直角坐标系下的画图及其转换公式
直角坐标系坐标变换公式
直角坐标系坐标变换公式在数学中，直角坐标系是描述平面上点位置的一种常用方式。
当需要在不同坐标系之间进行转换时，我们可以利用坐标变换公式来实现。
本文将介绍二维平面上的直角坐标系坐标变换公式。
假设有一个点P在直角坐标系中的坐标为(x, y)，现在我们希望将其坐标转换为另一个直角坐标系下的坐标(x’, y’)。
为了实现这一转换，我们需要进行如下的操作：平移首先，我们需要对点P进行平移操作。
设平移向量为(a, b)，则点P在新坐标系下的坐标为(x + a, y + b)。
旋转接着，我们可以对点P进行旋转操作。
设旋转角度为θ，旋转中心为原点O(0, 0)，则点P在新坐标系下的坐标为：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)缩放最后，我们可以对点P进行缩放操作。
设缩放比例为(sx, sy)，则点P在新坐标系下的坐标为：x’ = x * sx y’ = y * sy综合变换将上述平移、旋转和缩放操作综合起来，我们可以得到点P在新坐标系下的完整变换公式：x’ = (x - xo) * cos(θ) * sx - (y - yo) * sin(θ) * sy + xo y’ = (x - xo) * sin(θ) * sx + (y - yo) * cos(θ) * sy + yo其中(xo, yo)为旋转中心，θ为旋转角度，(sx, sy)为缩放比例。
示例假设在某直角坐标系下，有一个点P(2, 3)，希望将其转换到新坐标系下，旋转角度为30度，旋转中心为原点O(0, 0)，缩放比例为1.5。
根据上述公式，我们可以计算出点P在新坐标系下的坐标为：x’ = (2 - 0) * cos(30) * 1.5 - (3 - 0) * sin(30) * 1.5 + 0 = 2.366 y’ = (2 - 0) * sin(30) * 1.5 + (3 - 0) * cos(30) * 1.5 + 0 = 3.133因此，点P在新坐标系下的坐标为(2.366, 3.133)。
直角坐标系中的图形 函数与图像
、一周知识概述1、用坐标表示平移（1）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（2）一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，如果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移．（3）图形平移的特征：一个图形平移前后大小、形状完全相同，只是位置不同．2、常量和变量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；而数值始终保持不变的量称为常量．常量与变量必须存在于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．3、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，如果对于x在某个允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量．4、函数的图象（1）图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．（2）由函数解析式画其图象的一般步骤：①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接．二、重难点知识归纳1、直角坐标系中的图形.2、画函数的图象3、利用函数的图象获取信息，解决实际问题．三、典型例题剖析例1、中国象棋棋盘中蕴含着直角坐标系，下图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B等处．若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中棋盘上用虚线画出一种你认为合理的行走路线．分析：棋子“马”向上、下平移两个单位时要向左或右平移一个单位，向上、下平移一个单位时要向左或右平移两个单位.答案：如图示（答案不惟一）例2、星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图中描述了她散步过程中离家的距离s （m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，依据图象，下列说法符合小红散步情景的是（）A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才开始返回分析：观察图中的时间t和离家的距离s的变化情形．可知，经过4min到离家300m的公共阅报栏，看了6min的报纸后向前走了一段路回家即到达横轴．答案：B例3、如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为1个单位长度.三角形MNQ是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，请分别写出点A与M，点B与点N，点C与点Q的坐标，并观察它们之间的关系，如果三角形ABC中一点P的位置如图. 那么对应点R的坐标为什么？并在△MNQ中表示出R来.猜想线段AC与线段MQ的关系.解析：根据平面直角坐标系，先写三角形ABC和三角形MNQ的坐标，从中发现它们的关系，再写出P的坐标，根据它们的关系写出R的坐标.解答：观察直角坐标系得A（－4，1），M（4，－1），B（－1，2），N（1，－2），C （－3，4），Q（3，－4），由它们的坐标可知两个对应点的横、纵坐标的和都为0，∵P的坐标为（－3，2），∴R的坐标为（3，－2），R表示在如图中.从坐标系观察可知AC//MQ并且AC=MQ.例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x2－2和y=2x2＋3的图象，观察图象，可得出哪些结论？解析：按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得．解：（1）列表：（2）描点；（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线．例5、小刚、爸爸和爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等．每个人的行走路程与时间的关系是图中所示的三个图象中的一个，走完一个往返．问：（1）三个图象中哪个对应小刚、爸爸、爷爷？（2）离家所去的地点多远？（3）小刚与爷爷骑自行车的速度各是多少？三人步行的速度各是多少？分析：读清题目，理解好题意，结合实际问题，再解决问题．解：（1）因为小刚去时骑自行车，返回时步行，所以去时需要的时间少于回来所需的时间，故图（2）对应小刚．用同样的方法可以判断爸爸对应图（3），爷爷对应图（1）．（2）他们离家所去的地点有1200m远．（3）由图象知，小刚去时的时间是6min，所以小刚骑自行车的速度为：用同样的方法可以求得，爷爷骑自行车的速度为200m/min，小刚步行的速度为80m/min，爸爸步行速度为100m/min，爷爷步行的速度为60m/min．- 返回-。
直角坐标系坐标转换公式解析
直角坐标系坐标转换公式解析直角坐标系（也称笛卡尔坐标系）是一种二维坐标系统，由两条相互垂直的轴组成，通常水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
在这种坐标系中，每个点的位置由两个坐标值（x，y）表示，x值表示点相对于原点在x轴方向上的距离，y值表示点相对于原点在y轴方向上的距离。
1.极坐标转直角坐标：在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ表示。
极径r表示点相对于极点的距离，极角θ表示点与极正方向的夹角。
对于特定的点（r，θ），我们可以使用以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标（x，y）：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中cos(θ)表示θ的余弦值，sin(θ)表示θ的正弦值。
这两个公式描述了点在直角坐标系中的位置。
2.直角坐标转极坐标：对于给定的点（x，y），我们可以使用以下公式将其转换为极坐标系中的坐标（r，θ）：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)其中sqrt(x^2 + y^2)表示点到原点的距离，atan2(y, x)表示点与正 x 轴的夹角。
这两个公式描述了点在极坐标系中的位置。
需要注意的是，当进行坐标转换时，需要考虑坐标系的正负方向以及特殊角度的处理，如负角度和超过360度的角度。
此外，将极坐标系的点转换为直角坐标系时，有可能存在多个直角坐标系的点对应于同一个极坐标系的点，这是由于一个角度对应于一条射线，而不是一个具体的点。
直角坐标系坐标转换公式在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
它们可以用于描述点的位置、计算两点间的距离和角度，以及进行图形的变换和旋转等操作。
了解和理解这些公式可以帮助我们更好地理解和应用直角坐标系。
直线极坐标与直角坐标的互化公式
直线极坐标与直角坐标的互化公式直线极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系统，它们在数学和物理学中被广泛应用。
为了方便计算和相互转换，在这两种坐标系统之间存在一些互化公式。
本文将介绍直线极坐标和直角坐标之间的互化公式，并提供详细的计算方法和示例。
一、直线极坐标坐标系介绍直线极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由两个参数组成：极径（r）和极角（θ）。
极径表示点与原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
在直线极坐标系统中，点的坐标可以通过极径和极角表示为(r, θ)。
其中，r为非负实数，θ为弧度制的角度，通常取值范围为[0, 2π)。
二、直角坐标系介绍直角坐标系是我们通常使用的坐标系统，也称为笛卡尔坐标系。
它由两个数轴组成：横轴（x轴）和纵轴（y轴）。
点的位置由它在这两个轴上的投影表示。
在直角坐标系中，点的坐标可以通过x轴和y轴的数值表示为(x, y)。
其中，x 表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
三、直线极坐标与直角坐标的互化公式直线极坐标和直角坐标之间存在一些互化公式，可以通过这些公式将一个坐标系统的点转换为另一个坐标系统的点。
下面是直线极坐标与直角坐标的互化公式：1.从直线极坐标到直角坐标的转换公式：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)2.从直角坐标到直线极坐标的转换公式：–r = sqrt(x^2 + y^2)–θ = atan2(y, x)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数，sqrt表示平方根函数，atan2表示反正切函数。
四、计算方法和示例对于直线极坐标与直角坐标的转换，我们可以使用上述互化公式进行计算。
下面将通过一个示例来演示计算的方法：示例：将直线极坐标点(3, π/4)转换为直角坐标。
首先，根据转换公式，我们可以计算得到： - x = 3 * cos(π/4) ≈ 2.12 - y = 3 *sin(π/4) ≈ 2.12因此，点(3, π/4)在直角坐标系中的坐标为(2.12, 2.12)。
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则
小专题(四)：平面直角坐标系中图形旋转的变换规则1. 引言平面直角坐标系中，图形的旋转是一种常见的几何变换。
本文介绍了图形旋转的变换规则。
2. 图形旋转的基本概念图形旋转是指将一个图形绕一个中心点旋转一定角度后得到新的图形。
旋转的中心点可以位于坐标原点或任意其他点。
3. 旋转变换的规则根据旋转变换的规则，对于同一图形的旋转变换，可以得到以下规律：- 旋转360度（或2π弧度）等于恢复原状，即旋转后的图形与原图形完全相同。
- 旋转180度（或π弧度）等于将图形沿旋转中心点对称。
- 旋转90度（或π/2弧度）等于将图形逆时针旋转90度。
- 旋转270度（或3π/2弧度）等于将图形顺时针旋转90度。
4. 旋转的计算方法为了进行图形的旋转变换，可以利用旋转矩阵进行计算。
旋转矩阵是一个二维的矩阵，在平面直角坐标系中描述了图形的旋转变换。
旋转矩阵的公式如下：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转的角度。
5. 应用举例以矩形图形为例，假设原始矩形的坐标为A(x₁, y₁), B(x₂,y₁), C(x₂, y₂), D(x₁, y₂)。
若要将该矩形逆时针旋转90度得到新的矩形A'(x₁', y₁'), B'(x₂', y₁'), C'(x₂', y₂'), D'(x₁', y₂')，可以通过旋转矩阵计算得出新的坐标。
新的坐标计算公式如下：x₁' = x₁ * cos90 - y₁ * sin90y₁' = x₁ * sin90 + y₁ * cos90x₂' = x₂ * cos90 - y₁ * sin90y₂' = x₂ * sin90 + y₁ * cos906. 结论图形在平面直角坐标系中的旋转变换遵循一定的规则和计算方法。
通过理解和应用这些规则和计算方法，我们可以对图形进行准确的旋转变换。
坐标系的转换方法
坐标系的转换方法我折腾了好久坐标系的转换方法，总算找到点门道。
说实话，坐标系转换这事，我一开始也是瞎摸索。
我就知道在平面直角坐标系里，坐标就是个横竖的位置表示。
咱先拿笛卡尔坐标系，也就是常见的直角坐标系来说吧。
我最早是研究在平移的情况下怎么转换坐标。
我想啊，这就像你在一个方格纸上移动物体一样。
假如你有个点，原本的坐标是(x,y)。
如果沿着x轴正方向平移了a个单位，沿着y轴正方向平移了b个单位，那新坐标不就成了(x + a,y + b)嘛。
这就好比你把东西从家里的一个角落移到另一个角落，相对的坐标位置就变了。
但是后来遇到旋转的情况就把我难住了。
我试了好多次，乱算一通。
我之前想着按照角度就直接加减数值，结果发现完全不对。
后来我认真查了资料才知道，假如绕原点旋转，旋转角度是θ的话，这时候坐标转换就得用三角函数了。
对于原来的点(x,y)，新坐标的x'就等于x乘以cosθ减去y乘以sinθ，y'就等于x乘以sinθ加上y乘以cosθ。
这可把我绕晕了好一阵呢，就像在迷宫里转圈圈。
还有从平面直角坐标系转换到极坐标系的情况。
这个我一开始也是摸不着头脑。
我就知道极坐标系是用距离和角度来表示一个点。
我尝试着拿几个简单的点去做转换，比如直角坐标系里的(1,1)这个点。
我慢慢琢磨，发现先得求这个点到原点的距离，根据勾股定理，这个距离r就等于根号下(x平方+y平方)，这里x和y就是直角坐标系里的坐标值嘛，那r就是根号2啦。
然后角度呢，得看看这个点在第几象限。
对于(1,1)这个点，角度θ就是45度或者说π/4弧度。
但这里开始的时候我就容易把角度的范围搞错，有时候算出来的角度不是正确的范围里的。
我意识到一定要根据x 和y的正负确定好角度所在象限。
三维坐标系转换就更麻烦了。
我感觉自己像是走进了一团迷雾里。
我试了一些计算方法，就像平移，就像在长宽高都能移动的大箱子里移动物品一样，在各个轴上做加减。
但是对于旋转，那就复杂得不得了，涉及到好多矩阵运算。
直角坐标系与极坐标系转换公式
直角坐标系与极坐标系转换公式常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
直角坐标系的坐标表示为(x,y)，其中x表示距离直角坐标系原点横向的距离，y表示距离直角坐标系原点纵向的距离。
而极坐标系的坐标表示为(r,θ)，其中r表示点距离极点的距离，θ表示点与极轴正方向的夹角。
为了进行直角坐标系与极坐标系的转换，需要掌握一些基本的公式。
下面将介绍这些公式，并且进行详细的说明。
1. 直角坐标系转极坐标系（1）r² = x² + y²在直角坐标系中，如果点的坐标是(x,y)，那么该点到原点的距离可以用勾股定理计算，即r² = x² + y²。
这个公式可以用来将直角坐标系转换成极坐标系。
（2）tanθ = y/x在直角坐标系中，如果点的坐标是(x,y)，那么该点与x轴正半轴的夹角可以用反正切函数计算，即θ = arctan(y/x)。
由于反正切函数的取值范围是(-π/2,π/2)，因此需要根据点的位置来判断θ的值。
例如，如果点位于第一象限，那么θ的值就是arctan(y/x)；如果点位于第二象限，则θ的值应该是π - arctan(y/x)；如果点位于第三象限，则θ的值应该是π + arctan(y/x)；如果点位于第四象限，则θ的值应该是2π - arctan(y/x)。
2. 极坐标系转直角坐标系（1）x = r*cosθ在极坐标系中，如果点的坐标是(r,θ)，那么该点在直角坐标系中的横坐标可以用余弦函数计算，即x = r*cosθ。
（2）y = r*sinθ同样，在极坐标系中，如果点的坐标是(r,θ)，那么该点在直角坐标系中的纵坐标可以用正弦函数计算，即y = r*sinθ。
通过上述公式，我们可以很方便地将直角坐标系与极坐标系进行转换。
这对于数学问题的解决很有帮助。
例如，在极坐标系中描述重心和质心的问题中，转换成直角坐标系后可以更方便地计算重心和质心的坐标。
(完整版)直角坐标系中的变换知识点归纳总结
(完整版)直角坐标系中的变换知识点归纳总结直角坐标系中的变换知识点归纳总结直角坐标系是一个用于描述平面或空间中点位置的坐标系统，常见的变换包括平移、旋转和缩放。
下面是与直角坐标系变换相关的几个知识点的总结：平移变换平移变换是指将一个点沿着指定方向和距离移动。
在二维直角坐标系中，平移操作可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是移动后的点的坐标，dx 和dy分别是沿x轴和y轴的平移距离。
在三维直角坐标系中，平移操作可以表示为：x' = x + dxy' = y + dyz' = z + dz旋转变换旋转变换是指将一个点围绕某个中心点按照指定角度进行旋转。
在二维直角坐标系中，旋转操作可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是旋转后的点的坐标，θ是旋转角度。
在三维直角坐标系中，旋转操作可以使用旋转矩阵来表示，旋转矩阵的计算涉及到复杂的线性代数运算。
缩放变换缩放变换是指将一个点按照指定比例进行放大或缩小。
在二维直角坐标系中，缩放操作可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是缩放后的点的坐标，sx 和sy分别是沿x轴和y轴的缩放比例。
在三维直角坐标系中，缩放操作可以表示为：x' = x * sxy' = y * syz' = z * sz变换组合在实际应用中，常常需要将多个变换组合在一起进行操作。
变换的组合顺序会影响最终结果。
通常，变换的顺序是从右到左进行计算。
例如，如果要先进行平移，再进行旋转，最后进行缩放，可以表示为：(x', y') = S * R * T * (x, y)其中，T表示平移变换，R表示旋转变换，S表示缩放变换。
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直角坐标系下的画图及其转换公式
在直角坐标系下我们的圆方程是：
222()()x a y b R -+-=
其中，a 和b 是圆心，R 是半径。
但在画圆的时候，你就会发现如果按该公式画圆，多半是不成功的，或者画了一半，所以在matlab 中画圆，一半采用极坐标形式 圆对应的极坐标转换公式为：
cos sin x R y R θ
θ
=⎧⎨
=⎩（公式1） 这个很容易理解，你画个单位圆来看看就知道了。
那么上面那个黑色的点的x 坐标和y 坐标用半径和连线与坐标轴x 的夹角来表示，就得到了公式1。
观察这个公式，我们发现，在极坐标系下，圆的半径没变，夹角是在不断变化的，所以，在matlab 中极坐标系下画单位圆的问题可以这样来考虑：
首先将夹角360等分，也就是每一个步长为360度/360; 但需要指出的是，matlab 中正弦预先函数的变量其实是弧度，并不是度。
这个你在matlab 命令窗里就可以试：
比如你要得到30度的正弦值，一般是sin （pi/6）,而不是sin(30)。
这里的pi 是3.1415926的在matlab 中的表示。
所以我们的步长应该是弧度制的，我们知道，1度对应的弧度为360/(2*pi)。
也即180/pi; 所以我们的夹角应该是： Theta=0:180/pi:2*pi-180/pi;
注意，由于是从零开始画图的，所以最后一个应该是2*pi-180/pi;而不是2*pi ； 这个时候我们可以开始画图了 X=R*cos(Theta); Y=R*sin(Theta); Plot(x,y,’r.’)
axis square %保证画出来的圆是圆的。
Polar 命令
回顾上述过程，我们知道，这个画图最终还是在直角坐标系下显示的。
要在极坐标下画，就需要采用matlab 特有的polar 命令
查阅matlab 帮助文档就会发现polar 的用法 发现其语法是这样的： polar(theta,rho,LineSpec)
有了这个，我们可以这样来用 thetta=0:180/pi:2*pi-180/pi; R=499.9
polar(Theta,R,'r.')
但这样运行，系统会报错 ??? Error using ==> polar at 64
THETA and RHO must be the same size.
查找原因发现，是R 应该与Theta 是一对一的 所以修改程序如下：
thetta=0:pi/180:(2*pi-pi/180); len=length(thetta); R(1:len)=499.9; polar(thetta,R,'r.')； 生成效果图如下：
90
270
当然，这种方法生成的圆是圆心在原点的，要生成圆心坐标（3.7017，10.058），半径r=499.9的圆，可能要重新计算极坐标系下的半径
此时，在极坐标系下的半径就成了a=3.7017，b=10.058.
cart2pol 命令
顾名思义就是将matlab 直角坐标转化为极坐标 语法为：[THETA,RHO] = cart2pol(X,Y)
这个就提供给了我们另外一种思路，先生成在直角坐标系下的圆，再转化到极坐标系下
cos sin x a R y b R θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
公式2 公式2是圆心在（a ，b ），半径为R 的圆 thetta=0:pi/180:(2*pi-pi/180); >> R=499.9;
>> x=R*cos(thetta); >> y=R*sin(thetta); >> plot(x,y,'b.') >> axis square 效果如图：
-500
500
关于这个函数的用法，你自己揣摩一下吧！。