求函数零点的几种方法
求函数零点的方法
函数零点的求法：确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1），若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点。
对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。
步骤
（1）确定区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0，给定精确度ε；
（2）求区间（a，b）的中点x1；
（3）计算f（x1）；
1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；
2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0
∈（a，x1））；
3）若f（b）·f（x1）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））。
（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。
函数零点
一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点。
即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。
函数的零点不是一个点，而是一个实数。
高一数学函数零点的求解
高中数学函数零点问题的求解函数的零点教材中给出了具体的定义：“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点，这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标，所以方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。
总结如下：一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例1、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B例2.函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。
分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足条件0)()(<b f a f ，但由函数2)(x x f =的图象可知它一定有零点0=x 。
函数零点的题型归纳与解题技巧
函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。
3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。
例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。
7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。
求零点个数的方法
求零点个数的方法
求零点个数的方法有多种，具体方法取决于给定问题的具体情况。
下面列举几种常见的求零点个数的方法：
1. 代数解法：对于一元多项式方程，可以使用代数方法来求解方程的根，从而得到零点的个数。
这包括使用因式分解、配方法、综合除法、求解二次方程等方法。
2. 图像法：对于已知函数的图像，可以通过观察函数图像的上下交错关系来估计或精确计算函数的零点个数。
这种方法适用于一些简单的函数。
3. 数值计算方法：对于复杂函数或无法通过代数方法求解的方程，可以使用数值计算方法来估计函数的零点个数。
常见的数值计算方法包括二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。
4. 特殊函数的性质：对于某些特殊函数，可以利用其特殊性质来求解零点个数。
例如，多项式函数的零点个数等于其次数，三角函数的零点个数与周期有关等。
需要根据具体情况选择合适的方法来求解零点个数，有时可能需要结合多种方法来得到准确的结果。
不能用二分法求零点的函数
不能用二分法求零点的函数一、引言函数零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的解。
求函数的零点是数学中的一个重要问题，它在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
常用的方法有二分法、牛顿法、割线法等。
二分法是求函数零点的一种经典方法，简单易懂，容易实现。
然而，并非所有的函数都适合用二分法来求解。
本文将围绕这一问题展开阐述，探讨不能用二分法求零点的函数，并介绍一些可行的替代方法。
二、二分法求零点的基本原理二分法的基本思想是将区间逐步缩小，在每一步中，找到区间的中点，然后根据中点的值与零点的大小比较，将零点所在的区间一分为二、重复此过程，最终将区间缩小到足够小，以满足所需精度。
三、二分法的使用条件1.函数在所选区间上连续且单调。
这是二分法的基本要求，因为二分法的核心在于通过比较中点与零点的大小关系来缩小区间。
2.函数在所选区间上无穷次可微。
这是为了确保二分法的收敛性，即区间不断缩小，最终趋于零点。
四、不能用二分法求解的函数1.零点不唯一的函数。
对于零点不唯一的函数，二分法无法确定具体的零点所在位置。
例如，函数f(x) = sin(x)在区间[0, 2π]上有无穷多个零点，二分法无法准确求得其中的任何一个零点。
2.函数图像与x轴相切的情况。
当函数与x轴相切时，函数的图像在切点处的斜率为零。
由于二分法的核心在于通过比较中点与零点的大小关系来缩小区间，而函数图像的斜率为零的点无法通过这种比较来找到精确的零点位置。
3.函数图像有极小值或极大值的情况。
对于具有极小值或极大值的函数，二分法可能陷入局部最小值或最大值，并错失零点。
例如，函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上有一个极小值点，但该区间内没有零点，因此二分法无法求得函数的零点。
五、替代方法1.牛顿法牛顿法是解决非线性方程的一种迭代方法，用于求解函数的零点。
牛顿法通过不断逼近切线与x轴的交点，实现零点的近似求解。
对于那些无法用二分法求解的函数，牛顿法是一种较好的替代方法。
牛顿法求零点的方法
牛顿法求零点的方法牛顿法是一种用来求解方程零点的迭代方法，其基本思想是利用函数的局部线性近似来不断逼近零点。
下面详细介绍50条关于牛顿法求零点的方法：1. 选择一个初始值作为零点的初始近似值，记为x0。
2. 计算函数在x0处的导数，记为f'(x0)，这是牛顿法迭代的关键步骤。
3. 接下来，计算初始值x0处的函数值f(x0)。
4. 利用初始值x0和函数值f(x0)以及导数f'(x0)来构建下一个近似值x1，即x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。
5. 用x1代替x0，重复以上步骤，直到满足迭代精度要求或达到指定迭代次数。
6. 牛顿法的迭代公式可以表示为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)。
7. 牛顿法对于一些简单的函数可以快速收敛，但对于某些复杂函数可能会出现收敛慢或不收敛的情况。
8. 牛顿法可以用于求解单变量方程的零点，也可以推广到多变量函数的情况。
9. 在使用牛顿法时，需要注意选择初始值，避免选择导数为零的点，否则会导致迭代失败。
10. 牛顿法对于某些特殊情况可能会出现振荡或者不稳定的现象，需要谨慎选择使用。
11. 牛顿法在实际应用中经常结合其他方法使用，以提高求解效率和稳定性。
12. 牛顿法的收敛速度通常是二阶的，即每次迭代可以在误差上减少平方的量级。
13. 当函数的导数不易计算时，可以使用数值近似的方法计算导数，例如有限差分法。
14. 牛顿法可以用于求解超越方程的零点，例如对数、指数、三角函数等。
15. 牛顿法可以通过对迭代公式进行近似线性化来理解其收敛性。
16. 对于特定的函数，可以通过分析其导数的情况来预测牛顿法的收敛性。
17. 牛顿法的优点之一是可以在迭代过程中不断逼近零点，对于需要高精度的求解问题有很好的效果。
18. 牛顿法的迭代过程可以通过绘制函数图和零点逼近路径来直观展示。
19. 对于非光滑函数或者包含了噪声的函数，牛顿法可能需要结合其他方法使用。
函数零点问题的求解“四法”
点评 此类方法一般适用于二次函数 在 Ｙ轴 两侧 ，
的零点 、 一些 可 以 因式 分 解 的 高 次 函数 的零 点 等．
２ ．利用 图象
一
般 的函数 零 点 个 数 的确 定 性 问题 ， 往
往把 对应 的 函数转 化 为两 个 基本 初 等 函数 ， 利用 两 函数 的 图 象 的交 点 个 数 来 确 定 对 应
（ 一３ ） ：１ ６ ＞ｏ ， 方程有 两个不 相等实数根 ，
又ｚ ＋２ ｘ一 ３： （ ＋３ ） （ Ｘ一 １ ） 一０ ， ｚ １ —１ ，
７ 。
圈 ｌ
： 一３ 所以 厂 （ ｚ ） 的零 点 为 １ ， 一３ ．
由 图 １易 知 ， 两 图象 有 两 个交 点 且 分别 所 以函数 有 一个 正 零 点 和 一个 负零 点 ， 故 填答 案 ： Ｄ． 函数 ：ｇ （ ｚ ） －ｈ （ ｘ ） 的零点 ， 实 际上是曲线 —ｇ （ ｚ ） 与 一 （ ｚ ） 的交点的横坐 标． 函数零点 的个数与交点的个数 相同 ， 故可 以 转化为考虑两个简 单 的基 本初等 函数 ， 一般 通 过作 出基本的图象来分析与处理的问题．
二 次方程 至 多有两 个 实根 ， 所 以 （ ｚ ） 有 两个 零 点． 故填 答 案 ： （ ｎ ， ６ ） ， （ ６ ， ｃ ） ．
解 由于厂 （ １ ） 一一２ ＜ｏ ， （ ２ ） 一５ ＞ｏ ，
因此 区间 ［ １ ， ２ ］ 作为计 算的初始 区间 ， 用二 分 法逐 次计算 ， 如下 表 ：
断对应 的方程 是否 有 实 数 根 ， 再 通 过 因式 分
解法 、 配方 法或 公 式 法来 求 解 相 应 的 方程 的
用二分法求函数零点
用二分法求函数零点山东 刘春辉二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象连续不间断；②()()0f a f b <．二分法不适合不变号零点的情况．二分法求零点的基本方法是：第一步 取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步 取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，若11()0f x x =，就是所求零点，计算结束；若1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到达到规定的误差要求，计算结束.实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]n n a b ，，当 2n n a b ε-<时，区间[]n n a b ，的中点1()2n n n x a b =+就是函数()y f x =的近似零点，这时函数()y f x =的近似零点与真正零点的误差不超过ε.这也就是说：函数的零点总位于区间[]n n a b ，内，得到一系列的有根区间0011[][][]n n a b a b a b L L ，，，輀葺?，其中每一个区间的长度都是前一个区间的一半.设区间[]n n a b ，的长度为n d ，则00122n n n n n nb a d b a xcd -=-=-<，，即0012n n b a x c +--<（其中c 为函数的真正零点）.所以当2n n a b ε-<时，1122n n n n x c d b a ε-<=-<.反过来，由n x c ε-<出发，0000111222n n n n b a b a x c d εε++---<=<>，（ε为精确度要求，00a b ，为初始区间端点值），根据该式可以确定n 的最小值0n ，这样我们做题时就可以事先知道需要0n 次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.例 用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点（精确到0.01）.解：3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(0f x x x x x x x x x x x x =+--=+-+=+-=+=∴函数的零点为1-，.23x x ==，，令2()3f x x =-也是函数2()3f x x =-的零点，∵ (1)20(2)10f f =-<=>，，， ∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算.由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取中点就能取得符合精确度要求的近似零点，列表如下：∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．。
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求函数零点的几种方法 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
函数零点
一、知识点回顾
1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。
注意：（1）零点不是点；
（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(<⋅b f a f , 那么, 函数)(x f y =在区间(a, b)内至少有一个零点．
3、一个重要结论：若函数)(x f y =在其定义域内的某个区间上是单调的，则)(x f 在这个区间上至多有一个零点。
4、等价关系：函数)()()(x g x f x F -=有零点⇔方程0)()()(=-=x g x f x F 有实根⇔方程组⎩⎨⎧==)()(2
1x g y x f y 有实数根⇔函数)(1x f y =与)(2x g y =的图像有交点。
二、求函数)(x f y =零点的方法
1、解方程0)(=x f 的根；
2、利用零点存在性定理和函数单调性：
3、转化成两个函数图像的交点问题。
三、典例分析
例1二次函数c bx ax y ++=2的部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是
例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．
变式
1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，
，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围．
2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）
A ．a b αβ<<<
B ．a b αβ<<<
C ．a b αβ<<<
D ．a b αβ<<<
3．函数012)(≠++=a a ax x f ，，若在11≤≤-x 上，)(x f 存在一个零点，则实数a 的取值范围是?
例3 函数2
6
x y =和2log y x =的图象的交点有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
变式：
1
、若方程x b =+有两个不相等的实数根，求b 的取值范围．
2、已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.
若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m m 的取值范围是 ．
练习
1．已知函数)(x f 为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
2.函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求a 的取值范围；
3．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，+∞)
4.x
x x f 1lg )(-
=零点所在区间是（ ）.
A. ]1,0(
B. ]10,1(
C. ]100,10(
D. ),100(+∞
5.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间
（A ）(,)a b 和(,)b c 内 （B ）(,)a -∞和(,)a b 内 （C ）(,)b c 和(,)c +∞内 （D ）(,)a -∞和(,)c +∞内。