最优化方法-单纯形法
第五章 单纯形优化设计法1
E
0 0 0 0 0 0.775 0.129 0.129 0.129 0.129 0.129
F
0 0 0 0 0 0 0.764 0.109 0.109 0.109 0.109
G
H
I
J
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.756 0 0 0 0.094 0.750 0 0 0.094 0.083 0.745 0 0.094 0.083 0.075 0.742
23
上述方法是根据初始点和步长来计算初始单纯形的各 个顶点，各因素的步长是相同的,称作固定步长法或正 规单纯形法。 如二因素实验举例： 因素1：pH，因素2：温度。 初始值x0=(7.0,40);步长a1=0.5, a2=5。 这是几维单纯形？有几个顶点？ 第一个顶点x1=(x11,x12)=(x01+p1,x02+q2)
10
什么是单纯形？ 单纯形（Simplex）是数学里最优化方法中的一个名 词。它是指多维空间的凸多面体，其顶点数比空间维 数多1。
例如：一维空间的单纯形是一条直线，二维空间中是
三角形，三维空间中是四面体。
11
什么是单纯形优化法？
单纯形优化法是一种多维搜索寻优方法。 它是利用单纯形的顶点计算目标函数值,按一定的规则 进行探索性搜索,判断目标函数的变化趋势,确定有利的 搜索方向和步长。 经过不断的迭代，最终使结果收敛
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f 2 ( x) ... Wq f q ( x)
6
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。
优化设计的数学表达（数学模型式）：
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
分布式单纯形法
分布式单纯形法
分布式单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，其基本思想是将一个大规模的线性规划问题分解为若干个较小的子问题，然后利用单纯形法分别求解这些子问题，最后将这些子问题的解进行合并，得到原问题的最优解。
具体来说，分布式单纯形法将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的一个约束条件或一个变量。
然后，每个子问题在一个独立的计算节点上使用单纯形法进行求解。
在每个迭代步骤中，每个计算节点更新自己的变量值，并与其他计算节点交换信息，以便在全局范围内找到最优解。
分布式单纯形法的优点是可以将大规模问题分解为较小的子问题，从而在分布式计算环境中实现高效的求解。
此外，该算法还可以利用并行计算的优势，提高求解速度。
然而，分布式单纯形法也存在一些挑战，例如如何有效地分解问题、如何管理通信和同步等。
总之，分布式单纯形法是一种求解大规模线性规划问题
的有效方法，适用于分布式计算环境。
单纯形法的原理是：先找到一个初始的基可行解，判定其是否为最优解，如为否，则转换到相邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，一直找到最优解为止。
单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，其基本思想是将一个复杂的线性规划问题转化为一系列简单的线性规划问题，通过不断迭代和变换，最终找到最优解。
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
最优化方法- 之单纯形法
代入目标函数得
z 10 x1 5 x2 16 x2 2 x4
(1, 2为检验系数)
• 确定进基变量和出基变量
*确定x2为进基变量，则x4仍为非基变量。
x3 21 14 x2 3 x4 5 5 5 x1 8 2 x2 1 x4 5 5 5
x3 21 14 x2 0 x2 3 5 5 2 x1 8 2 x2 0 x2 4 5 5
2
0 0
T
z(2) 17.5
• 判断
x2 5 x1 x3 3 x4 3 14 14 2 - 1 x3 2 x4 1 7 7 x2 3 5 x3 3 x4 2 14 14 x1 1 1 x3 - 2 x4 7 7
z 17.5 5 x3 25 x4 代入目标函数： 14 14
f x f x
z
0
k
ck
br 0 f x . yrk
旧基为 P , , Pr , , Pm 1 新基为 P , , Pk , , Pm 1 yk B 1 Pk ,
xr 为离基变量 xk 为进基变量。
证明：因为B P , , Pr , , Pm , P , , Pr , , Pm线性无关， 1 1
(b)确定x3 , x4与x1的关系：
3 4 1 0 9 x3 9 3x1 0 x1 3 5 2 0 1 8 x4 8 5 x1 0 x1 1.6
x1取 min 3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
3 1 得到新基 5 0
x1
x2
T
0
《最优化方法》第二讲-单纯形法
C A
CN N
CN B-1N
0 b
0 b
0 B-1b
8
所以约束方程 AX=b 就可以表示为:
AX
(B
N )
XB XN
BX B
NX N
b
得： X B B1b B1NX N
若令所有非基变量
XN = 0,
则基变量
X B B1b
由此可得初始的基本可行解
X
min j j 0, m 1 j n mk
则选取对应的xm+k为换入变量，
由于σm+k<0
且为最小，
因此当xm+k由零增至正值，
xm
1
可使目标函数值
z
CB B1b
(
m1 ,
m2
,,
n
)
xm2
最大限度的减小。
1 2
0
4
-1 2
1
3
22
C (5, 2, 3,1, 1)
1 3
2 2 1 0 8
4 1 0 1 7
1
2
5 2
11 30
1 2
0
4
-1 2
1
3
可得改进的基本可行解。
1 0
B
( P3 P5
)
0
1
，基变量
x3, x5 ,
AX
b
(B
N )
XB XN
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
三、标准形式线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。
通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题通常更难求解，需要使用特定的算法。
五、线性规划的应用线性规划在实际生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 产能规划：通过线性规划方法，可以确定最优的产能配置，以满足市场需求和最大化利润。
2. 运输优化：线性规划可以用于优化物流配送路线，降低运输成本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。
X
1
X
2
X
3
X 4
X
5
(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29
X
6
(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.
x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln
┇
┇
bl
0 0… 0… 1 am,m+1… am,m+t… amn
┇
bm
新的基可行解的产生
e 用关于行的初等变换将
a'lj
=
alj al ,m +t
b'l
=
bl al ,m +t
新的基可行解的产生
已知 b1>0, 若 b’t >0, 则需 al,m+t >0.
当i≠l时， a'ij =aij +a'lj
-ai,m+t
=
aij
-
ai,m+t al ,m +t
• aij
b'i = bi +b'l -ai,m+t
x1 , x2 , x3 , x4 0
约束方程组的系数矩阵：
2 3 1 4 A (P1, P2, P3, P4 ) 1 2 6 7
共有6个基Bj,对应6个基本解Xj，j=1，2，…，6
B1 B2 B3 B4 B5 B6
(P1 , P2 ) (P1 , P3 ) (P1 , P4 ) (P2 , P3 ) (P2 , P4 ) (P3 , P4 )
x1 3x2 x3 2x4 1
x1, x2 , x3, x4 0
x (0,3 2,0, 7 4) , 证明x是最优解
证明：取基B=（ 可行解。且B=： 1
P2 ，P4），容易验证
6
，B-1
=
1 2
X 是与B对应的基
6
3 2
16
X (0) (b1, b2 ,..., bm ,0,..., 0)T
用A的列向量 Pm+t 替换B中的 Pl ， 所得的新矩阵为：
B1 (P1, P2 ,..., Pl1, Pmt , Pl1,..., Pm )
新的基可行解的产生
若新矩阵仍未非奇异矩阵，则可取其为新基。
称 Pm+t 为入基向量，Pl 为出基向量，对应的 X m+t 为入基变量，X l 为出基变量。
谢谢！
┇
┇
┇
0 0… a’ml… 1 a’m,m+1… 0 … a’mn b’m
新的基可行解的产生
由表1-2可知,基B1对应的基本解X(1)为
x (1) j
b
' j
,当j
m, 且j
l
x (1) mt
bl'
x (1) j
0, 对其余的j
为使 x(1) 成为可行解,必须使所有的 b’j 成为非负数. 表1-2中，利用行初等变换将入基向量化为单位向量，因此，
取初始基B0 （P2, P1, P5） I，
则初始基本解X0 （4,7,0,0,1,0)T
三：最优性准则
1、目标函数的非基变量表达式
设问题为 max Z=CX
(1-1)
s.t. AX=b,b≥0
(1-2)
X≥0
(1-3)
设基A＝变（量B,N），其中B是基，相应地，设基变量构成的向量为XB，非
其中，由于X2，X5，X6,中存在负值，故只有X1，X3， X4是基可行解，其对应的目标函数值分别是：
Z1 CX1 8, Z3 CX 3 23.4, Z4 CX 4 10.1875
目标函数值最大者为X3，但这并不是最优解。实际上，任
取 >0，令
X (345 3.1,0, , 7 5 1.3)T
,
cm
2
CB B1Pm2 ,..., cn
CB B1Pn )
( m1, m2,..., n)
其中
j c j CB B1Pj , j m 1,..., n
于是有：
Z Z0 ( m1, m2,..., n)(xm1,xm2,...,xn )T
到最优解为止。若原问题无最优解，也可根据最优性理 论及时发现，停止计算。
流程框图
开始
初始基 可行解
是最优 解？
Y
输出最 优解
N
无最优解
N 生成更优的 基可行解
Y
停
二、初始基可行解
1．确定初始基可行解 对标准型的线性规划问题 ：
max Z c1x1 c2 x2 ... cn xn x1 a1.m1xm1 ... a1.n xn b1
6 16
1 16
1 1
-
1 2
由最优解判别定理知：X 是最优解.
X
二、基可行解的迭代与改进
（一）新的基可行解的产生 （二）基可行解的改进
新的基可行解的产生
设线性规划的约束方程组的系数矩阵为A=(I,N)，取基
（标准基） B0 =I P1, P2,...Pm
则其对应的初始基可行解为:
表1-1化为了表1-2
Pm +t
化为单位向量
,同时 l
x1 x2… xl… xm xm+1… xm+t… xn
b
1 0… a’1l… 0 a’1,m+1… 0 … a’1n b’1
0 1… a’2l… 0 a’2,m+1… 0 … a’2n b’2
┇
┇
┇
0 0… a’ll… 0 a’l,m+1… 1 … a’ln b’l
容易验证 X 是可行点，且其目标函数值为：
Z CX 23.4 19.3 23.4 CX 3
一.单纯型法的基本思路
如果线性规划问题存在最优解，一定有一个基可行解是 最优解。 因此单纯形法迭代的基本思路是：先找出一 个基可行解，判断其是否为最优解，如果为否，则转换 到相邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，一直找
命题： 若检验数σm+t >0，按上式θ准则
选取主元al,m+t并进行换基迭代后所得到的 新基可行解X(1)优于原来的基可行解X(0)。
证明： X(1)所对应的目标函数值为
CX 1 =Z0 b'σ l m+t >Z0 =CX 0
此命题表明，只要选取正检验数对应的 变量为入基变量，并对该元素按θ准则确定 主元，再进行换基迭代，则必可得到一个优 于原基可行解的新的基可行解。
(
P1
,
P2
,
P3
,
P4，P5
)
1 0
0 1
0 0
1 6
1 3
0 0 1 1 2
取初始基B0 I （P1, P2 , P3），
则初始基本解X0 （b1, b2 ,b3,0,0)T (8,12,4,0,0)T
例 3 求初始基可行解
max z = 4x1-5x2-x3+2x4+3x5-x6
缺点：当基可行解个数很多时，穷举法的工作 量太大。所以，若事先无法判断是否存在最优 解，采用穷举法可能导致错误结论。
举例说明
设：
max Z 2x1 3x2 4x3 7x4
s.t.2xx11
3x2 2x2
x3 4x4 8 6x3 7x4 3
x2 x3 x4 2x6 7
s.t.
x1
5 x3
-
x4
-
3x6
4
4x3 2x4 x5 x6 4
x1, , x6 0
0 1 1 1 0 2
系数矩阵A
(
P1
,
P2
,
P3
,
P4，P5
,
P6
)
1
0
5
1 0 3
0 0 4 2 1 1
原问题可表为：