第二章模糊集合1
经典集合与模糊集合汇总
xi
x1
x2
xn
如果论域U 是无限不可数集，F 集合A可表示为：
A A(xi ) xi 注意上述试中的数学符号所表示的意义。
3)向量法 若论域中的元素有限且有序时，可以把各元素的隶属度类似于 向量的分量排列起来表示F集合，这样F集合相当于一个向量， 其分量就是各元素的隶属度取值，故也称F集合A为F向量A,表 示为:
F集合A的支集和核，都是经典集合。
2)数与集合A的数积 设A (U), [0，1]，x U。可以定义一个新的集合“A”,
它满足以下条件：
( A)(x) A(x) 称 A为数与集合A的数集。
把一个F集合A的隶属函数A（x）、支集SuppA、核KerA及
它和数的数积A，一并画在图上，可以看出它们的意义以及
C(x) A(x) B(x) max[A(x), B(x)] 则称C为A和B的并集，记作C A B。符号“”表示对 两边的值做取大运算。
6.模糊集合间的交集 若A, B,C （U）,x U ,均有：
C(x) A(x) B(x) min[A(x), B(x)] 则称C为A和B的并集，记作C A B。符号“”表示对 两边的值做取小运算。
A ( A(x1), A(x2 ), , A(xn ))
注：用向量表示法时，同一论域上各集合中元素隶属度的排列 顺序必须相同，而且隶属度等于零的项不得省略。
3)函数法
当论域U 是无限不可数集时，根据F 集合A的定义，完全可以用 它的隶属函数A（x）来表征它.
例子2-1
设论域U {1，2，3，4，5}, A表示“靠近4的数集”，则A就是F集合。 已知论域U中各元素隶属于A的程度A（xi）,试用F集合的各种 表示方法表示出F集合A。
模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
模糊集合及其运算
40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别： 模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例 取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 对任意的 称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
模糊数学——第2次课模糊集合概念
2014年6月26日
7
例1：“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 0.2 0 A 1 2 3 4
可省略
例2：如洗衣机洗衣量“较多”：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 表示成模糊集如下：
0 0 0.1 0.5 0.9 1 A 1 2 3 4 5 6
2014年6月26日
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表示方法1的说明
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域U的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
2014年6月26日
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模糊集合及其运算
（2）序偶表示法
~
~
2014年6月26日
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例1：“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 A x 0.2 0 x 1 x2 x3 x4
注：模糊集合中没有“属于”这个概念。
2014年6月26日
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模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
可省略
2014年6月26日
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x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价， 例3：有100名消费者，对5种商品
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
模糊集合2
包含 – 设论域E中的两个子集A 、B ，当属于A的所有 元素（∀x ∈ A ）都属于B （ ∀x ∈ B ），记为 则称B包含A，或A包含于B。 记为 B ⊇ A 或 A ⊆ B 如果 A ⊆ B A ≠ B，责称A是B的真子集，A ⊂ B 。 且 子集 – 集合B的所有元素都属于A，则称B是A的子集 • 空集是任意集合的子集 • 任意一个非空集和至少有两个不同的子集A和 φ 相等 – 对于两个集合A和B，如果 A ⊆ B 和 B ⊆ A 同时成立，则 A=B ：它们有相同的元素、互为子集。 有限集与无限集-- 一个集合的元素个数是有限的：有 限集； 一个集合的元素个数是无限的：无 限集。
Fuzzy controller
Referenee y*
Knowledge base Fuzzifier
Fuzzy Reasoning
Defuzzier
Plant
Y
这是一个采用模糊控制器的控制系统，从图上可 以看到，模糊控制器由四部分组成： 1) Fuzzifier （模糊化） 2) knowledge base（知识库） 3) Fuzzy Reasoning（模糊推理 ） 4) Defuzzifier （清晰化，逆模糊化，…）
2.2 模糊集合论基础
2.2.1 集合
元素 -- 组成集合的各个对象，也称为个体。 属于 -- 若个体 a 是集合 A 的元素，则元素 a 属于集合 A ，记为 a∈A. 论域 – 被研究对象的全体元素组成的基本集合：E 全集 – 在一定范围内，如果所有集合均为某一集合B的 子集，则该集合B称为全集。 由于它包含了论域中的所有元素，所以论域E就是 全集。 全集是唯一的。 空集 – 不包含任何元素的集合。记为 φ 空集不是唯一的。 e.g { 方程x2 + 1 = 0的全体实根}= φ
二、模糊计算
§2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算定义2.3.1 模糊集合的包含、相等设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有)()(~~x x BAμμ≥，则称A ~包含B ~，记作B A ~~⊇。
如果B A ~~⊇，且A B ~~⊇，则说A ~与B ~相等，记作B A ~~=。
由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。
若对于X 上的所有元素x ，都有)()(~~x x BAμμ=，模糊集合A ~与B ~相等。
定义2.3.2 模糊空集设A ~为论域X 上的模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有0)(~=x Aμ，则称A ~为模糊空集，记作φ=A ~。
定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，令B A ~~ 、B A ~~ 、C A ~分别表示模糊集合A ~与B ~的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为B A~~ μ、B A ~~ μ、C A~μ，对于X 的任一元素x ，定义： )(V )()(B ~A ~B ~A~x x x μμμ∆ (2.3.1) )()()(B ~A~B ~A~x x x μμμΛ∆ (2.3.2)补算子 (2.3.3) 式中“V ”表示取大运算，“Λ”表示取小运算，称其为Zadeh 算子。
在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算①)](,)(max[B ~A ~B ~A~x x μμμ= 并算子 (2.3.4) )](,)(min[B ~A~B ~A~x x μμμ= 交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合A ~和B ~，见图2.3.1(a)。
其中A ~为高斯分布，B ~为三角分布，二者的并、交运算结果如图2.3.1(b)的图2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊控制理论基础知识
第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。
若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。
例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。
因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a R μ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。
由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。
一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。
称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。
一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。