋B C ＋C D ＋D A )．１３．D ㊀１４．C１５．设第三边为x ,根据三边关系,得４－２＜x ＜４＋２,所以２＜x ＜６．所以第三边若为奇数,第三边长为３或５;若第三步为偶数,则第三边长为４,此时三角形的周长＝２＋４＋４＝１０．１６．㊀a ２－２a b －c ２＋b２＝(a －b )２－c２＝(a －b －c )(a ＋c －b )．ȵ㊀a －b －c ＜０,a ＋c －b ＞０,ʑ㊀a ２－２a b －c ２＋b ２＜０．１７．因为a ,b ,c 是әA B C 的三边,所以a －b －c ＜０,a ＋b －c ＞０,b －c －a ＜０,c －a －b ＜０,所以原式＝－(a －b －c )＋(a ＋b －c )＋(b－c －a )－(c －a －b )＝－a ＋b ＋c ＋a ＋b －c ＋b －c －a －c ＋a ＋b＝４b －２c ．１８．维修站H 建在两条对角线A C ㊁B D 的交点处便符合要求,现不妨任取异于H 的一点H ᶄ,连接AH ᶄ㊁B H ᶄ㊁C H ᶄ㊁DH ᶄ,则AH ᶄ＋C H ᶄ＞A C ＝AH ＋C H ,①B H ᶄ＋DH ᶄ＞B D ＝B H ＋DH ,②①＋②,得A H ᶄ＋C H ᶄ＋B H ᶄ＋D H ᶄ＞A H ＋C H ＋B H ＋D H ．ʑ㊀对角线A C ㊁B D 的交点H 处到４口油井的距离之和为最小．(第１８题)１９．C ㊀２０．A㊀２１．B ㊀２２．C ㊀２３．稳定性第三章㊀三角形１㊀认识三角形第１课时㊀三边关系１．５c m＜c ＜９c m㊀７c m㊀６c m ２．０＜a ＜１２㊀b ＞２３．２０＜x ＜８０㊀５４．C ㊀５．C ㊀６．C ㊀７．D㊀８．B９．设三角形的三边长为a ,b ,c ,且a ＞b ＞c ．由已知,可得a －c ＝１４,b ＋c ＝２５,a ＋b ＋c ＝。
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北师大版初一数学（下）认识三角形复习练习题————培优
知识点一：三角形的有关概念：三角形的边、角、表示方法
知识点二：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
知识点三：三角形的内角和等于180
知识点四：三角形按角分类
⎧⎪⎨⎪⎩
锐角三角形直角三角形钝角三角形
知识点五：认识直角三角形：直角三角形的表示方法、性质：直角三角形两锐角互余。
知识点六：三角形的角平分线、中线、高
例1在△ABC 中，已知∠A ＝21∠B ＝3
1∠C ，请你判断三角形的形状。
例2. 已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、
CO 相交于O ，求∠BOC
例3 画一画 如图，在△ABC 中：
（1）.画出∠C 的平分线CD （2）.画出BC 边上的中线AE
（3）.画出△ABC 的边AC 上的高BF
例4如图4
，∠1+∠2+∠3+∠4= 度；
B C
A B A Ｃ 图4
例5、如图；ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD
上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，
CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长？
例6
①在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度）
③已知，在△ABC中，∠A + ∠B = ∠C，那么△ABC的形状为（）
A、直角三角形
B、钝角三角形
C、锐角三角形
D、以上都不对
④下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.3cm，4cm，8cm
B.5cm，6cm，11cm
C.5cm，6cm，10cm
D.3cm，8cm，12cm
⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是。
⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．______.
例7 .已知△AB C为等腰三角形，
①当它的两个边长分别为8 cm和3 cm时，它的周长为_____；
②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为_____.
练一练
一、填空题
1、在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝．
2、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_
3、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（）。
4、三角形的一边为5 cm，一边为7 cm，则第三边的取值范围是
6、三角形三个内角中, 最多有（）个直角,最多有（）个钝角,最多有（）个锐角,至少有（）个锐角。
7、三角形按角的不同分类，可分为（）三角形，（）三角形和（）三角形。
8.三角形的三条中线，三条角平分线，三条高_____，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的_____，钝角三角形三条高的交点在_____.
9、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是三角形。
10、在△ABC中，∠A－∠B＝36°，∠C＝2∠B，则∠A＝，∠B＝，∠C ＝。
11.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.
12.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形
是_____三角形.
13.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.
14.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.
二、判断题。
1、有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。
（）
2、一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°。
（）
3、两个内角和是90°的三角形是直角三角形。
（）
4、一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。
（）
5、在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°。
（）
6、一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形。
（）
三、选择题:(
1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形;
C.直角三角形
D.钝角或直角三角形
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角;
B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角;
D.三角形的内角都大于60°
3.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100°
B.120°
C.140°
D.160°
4.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
5.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中 ( )
A.有两个锐角、一个钝角
B.有两个钝角、一个锐角
C.至少有两个钝角
D.三个都可能是锐角
6.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
7.等腰三角形的底边BC =8 cm ，且|AC －BC |=2 cm ，则腰长AC 的长为( )
A.10 cm 或6 cm
B.10 cm
C.6 cm
D.8 cm 或6 cm
8．在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）．
（A ）4cm （B ）5cm （C ）9cm （D ）13cm
9．在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）． E B A C C A B C A B C A B
E E E
（A ） （B ） （C ） （D ）
10．已知ΔABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A ，则此三角（ ）
A 、一定有一个内角为45︒
B ．一定有一个内角为60︒
C ．一定是直角三角形
D ．一定是钝角三角形
11．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B ，
④∠A=∠B=12
∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
12、已知三角形的三边分别为2，a 、4，那么a 的范围是（ ）
A 、1＜a ＜5
B 、2＜a ＜6
C 、3＜a ＜7
D 、4＜a ＜6
三、解答题。
2、在三角形ABC 中，∠A=60°，∠B 比∠A 小15°，∠C 是多少度？
3.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.
4 (2001·天津)如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 则∠EDF=________度.
5、如图，已知∠B ＝40°，∠C ＝59°，∠DEC ＝47°，求∠F 的 A
E。